北师大版八年级数学下册第四章因式分解 4.1 因式分解课件 (共23张ppt)
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八年级数学下册(北师大版)课件：第四章+因式分解+4.1 因式分解
由于(100x＋10y＋z)－(100z＋10y＋10)＝99x－99z＝ 99(x－z)， 故新数与原数之差一定能被99整除
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解：(1)507 (2)20 130
7．(3分)若x＋y＝5，xy＝－50，则x2y＋xy2＝ －250 ． 8．(3分)仔细观察下列等式：12＋1＝1×2，22＋2＝2×3， 32＋3＝3×4，42＋4＝4×5…请你将猜想到的规律用含正整数n 的等式表示出来： n2＋n＝n(n＋1) ．
9．(6分)2 0123－2 012能被2 013整除吗？并说明理由．
解：能被2 013整除， 理由：原式＝2 012(2 0122－1)＝2 012×(2 012＋1)(2 012－1)
＝2 012×2 013×2 011， 故它能被2 013整除
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10．(7分)从一座楼房的房顶掉下一个小球，经过某个窗户 下边框外时的速度为v0＝2.75米/秒，再经过2.5秒，小球着地 已知小球降落的高度 h＝v0t＋12gt2 ，其中g取9.8米/秒2， 求该窗户下边框距离地面的高度，怎样计算较简便？
(2)9×57－10×27＋2×179.
解：（1）原式＝19.99×(52＋74－26)＝1 999
（2） 原式＝17×45－17×20＋17×38＝17×(45－20＋38) ＝17×63＝9
19．(10分)王芳在中百超市购买了a瓶灭蚊灵，a袋洗衣粉， 这两种物品的单价分别是m元和n元，请你用两种不同的方法 计算王芳共用去了多少钱？
③4x2－3x＝x(4x－3)；④(a－3b)(a＋3b)＝a2－9b2，
从左到右的变形中，是因式分解的有 ①③ ；
是整式乘法的有 ②④ ．(填序号) 5．(3分)多项式ax＋A可分解为a(x＋y)，则A是
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解：(1)507 (2)20 130
7．(3分)若x＋y＝5，xy＝－50，则x2y＋xy2＝ －250 ． 8．(3分)仔细观察下列等式：12＋1＝1×2，22＋2＝2×3， 32＋3＝3×4，42＋4＝4×5…请你将猜想到的规律用含正整数n 的等式表示出来： n2＋n＝n(n＋1) ．
9．(6分)2 0123－2 012能被2 013整除吗？并说明理由．
解：能被2 013整除， 理由：原式＝2 012(2 0122－1)＝2 012×(2 012＋1)(2 012－1)
＝2 012×2 013×2 011， 故它能被2 013整除
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10．(7分)从一座楼房的房顶掉下一个小球，经过某个窗户 下边框外时的速度为v0＝2.75米/秒，再经过2.5秒，小球着地 已知小球降落的高度 h＝v0t＋12gt2 ，其中g取9.8米/秒2， 求该窗户下边框距离地面的高度，怎样计算较简便？
(2)9×57－10×27＋2×179.
解：（1）原式＝19.99×(52＋74－26)＝1 999
（2） 原式＝17×45－17×20＋17×38＝17×(45－20＋38) ＝17×63＝9
19．(10分)王芳在中百超市购买了a瓶灭蚊灵，a袋洗衣粉， 这两种物品的单价分别是m元和n元，请你用两种不同的方法 计算王芳共用去了多少钱？
③4x2－3x＝x(4x－3)；④(a－3b)(a＋3b)＝a2－9b2，
从左到右的变形中，是因式分解的有 ①③ ；
是整式乘法的有 ②④ ．(填序号) 5．(3分)多项式ax＋A可分解为a(x＋y)，则A是
因式分解PPT课件(北师大版)
第四章 因式分解
1 因式分解
用简便方法计算：
• （1） 736×95+736×5
• 解 ：736×95+736×5=736×（95ɘ
• （2）-2.67× 132-+22.657××2.16372++72×5×2.26.677+7×2.67=
• 解：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67
= m(a+b+c)
左边式子的变形与右边式子的变形是互为逆运 算变形过程.
下列变形是因式分解吗？为什么？
（1）a+b=b+a
（2 2）24x y–8xy +1=4xy(x–y)+1
2
2
2
2
（3）a(a–b)=a –ab （4）2a –2b =2(a–b)
答：第（4）式是因式分解，其余都不是。
注意：
３．（随堂练习p94１、２）
能说出你这节课的收获和体验让大 家与你分享吗？
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两 种恒等变形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式 的情势，特征是向着积化和差的情势发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整 式乘积的情势，特征是向着和差化积的情势发 展.
(2) (m+4)(m-4)= _m__2-_16 (1) 3x2-3x=_____3_x_(x-1)
(3) (y-3)2= ___y_2-_6y_+_9 (2) m2-16=___(_m__+_4_)(_m_-4)
（4） m(a+b+c) =__m__a_+_m__b_+mc
1 因式分解
用简便方法计算：
• （1） 736×95+736×5
• 解 ：736×95+736×5=736×（95ɘ
• （2）-2.67× 132-+22.657××2.16372++72×5×2.26.677+7×2.67=
• 解：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67
= m(a+b+c)
左边式子的变形与右边式子的变形是互为逆运 算变形过程.
