二次函数的应用最大面积学案(无答案)-山东省烟台海阳市留格庄镇初级中学(五四制)九年级数学上册
初中数学_二次函数背景下的面积问题教学设计学情分析教材分析课后反思
课题二次函数背景下的面积问题课型中考复习课出课人授课时间教学目标知识和能力能够根据二次函数中不同图形的特点选择方法求图形面积。
过程和方法通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二次函数中面积问题的相关计算，从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用。
情感态度和价值观由简单题入手逐渐提升，从而消除学生的畏难情绪，让学生有兴趣和积极性参与数学活动。
加强学生之间的合作交流，提高学生的归纳总结能力，培养学生不断反思的习惯。
教学重点和难点重点：选择方法求图形面积难点：如何割补、转化图形求面积教学方法启发式、讨论式教学用具多媒体课件板书设计与二次函数有关的面积问题（一）二次函数的图像（二）交点坐标，与X轴两交点的距离。
（三）S=1/2ah(其中、a为水平宽、h为铅垂高)（四）总结BC铅垂高水平宽ha图A教师活动学生活动设计意图如果三角形的三边都不与坐标轴平行或垂直，例如三角形BCD和ACD，怎么求？（2）我们以△BCD的面积求法为例直接计算法：可以发现三角形BCD是直角三角形。
割补法：1、先算出直角梯形OFDB的面积,再减去两个直角三角形的面积（三角形OBC和FCD）2、矩形OFGB的面积减去三角形OBC、FCD、学生积极思考、小组共同讨论、集体展示。
学生归纳总结学生先独立思考，后小组交流学生大胆猜测，发言、交流、展示。
学生交流提高学生归纳总结的能力。
动点问题是学生的难点，让学生体会以静带动的思考方式，突破难点。
同时应用割补法求三角形面积，突出本节课重点。
本题解决图形面积问题。
多种方法，巩固本节课学习成果，同时开阔学生思路。
提高学生归纳总结的能力，培养学生不断反思BDG的面积。
3、三角形BCD的面积等于1/2DM乘以点B 与点C的横坐标的差。
4、三角形BCD的面积等于1/2CN乘以点B与点D 的纵坐标的差小结：不规则图形或三边不具特殊性的三角形如何求面积。
可以用割补法把不规则图形转变为规则图形。
二次函数的应用——最大面积问题教学设计
二次函数的应用——最大面积问题的教学设计一、学情分析：众所周知，二次函数与解析几何是初中数学的两个难点，而在中考中往往都是将二者融合形成综合性问题，当然也是学生一直感觉头疼的一个问题。
新课程标准指出，学生对有关的数学内容进行探索、实践和思考的过程就是数学学习的过程，也是学生获得数学活动经验的过程。
将时间还给学生、以学生为主体是每一节课的追求。
通过学生自主学习在反比例函数中求三角形时所用到的方法分享，对其中分割法中的竖直高乘以水平宽的一半进行着重分析，探究其基本原理，从而用此通法解决二次函数中三角形最大面积问题，当然重点分析此发的同时也鼓励一题多解、多解归一。
二、教学目标1、借助反比例函数中三角形面积的几种计算方法总结得出通法：“水平宽乘以竖直高的一半”。
2、通过自主学习小组合作讨论，从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。
从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。
3、运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题。
三、教学重难点：教学重点：运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题教学难点：从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。
从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。
四、教学设计【自主学习】学生课前自主完成、并在上课时小组讨论、交流并与大家分享。
的图象都引例：如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=mx经过点A（2，﹣2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．方法提炼：补：补成矩形减去三个直角三角形。
补：延长CA与y轴交于点D，用三角形BCD面积减去三角形BAD面积。
鲁教版(五四制)九年级数学上册 《3.6.1_二次函数的应用》教案
鲁教版五四制九年级《3.6 二次函数的应用（1）》教学设计济宁市任城区安居第一中学田素芬教学目标：知识与技能：能根据情境中所给信息，写出二次函数表达式，结合函数图象，理解顶点与最值的关系，会用顶点的性质求解最值问题。
过程与方法：经历由实际问题中的最值转化为二次函数的最值，归纳总结出解决面积最值问题的一般步骤，学生体会数形结合、函数建模的思想，培养分析思维能力，提高问题解决素养。
情感、态度与价值观：从学生熟悉的生活场景引入课题，激发学生对函数应用的探究兴趣，逐步养成合作交流、学以致用的习惯，进一步培养利用函数的观点认识世界的意识，体会数学在生活中广泛的应用价值。
教学重点：根据实际问题建立二次函数的数学模型，应用函数的知识解答面积最值，提高解决问题的能力。
教学难点：根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的取值范围。
教学过程师：上一节，我们学习了二次函数的表达式，课件展示y＝ax2+bx+c (a≠0)、y＝a(x-h)2+k (a≠0)生：说出表达式的一般式、顶点式师（板书表达式）：对于一般式，当a>0时，函数图象即抛物线开口向上，有最低点并板书顶点坐标，而顶点式显而易见，顶点坐标（h，k）。
这两个表达式很重要，利用它们可以帮助我们解决生活中遇到的问题。
今天，我们一起来学习二次函数的应用。
（板书课题）一、情境导入：视频——栅栏围地学生活动：认真观看视频，指生回答里面的小问题，尝试分析自变量x的取值范围师（点评）引导生（口答）：有了表达式，我们可以画出图象。
