初中一元二次方程讲解
一元二次方程—知识讲解
一元二次方程知识讲解【学习目标】1、在把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中，形成对一元二次方程的感性认识；2、理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程；3、知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式，能写出一般形式的二次项系数、一次项系数和常数项.【要点梳理】要点一、一元二次方程的定义及一般形式1．一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.要点二、一元二次方程的解及有关结论1.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.2.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.【典型例题】 类型一、关于一元二次方程的判定1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1)； (2)．【思路点拨】根据定义去判定：一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式.【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得， 所以． 其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程． (2)整理原方程，得，所以 ． 其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结升华】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.举一反三：【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．①21x x ++；②2960x x -=；③ 2102y =；④215402x x -+=； ⑤ 2230x xy y +-=；⑥ 232y =；⑦ 2(1)(1)x x x +-=．【答案】②③⑥.【解析】①21x x ++不是方程；④215402x x -+=不是整式方程；⑤ 2230x xy y +-=含有2个未知数，不是一元方程；⑦ 2(1)(1)x x x +-=化简后没有二次项，不是2次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x 2-4x+2=0； (2)．【思路点拨】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正 数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程3x 2+4x-2=0． 各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2．(2)两边同乘-12，得到整数系数方程6x 2-20x+9=0．各项的系数分别是：．【总结升华】值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中不能写为．举一反三：【变式1】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）2352x x =-； （2）(1)(1)2a x x x +-=-．【答案】（1）235+2=0x x -，二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2.（2）(1)(1)2a x x x +-=-化为220,ax x a +--=二次项系数是a 、一次项系数是1、常数项是-a-2.【变式2】（2015秋•乌鲁木齐校级月考）一元二次方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c=0化为一般形式后为2x 2﹣3x ﹣1=0，试求a ，b ，c 的值．【答案】解：一元二次方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c=0化为一般形式后为ax 2﹣（2a ﹣b ）x ﹣（b ﹣a ﹣c ）=0，一元二次方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c=0化为一般形式后为2x 2﹣3x ﹣1=0，得 ，解得．类型三、一元二次方程的解（根）3. 如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是( )A ．-3，2B ．3，-2C ．2，-3D ．2，3【答案】A ；【解析】∵ x ＝2是方程x 2+px+q ＝0的根，∴ 22+2p+q ＝0，即2p+q ＝-4 ①同理，12+p+q ＝0，即p+q ＝-1 ②联立①，②得24,1,p q p q +=-⎧⎨+=-⎩ 解之得：3,2.p q =-⎧⎨=⎩【总结升华】由方程根的定义得到关于系数的方程(组)，从而求出系数的方法称为待定系数法，是常用的数学解题方法．即分别用2，1代替方程中未知数x 的值，得到两个关于p 、q 的方程，解方程组可求p 、q 的值．4.（2015春•北京校级期中）已知m 是方程x 2﹣x ﹣1=0的一个根，求代数式5m 2﹣5m+2004的值．【思路点拨】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m 代入原方程即可求m 2﹣m+1的值．【答案与解析】解：把x=m 代入方程x 2﹣x ﹣1=0可得：m 2﹣m ﹣1=0，即m 2﹣m=1，∴5m 2﹣5m+2004=5（m 2﹣m ）+2004=5+2004=2009．【总结升华】此题考查了一元二次方程的解，解题时应注意把m 2﹣m 当成一个整体．利用了整体的思想．举一反三：【变式】（1）x=1是的根，则a= .（2）已知关于x 的一元二次方程 22(1)210m x x m -++-=有一个根是0，求m 的值.【答案】（1）当x=1时，1-a+7=0,解得a=8.（2）由题意得。
初中数学必备 一元二次方程的解法—知识讲解
x2
−
7 10
x
+
49 400
−
49 400
−
4
=
−10
x
−
7 20
2
−
49
400
−
4
=
−10
x
−
7 20
2
+
49 40
−
4
=
−10
x
−
7 20
2
−
111 40
．
∵
−10
x
−
7 20
2
0
，∴
−10
x
+
7 4
2
=
25 16
，
直接开平方，得 x + 7 = 5 ． 44
∴
x1
=
−
1 2
，
x2
=
−3
．
【总结升华】方程(1)的二次项系数是 1，方程(2)的二次项系数不是 1，必须先化成 1，才能配方，这是
关键
的一步．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，目的是把方程化为
(mx + n)2 = P(P 0) 的形式，然后用直接开平方法求解．同时要注意一次项的符号决定了左
【典型例题】 类型一、用配方法解一元二次方程
1. 用配方法解方程： (1) x2 − 4x −1 = 0 ；
【答案与解析】 (1)移项，得 x2 − 4x = 1 ．
(2) 2x2 + 7 x + 3 = 0 ．
九年级一元二次方程讲解
九年级一元二次方程讲解一、一元二次方程的概念。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。
- 一般形式为ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
- 例如方程x^2+3x - 1 = 0，这里a = 1，b=3，c=-1。
二、一元二次方程的解法。
（一）直接开平方法。
1. 适用情况。
- 对于形如(x + m)^2=n(n≥0)的一元二次方程，可以使用直接开平方法求解。
2. 解题步骤。
- 例如方程(x - 2)^2=9。
- 第一步，直接开平方得x - 2=±3。
- 第二步，分别求解两个一元一次方程：- 当x - 2 = 3时，解得x=5。
- 当x - 2=-3时，解得x=-1。
（二）配方法。
1. 适用情况。
- 所有的一元二次方程都可以用配方法求解。
2. 解题步骤。
- 以方程x^2+6x - 1 = 0为例。
- 第一步，移项，把常数项移到等号右边，得到x^2+6x = 1。
- 第二步，配方，在等式两边加上一次项系数一半的平方。
一次项系数b = 6，一半为3，平方后为9，则x^2+6x+9 = 1 + 9，即(x + 3)^2=10。
- 第三步，用直接开平方法求解，x+3=±√(10)，解得x=-3±√(10)。
（三）公式法。
1. 一元二次方程的求根公式。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
2. 解题步骤。
- 例如方程2x^2-5x+1 = 0，这里a = 2，b=-5，c = 1。
- 第一步，计算判别式Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1 = 25 - 8 = 17。
- 第二步，代入求根公式x=(5±√(17))/(4)。
初中数学一元二次方程知识点汇总,基础全面考前必掌握
初中数学一元二次方程知识点汇总，基础全面考前必掌握一、一元二次方程的定义及一般形式：只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：ax^{2}＋bx+c =0 (a≠0)，其中a 为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
