343《简单线性规划的应用》课件北师大版必修5

• 解析： 设此工厂应分别生产甲、乙产品x
kg、y kg，利润z万元，则依题意可得约束 条件：
9x＋4y≤360
①
4x＋5y≤200 ②
3x＋10y≤300 ③
x≥0 ④
y≥0 ⑤
利润目标函数为：
z＝7x＋12y.
• 作出可行域，作直线l：7x＋12y＝0，把直线l
向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的 点M，且与原点距离最大，此时z＝7x＋12y取 最大值．
• 答案： 8
• 3．有一化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生
产1车皮甲种肥料或1车皮乙种肥料需要的主要 原料和产生的利润分别为：磷酸盐2 t，硝酸盐 9 t，利润8 000元或磷酸盐2 t，硝酸盐5 t，利 润6 000元．工厂现有库存磷酸盐20 t，硝酸盐 70 t，应生产甲、乙肥料各多少车皮可获得最 大利润？
• 答：企业可获得的最大利润为27万元．
• [题后感悟] 线性规划的应用问题，关键是
根据题目正确的列出变量的约束条件与目 标函数，准确地画出可行域，确定其最优 解．
• 1.某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产
品1 kg要用煤9 t，电力4 KW，劳动力(按工作 日计算)3个；制造乙产品1 kg要用煤4 t，电力5 KW，劳动力10个．又知制成甲产品1 kg可获 利7万元，制成乙产品1 kg可获利12万元，现 在此工厂只有煤360 t，电力200 KW，劳动力 300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品 各多少千克获得最大经济效益？
________百元．
解析： 设药剂A、B分别配x剂、y剂，
则52xx＋＋45yy≤≤2250 x、y∈N＋
，销售额z＝x＋2y，
作出可行域如图．
令z＝0得直线x＋2y＝0， 平移此直线过点M时z最大， 由25xx＋ ＋54yy＝ ＝2205 ， 得M4157，5107，调整得最优解(2,3)， ∴zmax＝2＋2×3＝8(百元)．
• A．z＝6x＋4y
B．z＝5x＋4y
• C．z＝x＋y
D．z＝4x＋5y
• 答案： A
• 2．配制A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料，
用料要求如表所示(单位：千克)
药剂 原料甲 乙
A
25
• 药剂A、B至少各B 配一剂，且5药剂A4、B每剂售
价分别为100元、200元．现有原料甲20千克，
原料乙25千克，那么可获得的最大销售额为
• 某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每
吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每 吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每 吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获 得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该 企业可获得最大利润是多少？
• 本题解答可先设出企业生产甲、乙两产品
53xx＋＋66yy≥≥5455，， x≥0，y≥0，
所以总面积为z＝2x＋3y.
作出可行域如图所示．当直线经过交点A时，z取得最 小值．
由35xx＋ ＋66yy＝ ＝4555， ， 得xy＝ ＝55， .
• 所以zmin＝2×5＋3×5＝25. • 即甲、乙两种钢板各用5张时，能保证制造
A，B两种外壳的数量，同时又能使总的用 料面积最小．
300x＋150y≥2 000
6x＋3y≥40
250x＋100y≥1 500
5x＋2y≥30
则有x≥0
，即x≥0
，
y≥0
y≥0
x，y∈N
x，y∈N
目标函数为：z＝x＋y.作出可行域，如图所示，
作出直线l0：x＋y＝0，平移直线经过直线6x＋3y－40＝ 0和y＝0的交点A230，0得直线l1的方程为x＋y＝230.由于230不 是整数，而最优解(x，y)中x，y必须都是整数，所以，可行 域内点 230，0 不是最优解．经过可行域内的整点(横、纵坐 标都是整数的点)且与原点距离最近的直线经过的整点是 (7,0)，即为最优解．
• 利用线性规划的方法解决实际问题的过程可分
为假设分配方案、确定目标函数、列出约束条 件、画出可行域、确定最优解、确定目标函数 最值、回归实际问题．
• 1．有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，
设需载重6吨的汽车x辆，载重4吨的汽车y辆，
则要运送最多的货物，完成这项运输任务的线
性目标函数为( )
3x－x＋45y≤y≤－253，， x≥1.
z的最大值和最小值分别为12,3 .