此时a<0，抛物线开口向下，有最高点，对应函数有最大值。
函数图象有个性质：抛物线顶点的纵坐标，对应函数的最大值（或最小值）。
根据顶点坐标公式，求得当x=5时，面积最大是50。
提醒考虑：在自变量的取值范围里设计意图：视频导入新课，能更好引起学生的学习兴趣，使学生感到函数与生活的联系。
这样，围成的面积问题就转化为图象顶点的纵坐标值，在这个实际问题的解决过程中，学生体会“数形结合”、“函数建模”思想（板书），同时也为后面自主思考作铺垫。
《二次函数在面积最值问题中的应用》示范教学方案
第二十一章二次函数与反比例函数21．4二次函数的应用第1课时二次函数在面积最值问题中的应用一、教学目标1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系.2．会运用二次函数的性质，建立二次函数的数学模型求实际问题中的最大值或最小值．二、教学重点及难点重点：利用二次函数求实际问题的最值．难点：对实际问题中数量关系的分析．三、教学用具多媒体课件四、相关资料《实际问题与二次函数（一）》微课五、教学过程【情景引入】孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S 平方米．当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．【探究新知】解决最大值问题的方法步骤：1.看题目中是否给出问题中变量之间的二次函数关系式.若未给出，则通过问题中各量间的关系或者根据图形构建函数关系列出因变量和自变量之间的二次函数关系式，并将其写成一般式；2. 由一般式y =ax 2+bx +c (a ≠0)化为顶点式y =a (x -h )2+k .先对一次项和二次项进行提取公因式，使得二次项的系数为1；再在括号里加上一次项系数一半的平方，并减去“一次项系数一半的平方；将括号写成和（差）的平方形式，并将括号外进行化简；3.根据函数y =a (x -h )2+k 的图象与性质得出在自变量取值范围内的最大值或最小值. 在任意实数范围内：若a >0，则当x =h 时y 有最小值为k ; 若 a <0，则当x =h 时,y 有最大值为k .但是在实际问题中要考虑x =h 是否在自变量的取值范围内，若不是则还要结合二次函数中y 随x 的变化情况判断出何时取最大值或最小值.本图片是微课的首页截图，本微课资源针对《实际问题与二次函数（一）》进行讲解，并结合具体例题，提高知识的应用能力，有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】实际问题与二次函数（一）.【新知运用】探究点：利用二次函数求最大面积【类型一】 利用二次函数求最大面积例1 小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化．(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，则另一边长为60－2x 2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．解：(1)根据题意，得S ＝60－2x 2·x ＝－x 2＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30； (2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，因为a ＝－1＜0，所以S 有最大值，即当x ＝15(米)时，S 最大值是225(平方米)．方法总结：二次函数与日常生活中的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．【类型二】 利用二次函数判断面积取值成立的条件例2 用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x 米，面积为y 平方米．(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)判断能否围成，其实就是利用根的判别式判断一元二次方程是否有实数根，也可用配方法判断．解：(1)y ＝x (16－x )＝－x 2＋16x (0＜x ＜16)；(2)当y ＝60时，－x 2＋16x ＝60，解得x 1＝10，x 2＝6.所以当x ＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，整理，得x 2－16x ＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法二：当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，整理，得x 2－16x ＋70＝0，配方，得(x －8)2＝－6，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程．【类型三】 利用二次函数确定最大面积的条件例3 现有一块矩形场地，如图所示，长为40m ，宽为30m ，要将这块地划分为四块分别种植：A.兰花；B.菊花；C.月季；D.牵牛花．(1)求出这块场地中种植B 菊花的面积y 与B 场地的长x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？解析：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值．解：(1)由题意知，B场地宽为(30－x)m，∴y＝x(30－x)＝－x2＋30x，自变量x的取值范围为0＜x＜30；(2)y＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，当x＝15m时，种植菊花的面积最大，最大面积为225m2.【随堂检测】1.在半径为5cm的圆中挖去一个半径为x cm的圆面，剩下的圆环的面积为y cm2，则y与x 之间的函数关系式为（）。
【学案】5.5 二次函数的运用(2)最大面积