因此，一元二次方程必须满足以下3个条件：① 方程两边都是关于未知数的等式② 只含有一个未知数③ 未知数的最高次数为2如： 2x^{2}-4x+3=0 ， 3x^{2}=5 为一元二次方程，而像就不是一元二次方程。
二、一元二次方程的特殊形式（1）当b=0，c=0时，有： ax^{2} =0，∴ x^{2} =0，∴x=0（2）当b=0，0≠0时，有： ax^{2}+c=0 ，∵a≠0，此方程可转化为：①当a与c异号时， -\frac{c}{a}>0 ，根据平方根的定义可知，x=±\sqrt{-\frac{c}{a}} ，即当b=0，c≠0，且a与c 异号时，一元二次方程有两个不相等的实数根，这两个实数根互为相反数。
②当a与c同号时， -\frac{c}{a}<0 ，∵负数没有平方根，∴方程没有实数根。
（3）当b≠0，c＝0时，有 ax^{2}+bx=0 ，此方程左边可以因式分解，使方程转化为x（ax+b）=0，即x=0或ax+b=0，所以x1=0，x2=-b/a。
由此可见，当b≠0，c＝0时，一元二次方程 ax^{2}+bx=0 有两个不相等的实数根，且两实数根中必有一个为0。
三、一元二次方程解法：1.第一步:解一元二次方程时，如果没有给出一元二次方程的通式，先将其化为一元二次方程的通式，再确定求解的方法。
2. 解一元二次方程的常用方法：（1）直接开方法：把一元二次方程化为一般式后，如果方程中缺少一次项，是一个形如ax2+c=0的方程时，可以用此方法求解。
解法步骤：①把常数项移到等号右边， ax^{2}=-c ；②方程中每项都除以二次项系数， x^{2}=-\frac{c}{a} ；③开平方求出未知数的值：x=±\sqrt{-\frac{c}{a}}(2)因式分解法:将一元二次方程化为通式后，如果方程左边的多项式可以因式分解，就可以用这种方法求解。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一元二次方程的解法一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础，应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m± .例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5∴3x+1=±(注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x1=,x2=（2）解：9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=当b2-4ac≥0时，x+ =±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2= .3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)
初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)一元二次方程知识点的总结知识结构梳理：1、概念1) 一元二次方程含有一个未知数。
2) 未知数的最高次数是2.3) 是方程。
4) 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0.2、解法1) 因式分解法，适用于能化为(x+m)(x+n)=0的一元二次方程。
2) 公式法，即把方程变形为ax²+bx+c=0的形式，一元二次方程的解为x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。
3) 完全平方式，其中求根公式是(x±a)²=b，当时，方程有两个不相等的实数根。
4) 配方法，其中求根公式是(x±a)(x±b)=0，当时，方程有两个实数根。
5) 二次函数图像法，当时，方程有没有实数根。
3、应用1) 一元二次方程可用于解某些求值题。
2) 一元二次方程可用于解决实际问题的步骤包括：列方程、化简方程、解方程、检验答案。
知识点归类：考点一：一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2.考点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
考点三：解一元二次方程的方法一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
解一元二次方程的方法包括因式分解法、公式法、完全平方式、配方法和二次函数图像法。
解一元二次方程有四种常用方法：直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法。
选择哪种方法要根据具体情况而定。
直接开平方法是解形如x²=a的方程的方法，解为x=±√a。
配方法是将方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，然后用因式分解法或直接开平方法解方程。
初中数学重点梳理：一元二次方程
一元二次方程知识定位一元二次方程是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种。
要熟练掌握一元二次方程的定义及定理以及解法和根的判别。
同时一元二次方程的实际应用题，本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中一元二次方程相关问题的常见题型及其求解方法。
本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法）①2(0)x a a =≥ 解为：x a =②2()(0)x a b b +=≥ 解为：x a b +=③2()(0)ax b c c +=≥ 解为：ax b c +=±④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+ （2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如：20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+=此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0290(3)(3)0x x x -=⇔+-= 230(3)0x x x x -=⇔-= 3(21)5(21)0(35)(21)0x x x x x ---=⇔--=22694(3)4x x x -+=⇔-= 2241290(23)0x x x -+=⇔-=24120(6)(2)0x x x x --=⇔-+= 225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+=（3）配方法①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：2220()()022P P x Px q x q ++=⇔+-+= 示例：22233310()()1022x x x -+=⇔--+=②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：22220 (0)()0 ()()022b b bax bx c a a x x c a x a c a a a++=≠++=⇒-⇒++= 222224()()2424b b b b aca x c x a a a a -⇒+=-⇒+=示例：22221111210(4)10(2)2102222x x x x x --=⇔--=⇔--⨯-= （4）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b acx a a -+=①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,24b b acx -±-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=- ③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。
一元二次方程的讲解
一元二次方程的讲解一元二次方程是数学中常见的一类方程，形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，且a ≠ 0。
一元二次方程的求解是解析几何、物理学等学科中的重要基础知识之一。
本文将从一元二次方程的定义、求解方法和应用等方面进行讲解。
一、一元二次方程的定义一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程。
它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，且a ≠ 0。
其中，a 称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。
二、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法：当一元二次方程可以进行因式分解时，可以通过将方程两边的式子分解成乘积的形式，令每个因式等于0，再求解得到方程的根。
2. 完全平方公式法：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果a=1，可以使用完全平方公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)来求解方程的根。
