第14讲-二维离散型随机变量边缘分布
二维离散型随机变量及其分布
j 1
P{ ( X xi , Y y j )} P{ X xi , Y y j } pij
j 1 j 1 j 1
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
所以,关于X的边缘分布律为：
X
pi.
x1
x2 …
xi …
pi. …
p1. p2. …
关于Y的边缘分布律为：
Y p.j y1 p.1 y2 … yj …
p.2 … p.j …
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
[例2]见例1，试求（X,Y）关于X和关于Y的边缘 分布律。
1 2/5
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
联合分布律 边缘分布律
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
1、统计学中有两种抽样：不放回抽样和有放 回抽样。将例1中“不放回地取两次球”改为 “有放回地取两次球”，试求（X,Y）的联合分 布律、（X,Y）分别关于X,Y的边缘分布律及判断 X,Y是否相互独立？ 2、上述我们解决了：已知二维离散型随机变 量（X,Y）的联合分布律，如何求（X,Y）关于X 或关于Y的边缘分布律的问题。那么，已知X,Y的 边缘分布律，能否求（X,Y）的联合分布律呢？
0, Y 1,
表示第二次取红球 表示第二次取白球
概率论与数理统计14 3.2 边缘分布3.3独立性
• 设联合概率分布
pij P{ X xi , Y y j } i , j 1,2,
{ X xi } { X xi , Y y j }
P{ X xi } P{ X xi , Y y j } pij i 1,2,
j 1
• 同理:
2 1 2 2
[
( x 1 ) 2
2
( x 1 )( y 2 )
( y 2 )2
]}
• 例 某码头只能容纳一只船.现预知某日 将来到甲乙两只船,且在24小时内来到的 可能性相等.如果两船需要停靠的时间均 为3小时,试求甲船在江中等待的概率. • 解 设X,Y表示甲乙两船到达码头的时间, • 则(1)
• 所求概率为
P{0 X Y 3}
0 x y 3
f ( x, y)dxdy
P { 0 X Y 3} 1 2 dxdy 24 D 1 24 2 212 2( ) 24 2 2 0.11
• 问X,Y是否相互独立? •解 2 1 x2
1 x 1 f X ( x) 0 其它 2 1 y2 1 y 1 fY ( y ) 0 其它 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) X , Y不相互独立
1 0 x 24 f X ( x ) 24 其它 0 1 0 y 24 fY ( y ) 24 其它 0
• (2)X,Y相互独立
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) 1 2 0 x 24, 0 y 24 24 其它 0 • A=“甲船在江中等待”={0 X Y 3}
概率论与数理统计二维随机变量的边缘分布共32页
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充的边缘分布
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
边缘概率分布
例3. 设(X,Y) 均匀分布在由直线
x
y 2
1，x
轴
和y 轴所围成的区域 D上.
求: (X,Y) 的联合概率密度与边缘概率密度.
解:
(1). 因为( X ,Y ) 服从均匀分布 所以其概率密度为：f ( x, y)
1 A
(x, y) D
0 其 它
11
由题意可知 D 域图为: y
2
D
A 1 12 1
2
1 8
3
1 12
4
1 16
p 25 . j 48
234
0
0
0
1 8 1 12 1 16
13 48
0
0
1 12 1 16
7 48
0
1 16
3 48
pi .