下列变形是因式分解吗？为什么？
（1）a+b=b+a
（2 2）24x y–8xy +1=4xy(x–y)+1
2
2
2
2
（3）a(a–b)=a –ab （4）2a –2b =2(a–b)
答：第（4）式是因式分解，其余都不是。
注意：
３．（随堂练习p94１、２）
能说出你这节课的收获和体验让大 家与你分享吗？
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两 种恒等变形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式 的情势，特征是向着积化和差的情势发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整 式乘积的情势，特征是向着和差化积的情势发 展.
(2) (m+4)(m-4)= _m__2-_16 (1) 3x2-3x=_____3_x_(x-1)
(3) (y-3)2= ___y_2-_6y_+_9 (2) m2-16=___(_m__+_4_)(_m_-4)
（4） m(a+b+c) =__m__a_+_m__b_+mc
北师大版八年级下册数学《因式分解》PPT教学课件
合作探究
探究点三 问题1：因式分解：把一个多项式化成几个 整式 的 积 的形式，这种变形叫 做因式分解.因式分解也可称为 分解因式 . 问题2：你能说明因式分解与整式的乘法有什么关系吗? 多项式的因式分解与整式的乘法互为逆变形过程. 因此可以用整式的乘法来检验分解因式是否正确.
合作探究
探究点四 例1：已知多项式x2－4x＋m因式分解的结果为(x＋a)(x－6)，求2a－m的值 解：(x＋a)(x－6)
课程讲授
1 因式分解的定义
问题1：
完成下列题目： x(x-2)=__x_2_-_2_x_ (x+y)(x-y)=__x_2-_y_2__ (x+1)2=_x_2_+_2_x_+_1_
根据左空，解决下列问题： x2-2x=( x )( x-2 ) x2-y2=( x+y )( x-y ) x2+2x+1=( x+1 )2
4.1 因式分解
八年级下册
学习目标
1 经历从分解因数到分解因式的类比过程. 2 了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的相互关系. 3 感受因式分解在解决相关问题中的作用.
前置学习
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( D )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x²＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
整式乘法
(x+1)(x-1)
课程讲授
1 因式分解的定义
归纳：因式分解与整式乘法是互逆运算，二者是一个 式子的两种不同表现形式．因式分解的等号右边是两个 或几个因式积的形式，整式乘法的等号右边是多项式的 形式．
随堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ C ） A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2 C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.2x +1=x(2+ 1 )
北师大版八年级数学下册教学PPT课件4.1 因式分解
A．a＝2，b＝3
B．a＝－2，b＝－3 C．a＝－2，b＝3 D．a＝2，b＝－3
1
知识小结
1.因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形
计算下列各式：
(1)3x(x－1)＝
(3)(m＋4)(m－4)＝
(2)m(a＋b－1)＝
(4)(y－3)2＝
根据上面的算式进行因式分解:
(1)3x2－3x＝(
(3)m2－16＝(
)(
)(
)； (2)ma＋mb－m＝(
)； (4)y2－6y＋9＝( )(
)(
)
)
知2－讲
整式乘法与因式分解的关系：
整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一
因此不是因式分解，C错误；
x2y＋xy2＝xy(x＋y)，符合因式分解的概念， 因此是因式分解，D正确．
知1－练
1 下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为 什么？ (1) (a＋3)(a－3)＝a2－9 ；
(2) m2－4＝(m＋2)(m－2)；
(3) a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1； (4) 2mR＋2mr＝2m(R＋r).
整数整除？
知1－导
议一议 你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的形式 吗？与同伴交流.
知1－导
做一做 观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
知1－导
归
纳
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种 变形叫做因式分解. 例如，a3－a＝ a (a＋1)(a－1)， am＋bm＋cm＝m(a＋b＋c)，x2＋2x＋l＝(x＋1)2都
知1－练
3 【2017· 常德】下列各式由左到右的变形中，属 于分解因式的是( C ) A．a(m＋n)＝am＋an B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2
北师大版八年级数学下册第四章《4.1 因式分解》优课件1
1 因式分解
1、整式乘法有几种形式？ (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式： a(m+n)=am+an (3)多项式乘以多项式： (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
2、乘法公式有哪些？ (1)平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2 (2)完全平方公式： (a±b)2=a2±2ab+b2
因式分解定义
把一个多项式化成几个整式积的形式， 这种变形叫做把这个多项式分解因式.
想一想：分解因式与整式乘法有何关系？ 分解因式与整式乘法是互逆过程.
练习一
判断下列各式哪些是整式乘法？哪些是因式分解？
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
因式分解
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 (4).x2+4x+4=(x+2)2 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 (6).m2-4=(m+4)(m-4)
(5). 1-4x2
= (1-2x)(1+2x)
(6). x2-14x+49
= (x-7)2
规律总结
• 分解因式与整式乘法是互逆过程. • 分解因式要注意以下几点：
1、分解的对象必须是多项式. 2、分接的结果一定是几个整式 的乘积的形式. 3、要分解到不能分解为止.
