场与矢量(流体力学)
矢量场的基本概念和算法
矢量场的基本概念和算法绪论矢量场，指任意空间位置周围的矢量组成的函数，是现代计算机图形学中重要的研究内容之一。
矢量场通常指的是二维或三维空间中的矢量场，本文主要针对这种情况进行讨论。
矢量场广泛应用于流体力学、电磁学、医学图像处理等领域，因此对其基本概念和算法的理解和掌握是非常重要的。
一、矢量场的基本概念1.1 矢量矢量是指具有大小和方向的物理量，通常用箭头表示。
在二维平面中，矢量可以表示为由其起点 $(x_0,y_0)$ 到终点$(x_1,y_1)$ 的向量 $\vec{v}$，其大小为 $|\vec{v}|=\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}$，方向为与 x 轴正方向的夹角 $\theta$，即$\theta=\arctan \dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$。
在三维空间中，矢量可以表示为由其起点 $(x_0,y_0,z_0)$ 到终点 $(x_1,y_1,z_1)$ 的向量 $\vec{v}$，其大小为$|\vec{v}|=\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2+(z_1-z_0)^2}$，方向为与x 轴正方向、y 轴正方向、z 轴正方向的夹角 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$。
1.2 矢量场矢量场是指在空间任意点上有定义的矢量函数，即将每个位置$(x,y,z)$ 映射到一个矢量 $\vec{v}$ 上的函数$\vec{F}(x,y,z)=(F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z))$。
矢量场的一个重要性质是：在空间中任意一点上的矢量大小和方向可以确定。
1.3 梯度梯度是指矢量场瞬时变化率的向量，其大小表示矢量场在某个点上的变化率，而方向表示变化的最快方向。
在二维平面中，矢量场 $\vec{F}(x,y)=(F_x(x,y),F_y(x,y))$ 在某个点 $(x_0,y_0)$ 处的梯度可以表示为 $\nabla \vec{F}(x_0,y_0)=(\dfrac{\partialF_x}{\partial x}(x_0,y_0),\dfrac{\partial F_y}{\partial y}(x_0,y_0))$。
矢量场的环量旋度
矢量场的环量__旋度
在矢量分析和流体力学中，矢量场的旋度（或称为旋涡）是一个重要的概念。
旋度描述了一个矢量场在某一点的变化率和方向。
具体来说，它给出了一个矢量场在某一点围绕一个点或一条线的旋转强度和方向。
旋度的数学定义是 curl(F) = ∇× F，其中 F 表示矢量场，∇表示哈密顿算子（一个矢量算子），× 表示矢量的叉乘。
这个定义表明，旋度是一个矢量，其大小等于原矢量场在三个方向上的变化率的最大差值，其方向垂直于原矢量场所在的平面。
在具体应用中，旋度有很多重要的用途。
例如，在电磁学中，根据安培定律和法拉第电磁感应定律，磁场的变化会产生电场，这个电场的大小和方向与磁场的变化率和方向有关。
这表明旋度在电磁场的变化和传播中起着重要作用。
在流体力学中，旋度描述了流体速度场的旋转情况。
如果一个流体速度场的旋度很大，那么这个流体的旋转速度就很大。
这种旋转流体在自然界和工程中有很多重要应用，例如龙卷风、旋涡星云、水涡等。
此外，在向量场中，如果一个向量场的旋度为零，那么这个向量场就是无旋的。
无旋向量场在很多实际应用中具有重要价值。
例如，无旋的电流场不会产生磁场，因此不会受到磁场的干扰。
因此，在电力工程中，无旋电流场的设计和分析是非常重要的。
总之，矢量场的旋度是一个描述矢量场在某一点的变化率和方向的重要概念。
它在矢量分析、流体力学、电磁学、工程应用等领域中有广泛的应用。
通过对旋度的计算和分析，我们可以更好地理解和描述自然现象以及设计各种实际应用。
流体力学
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 描述流体运动的两种方法
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体 质点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。
研
欧拉法
究
方
着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动 特性的各种物理量的矢量场与标量场
7.湿周 水力半径 当量直径
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。
圆形截面管道的几何直径
d 2 4A d 4R d x
D
R
A x
非圆形截面管道的当量直径
4A 4R x
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
二、欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中 各空间点的运动来研究流动的方法。 ——流场法
研究对象：流场
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动