3. 直接开平方法：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果方程的解可以通过开方得到，可以直接进行开平方运算求解。
4. 公式法：一元二次方程的解也可以通过求解一元二次方程的根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)来得到。
三、一元二次方程的应用一元二次方程在实际问题中具有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
1. 抛物线的建模：一元二次方程可以用来建立抛物线的数学模型。
抛物线的形状由方程中的二次项决定，常数项则决定了抛物线的平移。
2. 物体运动的轨迹：一元二次方程可以用来描述物体在抛体运动中的轨迹。
通过解一元二次方程，可以求得物体的落地时间、最高点高度等相关信息。
3. 经济学问题的分析：一元二次方程可以用来分析经济学中的一些问题，如成本、收益、利润等的关系。
4. 工程问题的求解：一元二次方程在工程问题的求解中也有重要应用，如电路中的电压、电流关系的建立等。
专题08一元二次方程(含解析)讲解
专题08 一元二次方程一、解读考点二、考点归纳归纳 1：一元二次的有关概念基础知识归纳：1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一般形式:ax2+bx+c=0（其中a、b、c为常数，a≠0），其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．基本方法归纳：一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有1个未知数；（3）所含未知数的最高次数是2．注意问题归纳：在一元二次方程的一般形式中要注意a ≠0.因为当a =0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．【例1】若x =﹣2是关于x 的一元二次方程225x ax a 02-+=的一个根，则a 的值为（ ）A . 1或4B . ﹣1或﹣4C . ﹣1或4D . 1或﹣4【答案】B ．考点：一元二次方程的解和解一元二次方程． 归纳 2：一元一次方程的解法 基础知识归纳： 一元二次方程的解法1、直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b <0时，方程没有实数根．2、配方法：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±．3、公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法． 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x4、因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．基本方法归纳：（1）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解;（2）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解;（3）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时,可考虑用配方法求解; （4）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解．注意问题归纳：用公式法求解时必须化为一般形式；用配方法求解时必须两边同时加上一次项的系数一半的平方．【例2】用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．x x（其中b2﹣4ac≥0）．【答案】12【解析】试题分析：应用配方法解一元二次方程，要把左边配成完全平方式，右边化为常数．考点：解一元二次方程-配方法．归纳 3：一元二次方程的根的判别式基础知识归纳：一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）：（1）b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）b2－4ac＝0⇔方程有两个的实数根；（3）b2－4ac＜0⇔方程没有实数根．基本方法归纳：若只是判断方程解得情况则根据一元二次方程的根的判别式判断即可．注意问题归纳：一元二次方程的根的判别式应用时必须满足a≠0；一元二次方程有解分两种情况：1、有两个相等的实数根；2、有两个不相等的实数根．【例3】下列方程没有实数根的是（）A．x2＋4x＝10 B．3x2＋8x－3＝0C．x2－2x＋3＝0 D．（x－2）（x－3）＝12【答案】C．【解析】试题分析：A、方程变形为：x2+4x-10=0，△=42-4×1×（-10）=56＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意；B、△=82-4×3×（-3）=100＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故B选项不符合题意；C、△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，所以方程没有实数根，故C选项符合题意；D、方程变形为：x2-5x-6=0，△=52-4×1×（-6）=49＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故D选项不符合题意．故选C．考点：根的判别式．归纳 4：根与系数的关系基础知识归纳：一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝ba，x1x2＝ca．基本方法归纳：一元二次方程问题中，出现方程的解得和与积时常运用根与系数的关系．注意问题归纳：运用根与系数的关系时需满足：1、方程有解；2、a≠0．【例4】若α、β是一元二次方程x2+2x-6=0的两根，则α2+β2=（）A. -8B. 32C. 16D. 40【答案】C．考点：根与系数的关系．归纳 5：一元二次方程的应用基础知识归纳：1、一元二次方程的应用1. 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步．2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：（1）增长率等量关系:A.增长率＝×100%；B.设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a（1+m）n=b;当m为平均下降率，n 为下降次数，b为下降后的量时，则有a（1-m）n=b．（2）利润等量关系:A.利润＝售价-成本；B.利润率＝利润成本×100%．（3）面积问题3、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例5】如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草。
一元二次方程的解法详细解析
一元二次方程的解法详细解析只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
标准形式:ax²+bx+c=0(a≠0)一元二次方程有4种解法，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
下面小编和你具体讲解一元二次方程的四种解法例析。
一元二次方程的解法例析【一元二次方程要点综述】：【要点综述】：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。
在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。
根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。
一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。
因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。
下面再讲一元二次方程的解法。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
如下表：方法适合方程类型注意事项直接开平方法≥0时有解，＜0时无解。
配方法二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。
公式法≥0时，方程有解；＜0时，方程无解。
先化为一般形式再用公式。
因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。
方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。
【举例解析】例1：已知，解关于的方程。
分析：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。
解：由得：或，当时，原方程为，即，解得. 当时，原方程为，即，解得，. 说明：由本题可见，只有项系数不为0，且为最高次项时，方程才是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为0。
通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于的一元二次方程。
初中数学-一元二次方程及其解法讲解
配方法和公式法是解一元二次方 程重要方法,要作为一种基本技能 来掌握.而某些方程可以用直接开 平方法、分解因式法简便快捷地 求解.