1 4 1 4 1 4 1 4
10
(2) ( X ,Y ) 边缘分布律
X 1234
1111 Pk 4 4 4 4
Y 1234
25 13 7 3 Pk 48 48 48 48
[ f ( x, y)dy] dx
边缘概率密度:
fX (x)
f ( x, y) dy
边缘分布函数：
y
FY ( y) F (, y)
[ f ( x, y)dx] dy
边缘概率密度: fY ( y) f ( x, y) dx
4
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设 X 为三次抛掷中 正面出现的次数，Y为正面出现次数与反面出现 次数之差的绝对值
)2
2
t 2
令：t
1
e 2 dt 2
( y 2 x 1 ) 则有：
1 2 2
二维离散型随机变量
ρ(X,Y)=Cov(X,Y)σ(X)σ(Y)
相关系数具有对称性，即 ρ(X,Y)=ρ(Y,X)。
05 二维离散型随机变量的函 数变换
线性变换
线性变换的定义
线性变换是指对二维离散型随机变量进行加、减、缩放等线性运算，得到新的二维离散型 随机变量。
线性变换的性质
线性变换保持了概率分布的平移、旋转和伸缩不变性，即变换后的随机变量的概率分布与 原随机变量的概率分布相同。
协方差与相关系数
协方差
计算公式
相关系数
计算公式
性质
二维离散型随机变量的 协方差是每个取值的横 坐标与期望值之差的乘 积和每个取值的纵坐标 与期望值之差的乘积的 期望值之和。
Cov(X,Y)=∑[(x−E(X))*(y −E(Y))]p(x,y)dxdy
协方差除以两个随机变 量的标准差的乘积，用 于衡量两个随机变量的 线性相关程度。
意义
联合概率分布函数提供了两个随机变量之间 关系的完整描述，包括它们同时发生的概率 。
性质
非负性
联合概率分布函数 F(x, y) 的值总是非负的。
01
归一化
联合概率分布函数满足条件，即所有可 能取值的概率之和为1。
02
03
独立性
如果两个随机变量是独立的，则它们 的联合概率分布函数可以表示为两个 边缘概率分布函数的乘积。
性质
可数性
二维离散型随机变量的取值可以 一一对应到自然数集上，即其取 值是可数的。
有限性
二维离散型随机变量的取值集合 通常是有限的，即其取值个数是 有限的。
独立性
在某些情况下，二维离散型随机 变量可能具有独立性，即两个随 机事件的发生与否相互独立。
联合概率分布
二维离散型随机变量边缘分布
1
2
34
1
1
0
00
4
2
1 8
1
8
00
3
1
1
10
12 1
12 12
1
11
4
16
16 16 16
由公式 pi pij , p j pij，可得
j
i
Y X
1
2
34
pi
1
1
0பைடு நூலகம்
00
1
4
4
2 3
1 8
1
8
00
1
1
10
12 1
12 12
1
11
1
14
4 1
4
16
16 16 16
4
pj
25 13 7 3 48 48 48 48
律为
P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,.
记
pi pij P{ X xi }, i 1,2,,
j 1
p j pij P{Y y j }, j 1,2,,
i 1
分别称 pi (i 1,2,) 和 p j ( j 1,2,) 为 ( X ,Y )
记为 FX ( x) F ( x,).
同理令 x , FY ( y) F (, y) P{ X ,Y y} P{Y y}
为随机变量 (X,Y )关于Y 的边缘分布函数.
例4 已知(X,Y)的分布函数为
1 e x xe y 0 x y
F ( x, y) 1 e y ye y 0 y x
边缘分布
P{X xi , Y y j } P{X xi }P{Y y j }
即
pij pi. p. j .
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《概率统计》
例1．设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量 （X，Y）的分布表及关于X和Y的边缘分布表中的部分数据， 请补充下表：
Y X
y1
y2
1/8
解: (1) 由于
1 e , x0 FX ( x) F ( x,) 0, 其它
0.5 x
(2) P{X 0.1, Y 0.1}
P{0.1 X ,0.1 Y }
1 e 0.5 y , y 0 FY ( y ) F (, y ) 0, 其它
j 1
p j P{Y y j } pi j
i 1
(i =1,2, …)
(j = 1,2, …)
即
X
X,Y 的边缘分布函数分别为：
x1 · · ·xi · · · … pi. x p2 . 1 p2. · · ·pi. · · ·
Y
FX(x) = F(x,+∞) = FY(y) = F(+∞, y) =
即
P{X x, Y y} P{X x}P{Y y}
则称随机变量X与Y是相互独立的. 补充例1．一电子产品由两个部件构成，以X和Y分别表示两个 部件的寿命（单位：小时），已知X和Y的联合分布函数
1 e 0.5 x e 0.5 y e 0.5( x y ) , x 0, y 0, F ( x, y) 0, 其他 (1)问X和Y是否相互独立？(2)求两部件寿命都超过0.1小时的概率.