• 线性规划的应用
• 线性规划也是求值的一种，是求在某种限制范
围之下的最大值或最小值的问题限，制条其件关键是列
出所有
，不能有遗漏的部分，如有时变
量要求目标为函正数实数或自然数，其次是准确找到 ，如果数量关系多而杂，可以用列表等方
• 则z问＝x题－2转y＋化12为6在求约总束条运件费8x＋－yy－≥70≥0
x≥0
0≤x≤7
y≥0
即在0x＋≤yy≥≤78
下的最小值．
x＋y≤12
作出上述不等式组所表示的平面区
域，即可行域，
作出直线l：x－2y＝0，把直线l作
平行移动，显然当直线l移动到过点
A(0,8)时，在可行域内，z＝x－2y＋126取得最小值zmin＝0－ 2×8＋126＝110.
解方程组34xx＋ ＋150y＝y＝230000，， 得M点坐标为(20,24)． 即应生产甲种产品20 t，乙种产品24 t，才能使此工厂 获得最大利润．
• 某公司的仓库A存有货物12吨，仓库B存有
货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运 给甲、乙、丙三个商店，从仓库A运货物到商 店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6 元、9元；从仓库B运货物到商店甲、乙、丙， 每吨货物的运费分别为3元、4元、5元，问应
• 解答本题可先转化为线性规划问题，再利用
线性规划问题的知识求解，注意车辆数应为
整数．
[解题过程] 设每天从该公司调出A型卡车x辆，B型卡 车y辆，公司每天所花成本为z元，则z＝320x＋504y，其中 x，y满足约束条件
0≤x≤8
0≤x≤8
0≤y≤4 x＋y≤10
0≤y≤4
，即x＋y≤10
即x＝0，y＝8时，总运费最少．
• 答：仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0
吨、8吨、4吨；仓库B运给甲、乙、丙商店的 货物分别为7吨、0吨、1吨，此时，可使得从 两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．
• [题后感悟] (1)线性规划问题中条件往往较多，
需注意借助表格或图形梳理题目中的条件．
• (2)在切实认真审题的基础上，将约束条件全
部罗列出来，最后要检查能否取等号，未知量 是否为正整数或有其他范围的限制．
• 2.某工厂要制造A种电子装置45台，B种电子装
置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳， 已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每 张面积2 m2，可做A，B外壳分别为3个和5个， 乙种薄钢板每张面积3 m2，可做A，B外壳各6 个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的用 料解面析积： 最设小用．甲种薄钢板x张，乙种薄钢板y张，则
如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货 物到三个商店的总运费最少？
• 先设仓库A运给甲、乙商店的货物吨数，利
用题设等量关系表示出其他运物吨数，从而 表示出目标函数—总运费，列出线性约束条
件，建立线性规划模型．
• [解题过程] 将实际问题的一般语言翻译成数
学语言可得下表(即运费表，单位：元)
商店 每吨运费 甲 乙 丙 仓库
• 某运输公司接受了向抗洪抢险地方每天至少
运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重 为6吨的A型卡车与4辆载重为10吨的B型卡车， 有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数是： A型卡车为4次，B型卡车为3次．每辆卡车每 天往返的成本费为：A型卡车为320元，B型卡 车为504元，请你为该公司调配车辆，使公司 所花成本费最低．
，
24x＋30y≥180
4x＋5y≤30
x，y∈N
x，y∈N
作可行域如图(阴影内的整点)所示．
Βιβλιοθήκη Baidu
• 作直线l′：320x＋504y＝0， • 作一组与l′平行的直线l：320x＋504y＝t(t∈R)， • 由题设x，y是可行域内的整点的横、纵坐标． • 在可行域内的整点中，点(8,0)使t取最小值， • 即当l过点(8,0)时，t最小， • 即zmin＝8×320＝2 560(元)． • 答：每天从公司调A型卡车8辆就能完成任务，
• 3.有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两
种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输
效果见下表：
方式 轮船运 飞机运
效果
输量 输量
种类
(t) (t)
粮食
300 150
• 现在要在一石天油内运输2205000t粮食10和01 500t石油需
至少安排多少艘轮船和多少架飞机？
解析： 设需要安排x艘轮船和y架飞机，
解析： 设x，y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车
2x＋2y≤20 皮数．由题意得9x＋5y≤70，
x≥0，y≥0
工厂利润z＝8 000x＋6 000y.
