高三下学期入学考试数学(理)试卷

H
1
1
D
平面 ABD 外，且点 C1 在平面 ABD 上的射影 H 在线段 AB 上，设
AH x，则 x 的取值范围是（
）
C
2
1 A . 1, 2
B.
,1
2
C. ,2 2
D . 0,1
12、设 M , N 是抛物线 y2 x 上的两个不同的点， ON 的斜
1
率之积为
，则（ ）
2
O 是坐标原点，若直线 OM 与
在直角坐标系 点，
中，曲线 的参数方程为
（ 为参数），以原点为极
以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 ，
的极坐标方程为
（Ⅰ）求曲线 的普通方程和曲线
的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点
，曲线 与曲线 交于
两点，求
的值．
23 、（本小题满分 10 分）选 修 4-5 ：不等式
选讲已知函数 f ( x) 2x 1 x 2
MF
试求
的值
NF
21、（ 本小题满分 12 分）
已知 a R ，函数 f (x) x aex 1 有两个零点 x , x （ x
x ）.
（Ⅰ）求 实数 a 的取值范围；
（Ⅱ）证 明： ex1 ex2
2
12
1
2
请考生在第 22,23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
.
22、（ 本小题满分 10 分）选 修 4-4：坐标系与参数方程
,2 a a
5a ，数列 b 的 前 n 项和为
n
5
10
Sn ， b1 1, bn 0, bnbn 1 4Sn 1
n
n2
n1
n
（Ⅰ）求数列 an 和 bn 的通项公式；
（Ⅱ）设 cn anbn ，求数列 cn 的 前 n 项和 Tn .
18、（ 本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，
为发挥体育在核心素养时代的独特育人价值， 越来越多的中学已将某
些体育项目纳入到学生的必修课程， 甚至关系到是否能拿到毕业证，某
中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研
究性学习小组随机从该校高一年级学生中抽取 100 人进行调
5
查，其中男生 60 人，且抽取的男生中对游泳有兴趣的占
这 6 名学生中随机抽取 3 人，求至少有 2 人对游泳有兴趣的概率
（Ⅲ） 该研究性学习小组在调查中发现， 对游泳有兴趣的学生中有
部分曾在市级和市级以上游泳比赛中获奖， 如下表所示。 若从高一
（ 8）班和高一（ 9）班获奖学生中各随机选取 2
人进行跟踪调查，记选中的 4 人中市级以上游泳比赛获奖的人数
（Ⅰ）画出函数 f ( x) 的图像； （Ⅱ）若关于 x 的不等式 x 2m 1 f (x) 有解，求实数 m 的取值范围 .
一、 选择 题 ：DCABA 二、 填空 题 :
高 2019 届高三下入学考试数学（答案）理科 ABCAB BD
13.
5
14. 130 15.
三、解答题
16.
2
e, 0
心率为（ ）
2 A.
3 B.
10、已知 cos(3π ) 2 sin( 2
C.2
5 D.
π) ，则 tan( 3
π) =（ ） 6
3
A.
3
3
B.
9
3
C.
3
3
D.
9
C1
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11 、如图， 在等腰 Rt△ABC 中， 斜边 A2B
， D 为直角边 BC 上
A
B
的一点，将 △ACD 沿直线 AD 折叠至 △AC D 的位置，使得点 C 在
切于 该 边的 中点，且相邻的两个小圆互相外切，
则在正六边形内任取一点，该点恰好取自阴影
部分的概率为（
）
9 3A . 18
9 4B3. 18
9 3C . 27
9 4D3. 27
2
x2
9、 如 图，点 A 为双曲线
2
2a
y 1 a 0,b 0 的右顶点，点 P b
为双曲线上一点，作 PB x 轴，垂足为 B ，若 A 为线段 OB 的中点， 且以 A 为圆心， AP 为半径的圆与双 曲线 C 恰有三个公共点，则 C 的离
…… 8 分
故当 1 x 0 时， g( x) g(x) 0 所以 g( x1 ) g (x1 ) ，而 g(x1 ) g(x2 ) a, 故g ( x1) g (x2 )
又 g(x) 在 (0, ) 单调递减， x1 0, x2 0 所以， x1 x2 , 即 x1 x2 0,
…… 11 分
故 e x1
由函数 y f (x) 有两个零点 x1, x2 （ x1 x2 ），其必要条件为： a 0 且
f ( ln a) ln a 0, 即 0 a 1
此时， 1 ln a 2 2ln a, 且 f a( 1) 1a
1
e
0 e
…… 4 分
令 F(a) f (2 2ln a) e2 2ln a
1 e 3 2ln a
2
2
, (0 a 1)
a
a
则 F 2(a)
2 e2 e2 2a
2
0, F(a) 在 (0,1) 单调递增
aa
a
所以， F (a) F (1) 3 e2 0, 即 f (2 2 ln a) 0,
故 a 的取值范围是 (0,1)
（Ⅱ） 令 f (x) 0
x1
a
，
ex
令 g(x) x 1, g (x) ex
（
）
A . 第一象限
B . 第二象限 C . 第三象限
D .第四象限
2、设 集合 A= y y 3x , x R
，
B=
4 y
x2 y
, x R ，则 A B=
（
）
A . 0,2
B . 0,
C . 0, 2
D . 0, 2
ex
3、 函数 f (x)
x2
的大致图像是（
3
）
.