§6.4 二次函数的运用（2）（最大面积问题）学习目标:1、体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。
2、掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值。
学习重点:应用二次函数最值解决实际问题中的最大面积。
学习难点:能够正确地应用二次函数最值解决实际问题中的最大面积． 学习过程:一、课前热身：1、写出正方体的表面积y 与棱长x 之间的函数关系式。
2、一个圆柱的高等于它的底面半径r ，写出圆柱的表面积s 与半径r 之间的函数关系式。
3、已知一个矩形的周长为12 m ，设一边长为x m ，面积为y ㎡，写出y 与x 之间的函数关系式。
二、新知探究：在动态的几何图形中，线段长与线段长之间，或面积与线段长之间，或线段长与运动时间之间，或面积与运动时间之间存在一定的函数关系，而其中许多又是二次函数关系． 【要点梳理】例1．已知一个矩形的周长是12cm ．•矩形面积是S cm •，一边长是x cm ，当x 多少厘米时，S 最大，最大值为多少？例2．一块三角形废料如图所示，∠C ＝90º，∠A ＝30º，AB =12．用这块废料剪出一个长方形CDEF ，其中点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 上．要使长方形CDEF 面积最大，点E 应选在何处？D E B C A例3．如图，等腰直角三角形ABC 以2m/s 的速度沿直线l 向正方形移动，直到AB 与CD重合．设x s 时，三角形与正方形重合部分的面积为y m 2． (1)写出y 与x 的函数解析式；（2）当2,3.5x 时，y 分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？101010lD CBA例4．如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在x 轴上，点A 在原点，AB ＝3，AD ＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x 轴正方向作匀速运动．同时点P 从A 点出发以每秒1个单位长度沿A －B －C －D 的路线作匀速运动．当P 点运动到D 点时停止运动，矩形ABCD 也随之停止运动．（1）求P 点从A 点运动到D 点所需的时间； （2）设P 点运动时间为t （秒）．①当t ＝5时，求出点P 的坐标；②若△OAP 的面积为s ，试求出s 与t 之间的函数关系式（并写出相应的自变量t 的取值范围）．练习:1．用长为l2 m 的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图，围出的苗圃是五边形ABCDE ，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∠C =∠D =∠E ．设CD =DE =x m ，五边形ABCDE 的面积为S m 2．问当x 取什么值时，S 最大?并求出S 的最大值．2．如图，在△ABC 中， ∠B ＝90º，AB =6cm ，BC =8cm ，动点P 从点A 出发沿AB 、BC 方向以每秒3cm 的速度移动（移动到点C 即停），动点Q 从点B 出发沿BC 、CA 方向以每秒4cm 的速度移动，如果点P 、Q 分别从点A 、B 出发，那么△PBQ 的面积S 随出发时间t 如何变化？写出函数关系式及t 的取值范围．BA CQP【课后盘点】1． A 中学准备利用一面墙，另三边用竹篱笆围成一个面积为y （m 2）的长方形花坛，•竹篱笆的长为36m ，墙长为20m ，则当花坛的长和宽分别为多少时，•才能使竹篱笆围成的花坛面积最大，此时花坛的最大面积为多少？2． 如图，一块草坪是一长100米，宽80米的矩形，现欲在中间修两条互相垂直的宽为x 米的小路，这时草坪的面积为y 平方米，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．3．如图， 等腰梯形ABCD 中，AB ＝15，AD ＝20，∠C ＝30º．点M 、N 同时以相同速度分别从点A 、点D 开始在AB 、AD （包括端点）上运动．（1）设ND 的长为x ，用x 表示出点N 到AB 的距离，并写出x 的取值范围． （2）当五边形BCDNM 面积最小时，请判断△AMN 的形状．4．如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A =∠D =90°，截取AE =BF =DG =x ．已知AB =6，DCD =3，AD =4．求四边形CGEF 的面积S 关于x 的函数表达式和x 的取值范围．x x BF ACD E x G5．如图所示，在△ABC 中，ABAC =6，BCP 是AC 上与A 、C 不重合的一个动点，过P 、B 、C 的⊙O 交AB 于D ．设P A =x ，PC 2+PD 2=y ，求y 与x 的函数关系式，并确定x 的取值范围．6．已知：如图，△ABC 是边长3cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动．设点P 的运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形?（2）设四边形APQC 的面积为y （cm 2），求y 与t 的关系式；是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积是△ABC 面积的三分之二？如果存在，求出相应的t 值；不存在，说明理由；（3）设PQ 的长为x （cm ），试确定y 与x 之间的关系式．7．如图，抛物线2(0)y x bx c b =++≤的图象与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(20)-，；直线1x =与抛物线交于点E ，与x 轴交于点F ，且4560FAE ≤∠≤．（1）用b 表示点E 的坐标； （2）求实数b 的取值范围；（3）请问BCE △的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由．【要点梳理】例1．已知一个矩形的周长是12cm ．•矩形面积是S cm •，一边长是x cm ，当x 多少厘米时，S 最大，最大值为多少？答案：解：2212xx S -⋅=,9)3(2+--=x S ,所以，当x=3时，S 最大，最大值为9.例2．一块三角形废料如图所示，∠C ＝90º，∠A ＝30º，AB =12．用这块废料剪出一个长方形CDEF ，其中点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 上．要使长方形CDEF 面积最大，点E 应选在何处？答案：解：设AE=x,则BE=12-x,设长方形CDEF 面积为S 。