F , F ,0.1
二维随机变量的边缘分布
概率论与数理统计
❖ 3.边缘概率密度 1.概念
➢由连续型随机变量的定义知，X是一个连续型随机变
量，且其概率密度为
fX ( x)
f ( x, y)dy
同样，Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为
fY ( y) f ( x, y)dx
➢分别称
fX ( x) f ( x, y)dy 和 fY ( y) f ( x, y)dx
➢ 例3.4.1 设(X，Y)的分布函数为
1
F ( x,
y)
2
(arctan x
)(arctany 2
), 2x,y求关于X和Y的边缘分布函数FX(x)、FY(y)．
➢ 解：由定义知
1
FX (x)
lim F( x,
y
y)
lim [
y
2
(arctan x
)(arctany 2
)] 2
1
(arctanx )
❖ 2.边缘分布律 1.概念
➢ 例3.4.2 袋中有2只白球3只黑球，现从中摸两次，每次摸一球，分
别采用有无放回两种摸球方式，令
1, 第一次摸出白球,
1, 第二次摸出白球,
X 0, 第一次摸出黑球, Y 0, 第二次摸出黑球.
求 X 和 Y 的联合分布律与边缘分布律.
➢ 解 利用古典概型的方法求其分布律.
概率密度为 f(x, y)，因为X的分布函数为
x
FX ( x) F ( x, )
(
f ( x, y)dy)dx
➢由连续型随机变量的定义知, X 是一个连续型随机变量，
且其概率密度为
fX ( x)
f ( x, y)dy
同样, Y 也是一个连续型随机变量，其概率密度为
二维随机变量的概率分布和边缘分布表格
随机变量是统计学和概率论中的一个重要概念，它描述了在一定条件下可能发生的各种数值。
在随机变量中，二维随机变量是一种特殊的形式，它包含了两个变量而不是一个。
为了更好地理解二维随机变量的概念和特性，我们可以通过概率分布和边缘分布表格来进行详细的分析和讨论。
一、二维随机变量的概率分布1.1 概率分布的定义概率分布是描述随机变量各种取值可能性的概率大小的一种数学函数。
对于二维随机变量而言，概率分布可以通过一个二维表格来表示，其中行和列分别代表两个随机变量可能的取值，格子中的数值表示这两个变量同时取某个值的概率。
1.2 二维随机变量的联合分布对于二维随机变量(X, Y)，其联合分布可以表示为P(X=x, Y=y)，表示X取值为x且Y取值为y的概率。
联合分布的表格可以清晰地展示X和Y之间的关系，以及它们各自可能的取值和概率大小。
1.3 二维随机变量的条件分布在给定Y的取值条件下，X的分布称为X在Y的条件下的分布。
条件分布可以通过联合分布和边缘分布的关系来求得，它可以帮助我们更好地了解在不同条件下X的可能取值情况。
1.4 二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布是指在给定一维随机变量的分布后，另一维随机变量的分布。
通过边缘分布表格，我们可以清楚地看到X和Y各自的取值和概率大小，从而更好地了解它们的分布特性。
二、二维随机变量的边缘分布2.1 边缘分布的定义对于二维随机变量(X, Y)，其边缘分布可以表示为P(X=x)和P(Y=y)，分别表示X和Y各自取某个值的概率。
边缘分布表格可以清晰地展示X和Y各自的分布情况。
2.2 边缘分布表格的内容边缘分布表格的横纵坐标分别表示X和Y可能的取值，表格中的数值表示各自的概率。
通过分析边缘分布表格，我们可以得到X和Y各自的取值范围和概率大小，以及它们之间的关系。
2.3 边缘分布与联合分布的关系通过边缘分布表格和联合分布表格的比较，我们可以看到它们之间的关系和差异。
边缘分布可以帮助我们更好地理解在单个随机变量的条件下，另一个随机变量的取值情况和概率大小。
二维随机变量及边缘分布
F ( ,) x lim F ( x , y ) 0 ,
y
F ( ,) x lim F ( x , y ) 1.
y
3o F ( x , y ) F ( x 0, y ), F ( x , y ) F ( x , y 0), 即 F ( x , y ) 关于 x 右连续, 关于 y 也右连续.
二、二维离散型随机变量
1. 定义
若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有 限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型 随机变量.
2. 二维离散型随机变量的分布律
设二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 所有可能取的 值为 ( xi , y j ), i , j 1, 2,, 记 P{ X xi , Y y j } pij , i , j 1, 2,, 称此为二维离散型随机 变量 ( X ,Y ) 的分布律 , 或随机变量 X 和 Y 的联合分布律.