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月3日星期日2022/4/32022/4/32022/4/3 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/32022/4/32022/4/34/3/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/32022/4/3April 3, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
1、整式乘法有几种形式？ (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式： a(m+n)=am+an (3)多项式乘以多项式： (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
2、乘法公式有哪些？ (1)平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2 (2)完全平方公式： (a±b)2=a2±2ab+b2
因式分解定义
把一个多项式化成几个整式积的形式， 这种变形叫做把这个多项式分解因式.
想一想：分解因式与整式乘法有何关系？ 分解因式与整式乘法是互逆过程.
练习一
判断下列各式哪些是整式乘法？哪些是因式分解？
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
因式分解
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 (4).x2+4x+4=(x+2)2 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 (6).m2-4=(m+4)(m-4)
(5). 1-4x2
= (1-2x)(1+2x)
(6). x2-14x+49
= (x-7)2
规律总结
• 分解因式与整式乘法是互逆过程. • 分解因式要注意以下几点：
1、分解的对象必须是多项式. 2、分接的结果一定是几个整式 的乘积的形式. 3、要分解到不能分解为止.
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月3日星期日2022/4/32022/4/32022/4/3 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/32022/4/32022/4/34/3/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/32022/4/3April 3, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解章末复习课件(共42张)
答案 C
章末复习
母题2 (教材P104复习题第1题) 把下列各式因式分解： (1)7x2-63； (2)a3-a； (3)3a2-3b2； (4)y2-9(x+y)2； (5)a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)； (6)x(m+n)-y(n+m)+(m+n)； (7)(x+y)2-16(x-y)2； (8)a2(a-b)2-b2(a-b)2； (9)(x+y+z)2-(x-y-z)2； (10)(x+y)2-14(x+y)+49.
章末复习
相关题1 把下列各式分解因式： (1)5x2-15xy+10xy2； (2)a(x-2)+(2-x)2； (3)2x2y-8xy+8y； (4)(m2+n2)2-4m2n2.
章末复习
解：(1)原式＝5x(x－3y＋2y2)． (2)原式＝(x－2)(a＋x－2)． (3)原式＝2y(x2－4x＋4)＝2y(x－2)2. (4)原式＝(m2＋n2＋2mn)(m2＋n2－2mn)＝(m＋n)2·(m－n)2.
相关题3 求证：不论x取何实数, 多项式-2x4-12x3-18x2的值都不会是 正数.
证明：原式＝－2x2(x2＋6x＋9)＝－2x2(x＋3)2. ∵－2x2≤0，(x＋3)2≥0， ∴－2x2(x＋3)2≤0， ∴不论 x 取何实数，原式的值都不会是正数．
章末复习
专题四 因式分解的应用
【要点指点】 因式分解不仅在数值计算、代数式的化简求值等方 面有广泛的应用, 在解决实际问题时也同样重要.通过学习和应用 因式分解, 能使我们的视察能力、运算能力、逻辑思维能力、探究 能力得到提高．
章末复习
母题2 (教材P104复习题第1题) 把下列各式因式分解： (1)7x2-63； (2)a3-a； (3)3a2-3b2； (4)y2-9(x+y)2； (5)a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)； (6)x(m+n)-y(n+m)+(m+n)； (7)(x+y)2-16(x-y)2； (8)a2(a-b)2-b2(a-b)2； (9)(x+y+z)2-(x-y-z)2； (10)(x+y)2-14(x+y)+49.
章末复习
相关题1 把下列各式分解因式： (1)5x2-15xy+10xy2； (2)a(x-2)+(2-x)2； (3)2x2y-8xy+8y； (4)(m2+n2)2-4m2n2.
章末复习
解：(1)原式＝5x(x－3y＋2y2)． (2)原式＝(x－2)(a＋x－2)． (3)原式＝2y(x2－4x＋4)＝2y(x－2)2. (4)原式＝(m2＋n2＋2mn)(m2＋n2－2mn)＝(m＋n)2·(m－n)2.
相关题3 求证：不论x取何实数, 多项式-2x4-12x3-18x2的值都不会是 正数.
证明：原式＝－2x2(x2＋6x＋9)＝－2x2(x＋3)2. ∵－2x2≤0，(x＋3)2≥0， ∴－2x2(x＋3)2≤0， ∴不论 x 取何实数，原式的值都不会是正数．
章末复习
专题四 因式分解的应用
【要点指点】 因式分解不仅在数值计算、代数式的化简求值等方 面有广泛的应用, 在解决实际问题时也同样重要.通过学习和应用 因式分解, 能使我们的视察能力、运算能力、逻辑思维能力、探究 能力得到提高．
因式分解北师大数学八年级下册PPT课件
B. − + = − +
C. − = −
D. + = + +
）
课堂检测
基础巩固题
2.