流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在 流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不 理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中 的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多 的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时 间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
1.速度
u ux, y, z, t
向量场的数学分析
向量场的数学分析向量场是随着微积分学的发展而被提出的一个概念，具有广泛的应用，如在电磁学、流体力学、机械工程等领域中都有广泛的运用。
在此，本文将着重讨论向量场的数学分析问题。
一、向量场的定义与分类向量场是指一个区域内，每个点都对应着一个向量的场。
向量场可以分为标量场和矢量场两类，标量场表示的是每个点具有一个实数值的场，矢量场可以用一个向量来表示这个场。
向量场又可以细分为旋度场和散度场两种，旋度场指的是向量场围绕轴心旋转的情形，散度场指的是向量场从一个区域流出或流入的情形。
二、向量场的数学分析1. 梯度梯度是标量场的一个重要概念，它表示的是一个标量场在给定点的变化率。
对于标量场f(x,y,z) ，其梯度场∇f可以表示为：∇f= i(∂f/∂x) + j(∂f/∂y) + k(∂f/∂z)其中，i、j、k分别表示$x$、$y$、$z$方向的单位向量。
梯度的几何意义是标量场的变化率最大的方向，即在这个方向上的变化率是其它方向上的变化率的最大值。
2. 散度散度是矢量场的一个重要概念，它表示的是一个矢量场在给定点的流出或流入的数量。
对于矢量场$F(x,y,z)$，它的散度场divF可以表示为：divF=∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z散度的几何意义是表示在一个有限区域内，流入该区域的流量与流出该区域的流量之差除以该区域的体积。
3. 旋度旋度是矢量场的另一个重要概念，它表示的是一个矢量场围绕轴心旋转的程度。
对于矢量场$F(x,y,z)$，它的旋度场rotF可以表示为：rotF= i(∂Fz/∂y- ∂Fy/∂z) + j(∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x ) + k(∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y)旋度的几何意义是表示的是一个矢量场的围绕轴心旋转的激烈程度。
三、向量场的应用1. 电磁学在电磁学领域中，电场和磁场都可以用向量场来表示。
矢量场在这一领域中应用十分广泛，它能够用于研究电磁波的传播和电荷的运动等问题。
第一章 流体力学基础知识
第一章流体力学基础知识本章先介绍流体力学的基本任务，研究方向和流体力学及空气动力学的发展概述。
然后介绍流体介质，气动力系数，矢量积分知识。
最后引入控制体，流体微团及物质导数的概念。
为流体力学及飞行器空气动力学具体知识的学习做准备。
1.1流体力学的基本任务和研究方法1.1.1流体力学的基本任务流体力学是研究流体和物体之间相对运动（物体在流体中运动或者物体不动而流体流过物体）时流体运动的基本规律以及流体与物体之间的作用力。
而空气动力学则是一门研究运动空气的科学。
众所周知，空气动力学是和飞机的发生，发展联系在一起的。
在这个意义上，这门科学还要涉及到飞机的飞行性能，稳定性和操纵性能问题。
事实上，空气动力学研究的对象还不限于飞机。
空气相对物体的运动，可以在物体的外部进行，像空气流过飞机表面，导弹表面和螺旋浆等；也可以在物体的内部进行，像空气在风洞内部和进气道内部的流动。
在这些外部或内部流动中，尽管空气的具体运动和研究运动的目的有所不同，但它们都发生一些共同的流动现象和遵循一些共同的流动规律，例如质量守恒，牛顿第二定律，能量守恒和热力学第一定律，第二定律等。
研究空气动力学的基本任务，不仅是认识这些流动所发生现象的基本实质，要找出这些共同性的基本规律在空气动力学中的表达，并且研究如何应用这些规律能动地解决飞行器的空气动力学问题和与之相关的工程技术问题，并对流动的新情况、新进展加以预测。
1.1.2空气动力学的研究方法空气动力学研究是航空科学技术研究的重要组成部分，是飞行器研究的“先行官”。
其研究方法，如同物理学各个分支的研究方法一样，有实验研究、理论分析和数值计算三种方法。
这些不同的方法不是相互排斥，而是相互补充的。
通过这些方法以寻求最好的飞行器气动布局形式，确定整个飞行范围作用在飞行器的力和力矩，以得到其最终性能，并保证飞行器操纵的稳定性。
实验研究方法在空气动力学中有广泛的应用，其主要手段是依靠风洞、水洞、激波管以及测试设备进行模拟实验或飞行实验。
矢量分析与场论
矢量分析与场论简介矢量分析与场论是研究物理学中的重要分支，广泛应用于电磁学、流体力学、力学等领域。
矢量分析用于描述和分析具有大小和方向的物理量，例如力、速度、加速度等。
场论则将物理量看作空间中的场，并通过场的分布和变化来描述物理现象。
本文将介绍矢量分析的基本概念和常见运算，并探讨场论的基本原理和应用。
矢量分析矢量的定义和表示矢量是具有大小和方向的物理量。
在二维空间中，矢量可以表示为有序对(x, y)，其中x和y分别表示矢量在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，矢量可以表示为有序三元组(x, y, z)，其中x、y和z分别表示矢量在x轴、y轴和z轴上的分量。
通常将矢量用粗体字母如A表示。