解方程：1 5x2 4x； 2 x 2 x x 2.
解：1 5x2 4x 0，
x5x 4 0.
x 0,或5x 4 0.
x1
0，x2
4. 5
解：2 x b2 c.
可利用直接开平方法求解.
1、x2 a x a
2、ax2 c 0 ax2 c x2 c
a x c
a
3、a x b2 c x b2 c
a xb c
a xb c
a
注意：在用直接开平 方法对方程1、2、3 求解时，字母系数要 满足什么条件？
解方程： x2 8x 9 0.
解: x2 8x 9 0.
x2 8x 9.
1.移项:把常数项移到方程的左边.
x2 8x 42 9 42.
2.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平 方.
x 42 25. 3.变形:方程左分解因式,右边合并同类.
例：3y2 2y 4 0. 用配方法解一元二次方程的步骤:
解：y2 2 y 4 0 33
y2 2 y 4 33
y2
2 3
y
1 3
2
4 3
1 3
2
y
1 3
2
13 9
y 1 13 33
y1
1 3
2a
2a
初三数学一元二次方程解题技巧分析详解
初三数学一元二次方程解题技巧分析详解一元二次方程是初中数学中较为重要的知识点之一，掌握解题技巧对于学生来说至关重要。
本文将对初三数学一元二次方程解题技巧进行详细分析，并给出实例进行解释，帮助学生更好地理解和掌握。
一、一元二次方程的基本形式及代数解法一元二次方程的基本形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数且a≠0。
解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求解判别式。
下面将分别对这三种方法进行详解。
1. 因式分解法因式分解法是一种快速解一元二次方程的方法。
对于形如(x+m)(x+n)=0的方程，可以直接得到x=-m或x=-n为方程的解。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，可以将其因式分解为(x-2)(x-3)=0，从而得到x=2或x=3为方程的解。
2. 配方法配方法是一种常用的解一元二次方程的方法。
对于形如ax^2 + bx +c = 0的方程，可通过适当的配方使其化为一个完全平方。
具体步骤如下：（1）将方程的常数项c分解为两个数的乘积，这两个数的和为b；（2）根据分解出的两个数进行配方，将二次项和一次项分别进行平方。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，可以将6分解为2和3的乘积，得到x^2 + 2x + 3x + 6 = 0。
然后，根据配方，将前两项进行平方，得到(x + 2)^2 + 3x = 0。
继续进行化简，得到(x + 2)^2 = -3x。
由于方程左边是完全平方，所以方程有解。
3. 求解判别式求解判别式是解一元二次方程的一种常用方法。
判别式Δ=b^2 - 4ac 可以判断一元二次函式的解的情况。
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根。
例如，对于方程x^2 - 2x + 1 = 0，根据判别式Δ=（-2）^2 -4×1×1=0，因此方程有两个相等的实数根x=1。
初中数学 如何解一元二次方程
初中数学如何解一元二次方程解一元二次方程是数学中的重要内容，它涉及到方程的求解和应用。
在这篇文章中，我们将详细讨论解一元二次方程的各种方法，并提供实例进行说明。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知常数，x是未知数。
解一元二次方程的目标是找到方程成立的x的值。
接下来，我们将介绍几种常用的解一元二次方程的方法：1. 因式分解法：当一元二次方程可以因式分解时，我们可以使用因式分解法求解。
例如，考虑方程x^2 - 5x + 6 = 0。
我们可以将这个方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0。
然后，我们令每个因式等于零，解得x = 2和x = 3。
因此，方程的解为x = 2和x = 3。
2. 配方法：配方法是一种常用的解一元二次方程的方法。
它的基本思想是通过对方程进行变形，将方程转化为一个完全平方的形式。
例如，考虑方程x^2 + 6x + 9 = 0。
我们可以将方程写成(x + 3)^2 = 0。
然后，我们令(x + 3)^2 = 0，解得x = -3。
因此，方程的解为x = -3。
3. 完全平方公式：完全平方公式是解一元二次方程的常用方法。
它是通过对一元二次方程的一般形式应用公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解方程。
例如，考虑方程x^2 - 4x + 3 = 0。
我们可以将方程中的a、b、c代入完全平方公式，计算得到x = (4 ± √(16 - 12)) / 2。
进一步计算，得到x = (4 ± √4) / 2，即x = (4 ± 2) / 2。
最终，解方程，得到x = 3和x = 1。
因此，方程的解为x = 3和x = 1。
4. 公式法：公式法是解一元二次方程的一种直接方法。
它是通过对一元二次方程的一般形式应用公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解方程。
初中数学一元二次方程知识点总结（含方法技巧归纳，易错辨析）
初中数学⼀元⼆次⽅程知识点总结（含⽅法技巧归纳，易错辨析）
考情分析⾼频考点考查频率所占分值
1.元⼆次⽅程的概念★7～12分
2.⼀元⼆次⽅程的解法★★★
3.⼀元⼆次⽅程根的判别式★★
4.⼀元⼆次⽅程根与系数的关系★
5.利⽤⼀元⼆次⽅程解决实际问题★★★
1⼀元⼆次⽅程的定义及⼀般形式
定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数(⼀元)，并且未知数的最⾼次数是2(⼆次)的⽅程，
叫作⼀元⼆次⽅程.