如果多项式
+
么另一个因式是（ B
）
A. c−b+5ac
B.c+b−5ac
1
C. ac
5
1
D. ac
5
− 的一个因式是 ,那
= ( + ) − ( − ) −
= ++ +− −+ −−
∵ , , 是△ABC的三边，
∴ + + > ， + − > ， − + > ， − − < ，
∴原式< ，即( + − ) − < .
北师大版 八年级 数学 下册
4.1 因式分解
导入新知
630可以被哪些整数整除？
解决这个问题，需要对630进行分解质因数
= × × ×
思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项
式可以分解成几个整式的积吗？
素养目标
2. 理解因式分解与整式乘法之间的联系与区
别.
1. 理解掌握因式分解的意义，会判断一个变
.
探究新知
3.观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
（2）
x
x
x
x+1
1
x
1
1
1
x+1
+ +
＝
C. − = −
D. + = + +
）
课堂检测
基础巩固题
2.
如果多项式
+
么另一个因式是（ B
）
A. c−b+5ac
B.c+b−5ac
1
C. ac
5
1
D. ac
5
− 的一个因式是 ,那
= ( + ) − ( − ) −
= ++ +− −+ −−
∵ , , 是△ABC的三边，
∴ + + > ， + − > ， − + > ， − − < ，
∴原式< ，即( + − ) − < .
北师大版 八年级 数学 下册
4.1 因式分解
导入新知
630可以被哪些整数整除？
解决这个问题，需要对630进行分解质因数
= × × ×
思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项
式可以分解成几个整式的积吗？
素养目标
2. 理解因式分解与整式乘法之间的联系与区
别.
1. 理解掌握因式分解的意义，会判断一个变
.
探究新知
3.观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
（2）
x
x
x
x+1
1
x
1
1
1
x+1
+ +
＝
北师大版八年级下册 第四章 因式分解 4.1 因式分解 课件(共19张PPT)
整式的积
把一个多项式化成几个整式的积的形式，
这种变形叫做把这个多项式分解因式。
生成新知 形成概念 一般地，把一个多项式转化成几个整式
的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因 式分解. 温馨提示：
分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是积的形式. 3.结果中的每一个因式都必须是整式.
(x-y)(x+y)
x2+2x+1
当堂达标
一、基础练习 1.选择: (1)下列各式由左到右的变形是因式分解的是 A ( ) A.-9+a2=-(3+a)(3-a) B.(x-2)(x-3)=x 1 2-x-6 C.a2-2ab+b2+a=(a-b)2+a D.m2+m=m2(1+ m ) (2)(m+2n)(m-2n)是下列哪个多项式分解因式的 结果 ( C ) A.m2+4n2 B.-m2+4n2 C.m2-4n2 D.-m2-4n2
知识拓展 达标检测: 提炼升华
1. 19993-1999能被1999整除吗？能被2000整除吗？
2.若x2+mx-n因式分解后是(x-2)(x-5)，求m、n的
值.
3.求代数式IR1+IR2+IR3的值，其中 R1=19.2，R2=32.4，R3=38.4，I=2.5 解： IR1+IR2+IR3 =I(R1+R2+R3) =2.5×(19.2+32.4+38.4) =2.5×90 =225
分解因式与整式乘法有什么关系?
恒等变形
和 差 化 积 是 分 解 积 化 和 差 是 乘 法
北师大八年级数学下册第四章《1 因式分解》优质课课件4
(一)、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，像这 样的式子变形叫做把这个把这个多项式因式分解， 也叫做把这个多项式分解因式．
(二)、整式乘法与因式分解的关系
整式乘法
m(ab)
ambm
因式分解
整式乘法 逆变形 因式分解
整式乘法与因式分解是相反方向的逆变形．
m (a+b+c)=ma+mb+mc
❖
1、判断哪些是因式分解？并说明理由．
(1)a(x y) ax ay (2)3a2bc 3aabc (3)x2 2x 1 x(x 2) 1 (4)x2 2xy y2 1 x(x 2y) (y 1)(y 1) (5)ax2 9a a(x 3)(x 3) (6)x2 x 6 (x 2)(x 3)
1 因式分解
一、什么是整式？
单项式和多项式统称为整式．
二、整式的乘法：
1、单项式乘单项式：形如 2x y 2、单项式乘多项式：形如 m (ab)am bm 3、多项式乘多项式：形如 (m n )a ( b ) a m a b n m bn
整式的乘法实际上把几个多项式的积
转化一个多项式．
一、扩建绿地面积：
整式的积
结果是多项式
整式乘法
ma+mb+mc= m(a+b+c)
多项式
结果是整式的积
因式分解
把一个多项式化为几个整式的积的形式, 叫做因式分解.(与整式乘法正好相反)
❖11、即使是普通孩子，只要教育得法，也会成为不平凡的人。 ❖12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 ❖13、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。 ❖14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 ❖15、生活即教育，社会即学校，教学做合一。 ❖16、当在学校所学的一切全都忘记之后，还剩下来的才是教育。2021年10月20日星期三2021/10/202021/10/202021/10/20 ❖17、播种行为，可以收获习惯；播种习惯，可以收获性格；播种性格，可以收获命运。2021年10月 2021/10/202021/10/202021/10/2010/20/2021 ❖18、我们发现了儿童有创造力，认识了儿童有创造力，就须进一步把儿童的创造力解放出来2021/10/202021/10/20October 20, 2021 ❖19、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2021/10/202021/10/202021/10/202021/10/20
八年级数学下册 第四章 因式分解 4.1 因式分解课件 北师大下册数学课件
(P93做一做拓展)。因式分解与整式乘法的联系(liánxì)与区别。★★3.(2019·梁子湖区期中)仔细阅读下面例题,解答
问题:
世纪金榜导学号。【素养培优】
Image
12/12/2021
第三十四页，共三十四页。
( C)
A.1
B.-1
C.-6
D.6
第二十一页，共三十四页。
★2.已知2x2+4x-b的一个因式(yīnshì)为x-1,求b值. 解:设另一个因式为2x+m,根据题意得:2x2+4x-b=
(x-1)(2x+m)=2x2+(m-2)x-m,
∴m-2=4,-m=-b,解得:m=b=6,则b值为6.