《第三章6二次函数的应用》作业设计方案-初中数学鲁教版五四制12九年级上册
《二次函数的应用》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对二次函数基本概念的理解，加深对二次函数图像及性质的认识，并初步掌握二次函数在实际问题中的应用。
通过本作业的完成，学生应能运用二次函数知识解决简单的实际问题。
二、作业内容1. 复习二次函数的基本概念，包括二次函数的定义、标准形式、顶点式等。
2. 掌握二次函数的图像特点，能够根据二次函数的系数画出对应的抛物线图。
3. 了解二次函数的最值问题，并能根据实际情况，判断函数的最大值或最小值及其对应的自变量值。
4. 实际应用练习：设置若干个实际问题的数学模型，要求学生将实际问题转化为二次函数问题，并求解。
5. 附加题：设计一道与二次函数相关的综合题，要求学生综合运用所学知识解决。
三、作业要求1. 学生需独立完成作业，不得抄袭他人答案。
2. 对于每个问题，学生需写出详细的解题步骤和答案。
3. 实际应用练习部分，学生需明确指出实际问题转化为二次函数问题的过程，并解释求解方法。
4. 附加题需展示学生的综合运用能力，解题思路要清晰，步骤要完整。
5. 作业需按时提交，迟到或未交作业者按相关规定处理。
四、作业评价1. 教师根据学生的作业完成情况，给出相应的评分。
2. 对于正确率较高的学生，给予表扬和鼓励。
3. 对于错误较多的学生，教师需指出错误原因，并要求其改正。
4. 教师会对学生的解题思路和步骤进行点评，帮助学生找到解题的捷径和方法。
5. 评价结果将作为学生平时成绩的一部分，纳入期末总评。
五、作业反馈1. 教师将对学生的作业进行批改，并给出详细的批注和评分。
2. 对于共性问题，教师将在课堂上进行讲解和纠正。
3. 对于个别学生的问题，教师将通过课后辅导或单独沟通的方式，帮助学生解决问题。
4. 作业反馈将作为学生下一步学习的重要依据，帮助学生查漏补缺，提高学习效果。
5. 教师将鼓励学生积极交流和讨论，互相学习，共同进步。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标1. 深化学生对二次函数图象及性质的理解，能够灵活运用二次函数知识解决实际问题。
山东省海阳市行村镇赵疃学校(五四学制)九年级数学上册第3章《二次函数》复习学案(无答案)
二次函数复习鲁教版 数学 初四上册 第三章《二次函数》 整章复习复习目标：1.理解二次函数的意义，会确定抛物线开口方向、顶点坐标和对称轴，并会确定二次函数表达式2、理解并掌握二次函数与一元二次方程的关系3. 会根据抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图像来确定a 、b 、c 的符号4. 通过对实际问题的分析确定二次函数的最值，并能灵活应用一、知识梳理 自主学习 （一）知识梳理1.二次函数的意义和图像(1)定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 特别注意a(2)二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 的图像是：一条关于x= 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
2.确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点.(1)开口：a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口 ；当0<a 时，开口 ；a 的大小决定抛物线的开口大小：a 相等，抛物线的开口大小 . a 越大，抛物线的开口 。
如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同. (2)求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：c bx ax y ++=2， 顶点坐标是 ，对称轴是直线x= . ②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线x= .③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.若已知一对对称点是（x 1,y ）,(x 2,y)则对称轴是直线x=3.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.4.二次函数与一元二次方程的关系（1） 二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：① 有两个交点⇔△ 0 ②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔△ 0③ 没有交点⇔△ 0（2）平行于x 轴的直线与抛物线的交点平行于x 轴的直线y=k 与抛物线c bx ax y ++=2交点的横坐标是 方程 的两个实数根.（3）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121 5.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用 （1）a 决定开口方向及开口大小.