点拨
对定义的理解抓住三个条件：“⼀元”“⼆次”“整式⽅程”,缺⼀不可，同时强调⼆次项的系数不为0.
⽤公式法解⼀元⼆次⽅程的记忆⼝诀
要⽤公式解⽅程，⾸先化成⼀般式.
调整系数随其后，使其成为最简⽐.
确定参数
，计算⽅程判别式.
判别式值与零⽐，有⽆实根便得知.
若有实根套公式，若⽆实根要告之.
3因式分解法
通过因式分解，使⼀元⼆次⽅程化为两个⼀次式的乘积等于0的形式，再使这两个⼀次式分别等
于0,从⽽实现降次，这种解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫作因式分懈法.
因式分解法体现了将⼀元⼆次⽅程“降次”转化为⼀元⼀次⽅程来解的思想，运⽤这种⽅法的步
骤：
（1）将所有项移到⽅程的左边，将⽅程的右边化为0；
（2）将⽅程左边分解为两个⼀次因式的乘积；
（3）令每个因式分别等于零，得到两个⼀元⼀次⽅程；
（4）解这两个⼀元⼀次⽅程，他们的解就是原⽅程的解.。
一元二次方程七大应用题讲解
一元二次方程七大应用题讲解一、一元二次方程概述一元二次方程是数学中的一种基本方程，其一般形式为：ax+bx+c=0。
其中，a、b、c为已知常数，且a≠0。
求解一元二次方程的方法有多种，如因式分解法、完全平方公式法、韦达定理、二次三项式的配方法等。
二、一元二次方程的求解方法1.因式分解法：将一元二次方程转化为两个一次方程相乘的形式，即(ax+m)(nx+k)=0。
根据乘积为零的性质，可得到方程的解。
2.完全平方公式法：将一元二次方程转化为完全平方的形式，如(x+m)=n。
利用完全平方公式，可求得方程的解。
3.韦达定理：对于一元二次方程ax+bx+c=0，其根与系数的关系为：x+x=-b/a，xx=c/a。
根据这一关系，可以求解一些与根有关的问题。
4.二次三项式的配方法：将一元二次方程转化为二次三项式方程，如ax+bx+c=a(x+m)+n。
利用二次三项式的配方法，可以求解方程。
三、一元二次方程的应用1.面积问题：根据一元二次方程的根与系数的关系，可以求解几何图形的面积，如求解抛物线的面积。
2.几何图形问题：利用一元二次方程描述几何图形的性质，如求解圆的标准方程、椭圆的标准方程等。
3.物理问题：一元二次方程在物理中的应用广泛，如求解物体运动的轨迹、速度、加速度等。
4.函数问题：一元二次方程可以表示为二次函数，通过求解二次函数的极值、对称轴等问题，可以应用于优化问题、最值问题等。
5.线性方程组问题：一元二次方程与线性方程组有密切关系，通过求解一元二次方程，可以求解线性方程组。
6.实际问题：一元二次方程在实际问题中有广泛应用，如求解距离问题、速度问题等。
7.综合问题：在各类综合问题中，一元二次方程作为一种基本工具，可以解决许多复杂问题。
初中数学知识点总结：一元二次方程的概念及其解法
初中数学知识点总结：一元二次方程的概念及其
解法
知识点总结
一.一元二次方程的概念：
只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程。
二.一元二次方程的解法：
4.分解因式法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原方程的解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。
分解因式法的理论依据是几个数的积为0，那几个数中至少有一个0。
常见考法
一元二次方程概念和解法是中考命题的重点，一般用填空、选择题来考查概念和有关的基础知识，用解答题来考解法。
且一元二次方程的解法灵活多变，涉及的知识面广，在根的判别式、根与系数的关系淡化后，这是考查本知识的较佳出题点之一。
误区提醒
(1)对一元二次方程的概念不清，导致错误;
(2)利用配方法解方程时，弄错常数项;
(3)利用公式法解方程时，在确定各项系数时漏掉“-”号。
一元二次方程的四种解法
一元二次方程的四种解法一元二次方程是中考的重点内容，也是初中数学学习的重点，解一元二次方程是重要的应用，不管是直接开平方，还是配方法、公式法、因式分解法等等方法解方程，四种解法各有不同，不同的依据，不同的适用范围，都需要同学们重点掌握的，然后根据题目的实际情况，选择最佳的解题方法。
下面我们通过实例讲解一元二次方程的四种解法，让同学们在考试中得心应手，同时也希望同学们谨记各部分的注意事项，记住各种方法的适用方位，在考试中灵活运用，避免出现错误。
一、直接开平方法：依据的是平方根的意义，步骤是：①将方程转化为x=p或（mx+n)=p的形式；②分三种情况降次求解：①当p>0时；②当p=0时；③当p<0时，方程无实数根。
需要注意的是：直接开平方法只适用于部分的一元二次方程，它适用的方程能转化为x=p或（mx+n)=p的形式，其中p为常数，当p≥0时，开方时要取“正、负。
二、配方法：把一般形式的一元二次方程ax+bx+c=0(a≥0)左端配成一个含有未知数的完全平方式，右端是一个非负常数，进而可用直接开平方法来求解。
一般步骤：移项、二次项系数化成1，配方，开平方根。
配方法适用于解所有一元二次方程。
三、公式法：利用求根公式，直接求解。
把一元二次方程的各系数代入求根公式，直接求出方程的解。
一般步骤为：(1)把方程化为一般形式；(2)确定a、b、c的值；(3)计算b-4ac的值；(4)当b-4ac≥0时，把a、b、c及b-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当b-4ac<0时，方程没有实数根。
需要注意的是：公式法是解一元二次方程的一般方法，又叫万能方法，对于任意一个一元二次方程，只要有解，就一定能用求根公式解出来。
求根公式是用配方法解一元二次方程的结果，用它直接解方程避免繁杂的配方过程。
因此没有特别要求，一般不会用配方法解方程。
四、因式分解法：先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。
一元二次方程讲解