第二十二页，共三十四页。
是分解因式的是 ( B )
A.m(a+b+c)=ma+mb+mc B.x2+5x=x(x+5)
第十四页，共三十四页。
C.x2+5x+5=x(x+5)+5
D.a2+1=a （ a 1 ）
a
第十五页，共三十四页。
★2.983-98能被100整除(zhěngchú)吗?能被99整除吗?能被98整 除吗? 解:983-98=98(982-1)
第十二页，共三十四页。
【学霸提醒】 因式分解要注意以下几点 (1)分解的对象必须是多项式.
(2)分解的结果一定是几个整式(zhěnɡ shì)的乘积的形式. (3)要分解到不能分解为止019·济宁嘉祥(jiā xiánɡ)一模)下列各式从左到右的变形中,
别:
第四页，共三十四页。
a(a+1)=___a_2_+_a___ (a+1)2=___a_2_+_2_a_+_1___
八级数学下册4因式分解4.1因式分解课件新版北师大版_27
初中数学
1.整式乘法与因式分解的区别与联系:
区别
左边
因式分解 整式乘法 多项式 整式乘积
右边
整式乘积 多项式
联系
因式分解和整式乘法是 两种 互逆 的恒等变形
多项式 分解的结果要用____ 积 的形式表示. 2.因式分解的对象是_______,
初中数学
第四章 因式分解
4.1 因式分解
初中数学
1.知道什么是因式分解,知道它与整式乘法的互逆关系.
2.感受因式分解在解决相关问题中的作用.
初中数学
我们知道,2×3×5=30,这是数的乘法,30=2×3×5,这 是将数30质因数分解;那么一个多项式是否也能化成几个整 式的乘积的形式呢?比如:多项式 a2-b2 可写成哪几个整式的 乘积的形式呢?
初中数学
(3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示,如图c, 它表示了2m2+3mn+n2=(2m+n)(m+n),试画出一个几何图形的 面积是a2+4ab+3b2,并能利用这个图形将a2+4ab+3b2进行因式 分解.
初中数学
解:(3)a2+4ab+3b2=(a+b)(a+3b). 几何图形如下:
初中数学
1.请完成课本第93页“做一做”,并小组讨论:因式分解与 整式乘法有什么关系? 它们是互逆运算. 2.图a是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀 把它平均分成四块小长方形,然后按图b的形状,拼成一个 正方形. (1)图b中阴影部分的面积为 (m+n)2-4mn或(m-n)2 ; (2)观察图b,请你写出三个代数式(m+n)2,(m-n)2,mn之间 的等量关系: (m+n)2=(m-n)2+4mn ;
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》ppt课件
分解因式
= 整式乘法
整式的积
因式分解与整式乘法是互逆过程
随堂演练
1、将下列代数式因式分解。
(1) ax ay a(x y) (2) x2 4x 4 (x-2)2 (3) a2 1 (a 1)(a 1)
2、993 99能被100整除吗？
3.自己设计一道整数乘法的计算，并算出一 个多项式。把你的所得的多项式给你的同桌 进行多项式的因式分解。
例如：(2a c)(a b) 2a2 2ab ac cb
把2a2 2ab ac cb给你的同桌因式分解
课堂小结
1、你今天获得了什么样的知识？ 2、你学会了用什么样的方法来理解和掌 握今天的概念？ 3、谈谈你明天的打算？
布置作业
1.从教材习题中选取 2.完成练习册本课时的习题
特征：积
和
和
积
因式分解 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式， 像这样的式子变形就叫做因式分解．
下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解？ 哪些不是因式分解？为什么？
（1） 18a3bc 3a2b 6ac
（ 不是 ）
（2） (3x 1)2 9x2 6x 1
（ 不是 ）
（3） 2x2 1 2x 12x 1 （ 不是 ）
第四章 因式分解
1 因式分解
北师大版 八年级下册
新课讲解
整式乘法
因式分解
① a(b c) ab ac
ab ac a(b c)
② (a b)2 a2 2ab b2 a2 2ab b2 (a b)2
③ (a b)(a b) a2 b2 a2 b2 (a b)(a b)
北师大八年级数学下册第4章《1因式分解》课件4
n an bn
扩建后的面积：
(a b)(m n) = am an bm bn
整式乘法
am an bm bn = (a b)(m n)
因式分解
二、把下列各式写成整式乘积的形式：
(1)x2 x x（x+1） (2)x2 1 x（x-1）
像上面这样把一个多项式化成几个 整式积的形式，这样的式子变形叫做把 这个把这个多项式因式分解．
(一)、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，像这 样的式子变形叫做把这个把这个多项式因式分解， 也叫做把这个多项式分解因式．
