数列难题放缩法的技巧

数列难题放缩法的技巧

一、基本方法

1.“添舍”放缩

通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3

－b 3

＝a 2

－b 2

，求证143

＜＋＜a b 。 例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证：

a a

b b b b

c c c ac a a b c 22222232

++++++++++＞（）

[变式训练]已知*

21().n n a n N =-∈求证：

*12

231

1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈

2. 分式放缩

一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分

母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。

例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：12＜＋＋＜a b c b a c c a b

+++。 3. 裂项放缩

若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知n ∈N*，求n 2n

13

12

11＜…+

++

+

。

例5. 已知*

N n ∈且)1n (n 3221a n +++⨯+⨯= ，求证：2

)1(2)1(2

+<

<+n a n n n 对所有正整数n 都成立。

4. 公式放缩

利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。

例6. 已知函数1212)(+-=x x x f ，证明：对于*

N n ∈且3≥n 都有1

)(+>n n n f 。

例7. 已知2x 1)x (f +=，求证：当a b ≠时f a f b a b （）（）-<-。 5. 换元放缩

对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目

的。

例8. 已知c b a >>，求证

0a

c 1

c b 1b a 1>-+-+-。 例9. 已知a ，b ，c 为△ABC 的三条边，且有222c b a =+，当*N n ∈且3n ≥时，求证：

n n n c b a <+。

6. 单调函数放缩

根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。

例10. 已知a ，b ∈R ，求证b

1b a

1a b

a 1

b a ++

+≤

+++。

7.放大或缩小“因式”；

例4、已知数列{}n a 满足2

111

,0,2n n

a a a +=<≤求证：121

1().32n

k k k k a a a ++=-<∑ 8.固定一部分项，放缩另外的项； 例6、求证：

222

2111171234

n ++++

< 9.利用基本不等式放缩

例7、已知

54n a n =-1-对任何正整数m n ，都成立.

10.先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩

例8、.已知i ，m 、n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n .(1)证明：n i

A i m ＜m i

A i n ；(2)证明：(1+m )

n

＞(1+n )m

二、放缩法综合问题 （一）、先求和后放缩

例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=

n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2

1

（二）、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例、函数f （x ）=

x

x 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n +

)(2

1

21*1

N n n ∈-+. 1．放缩后成等差数列，再求和

例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2

2n n n a a S +=.

(1) 求证：22

14

n n n a a S ++<；

(2)

<⋅⋅⋅+ 2．放缩后成等比数列，再求和 例3．（1）设a ，n ∈N *

，a ≥2，证明：n n n

a a a a

⋅+≥--)1()(2；

（2）等比数列{a n }中，11

2a =-，

前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成等差数列．设n

n n a a b -=12

，数列{b n }前n 项的和为B n ，证明：B n ＜1

3

．

3．放缩后为差比数列，再求和

例4．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()2

1(1 =+

=+n a n

a n n n ．求证： 1

12

1

3-++-

≥>n n n n a a 4．放缩后为裂项相消，再求和

例5、已知a n =n ，求证：∑n

k=1

k a 2

k

＜3．