一元二次方程讲解1. 一元二次方程的定义及一般形式：（1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2） 一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。
其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。
例题：方程：①13122=-xx ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次是 （ ） A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和③2；③必须是整式方程。
例题：当a_______时，关于x 的方程0422=+++x x ax 是一元二次方程 例题：方程8)2(2)1(3++=-x x x 化成一般形式是__________________ 课堂演练1 下列方程中，一元二次方程的个数有（ ）①07x 32=+ ②0c bx ax 2=++ ③()()1x 5x 2x 2-=+- ④0x 5x 32=-⑤0y x 2=-A.1个B. 2个C.3个D.4个2已知关于x 的方程()()04m 3x 2m 6x 4m 22=-+---，当m 为何值时，方程是一元二次方程？当m 为何值时，方程是一元一次方程？ 针对练习1.关于x 的方程2x q p x 3x p 222+=-+-是一元二次方程，则（ ） A.1p = B.1p > C.0p ≠ D. 1p ≠2.若关于x 的方程01mx 3x )2m (|m |=+++是一元二次方程，则（ ） A.2m ±= B.2m = C.2m -= D. 2m ±≠ 3 已知m,n 都是方程02008x 2006x 2=-+的根， 试求代数式()()2007n 2006n 2007m 2006m 22++-+的值.课后练习1._________m 01mx 1x 2==++-=的一个根，则是方程x . 2. _________k 02x k 21x 2==---=的一个根，则是方程x .3．方程（m2－1）x2＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是（ ）（A ）m ≠1 （B ）m ≠0 （C ）|m|≠1 （D ）m ＝±1 2. 一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a b +=或者x a b +=-，∴x a b =-±。
一元二次方程的系数与常数项讲解
一元二次方程的系数与常数项讲解一元二次方程是代数学中一个非常重要的概念，它以形如ax^2+bx+c=0的方式表达。
在这个方程中，a、b和c分别代表方程的系数和常数项。
本文将详细讲解一元二次方程的系数和常数项的含义及其在方程中的作用。
一、一元二次方程的一般形式一元二次方程表示为ax^2+bx+c=0，其中a、b和c分别代表方程的系数和常数项。
一般情况下，a不等于0，否则这个方程就变成了一次方程。
二、系数的作用与含义1. 系数a的作用与含义系数a是二次项x^2的系数，它决定了方程的开口方向和抛物线的“宽度”。
当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
a的绝对值越大，抛物线的“宽度”越小，曲线越陡峭；a的绝对值越小，抛物线的“宽度”越大，曲线越平缓。
2. 系数b的作用与含义系数b是一次项x的系数，它决定了抛物线关于y轴的对称轴位置。
当b大于0时，抛物线的对称轴在y轴的右侧；当b小于0时，抛物线的对称轴在y轴的左侧。
b的绝对值越大，抛物线与y轴的交点越远，曲线越“倾斜”；b的绝对值越小，抛物线与y轴的交点越近，曲线越“陡峭”。
3. 常数项c的作用与含义常数项c是没有含有x的常数项，它决定了抛物线与y轴的交点。
当c大于0时，抛物线与y轴的交点在y轴的上方；当c小于0时，抛物线与y轴的交点在y轴的下方。
c的绝对值越大，抛物线与y轴的交点越远，曲线越“平行”于y轴；c的绝对值越小，抛物线与y轴的交点越近，曲线越“靠近”y轴。
三、一元二次方程的求解当给定一个一元二次方程时，我们需要求解方程的根（也称解）。
求解的一种方法是使用配方法（又称配方法）。
配方法是通过改变方程的形式，使得方程能够被因式分解。
因式分解之后，我们可以得到方程的两个根。
具体的步骤是：1. 将方程ax^2+bx+c=0的二次项和常数项系数分别表示为a、b和c。
2. 计算判别式Δ=b^2-4ac的值。
3. 根据判别式的值判断方程的根的情况：a. 当Δ大于0时，方程有两个不相等的实数根。
初中数学 什么是一元二次方程的实数解和虚数解
初中数学什么是一元二次方程的实数解和虚数解在初中数学中，一元二次方程的实数解和虚数解是我们在求解方程时经常遇到的两种情况。
本文将详细介绍一元二次方程的实数解和虚数解的定义、区别和求解方法。
1. 一元二次方程的定义和形式一元二次方程是指一个未知数的二次方程，一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，且a ≠ 0。
方程的解即为方程的根。
2. 实数解的定义和性质一元二次方程的实数解是指能够在实数范围内找到的方程的解。
如果一元二次方程存在实数解，那么实数解的性质如下：a) 当判别式Δ = b^2 - 4ac > 0时，方程有两个不相等的实数解。
这种情况下，方程的图像与x轴有两个交点，表示方程有两个解。
b) 当判别式Δ = b^2 - 4ac = 0时，方程有两个相等的实数解。
这种情况下，方程的图像与x轴有一个交点，表示方程有一个解。
实数解是我们在数学问题中最常见的解形式，可以直接用来表示问题的答案。
3. 虚数解的定义和性质一元二次方程的虚数解是指方程的解不属于实数范围，而是属于复数范围。
如果一元二次方程没有实数解，那么方程的解为虚数解。