(二)、整式乘法与因式分解的关系
整式乘法
m(a b)
am bm
因式分解
整式乘法 逆变形 因式分解
整式乘法与因式分解是相反方向的逆变形．
m (a+b+c)=ma+mb+mc
2、下列因式分解错误的是 ( )
A、x2 y2 (x y)(x y) B、x2 6x 9 (x 3)2 C、x2 xy x(x y) D、x2 y2 (x y)2
• 1、因式分解是整式乘法的逆变形． • 2、因式分解的对象应是多项式． • 3、因式分解的结果一定是积的形式． • 4、结果中的每一个因式都必须是整式． • 5、要分解到再也不能分解为止．
1 因式分解
一、什么是整式？
单项式和多项式统称为整式．
二、整式的乘法：
1、单项式乘单项式：形如 2x y 2、单项式乘多项式：形如 m(a b) am bm 3、多项式乘多项式：形如 (m n)(a b) am an bm bn
整式的乘法实际上把几个多项式的积
转化一个多项式．
一、扩建绿地面积：
整式的积
扩建后的面积：
(a b)(m n) = am an bm bn
整式乘法
am an bm bn = (a b)(m n)
因式分解
二、把下列各式写成整式乘积的形式：
(1)x2 x x（x+1） (2)x2 1 x（x-1）
像上面这样把一个多项式化成几个 整式积的形式，这样的式子变形叫做把 这个把这个多项式因式分解．
(一)、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，像这 样的式子变形叫做把这个把这个多项式因式分解， 也叫做把这个多项式分解因式．
(二)、整式乘法与因式分解的关系
整式乘法
m(a b)
am bm
因式分解
整式乘法 逆变形 因式分解
整式乘法与因式分解是相反方向的逆变形．
m (a+b+c)=ma+mb+mc
2、下列因式分解错误的是 ( )
A、x2 y2 (x y)(x y) B、x2 6x 9 (x 3)2 C、x2 xy x(x y) D、x2 y2 (x y)2
• 1、因式分解是整式乘法的逆变形． • 2、因式分解的对象应是多项式． • 3、因式分解的结果一定是积的形式． • 4、结果中的每一个因式都必须是整式． • 5、要分解到再也不能分解为止．
1 因式分解
一、什么是整式？
单项式和多项式统称为整式．
二、整式的乘法：
1、单项式乘单项式：形如 2x y 2、单项式乘多项式：形如 m(a b) am bm 3、多项式乘多项式：形如 (m n)(a b) am an bm bn
整式的乘法实际上把几个多项式的积
转化一个多项式．
一、扩建绿地面积：
整式的积
北师大版八年级下册数学《提公因式法》因式分解PPT教学课件
(3)8a3b2－12ab3c＋ab；(4)－24x3＋12x2－28x.
(3)8a3b2－12ab3c＋ab
(4)－24x3＋12x2－28x
＝ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1
＝－( 24x3－12x2＋28x)
＝ab(8a2b－12b2c＋l)；
＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7)
第四章 因式分解
提公因式法
知识回顾
1. 因式分解的概念
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这
个多项式分解因式 .
2. 整式乘法与分解因式之间的关系.
互为逆运算
获取新知
1.多项式ma+mb+mc有哪几项？
ma, mb, mc
2.每一项的因式都分别有哪些？
依次为m, a和m, b和m, c
－
1
2
时此式的值．
解：x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2
＝x(x＋y)[(x－y)－(x＋y)]
＝－2xy(x＋y)．
1
2
当x＋y＝1，xy＝－ 时，
1
原式＝－2×(－
2
)×1＝1.
随堂练习
1．多项式a(m－2)＋(m－2)分解因式等于( B
)
A．2(m－2)
B．(m－2)(a＋1)
C．(m－2)(a－1)
解：原式＝(a－1)(7＋x)．
(4)(2a＋b)(2a－3b)－3a(2a＋b)．
解：原式＝ (2a＋b)(2a－b－3a)
＝－(2a＋b)(a＋3b)．
请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立.
(1) 2-a=____(
－ a-2)
北师大版八年级数学下册第四章《4.1 因式分解(1)》公开课课件
练习三 拓展应用
1. 计算: 7652×17－2352 ×17 解: 7652×17－2352 ×17 =17(7652 －2352)=17(765+235)(765 －235) =17 ×1000 ×530=9010000
2. 20042 +2004 能被2005 整除吗?