P{ X x2 , y1 Y y2 } P{ X x1 , y1 Y y2 } P{ X x2 ,Y y2 } P{ X x2 ,Y y1 } P{ X x1 ,Y y2 } P{ X x1 ,Y y1 } 0,
故 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
实例1 炮弹的弹着点的 位置 ( X, Y ) 就是一个二维 随机变量. 实例2 考查某一地 区学前 儿童的发育情况 , 则儿童的 身高 H 和体重 W 就构成二 维随机变量 ( H, W ). 说明 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.
二维离散型随机变量
多维随机变量及其分布
二维离散型随机变量
1.2 二维离散型随机变量的边缘分布律
因此， (X ，Y) 关于 X 和关于Y 的边缘分布律如表 3-5 所示．
表 3-5X01Y01pi
2 5
3 5
pj
2 5
3 5
概率论与数理统计
多维随机变量及其分布
所以， (X ，Y) 的分布律如表 3-2 所示．
Y
0
1
X
2
4
0
15
15
4
1
1
15
3
由二维随机变量的分布函数的定义可知， (X ，Y) 的分布函数为
0 ， x 0 或 y 0 ，
2
，
0
F (x ，y) 125， 0
5
x 1，0 x 1，y
y 1， 1 或 x 1，0
概率论与数理统计
多维随机变量及其分布
二维离散型随机变量
1.1 二维离散型随机变量的概念与分布律
定义 1 若二维随机变量 (X ，Y) 所有可能取的值为有限对或可列无限 多对，则称 (X ，Y) 为二维离散型随机 变量．
显然，当且仅当 X 和Y 都是离散 型随机变量时，(X ，Y) 才是二维离散 型随机变量．
p1j
j 1
p2 j
p2 j
j 1
xi
pi1
pi 2
pij
pij
j 1
P{Y yj}
pi1
pi2
pij
1
i 1
i 1
i 1
多维随机变量及其分布
二维离散型随机变量
1.2 二维离散型随机变量的边缘分布律
例 2 已知 (X ，Y) 的分布律如表 3-4 所示，求 (X ，Y) 关于 X 和关于Y 的边缘分布律．
二离散型随机变量的边缘分布律标准版文档
定义 设F(x,y)为随机(变 X,Y量 )的分布,函 则 F(x,y)P{Xx,Yy}. 令y,称P{Xx}P{Xx,Y}F(x,) 为随机(变 X,Y量 )关于 X的边缘分.布函数 记 F X ( 为 x ) F (x , ). 同理x令 ,
F Y ( y ) F ( , y ) P { X , Y y } P { Y y }
三、连续型随机变量的边缘分布
Y 的边缘概率密度.
注意 因此得离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分别为
1
12
4 2
6 42
3
7
p•j P{Yyj} 4
7 3
7
1
联合分布
边缘分布
例2 袋中有3只白球，5只红球，现随机抽取两次每次一只，考 虑两种试验 （1）不放回 ，（2）有放回。
定义 X： 1 0,,第 第一 一次 次， 取 取 Y红 白 1 0,,第 第 球 球二 二次 次取 取
的边缘分布函数关于为随机变量的分布函数为随机变量记为定义的边缘分布律和关于关于的联合分布设二维离散型随机变量21112212的边缘分布函数分别为4916491249124942124212421242注意联合分布边缘分布并求边缘分布律的联合分布律试写出的素数的个数是能整除的正整数的个数是能整除等可能地在一整数的边缘概率密度关于称其为随机变量由于密度为设它的概率对于连续型随机变量定义同理可得dxcy24综上求边缘概率密度其他具有联合概率密度其他因而得在求连续型rv的边缘密度时往往要求联合密度在某区域上的积分
fY(y)f(x,y)dx.
联合分布
边缘分布
并且都不依赖于参数ρ.