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故： ①0=b 时，对称轴为 ；②0>a b（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴 侧； ③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴 侧. 口诀 左 右 （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y轴交点的位置.①0=c ，抛物线经过 ; ②0>c ,与y 轴交于 半轴；③0<c ,与y 轴交于 半轴.（4）抛物线与X 轴交点情况由 决定：若抛物线与X 轴有两个交点，则： 若抛物线与X 轴有一个交点，则： 若抛物线与X 轴没有交点，则： 6.二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值。
37二次函数与一元二次方程学案（无答案）-山东省烟台海阳市留格庄镇初级中学（五四制）九年级数学上册
二次函数与一元二次方程学案留格初中初四数学主备教师：审核人：辅备教师：使用日期：【学习目标】1．知识与技能目标：理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的横坐标．2．过程与方法目标：体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根；3．情感态度与价值观：培养学生热爱数学、主动探究的能力【教学重点】：把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系．【教学难点】：应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解．【教法】：探索、归纳总结。
【教具】：导学案、白板课件【课型】：新授课【学习过程】环节一：学生预习,教师导学：我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么(1)h和t的关系式是什么？(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.环节二：学生合作，教师参与：1.在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题：(1).每个图象与x轴有几个交点？(2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 例题讲解1、在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60cm?你是如何知道的?2、二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系如何?环节三：学生展示，教师点拨：1 若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是.2 抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（）A 两个交点B 一个交点C 没有交点D 画出图象后才能说明3 不画图象，求抛物线y=x2-x-6与x轴交点坐标.环节四：学生探究，教师引领：（给同学充分的时间考虑，1号同学发言交流，教师引导补充）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x2+2x+3(x﹥0).柱子OA的高度是多少米？若不计其它因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？环节五：学生达标，教师测评：1．这节课我们主要学习了哪些知识？（提示：鼓励学生交流收获，视情况给小组加分）2．检测：。
九年级数学上册 二次函数应用学案(2)(无答案) 鲁教版
1二次函数应用学习目标： 1. 经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验．2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数，运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值.学习重点：目标2 学习难点：目标1. 学习过程: 二、探究学习 【1】．如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD ．其中AB 和AD 分别在两直角边上．(1)设长方形的一边AB ＝x m ，那么AD 边的长度如何表示?(2)设长方形的面积为y m 2．当x 取何值时，y 的值最大?最大值是多少?思考:如果设AD 的长为xm,那么问题的结果又会怎样?你是怎样知道的?【变式】:如果把矩形改为如图所示的位置,其它条件不变,那么矩形的最大面积是多少?【2】某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m ，当x 等于多少时，窗户通过的光线最多?此时，窗户的面积是多少?【3】巩固练习: 课本67页，随堂练习1。
三、课堂小结：本节课你学了哪些知识点？ 四、自我检测1．矩形的周长为10cm ，面积为y （cm 2）与一边的长为x （cm ）之间的关系式为y=____________________，当x=________时面积最大。
2.周长为16的矩形的最大面积为_____,此时矩形的边长为____,实际上此时矩形是___3.如图,Rt △ABC,∠A=090,AB=4,AC=3,D 在BC 上 运动(不与B,C 重合),过D 点分别向AB,AC 作垂线, 垂足分别为E,F 则矩形AEDF 的面积的最大值是多少?五、知识拓展： 用8m 的铝合金条制成如图所示的矩形的窗框， (1)求窗户的透光面积S 与宽x 的函数关系式. (2)求自变量x 的取值范围.(3)求如何设计才能使透光面积最大?最大透光面积是多少? 教(学)后记:40m 30m E BDFACDB。