4、 执行如右图所示的程序框图，则输出的
6
对游泳没有兴趣。
D C
，而抽取的女生中有 15 人表示
（Ⅰ）试完成下面的 2 2 列联表，并判断能否有 99%的把握认
为 “对游泳是否有兴趣与性 别有关 ”？
有兴趣
没兴趣
合计
男生
女生
合计
班级
市级比赛 获奖人数 市级以上 比赛获奖 人数
（Ⅱ）已知在被抽取的女生中有 现在从
6 名高一（ 1）班的学生，其中 3 名对游泳有兴趣，
P
AB PC, AD //BC , AD CD , 且
PC BC 2 AD 2CD 2 2, PA 2
M
（ Ⅰ ）求证： PA 平面 ABCD ;
A
（Ⅱ）在线段 PD 上，是否存在一点 M ，使得二面角 M AC D 的
大小为 60 ？如果存在，求 PM 的值；如果不存在，请说明理由。
B
PD
19、（ 本小题满分 12 分）
为 ，求随机变量 的分布 列及数学期望。 一 一 (2) 一 (3) 一 (4) 一(5) 一 (6) 一 (7) 一 (8) 一(9) 一 (10) …
(1)
22
3
3
4
4
3
3
4
2
…
22
1
0
2
3
3
2
1
2
…
P K2 k 0
k0
0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
e x2
2
2e e x1 x2
x1 x2
22
…… 12 分
22、解：（ Ⅰ）曲线 C1 的参数方程为
（ t 为参数），
由代入法消去参数 t，可得曲线 C1 的普通方程为 y
3x 2 ； 曲线 C2 的极坐标方程为
2
，
2
1 3sin
得2
4 1 3sin2
，即为 21 3sin 2 4 ，
) ，使得 f ( f (x )) x ， 则0 m[ 的取, 值
0
0
三、解答题（共 70 分，解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 17-21
题为
必考题，每个试题考生都必须作答，第
22,23 题为选考题，考生根据要求作答。 ）
17、（ 本小题满分 12 分）
已知等比数列 a 为递增数列，且 a2 a
2019 届高三下入学考试数学（理科）
（本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟）
一、 选择题（本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每
小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已 知 i 是虚数单位，若 2 i z(1 i) ，则 z 的共轭复数 z 对应的点在复平面的
y1
14、某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲， 3 辆共
假设最先来停车点停车的
享汽车都是随机停放的， 且 这 3 辆共享汽车都不相邻的概率与这 3
辆共享汽车恰 有 2 辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为
.
15、《数书九章》考中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了 我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古 代已具有的数学水平，其求法是： “以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自 乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实。一为从隅，开平方得积。” 若把以上 这段文字写成公式，即
均相等，则该几何体的体积为（
）
2 A.8
3
B .8 2
8 C .8
3
D8 8
7、二项式 (x
a)8
的展开式中
2
x
的系数是
7 ，则 a (
)
x
A. 1
B. 1
2
1 C. 2
D. 1
8、如 图，边 长为 a 的正六边形内有六个半径相同的小
圆， 这 六 个小 圆分 别 与正 六边 形 的一 边相
1 Sc2a2 4
c2 a2 b2 2 2
。已知 △ABC 满足
sin A sin B sin A sin B sin AsinC sin 2 C ，且 AB 2BC2 2
出的公式可求得 △ABC 的面积为
.
，则用以上给 16、已知函数 f (x)
范围是
.
2
x 2ln x 3 x
m，若 x 1 4
21.
解：（ Ⅰ） f ( x) 1 aex ，
① a 0 时， f (x) 0,
……１分
f (x) 在 R 上递增，不合题意，舍去 ②当 a 0 时，令 f (x) 0, 解得 x ln a; 令 f (x) 0, 解得 x ln a; 故 f (x) 在 ( , ln a) 单调递增，在 ( ln a, ) 单调递减，
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
k为
5、 已 知等边 △ABC 内接于圆 O ， D 为线段 OA 的中点，则 BD （ ）
21 BAA . BC 36 C . 2 BA 5 BC
36
41 BBA . BC 36
2 BAD . 1 BC 33
6、某 几何体的三视图如图所示，图中正方形
的边长为 2，四条用虚线表示的线段长度
x2
2
整理可得曲线 C2 的直角坐标方程为
y 4
1；
……5 分
（Ⅱ）将
（ t 为参数），
x2
2
2
代入曲线 的直角坐标方程
y
4
48
1 得 13t
32 3t 48 0 ， 利用韦达定理可得 t 1t2
，
13
所 以 MA MB t1
t2
t 1 t2
48 ． 13
……10 分
xe x ，则 g(x) 在 (
, 0) 单调递增，在 (0,
……６分
) 单调递减
由（Ⅰ）知 0 a 1，故有 1 x1 0 x2 .
令 h(x) g( x) g(x),( 1 x 0)
h(x)
x
(1 x)e
(1
x)e
x
,(
1
x
0)
h (x) xex xe x x(e x ex ) 0,
所以， h(x) 在 ( 1, 0) 单调递减，故 h(x) h(0) 0
A . OM 2
ON 4
B .以 MN 为直径的圆的面积大于 4
C . 直线 MN 过抛物线 y2 x 的焦点
D . O 到直线 MN 的距离不大于 2
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上）
x 2y 3 0
13、设 x, y 满足约束条件 x y 1 0 ，则 z 3x 4y 的最大值为
K2
2
n ad bc
ab cd a c bd
20、（ 本小题满分 12 分）
2
2x y
已知椭圆 :
1 a b 0 的右焦点为 F 1, 0 ，上顶点为 A 。过 F 且垂直
2
2
于x 轴
ab
的直线 l 交椭圆
于 B,C 两点，若 SΔFOA
2
SΔCOB
2
（Ⅰ）求椭圆 的方程
（Ⅱ）动直线 m 与椭圆 有且只有一个公共点， 且分别交直线 l 和直线 x 2 于 M , N 两点，