二维正态分布图
二维正态分布剖面图
二维离散型随机变量边缘分布率求解步骤
二维离散型随机变量边缘分布率求解步骤下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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二维离散型随机变量的边缘分布律
y
1•
27
1 9
•
1 9
•
1• 2 • 1•
9
9
9
1
27•
1 9
•
1 9
•
1
27 •
x
F(x,y) =
0, 1/27, 4/27, 7/27, 8/27, 4/27, 13/27, 19/27, 20/27,
x < 0 或 y < 0, 0 x <1, 0 y < 1, 0 x <1, 1 y < 2, 0 x <1, 2 y < 3, 0 x <1, y 3, 1 x <2, 0 y < 1, 1 x <2, 1 y < 2, 1 x <2, 2 y < 3, 1 x <2, y 3,
3
C30
1 2
0
1
1 2
3
一般的，
P( X i,Y j) P( X i)P(Y j X i)
C3i
1
i
3
2 3
3i
Cj 3i
1 2
j
1
1 2
3i
j
j 0,,3 i; i 0,1,2,3;
其联合分布与边缘分布如下表所示
pij X 0 1 2 3
p• j
(1) ( X , Y ) 的联合分布律与边缘分布律； (2) P (X = Y ), P (Y > X ); (3) F (x, y)
解： (1) X的可能取值为0、1、2、3
Y的可能取值为0、1、2、3
P(X 0,Y 0) P(X 0)P(Y 0 X 0)
C30
1 3
0
(二维随机变量的边缘分布)
x
6 d y,
x2
0d
y,
0 x1 其他
y (1,1)
y x
6( x x2 ), 0 x 1
0,
其他
Oy Biblioteka x2x由于6( x x2 ),
fX (x)
0,
x
FX ( x) fX ( x)dx
x
0dx,
第3章 多维随机变量及其分布
第3章 多维随机变量及其分布
3.2 二维随机变量的边缘分布
二维随机变量(X,Y)的分布主要包含三个方面的信息: 1. 每个分量的信息，即边缘分布; 2. 两个分量之间的关系程度，即相关系数; 3. 给定一个分量时，另一个分量的分布，即条件分 布; 本节先讨论边缘分布．
3.2.1 二维随机变量的边缘分布函数
0
0dx
x 6( x x2 )dx,
1,
0
0,
x0
3x2 2x3, 0 x 1
1,
其他
0 x 1, 其 他.
x0 0 x1 其他
【例3-11】设，试求二维正态分布的边缘概率密度 fX(x)和fY(y)．
解：由于的概率密度为
f (x, y)
则称 f ( x1, x2 ,, xn ) 为 ( X1, X2 ,, Xn ) 的概率密 度函数.
(3) n维随机变量的边缘分布函数
FX1 ( x1) F ( x1,,,,) 称为 n 维随机变量 ( X1 , X 2 ,, X n ) 关于 X1 的边缘 分布函数.
FXi ( xi ) F (,, xi , ,..., )
如何求边缘分布函数
如何求边缘分布函数一、什么是边缘分布函数边缘分布函数是指多维随机变量中某一个或多个变量的概率分布函数，即将其他变量积分或求和后得到的概率密度函数。
它描述了单个变量的统计特性，可以用于分析随机变量之间的关系。
二、如何求边缘分布函数1. 二维连续型随机变量的边缘分布函数对于二维连续型随机变量(X,Y)，其联合概率密度函数为f(x,y)，则X的边缘概率密度函数为：fX(x)=∫f(x,y)dyY的边缘概率密度函数为：fY(y)=∫f(x,y)dx其中，∫表示对整个定义域进行积分。
2. 二维离散型随机变量的边缘分布函数对于二维离散型随机变量(X,Y)，其联合概率质量函数为p(x,y)，则X的边缘概率质量函数为：pX(x)=∑p(x,y)Y的边缘概率质量函数为：pY(y)=∑p(x,y)其中，∑表示对整个定义域进行求和。
3. 多维随机变量的边缘分布函数对于多维随机变量(X1,X2,...,Xn)，其联合概率密度函数为f(x1,x2,...,xn)，则第i个变量的边缘概率密度函数为：fi(xi)=∫...∫f(x1,x2,...,xi-1,xi,xi+1,...,xn)dx1dx2...dxi-1dxi+1 (x)其中，积分号内的变量是除了第i个变量之外的其他所有变量。
4. 边缘分布函数的性质(1) 边缘分布函数是一个单变量的概率分布函数，它满足概率密度函数的所有性质。
(2) 边缘分布函数可以用于求解期望、方差等统计特性。
(3) 边缘分布函数与联合概率密度函数、条件概率密度函数之间存在一定的关系。
三、实例演示下面以一个二维连续型随机变量(X,Y)为例，演示如何求其边缘分布函数。