2020春九年级数学下册第二章二次函数2.4二次函数的应用第1课时图形面积的最大值学案(无答案)(新版)北师
2.4 二次函数与一元二次方程第1课时图形面积的最大值学习目标:掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．学习重点:本节的重点是应用二次函数解决图形有关的最值问题，这是本书惟一的一种类型，也是二次函数综合题目中常见的一种类型．在二次函数的应用中占有重要的地位，是经常考查的题型，根据图形中的线段之间的关系，与二次函数结合，可解决此类问题．学习难点:由图中找到二次函数表达式是本节的难点，它常用的有三角形相似，对应线段成比例，面积公式等，应用这些等式往往可以找到二次函数的表达式．学习过程:一、例题及练习：例1、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.(1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?练习1、如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？2、如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形OEGF的面积最大是多少？3、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积．4.练习：某建筑物窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形．制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m．当x等于多少时，窗户透过的光线最多（结果精确到0．01m）？此时，窗户的面积是多少？二、课后练习：1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用y=－x2＋4表示．（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货运车是否可以通过？（3）为安全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？为什么？2．在一块长为30m ，宽为20m 的矩形地面上修建一个正方形花台．设正方形的边长为xm ，除去花台后，矩形地面的剩余面积为ym 2，则y 与x 之间的函数表达式是，自变量x 的取值范围是．y 有最大值或最小值吗？若有，其最大值是，最小值是，这个函数图象有何特点？3．一养鸡专业户计划用116m 长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN 宽2m ，门PQ 和RS 的宽都是1m ，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？4．把3根长度均为100m 的铁丝分别围成长方形、正方形和圆，哪个面积最大？为什么？5．周长为16cm 的矩形的最大面积为 ，此时矩形的边长为 ，实际上此时矩形是．6．当n=时，抛物线y=－5x 2＋（n 2－25）x －1的对称轴是y 轴．7．已知二次函数y=x 2－6x ＋m 的最小值为1，则m 的值是 ．8．如果一条抛物线与抛物线y=－31x 2＋2的形状相同，且顶点坐标是（4，－2），则它的表达式是．9．若抛物线y=3x 2＋mx ＋3的顶点在x 轴的负半轴上，则m 的值为．10．将抛物线y=3x 2－2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线为（ ）A ．y=3（x ＋2）2＋1 B ．y=3（x －2）2－1 C ．y=3（x ＋2）2－5D ．y=3（x －2）2－211．二次函数y=x 2＋mx ＋n ，若m ＋n=0，则它的图象必经过点（ ） A ．（－1，1）B ．（1，－1）C ．（－1，－1）D ．（1，1）12．如图是二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象，点P （a ＋b ，bc ）是坐标平面内的点，则点P 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．已知：如图1，D 是边长为4的正△ABC 的边BC 上一点，ED ∥AC 交AB 于E ，DF ⊥AC 交A C 于F ，设DF=x ．（1）求△EDF 的面积y 与x 的函数表达式和自变量x 的取值范围； （2）当x 为何值时，△EDF 的面积最大？最大面积是多少； （3）若△DCF 与由E 、F 、D 三点组成的三角形相似，求BD 长．14．如图2，有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD，它的上底AD=3cm，下底BC=8cm，垂直于底的腰CD=6cm．现要裁成一块矩形铁皮MPCN，使它的顶点M、P、N分别在AB、BC、CD 上．当MN是多长时，矩形MPCN的面积有最大值？。
华东师大版九下数学26.3.1 二次函数的应用(面积最大) 学案设计09