具体而言：当判别式Δ = b^2 - 4ac < 0时，方程没有实数解，而是有两个共轭复数解。
这种情况下，方程的图像与x轴没有交点，表示方程没有实数解。
虚数解通常以i来表示，其中i是虚数单位，定义为i^2 = -1。
方程的复数解可以表示为a + bi的形式，其中a和b分别表示实部和虚部。
虚数解在数学中也具有重要的应用，特别是在复数、电路理论和物理问题中。
4. 求解一元二次方程的实数解和虚数解的方法a) 实数解的求解：当判别式Δ = b^2 - 4ac ≥ 0时，方程有实数解。
实数解可以通过求解公式来计算。
给定方程ax^2 + bx + c = 0，方程的两个实数解可以分别表示为：x1 = (-b + √Δ) / 2ax2 = (-b - √Δ) / 2a其中，√Δ表示判别式的平方根。
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23.1 一元二次方程类型1、一元二次方程的概念解题要点：（1）若一个方程是一元二次方程，必须同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2，三个条件缺一不可。
（2）有些方程需要先整理，再判断。
（3）分母中含有未知数或根号下含有未知数的方程均不是一元二次方程。
题型1、一元二次方程的判别例1．下列是一元二次方程的是（）5x222．C．D ．B．A32x?x?)1(t)??2t(t?1(x?1)(x?2)?x?22?1x例2．下列方程哪些是一元二次方程？指出它们的序号。
1132222）4 （3）（1））（2（；；01?x?x0?1?x?01??y?x??x x?122）（6）（55)?x?3(x?2)(4?6x?2x(3x5)?题型2、利用一元二次方程的概念求字母的值。
|m|是关于的一元二次方程，则（．方程）例3x0?1?3xm?2)mx?( A．B．C．D．2m??2m?2?m?2??m22是一元二次方程的条件是什么？例4．关于的方程x2??mxmx?3x?x题型3、利用一元二次方程的概念求不等式的解集2是一元二次方程，且满足不等式，则的取值范围是（．若）例5aa0?3ax??5x03a?6?1 ．D 且C B A ．．．0a?a?a?2?22??a???a 21/16类型2、一元二次方程的一般形式解题要点：（1）一元二次方程一般形式的特点是：方程左边是按未知数降幂排列的整式，右边是0，并且在通常情况下，左边各项系数不含有公约数。
2，后确定各项系数和常数项，一般形式中，、可以等于2）先化为一般形式：0。
（c0ax??bx?cba?0（3）在应用时，如果求各项系数，不要漏掉前面的符号。
题型1、化方程为一元二次方程的一般形式2化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项系数，一次项系数、．把方程例62?y?2)?(2y?1)(3y 常数项。
题型2、利用一元二次方程的隐含条件解题|a|?1，(1)、为何值时，关于的方程是一元一次方程？(2)是一元二次方程？例7xa0??3)xx?43?(a?)(a |a|?2是一元二次方程，指出其二次项系数、一次项系数及常数项。
8、方程例0)x?x?a?8?(a42的二次项系数、一次项系数及常数项之和为5，、若一元二次方程求的值。
例9k0?)?2?)?(2x?k8x(k32/16、一元二次方程的根（解）类型3 解题要点：）根必须满足两个条件：①未知数的值；②必须使方程左右两边相等。
（1 2（）用代入法验证一个数值是否为一元二次方程的解时，只要看方程左右两边是否相等即可。
题型1、判断一元二次方程的根24 3，20，1，，例10．下列哪些数是一元二次方程的根？，，，3x??4x?3?1?2?2、由一元二次方程的根求未知数的值。
题型22的值。
的一个根是0，求例11、关于的一元二次方程ax0??1?x?1(a?)xa26x?的根，求和、已知的值。
，是关于的一元二次方程12例ax0x?ax?b?b2?x题型3、由一元二次方程的根求代数式的值。
22ba?2，求的值。
是一元二次方程例13、已知的一个根，且040?ax?bx?ba?1x?b22a?201022是方程14、已知的一个根，试求的值。
例a0?x?2010x1??a2009?a21?a3/16题型4、已知两方程有公共根，求代数式的值。
220092的值。
与有一个公共根，求例15、已知关于的方程x)qp?0(px??qx?)?q0(px?px?q?类型4、列一元二次方程解题要点：一元二次方程一般源于实际生活中的问题，解决问题的关键是先列出一元二次方程，列方程时需注意的两个方面：（1）设一个未知数，由其他未知量与这个未知数的关系，用表示其他量。
xx（2）寻找以上各量间的等量关系，一般为积的关系或平方差与平方和的关系，根据此关系列出一元二次方程。
3，高为6cm，底面的长比宽多5cm16、已知一个长方体粉笔盒的体积为750cm，若设这个粉笔盒的底例面的宽为cm，请根据题意列出方程，并将其他为一般形式。
x例17．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次与前一次的比值为()，已知一个钉子受击三次后恰好全部进入木1?kk?04，，且第一次受击后进入木板的钉长度是钉长的板（铁钉在第二次受击后未入木板的部分足够长）7 ）1，那么符合这一事实的方程是（设铁钉的长度为44448444422．AD．．． B C 1??1kk???1k??1?kk?k7777777774/1623.2 一元二次方程的解法类型5、直接开平方法解题要点：（1）用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义。
2时，的一元二次方程，常用直接开平方法求解，当方程的根是，（2）对于形如0p?)0xp?p(?px??。
0?x?x212的一元二次方程，也可以用直接开平方法求解，方程的根为（3）对于形如)0,p?mx?n)0?p(m?(p??nn ，当时，。