假设(X,Y)服从二元正态分布，其联合概率密度函数为：f(x,y)=12πσ12σ22√(1-ρ^2)e-12(1-ρ^2)(x^2/σ12+y^2/σ22-2ρxy/(σ1σ2))其中，μx、μy、σ1、σ2和ρ是已知参数。
求X的边缘概率密度函数：fX(x)=∫f(x,y)dy=12πσ12σ22√(1-ρ^2)∫e-12(1-ρ^2)(x^2/σ12+y^2/σ22-2ρxy/(σ1σ2))dy=12πσ12√(1-ρ^2)e-x^2/2σ12∫e-(y-μy)^2/(2σ22(1-ρ^2)))dy=1√(2π) σ12e-x^2/2σ12其中，积分部分是关于y的正态分布函数，可以用标准正态分布函数进行变量代换和积分计算。
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p11 p12 p1 j
p21 p22 p2 j
pi 1 pi 2 pij
pij , i 1,2,; P{Y y j } pij , j 1,2,. j 1
i 1
记pi pij , p j pij
CHAP3 多维随机变量及其分布
第14讲 离散型随机变量的边缘分布
定义3.6 设 F ( x , y ) 为随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数 ,
则 F ( x , y ) P { X x ,Y y } . 令 y , 称 P { X x } P { X x ,Y } F ( x , ) 为随机变量 ( X ,Y ) 关于X的边缘分布函数 .
P { X i ,Y j } P{Y j X i }P{ X i } 1 1 , i 4 i 1,2,3,4, j i .
于是 ( X ,Y ) 的分布律为
X
1 2
Y
1
2
3
4
3
4
1 4 1 8 1 12 1 16
0
0 0
1 12 1 16
0 0 0
1 8
1 12 1 16
注意 联合分布
x i x j 1
y j y i 1
p ,
ij
p .
ij
边缘分布
例5 已知(X,Y)的分布律如下,求X、Y的边缘分布律。 X\Y 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 解 x\y 1 0 pi. 1 1/10 3/10 2/5 0 3/10 3/10 3/5 p.j 2/5 3/5 故关于X和Y的边缘分布律分别为： X 1 0 Y 1 0 P 2/5 3/5 P 2/5 3/5
i
1 16
由公式 pi pij , p j pij，可得
j
X
1 2
Y
1
2
3
4
pi
1 4 1 4 1 4 1 4
3
4
1 4 1 8 1 12 1 16
0
0 0
1 12 48
13 48
1 12 1 16
1 16
7 48
3 48
则关于X 的边缘分布律为
例6
设随机变量 X 在 1,2,3,4 四个整数中等可能地
取值, 另一个随机变量Y 在 1 ~ X 中等可能地取一 整数值.试求 ( X ,Y ) 的分布律. 同时求出关于X ，Y 的边缘分布律.
解
{ X i ,Y j } 的取值情况是: i 1,2,3,4,
j取不大于i的正整数. 且由乘法公式得
1 e y ye y FY ( y ) F (, y ) 0
y0 y0
3.2.1 离散型随机变量的情形
设二维离散型随机变量( X ,Y )的联合分布 律为 记 P { X xi ,Y y j } pij , i , j 1,2,. pi pij P { X xi }, j 1
X
1
2 14
3 14
4 14
pi 1 4
关于Y 的边缘分布律为
Y p j
1
25 48
2
13 48
3
7 48
4
3 48
记为 FX ( x ) F ( x , ).
同理令 x , FY ( y ) F (, y ) P{ X ,Y y } P{Y y }
为随机变量 (X,Y )关于Y 的边缘分布函数.
例4 已知(X,Y)的分布函数为 1 e x xe y 0 x y F ( x , y ) 1 e y ye y 0 y x 0 其它 求FX(x)与FY(y). 1 e x x 0 解 FX ( x ) F ( x , ) x0 0
则关于X 的边缘分布律为 x1 x2 xn X
j i
pi
p1 y1 p1
p2 y2 p2
pn yn pn
关于Y 的边缘分布律为
Y p j
离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分别为
FX ( x ) F ( x , )
FY ( y ) F ( , y )
i 1
i 1,2,, j 1,2,,
p j pij P {Y y j },
分别称 pi ( i 1,2,) 和 p j ( j 1,2,) 为 ( X ,Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律 .
Y
X
x1
x2
xi
y1 y2 yj