对策论讲义南开大学.ppt

max min (i, j) 为对局的下对策值； iS1 jS2
min max (i, j) 为对局的上对策值。 jS2 iS1
定理 10.1 对两人零和对策，下对策值 上对策值。
证明 令 A(i)= min (i, j), B(j)= max(i, j),
j
i
__
_
令 i , j，使 A( i )= max A(i)= max min(i, j),
(i* , j* ) min (i* , j) max min (i, j)
jijFra bibliotek（10.4）
右端是下对策值。
(10.3)(10.4)的左端是相同的,结合两式的不等式,得：
下对策值＝max min (i, j) min max(i, j)＝上对策值。
i
j
j
i
由定理10.1，可知，下对策值＝上对策值。
60~70年代，由Harsanyi和Selton等人分别发展了 动态对策与不完全信息对策论等现代对策论，并为 对策论在经济理论中的应用开拓了发展的前景。
80年代后很多教科书由于对策论的广泛应用，它 的理论、思想、方法已经渗透到经济研究的各种分 支，而被重新改写。
1994年, Nash－Harsangi－Selton 三人同时获得 诺贝尔经济学奖。
对划线法，我们还可举例： 例10.4 1 2 3
1 1 , 0 1 , 3 0 , 1 2 0 , 4 0 , 2 2 , 0
或
1(i , j) 2 (i , j)＝0 , 故称为零和对策。
对I：“从坏处着想”
I1：min{1(1，j) j=1,2,3}= 5 I2：min{1(2，j) j=1,2,3}= -10
“争取最好的结果”
max{5, -10}＝max 1i2
min
1 j 3
（1 i
,
j ）=
5
对II：“从坏处着想”
若存在i、j（ i S1，j S2）使：
1(i,j ) 1(i, j)， 2 (i, j ) 2 (i, j)，
i S1 jS2
则称i, j为一对Nash均衡策略。
定理10.2 在非合作两人零和对策中，存在Nash 均衡策略的充分必要条件是下对策值等于上对策值。
证明 必要性，设i,j为对策的Nash均衡策略。则
对策论
10.1 纯对策问题
对策论(博弈论)最早源于本世纪40年代，主要由 Van Neumann和Morgenstein奠基于1944年合著的 一本书“对策论与经济行为”。
从50年代到60年代，对策论发展了很多重要的 新概念，如 Nash创立了Nash均衡概念，并证明了 n个有限策略Nash均衡的存在性定理。
i
i
j
_
B( j )= min B(j)= min max (i, j),
j
j
i
max min (i, j) =A(i)=min (i, j) (i, j)
i
j
max (i, j) =B(j)= min max (i, j)
i
j
i
定义 在非合作的两人对策中（零和或非零和的）,
设对局为 ＝{S1 , S2 , 1 , 2 }，其中 S1 , S2分别为I, II 的策略集。1 ,2分别为I、II的利益矩阵。
坦白 0 , 8 5 , 5
用划线法来求Nash均衡策略如下： : 对付的抗拒策略，他会选择坦白策略，在 0下划线；
对付的坦白策略，他会选择坦白策略，在-5下划线； : 对付的抗拒策略，他会选择坦白策略，在 0下划线；
对付的坦白策略，他会选择坦白策略，在-5下划线； 所以双方的“坦白”策略为Nash均衡策略。
乙
甲
正
反
上对策值为 1
正 －1 1
所以，不存在Nash均衡策略。 反 1 －1
两人常和对策： 即 1(i, j) 2 (i, j)＝常数，如
1
1 7, 3 2 4, 6
2 3
2, 8 4, 6 3, 7 5, 5
常和10, 各方减
1
2 3
10/2得
1 2, -2 3, 3 1, 1 2 1, 1 2, 2 0, 0
实际上就变成零和对策了。所以，常和对策 实质上就是零和对策的一种变形。然而在经济学 中最常用的还是变和对策，即局中人各有自己的 利益函数，且
1 (i, j) 2 (i, j) 常数。
例10.3 一个著名的例子为“囚犯困境”：他们
在非合作的情况下，对局如下：
抗拒
坦白
抗拒 1 , 1 8 , 0
例10.1 (非合作)两人零和对策。
对策人（局中人）：I ，II 策略集：S1 ：{I1 , I2 }
1 2 3
S2 ：{II1 , II2，II3 } 1 8, -8 20, -20 5, -5
利益矩阵：如右图。
2 15, -15 10, 10 8, 8
注意：1(i , j) 2 (i , j),
(i* , j* ) (i, j* ),
i S1
(i* , j* ) max (i, j* ) min max (i, j)
i
j
i
右端是上对策值。
（10.3）
另一方面， (i* , j* ) (i* , j)
j S2
即
(i* , j* ) (i* , j),
j S2
充分性： 设 上对策值＝下对策值，则两者有共同
的策略 i, j 。则
A(i)＝(i, j)＝B(j)
(i, j)＝B(j)＝max(i, j) (i, j) i S1 i
(i, j)＝A(i)＝min(i, j) (i, j) j S2 j (即 -(i, j) (i, j)， j S2 )
这说明 i, j 就是一对Nash均衡策略。
(10.1)
II1：max{1(i, 1) i=1,2 }=15 II2：max{1(i, 2) i=1,2 }=20 II3：max{1(i, 3) i=1,2 }=15
“争取最好的结果”
min{15,
20,
5}=
min
1 j 3
max
1i2
1
(
i,
j)
5
(10.2)
定义 若I的策略集为S1，II的策略集为S2，则称
我们当然希望能找到Nash均衡策略。然而不是 每个纯对策问题都存在Nash均衡策略的。
例10.2 猜硬币对策
甲、乙两人，甲拿硬币设置正、反面后用手盖住， 要乙去猜。 如 乙猜中， 乙赢(甲输)；
如 乙猜不中，甲赢(乙输)。
因此他们的对局和利益矩阵为右图。
(即甲的利益矩阵)。 容易看出, 下对策值为 -1