函数的表示法(一)

y
解：（1） 4
2
（2）
2 1 O
12
x
2
4
探究点:求函数解析式
一、函数的解析式: 把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等
式就叫函数的解析式，简称解析式. 二、求函数解析式的常用方法有：
1.代入法 2.待定系数法 3.换元法(配凑法)
例1.已知函数f(x)= x2 +1，求f(x+2）的解析式
f (xbk)2213,x,或13,k或 bf1(2.x,) 2x 1.
适合：已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例
函数等)求函数解析式.
3．换元法及拼凑法
例 3：已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)．
解法一：x＋2 x＝( x)2＋2 x＋1－1＝( x＋1)2－1， ∴f( x＋1)＝( x＋1)2－1( x＋1≥1)， 即 f(x)＝x2－1(x≥1)． 解法二：令 t＝ x＋1，则 x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式有 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
（实例1） 炮弹发射 h=130t-5t2 (0≤t≤26) （2）图象法：就是用图象表示两个两个变量之间的对应关 系。（实例2）
南极臭氧层空洞
（3）列表法：
就是列出表格来 表示两个变量之 间的对应关系。 （实例3）
函数的三种表示法的优点和缺点：
解析法
优点
缺点
一是简明、全面地概括了变量间的关系； 二是可以通过解析式求出任意一个自变量 的值所对应的函数值。
x, x≥0, y= -x, x<0.
4 3 2 1
x
O 5 10 15 20 x
2, 0 x ≤ 5,
y

3, 4,
5 x ≤ 10, 10 x ≤15,
5, 15 x ≤ 20.
此函数用列表法表示
里程 x(km)
票价 y(元)
0 x ≤5 5 x ≤10 10 x ≤15 15 x ≤20
况比较稳定而且成绩优秀. 张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上
下波动，而且波动幅度较大. 赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的
成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高.
画出下列函数图象: (1) f (x) 2x, x R,且 x 2；
(2) f (x) x 2,(x N,且 x 3);
演练反馈
2.已知抛物线的顶点为（－1，－3），与轴交点为
（0，－5）求抛物线的解析式？
一般式： y=ax2+bx+c 解：设所求的二次函数为 y=a(x＋1)2-3
y
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
由条件得： 点( 0,-5 )在抛物线上
a-3=-5, 得a=-2
x o
顶点式： y=a(xh)2+k
3, 4,
0 x ≤ 5, 5 x ≤ 10, 10 x ≤15,
y
5 4 3
5, 15
有些函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范 围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数．
y
y
5
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
解：f(x+2)=(x+2)2+1=x2+4x+5
变式练习 设f(x)=2x-3,g(x)=x2+2,求f[g(x)]和g[f(x)]的解析式 解：f[g(x)]=2(x2+2)-3=2x2+1
g[f(x)]=(2x-3)2+2=4x2-12x+11
这种求解析式的方法叫做 “直接代入法”。
2．待定系数法 (函数类型确定时用此法)
82.6
请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分 析.
分析：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太 容易分析每位同学的成绩变化情况.如果将“成绩”与“测试序 号”之间的关系用函数图象表示出来，如下图，那么就能比较 直观地看到成绩的变化情况.这对我们的分析很有帮助.
解：从图中可以看到: 王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情
(2) 5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按5公 里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价y与 里程x之间的函数解析式,并画出函数的图象．
解:设票价为y元,里程为x公里,由题意可知,自变量的取值范
围是(0,20］,由票价制定规则,可得到以下函数解析式：
2,
y

例2 下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数
学测试的成绩及班级平均分表.
第一次 成绩 测试序号
姓名
王伟 98
张城 90
赵磊 68
班级平 均分
88.2
第二次 87 76 65
78.3
第三次 91 88 73
85.4
第四次 92 75 72
80.3
第五次 88 86 75
75.7
第六次 95 80 82
演练反馈
5.已知f ( x 1) x2 1 1 ,求f ( x).
x
xx
解：
f (1
1 x
)

1 x2

1 x
1
令
1
1 x

t,
则
x
t
1
1,t

1,
f (t) (t 1)2 (t 1) 1.
t2 t 1, (t 1). 即 f (x) x2 x 1, (x 1).
用图象法可将函数表示为右图： 函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、 离散的点等。
(1)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围？
函数的定义域是函数存在的前提，写函数解析式的时候， 一般要写出函数的定义域. (2)用描点法画函数图象的一般步骤是什么？
列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线)
点M( 0,1 )在抛物线上
所以：a(0+1)(0-1)=1
x o
顶点式： y=a(x-h)2+k
得： a=-1
故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1)
即：y=－x2+1
时间应分配得精密，使每年、每月、每日 和每小时都有它的特殊任务。
2.1.2 函数表示法
1.回顾初中函数的表示方法有哪些？
2.下面是函数的哪些表示方法？
（1）一次函数 y 2x 4;
（2）某同学在一个学期中数学 月考的成绩如下表：
月份
9 10 11 12
数学成绩 （分）
83 68 97
86
（3） y x2
函数的常用表示方法:
（1）解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
三是函数关系清楚，便于研究函数性质。
不够形象、直 观、具体，一 些实际问题很 难找到它的解 析式。
图像法
直观形象地表示自变量的变化，相应的函 感性观察，不
数值变化的趋势，有利我们通过图象研究 够准确，画面
函数的某些性质。
局限性大。
列表法
不需要计算就可以直接看出与自变量的值 只能表示有限
相对应的函数值。这种方法常常应用到实 个元素间的函
际生产和生活中去。
数关系。
例1 某种笔记本的单价是5元，买 x x 1, 2,3, 4,5
个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数. 解：这个函数的定义域是｛1,2,3,4,5｝
用解析法表示为 y 5x, x 1,2,3,4,5
用列表法表示如下：
x 1 2 3 45 y 5 10 15 20 25
故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)2-3 即：y=－2x2-4x－5
演练反馈
3.已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0） 并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？
一般式： y=ax2+bx+c
解：设所求的二次函数为
y=a(x＋1)(x－1） y
由条件得：
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
2
3
4
5
此分段函数的定义域为 (0, 20]
此分段函数的值域为 {2,3,4,5}
①自变量的范围是怎样得到的？②自变量的范围为什 么分成了四个区间？区间端点是怎样确定的？③每段 上的函数解析式是怎样求出的？
演练反馈
1.已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、 （1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？
例2.已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x－1, 求f(x)的解 析式. 解:设 f (x) = kx+b,
则 f[f(x)]=f(kx+b)=k(kx+b)+b =k2x+kb+b=4x－1.
必有

k2 kb
4, b 1,
2b
k
b
2,
1,或2bkb2,1.
一般式： 解： 设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c y y=ax2+bx+c
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
由条件得：
a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7
ox
顶点式：
解方程得： a=2, b=-3, c=5
y=a(x-h)2+k 因此：所求二次函数是： y=2x2-3x+5
注意点：注意换元的等价性，即要求出 t 的取值范围.