九年级数学下册导学案09命题人：刘英明 审题人：曹金满 课型：新授课课题：26.3.1 二次函数的应用（面积最大）学习重点：利用二次函数的性质解决实际问题.学习难点：建立二次函数的数学模型.一、复习旧知：1.抛物线()1122++-=x y ，当=x 时，y 有最 值是 . 2.抛物线()()211122≤≤-++-=x x y ，当=x 时，y 的最大值是 ； 当=x 时，y 的最小值是 ；3. 抛物线()()421122≤≤++-=x x y ，当=x 时，y 的最大值是 ； 当=x 时，y 的最小值是 ；二、探究新知：1.解题步骤：(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；(2)研究自变量的取值范围；(3)借助函数图像研究自变量取值范围内的函数增减性；(4)求出相关的函数值；(5)解决提出的实际问题.三、举例应用：例1.已知一个矩形的周长是12cm ，(1)写出矩形面积S 与一边长x 的函数关系式；(2)当x 长多少时，S 最大？例2.一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD 为直径的半圆O ，下部是一个矩形ABCD ，(1)当AD ＝4米时，求隧道截面上部半圆O 的面积；(2)已知矩形ABCD 相邻两边之和为8米，半圆O 的半径为r 米；①求隧道截面的面积S （平方米）关于r （米）的函数关系式；②若2米≤CD ≤3米，利用函数图像求隧道截面的面积S 的最大值.（3≈π）四、巩固练习：1.如图所示，要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长足够长），如果用60m 长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，没靠墙的一边长度为x m.(1)要使鸡场的面积最大，鸡场的长应该为多少？(2)如果中间n （n 是大于1的整数）道篱笆隔离墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应该是多少米？(3)比较(1)、(2)的结果，你能得到什么结论？2.一养鸡专业户计划用116m 长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN 宽2m ，门PQ 和门RS 的宽都是1m ，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？五、课堂总结：谈谈今天你的收获.六、课后作业：数学同步练习册.随堂检测一、选择题：1.已知210≤≤x ,那么函数6822-+-=x x y 的最大值是( ) A.-10.5 B.2 C.-2.5D.-62.如图,一边靠墙(墙有足够长),其他三边用10 m 长的篱笆围成一个矩形(ABCD)菜园,且在图中所示位置留2m 宽的门,这个菜园的最大面积是( )A.216mB.212mC.218mD.以上都不对3.如图,在△ABC 中,∠B=90°,43tan =C ,AB=6 cm.动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动,动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动.若P,Q 两点分别从A,B 两点同时出发,在运动过程中,△PBQ 的最大面积是( )A.218cmB.212cmC.29cmD.23cm第2题图 第3题图 第5题图 第6题图4.若抛物线c bx ax y ++=2的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，则二次函数c bx ax y ++=2有( )A.最小值－3B.最大值－3C.最小值2D.最大值25.已知二次函数()02<++=a c bx ax y 的图象如图所示，当05≤≤-x 时，下列说法正确的是( )A.函数有最小值－5，最大值0B.函数有最小值－3，最大值6C.函数有最小值0，最大值6D.函数有最小值2，最大值66.某公园一喷水管喷水时水流的路线呈抛物线形(如图)．若喷水时水流的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式是25.122++-=x x y ，则在喷水过程中水流的最大高度为( )A.1.25mB.2.25mC.2.5mD.3m二、解答题：7.正方形ABCD 的边长为4,M,N 分别是BC,CD 上的两个动点,且始终保持AM ⊥MN.求当BM 为多少时,四边形ABCN 的面积最大.8.如图在平面直角坐标系中，已知抛物线4212-+=x x y 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C. (1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)若M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMC 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．9.某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，则平均每件产品的利润1y (元)与国内的销售数量x (千件)之间的关系为⎩⎨⎧<<+-≤<+=)62(1305)20(90151x x x x y .若在国外市场销售，则平均每件产品的利润2y (元)与国外的销售数量t (千件)之间的关系为⎩⎨⎧<<+-≤<=)62(1105)20(1002t t t y . (1)用含x 的代数式表示t 为=t ________；当40≤<x 时，2y 与x 的函数关系式为=2y ________；当<≤x 4________时，1002=y ；(2)求该公司每年销售这种健身产品的总利润w(千元)与国内的销售数量x(千件)的函数关系式，并指出x的取值范围；(3)该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大利润为多少？。
九年级数学上册 2.8《二次函数的应用》面积问题学案 鲁教版
学习目标1、能分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，掌握并运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值. 经历综合运用已有知识解决问题的过程，加深对二次函数的认识，体会数学与实际的联系。
2、类比一元二次方程的应用，将图形中相关的量表示出来，弄清题目中所蕴涵的等量关系，借助二次函数模型解决实际问题．3、经历探索问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。