解: ∵20042+2004=2004(2004+1)
• 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/292021/7/29July 29, 2021
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/29
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 • 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 • 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 • 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
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第四章 因式分解
4.1 因式分解
学习目标
1．理解并掌握因式分解的概念；
2．理解因式分解与整式乘法之间的关系，并能够 运用其解决问题．(难点)
新课导入
问题：某中学决定购买m台电脑和m套桌椅，现在知道 每台电脑的单价是a元，每套桌椅的价格是b元，小明说： “总共需要(ma＋mb)元．”小华说：“总共需要m(a＋b) 元．”
④9x2﹣6x+1=3x（3x﹣2）+1 ⑤x2+1=x（x+ ）
⑥3xn+2+27xn=3xn（ x2+9）
3. 把多项式x2+4mx+5因式分解得(x+5)(x+n)，则m+n
5
的值为 2 ．
解析：由题意可得
x2+4mx+5=(x+5)(x+n) =x2+(n+5)x+5n，
5n=5，4m=n+5． 解得n=1，m= 3 ，
(3)(m+4)(m-4)= m_2_-1_6__, (3) m2-16=_(_m_+__4_)(_m_-_4_),
(4)(x-3)2=x2-6x+9 ,
(4) x2-6x+9=__(x_-_3_)_2 __ ,
(5)a(a+1)(a-1)=a3-a__.
(5) a3-a=_a_(_a_+_1_)(_a_-_1_)_.
993 - 99 99 992 - 99 1 99(992 - 1) 99 9800 98 99 100
所以，993-99能被100整除.
想一想: 993-99 还能被哪些整数
整除?
问题探究
如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式 表示这块草坪的面积吗？
方法一：m(a+b+c)
a
这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.
其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.
辩一辩
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
A. x(a﹣b)=ax﹣bx
×
B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2
×
C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1)
√
D. ax+by+c=x(a+b)+c
×
E. 2a3b=a2•2ab
b
c
方法二：ma+mb+mc
m
整式乘法
m(a+b+c)=ma+mb+mc
?
做一做
完成下列题目： x(x-2)=__x_2_-_2_x_ (x+y)(x-y)=___x_2-_y_2_ (x+1)2=_x_2_+_2_x_+_1_
根据左空，解决下列问题： x2-2x=( x )( x-2 ) x2-y2=( x+y )( x-y ) x2+2x+1=( x+1 )2
×
F. (x+3)(x﹣3)=x2﹣9
×
提示：判定一个变形是因式分解的条件：(1)左边是多
项式．(2)右边是积的形式. (3)右边的因式全是整式.
做一做
计算下列各式:
根据左面算式填空:
(1) 3x(x-1)= 3x2 - 3_x_,
(1) 3x2-3x=__3_x_(_x_-_1_) _,
(2) m(a+b+c) = ma_+_m_b_+__m,c (2)ma+mb+mc=_m__(a_+_b_+__c)___,
比较系数得 2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n，
解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20. ∴mn=﹣5×20=﹣100．
6. 甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b， 分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为 (x+1）(x+9).求a+b的值.
（C ）
A. a(a+b-1)=a2+ab-a
B. a2-a-2=a(a-1)-2
C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b)
D.2x
+1=x(2+
1 x
)
2. 下列从左到右的变形中，是因式分解的有_③__⑥___ .
①24x2y=4x•6xy
②（x+5）（x﹣5）=x2﹣25 ③
x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1）
因式分解 x2-1
整式乘法
(x+1)(x-1)
x2-1 = (x+1)(x-1) 等式的特征：左边是多项式， 右边是几个整式的乘积
典例精析 例 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为 a（x﹣2）（x+3），求a，b的值. 解：∵x2+ax+b=a（x﹣2）（x+3） =ax2+ax-6a， ∴a=1，b=﹣6a=﹣6.
方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为 互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开， 再与多项式的各项系数对应比较即可.
练一练
下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的
是（ B ）
A．x2﹣y2
B．﹣x2+y2
C．x2+y2
D．﹣x2﹣y2
当堂跟踪练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区 别和联系？ 联系：左右两式是同一多项式的不同表现形式. 区别：左边一栏是整式的乘法，右边一栏是把多项 式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的.
问题2：右边一栏表示的正是多项式的因式分解， 你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？
总结归纳 把一个多项式化成几个整式的积的形式，
因式分解与整式乘法的关系
想一想：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法, 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形互为逆 过程.
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？ 是互为相反的变形，即
同学们，你们觉得他们计算出的总金额一样吗？
温故而知新
问题1：21能被哪些数整除？ 1，3，7，21.
问题2：你是怎样想到的？ 因为21=1×21=3×7.
思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多 项式可以分解成几个整式的积吗？
可以.
因式分解的概念 探究引入 问题：993-99能被100整除吗？
2
m+n=1+ 3 = 5 .
22
4. 20042+2004能被2005整除吗?
解: ∵20042+2004=2004(2004+1) =2004 ×2005，
∴ 20042+2004能被2005整除.
5. 若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和(x﹣1)， 求mn的值.
