容斥原理

容斥原理（Inclusion–exclusion principle），是指在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法。这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

公式

也可表示为

设S为有限集,,则

两个集合的容斥关系公式：A∪B=A+B-A∩B(∩：重合的部分）

三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

详细推理如下：

1、等式右边改造={[（A+B-A∩B）+C-B∩C]-C∩A}+A∩B∩C

2、文氏图分块标记如右图图：1245构成A，2356构成B，4567构成C

3、等式右边（）里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分：

那么A∪B∪C还缺部分7。

4、等式右边[]号里+C（4+5+6+7）后，相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，减去B∩C（即5+6两部分）后，还多加了部分4。

5、等式右边{}里减去C∩A（即4+5两部分）后，A∪B∪C又多减了部分5，

则加上A∩B∩C（即5）刚好是A∪B∪C。

2严格证明

对于容斥原理我们可以利用数学归纳法证明：

证明：当时，等式成立()。

假设时结论成立，则当时，

所以当时，结论仍成立。因此对任意，均可使所证等式成立。

3原理1

如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。（A∪B=A+B-A∩B)

例1一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4

人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？

分析

依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。

答案

15+12-4=23

试一试

电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？

100-（62+34-11）=15

4原理2

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A

类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C）

例1

某校六⑴班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？

分析：参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意：这个

题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数即为A类B类和C类的总和。

答案：25+22+24-12-9-8+X=45解得X=3

例2

在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？

分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3

的倍数，5的倍数）。我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。求的是“A类或B类元素个数”。我们还不能直接计算，必须先求出所需条件。1000÷3=333……1，能被3整除的数有333个（想一想，这是为什么？）同理，可以求出其他的条件。

例3

分母是1001的最简分数一共有多少个？

分析：这一题实际上就是找分子中不能与1001进行约分的数。由于

1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的数。

解答：1~1001中，有7的倍数1001/7=143（个)；有11的倍数1001/11=91（个），有13的倍数1001/13=77（个）；有7´11=77的倍数1001/77=13（个），有7´13=91的倍数1001/91=11（个），有11´13=143的倍数1001/43=7（个）.有1001的倍数1个。

由容斥原理知：在1~1001中，能被7或11或13整除的数有（143+91+77）-（13+11+7）+1=281（个），从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720（个）.也就是说，分母为1001的最简分数有720个。

例4

某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：

短跑游泳投掷短跑、游泳短跑、投掷游泳、投掷短跑、游泳、投掷

17 18 15 6 6 5 2

求这个班的学生共有多少人？

分析：这个班的学生数，应包括达到优秀和没有达到优秀的。

试一试：一个班有42人，参加合唱队的有30人，参加美术组的有25人，有5人什么都没有参加，求两种都参加的有多少人？

例5

在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？

分析：

很显然，要计算木棍被锯成多少段，只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线，在此基础上加1就是段数了。

若按将木棍分成10等份的刻度线锯开，木棍有9条刻度线。在此木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线，显然刻度线有重复的，如5/10和6/12都是1/2。同样再加上将木棍分成15等份的刻度线，也是如此。所以，我们应该按容斥原理的方法来解决此问题。用容斥原理的那一个呢？想一想，被计数的事物有那几类？每一类的元素个数是多少？

解答

解一：（10，12，15）=60，设木棍60厘米

60÷10=6厘米，60÷12=5厘米，60÷15=4厘米

10等分的为第一种刻度线，共10－1=9条

12等分的为第二种刻度线，共12－1=11条

15等分的为第三种刻度线，过15－1=14条

第一种与第二种刻度线重合的（6，5）=30，60÷30－1=2－1=1条

第一种与第三种刻度线重合的（6，4）=12，60÷12－1=5－1=4条

第二种与第三种刻度线重合的（5，4）=20，60÷20－1=3－1=2条

三种刻度线重合的没有，（6、5、4）=60

因此，共有刻度线9+11+14－1－4－2=27条，木棍总共被锯成27+1=28段。