学习导航二次函数的解析式的三种形式熟练掌握 知识链接1.二次函数1322+--=x x y ，当x= 时，y 有最大值 . 2.如图1，△ABC 中，DE ∥BC ，且AB=30，BC=40，DE=10，则BD= .3. 如图2，△ABC 中，EF ∥BC ，AH ⊥BC ，若BC=10，EF=4，AH=6，则DH 的长是 .4. 如图3，△ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，AC=6，BC=8，则CD= . 探究新知问题：有一根长为8 m 的铁丝，用它围成一个矩形.（1）设矩形的面积是S （m ），长为x m ，则它的宽为 .（2）写出矩形面积S 与它的一边长x 之间的函数关系式 . （3）当x 取 时，矩形的面积最大？最大面积是 .例1、在Rt △EAF 中,AE = 30cm,AF = 40cm,在它的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上，C 点在斜边上.（1）设AB= xc m ，矩形ABCD 的面积为yc m 2， 求y 与x 之间的函数关系式.(2)当x 取何值时,矩形的面积最大?最大面积是多少？B图1图2A图3友情提示相似是解决动态几何问题的有力工具. 巩固新知变式一:在上面的问题中,如果设边AD 的长为x m, （1）写出y 与x 之间的函数关系式 .(2)当x 取 时,矩形的面积最大?最大面积是 . 变式二：如果三角形边长不变，把矩形改为如图所示的位置. （1）求斜边上的高AH 的长. （2）矩形的最大面积是多少？变式三：（选做）△ABC 是一块等腰三角形铁板的余料，AB=AC=20cm ，BC=24cm.若在△ABC 上截出一个矩形零件DEFG ，使边EF 在边BC 上，D 、G 分别在AB ，AC 上，矩形的边长是多少时，矩形的面积最大？思考：如果我们要在直角三角形中剪下一个面积最大的矩形，你认为应该怎样剪？你有几种剪法？ 友情提示解题步骤：建立二次函数模型M ① 设自变量和函数；② 用含有自变量的代数式表示第三 个变量；③ 写出二次函数表达式.求顶点坐标下结论运用新知1、已知三角形的两边和为20，这两边所夹的角为120°，求三角形面积的最大值；当面积最大时，该三角形的周长是多少？2、在直角△ABC中，∠A=90°,AB=8,AC=6。
二次函数的应用面积最大问题教学设计
二次函数的应用——面积最大问题教学设计房山区良乡三中 杨 素 芳各位评委：你们好！我是良乡三中的杨素芳，很高兴有机会参加这次说课比赛，并能得到各位专家的指导，我说课的课题是：二次函数的应用——面积最大问题。
所用教材是北京市义务教育课程改革实验教材九年级上第20章第五节二次函数的应用，本节共需四课时，面积最大是第一节。
下面我将从教材内容的分析、教学目标、重点、难点的确定、教学方法的选择、教学过程的设计和教学效果预测几方面对本节课进行说明。
一、教学内容的分析1、地位与作用：二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。
新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲座，为求解最大利润等问题奠定基础。
目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。
此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。
2、课时安排：教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运动中的二次函数、综合应用四课时，本节是第一课时。
3.学情及学法分析对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
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二次函数的应用最大面积学案
留格初中初四数学主备教师：审核人：
辅备教师：使用日期：
【学习目标】
1．知识与技能目标：能分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，掌握并运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值，经历综合运用已有知识解决问题的过程，加深对二次函数的认识，体会数学与实际的联系。
2．过程与方法目标：经历探索问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型和数学应用的价值。
3．情感态度与价值观：培养学生热爱数学、主动探究的能力
【教学重点】：①回顾并掌握二次函数最值的求法，要求学生能应用基本结论的同时掌握配方法。
②理解数学建模的基本思想，能从实际问题中抽象出其二次函数的数学模型。
【教学难点】：从几何背景及实际情景中抽象出函数模型。
【教法】：探索、归纳总结。
【教具】：导学案、白板课件
【课型】：新授课
【学习过程】
环节一：学生预习,教师导学：
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?
环节二：学生合作，教师参与：
（1）在上面的问题中，如果设AD=xm，那么问题的结果又会怎样？
①如果设AD=x cm,通过条件把AB用x表示出来。
②设矩形ABCD的面积为y cm2，把y用x表示出来。
练习：某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
环节三：学生展示，教师点拨：
“二次函数应用” 的思路
1.理解问题;
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
3.用数学的方式表示出它们之间的关系
4.做数学求解;
5.检验结果的合理性,拓展等.
环节四：学生探究，教师引领：（给同学充分的时间考虑，1号同学发言交流，教师引导补充）环节一中如果进行如下设计，即把矩形改为如图三所示的位置，其它条件不变。
那么矩形的最大面积是多少？。