?x0p??x??x21 mm ）解题时，一定要注意方程有两个根。
（4 、用直接开平方法解一元二次方程的必备条件题型12例18、用直接开平方法解方程），方程有根的条件是（b?c)?a(x 、同号或，．D．A．B． C a0??a0,b00b?a?0b?a 题型2、用直接开平方法解一元二次方程2、求一元二次方程的根。
例190(x?)?322例20、求一元二次方程的根。
)x(3?(2x?1)? 6、因式分解法类型解题要点：。
（1）用因式分解法解一元二次方程的一般步骤可归纳为“右边化零，左边分解，分别为零，求解”、提公因式法等，需注意一般方程的左）因式分解的常用方法：公式法（完全平方公式、平方差公式）（2 。
边是因式的积，右边等于0 ）不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解。
（32题型1、用因式分解法解形如的一元二次方程。
)0aax??bx?0( 例21、用因式分解法解下列方程：22）（2 ）（15?5x??5x)2(x?23(x?2)?2、用因式分解法解形如（、为常数）的一元二次方程。
题型2ab0?)bx?abx(?a? 22、用因式分解法解下列方程。
例22）（1）（2；0?6x?x16?06??)?(x?23x5/162 3、用因式分解法解形如的一元二次方程。
题型)?0?c?0(axa?bx 、用因式分解法解下列方程：例2322）；（（1）2；0??13x?66x??5x?106x题型4、因式分解法在解一元二次方程中的综合应用22x??22x 例24、当0为何值时，代数式。
的值等于x22?x2 ABC的周长。
例25、已知△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，求△0?10x??7x 、配方法7类型解题要点：222和直接开平方法解一元二次为依1）配方法解一元二次方程是以完全平方公式（)?b?b?(aa?2ab 据。
）配方法的关键是配方，把一个一元二次方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个（2 非负数。
（。
3）配方法的一般步骤可以归纳为“一除、二移、三配、四开方”22的一元二次方程题型1、用配方法解形如)4c?bbx?c?0(0?x?、用配方法解下列方程例2622 2）（）（1 0?x???105x?7x4?x22、用配方法解形如的一元二次方程题型2)04c0axbx??c?0(a?,b?? 27、用配方法解下列方程：例222）（1）；（2；（3）0??x44?7x??070x3x?4?8??5x2x、公式法类型8 解题要点：2ac??b4?b22）一元二次方程的求根公式为。
（1)?0(a?0ax?bx?c)0b?4ac?x?(a2（2）一元二次方程的求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程2的过程。
)a?0?ax?bx?c0(（3）由求根公式知，一元二次方程的根是由系数、、决定的，只要确定了、、的值就可以代cacabb6/16入求根公式求出一元二次方程的根。
1、用公式法解系数为整数的一元二次方程。
题型2）例28、方程的正根为（2x?x4?．．CD． A ． B 6?3?3?662?6?22、用公式法解方程：例29x??10?4x8?4x?1、用公式法解系数为分数或小数的一元二次方程题型2 、用公式法解下列方程：例3021?xx2?12）（1（2）；；??010.2x??0.3x?0.323题型3、用公式法解一元二次方程的综合应用12x?2的一个根与方程的根相同。
例31、已知关于的方程x0??x21?kx4?x1?2的另一个根。
2（1）求的值；（）求方程0?kx?1?2xk9、根的判别式类型解题要点）在用根的判别式判别根的情况时，是在一元二次方程的一般形式下进行的，即先将方程化为（12的大小关系。
的形式，再确定根的判别式与0)?0ax0?bx?c?(a22ac??b4?bac?b4??b2，当2）当时，方程有两个不相等的实数根，（?x0?4acb??x21a2a2b22时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根。
0ac?0b??4b?4ac?x??x21a2 （3）通过计算根的判别式的值，可以在不解方程的情况下判断方程的根的情况。
4）由方程的根情况可以得知根的判别式的情况，进而得出方程中未知字母的取值情况。
（、由根的判别式来确定根的情况题型1 32、不解方程，判断下列关于的一元二次方程的根的情况。
例x222x?454x?5 3）（；）；（2 （1）8??3xx0x??)?m(?mx2417/162、由根的情况来确定方程中的待定系数。
题型22）例33、已知方程有两个不相等的实根，那么的最大整数值是（k0k?xk?(2?1)x?1D．B．C．0 A．12??22．当取何值时，一元二次方程34例m0?1)x?2m2x??(4m?1 ）没有实数根。
）有两个相等的实数根；（3 （1）有两个不相等的实数根；（2、根的判别式与三角形的综合应用题型32）、、分别是三角形的三边，则方程的根的情况是（例35、已知cab0)?)x2?cx?(a?b(a?b ．有两个不相等的实根 D C．有两个相等的实根A．没有实根B．可能有且仅有一个实根有两个相的三边，且方程是△ABC36．已知、、例cab0?x?a)c)?(x?c)(?(x?a)(x?b)?(xb)(x? ABC的形状。
等的实根，试判断△10、选择合适的方法解一元二次方程类型解题要点：1）解一元二次方程的基本思路；将二次方程通过“降次”化为一次方程。
（2）解一元二次方程的方法口诀：（如果缺少常数项，因式分解没商量；方程没有一次项，直接开方最理想；同时不为零，因题而异择良方。
、、相等都为零，等根是零不要忘；ccbb）在用多种方法都可以解一元二次方程且没有特殊规定方法时，首先考虑的方法是直接开平方法和因3（式分解法，其次再考虑配方法和求根公式法。