解：∵x4+mx3+nx﹣16的最高次数是4， ∴可设x4+mx3+nx﹣16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b). 则x4+mx3+nx-16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b，
4.1 因式分解
学习目标
1．理解并掌握因式分解的概念；
2．理解因式分解与整式乘法之间的关系，并能够 运用其解决问题．(难点)
新课导入
问题：某中学决定购买m台电脑和m套桌椅，现在知道 每台电脑的单价是a元，每套桌椅的价格是b元，小明说： “总共需要(ma＋mb)元．”小华说：“总共需要m(a＋b) 元．”
④9x2﹣6x+1=3x（3x﹣2）+1 ⑤x2+1=x（x+ ）
⑥3xn+2+27xn=3xn（ x2+9）
3. 把多项式x2+4mx+5因式分解得(x+5)(x+n)，则m+n
5
的值为 2 ．
解析：由题意可得
x2+4mx+5=(x+5)(x+n) =x2+(n+5)x+5n，
5n=5，4m=n+5． 解得n=1，m= 3 ，
(3)(m+4)(m-4)= m_2_-1_6__, (3) m2-16=_(_m_+__4_)(_m_-_4_),
(4)(x-3)2=x2-6x+9 ,
(4) x2-6x+9=__(x_-_3_)_2 __ ,
(5)a(a+1)(a-1)=a3-a__.
(5) a3-a=_a_(_a_+_1_)(_a_-_1_)_.
993 - 99 99 992 - 99 1 99(992 - 1) 99 9800 98 99 100
所以，993-99能被100整除.
想一想: 993-99 还能被哪些整数
整除?
问题探究
如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式 表示这块草坪的面积吗？
方法一：m(a+b+c)
a
这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.
其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.
辩一辩
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
A. x(a﹣b)=ax﹣bx
×
B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2
×
C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1)
√
D. ax+by+c=x(a+b)+c
×
E. 2a3b=a2•2ab
b
c
方法二：ma+mb+mc
m
整式乘法
m(a+b+c)=ma+mb+mc
?
做一做
完成下列题目： x(x-2)=__x_2_-_2_x_ (x+y)(x-y)=___x_2-_y_2_ (x+1)2=_x_2_+_2_x_+_1_
根据左空，解决下列问题： x2-2x=( x )( x-2 ) x2-y2=( x+y )( x-y ) x2+2x+1=( x+1 )2
×
F. (x+3)(x﹣3)=x2﹣9
×
提示：判定一个变形是因式分解的条件：(1)左边是多
项式．(2)右边是积的形式. (3)右边的因式全是整式.
做一做
计算下列各式:
根据左面算式填空:
(1) 3x(x-1)= 3x2 - 3_x_,
(1) 3x2-3x=__3_x_(_x_-_1_) _,
(2) m(a+b+c) = ma_+_m_b_+__m,c (2)ma+mb+mc=_m__(a_+_b_+__c)___,
比较系数得 2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n，
解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20. ∴mn=﹣5×20=﹣100．
6. 甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b， 分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为 (x+1）(x+9).求a+b的值.
（C ）
A. a(a+b-1)=a2+ab-a
B. a2-a-2=a(a-1)-2
C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b)
D.2x
+1=x(2+
1 x
)
2. 下列从左到右的变形中，是因式分解的有_③__⑥___ .
①24x2y=4x•6xy
②（x+5）（x﹣5）=x2﹣25 ③
x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1）
因式分解 x2-1
整式乘法
(x+1)(x-1)
x2-1 = (x+1)(x-1) 等式的特征：左边是多项式， 右边是几个整式的乘积
典例精析 例 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为 a（x﹣2）（x+3），求a，b的值. 解：∵x2+ax+b=a（x﹣2）（x+3） =ax2+ax-6a， ∴a=1，b=﹣6a=﹣6.
方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为 互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开， 再与多项式的各项系数对应比较即可.
练一练
下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的
是（ B ）
A．x2﹣y2
B．﹣x2+y2
C．x2+y2
D．﹣x2﹣y2
当堂跟踪练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区 别和联系？ 联系：左右两式是同一多项式的不同表现形式. 区别：左边一栏是整式的乘法，右边一栏是把多项 式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的.
问题2：右边一栏表示的正是多项式的因式分解， 你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？
总结归纳 把一个多项式化成几个整式的积的形式，
因式分解与整式乘法的关系
想一想：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法, 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形互为逆 过程.
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？ 是互为相反的变形，即
同学们，你们觉得他们计算出的总金额一样吗？
温故而知新
问题1：21能被哪些数整除？ 1，3，7，21.
问题2：你是怎样想到的？ 因为21=1×21=3×7.
思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多 项式可以分解成几个整式的积吗？
可以.
因式分解的概念 探究引入 问题：993-99能被100整除吗？
2
m+n=1+ 3 = 5 .
22
4. 20042+2004能被2005整除吗?
解: ∵20042+2004=2004(2004+1) =2004 ×2005，
∴ 20042+2004能被2005整除.
5. 若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和(x﹣1)， 求mn的值.
解：∵x4+mx3+nx﹣16的最高次数是4， ∴可设x4+mx3+nx﹣16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b). 则x4+mx3+nx-16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b，