由29xx＋ ＋25yy＝ ＝2700 得xy＝ ＝55’
• 即当直线8 000x＋6 000y－z＝0过(5,5)点时，z
取得最大值．
• 即生产甲、乙两种肥料各5车皮时可获得最大
题形式考查.
• 1．线性目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)把直
线l0：ax＋by＝0向右平增大移时，所对应的z随之
，减小把l0向左平移时，所对首应先的z随之
最后．在平移过程中与可行域
相交的
点和 相交的点，可使目标函数z＝ax＋by＋
c取得2．最设z值＝2．x＋也y，就其是中最变量优x，解y满．足条件
• (2)转化——设元．写出约束条件和目标函数，
从而将实际问题转化为数学上的线性规划问 题．
• (3)求解——解这个纯数学的线性规划问题．
• (4)作答——就应用题提出的问题作出回答．
• 2．解答线性规划应用题应注意的问题
• (1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的
条件较多，因此认真审题非常重要；
且公司所花成本费最低．
• [题后感悟] 对于线性规划中的最优整数解的
问题，当解方程组得到的解不是整数解时，可 用下面的方法求解：
• (1)平移直线法：先在可行域内打网格，再描
整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整 点坐标是整点最优解．
• (2)检验优值法：当可行域内整点个数较少时，
也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比 较得最优解．
• (2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以
判断；
• (3)结合实际问题，分析未知数x、y等是否有限
的吨数，再根据原料限制条件列出约束条
件，建立目标函数求解．
[解题过程] 设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y 吨，则该企业可获得利润为z＝5x＋3y，且
x≥0， y≥0， 3x＋y≤13， 2x＋3y≤18
联立32xx＋ ＋y3＝y＝131， 8 ，解得xy＝ ＝34， . 由图可知，最优解为P(3,4)， ∴z的最大值为z＝5×3＋3×4＝27(万元)．
• 4．3 简单线性规划的应用
• 1.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性
规划问题，并能加以解决．
• 2.培养学生应用线性规划的有关知识解决实际
问题的意识.
• 1.对利用线性规划解决实际问题的考查是本节
的热点．
• 2.本节内容常与实际问题结合问题．
• 3.多以选择题、填空题形式考查，也可以解答
A
869
• 设仓库A运给甲B、乙商店3的货物4 分别5 为x吨、y
吨，则仓库A运给丙商店的货物为(12－x－y)
吨；从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物应
分别为(7－x)吨，(8－y)吨，[5－(12－x－y)]吨，
即(x＋y－7)吨，于是总运费为
• z＋＝58(xx＋＋y6－y＋7)9＝(1x2－－2xy－＋17y12－)－2＋x6≥x.－30(y7≥－0 x)＋4(8－y)
答：至少安排7艘轮船和0架飞机．
• 1．解答线性规划应用题的一般步骤： • (1) 审 题 —— 仔 细 阅 读 ， 对 关 键部 分 进行 “ 精
读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件， 起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用 题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的 关系，有时可借助表格来理顺．
法把关系理清．
• 线性规划的理论和方法经常被应用于两类问题
中：一是在人力、物力、资金等资源一定的条 件下，如何使用其完成最多的任务；二是给定 一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的 人力、物力、资金等资源来完成这项任务．
• 在生产和生活中，常用于：①下料问题；②优
化安排活动问题；③优化运营问题等．