矢量的运算矢量之间可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
矢量的加法两个矢量A和B的加法定义为将它们的相应分量相加，即：A +B = (Ax + Bx, Ay + By)两个矢量A和B的减法定义为将B的相应分量取负后与A相加，即：A -B = (Ax - Bx, Ay - By)数量乘法将矢量的每个分量乘以一个实数称为数量乘法，表示为：c A = (cAx, cAy)矢量的模和方向矢量的模表示矢量的大小，矢量的方向表示矢量的指向。
在二维空间中，矢量(x, y)的模可以通过勾股定理求得：||A|| = sqrt(x2 + y2)在三维空间中，矢量(x, y, z)的模可以通过类似的方法求得：||A|| = sqrt(x2 + y2 + z2)矢量的方向可以用一个角度来表示，通常用与x轴的夹角来表示，记为θ。
矢量的点积和叉积矢量的点积和叉积是矢量分析中常用的运算。
两个矢量A和B的点积定义为两个矢量的模相乘再乘以它们夹角的余弦值，表示为A·B：A·B = ||A|| ||B|| cos(θ)点积的结果是一个标量，即一个没有方向的量。
点积还满足交换律和分配律。
矢量的叉积两个矢量A和B的叉积定义为一个新的矢量，其模等于两个矢量模的乘积再乘以它们夹角的正弦值，表示为A×B：A×B = ||A|| ||B|| sin(θ) n其中n是一个垂直于A和B的单位矢量，它的方向由右手法则确定。
矢量分析与场论讲义
矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。
而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。
通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。
第一章 矢量分析一 内容概要1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。
与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。
2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。
3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。
如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()dsd s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。
这一点在几何和力学上都很重要。
4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。
因此单位矢量与其导矢互相垂直。
比如圆函数()j ie t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。
（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。
高等流体力学—场论及张量初步
Vz diva lim V 0 x y z Q
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
a x a y a z diva lim V 0 x y z Q
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
极限存在的证明： Stockes公式：线积分与面积分的关系 中值公式：面积分与函数值的关系
az a y rotx a y z a x a z rot y a z x a y ax rotz a x y
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
grad i j k x y x
dr dxi dyj dzk
梯度的主要性质
grad i j k x y z
dr dxi dyj dzk
dr grad
dx dy dz x y z
an：矢量a在法线方向的投影 an dS:矢量a通过面积元dS的通量
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
在整个曲面上积分，得矢量a通过S面的通量
a dS n
s
实质上相当于函数的面积分
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
当S面为封闭曲面时，通量为：
a dS n
s
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
S 0
a dr
L
S
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
极限存在的证明： Stockes公式：线积分与面积分的关系
a dr a dx a dy a dz x y z
L L
a z a y cos(n, x) s z y
i rota x ax j y ay k i z x az x j y y k 0 z z
流体力学的基本假设和方程组
流体力学的基本假设和方程组流体力学是研究流体运动规律和性质的学科。
在研究过程中，人们提出了一系列的基本假设和方程组，用于描述和解释流体力学现象。
本文将介绍流体力学的基本假设和方程组，并探讨它们在研究中的应用。
一、连续性假设在流体力学中，连续性假设是基本的假设之一。
它假设流体是连续的，即具有无限多的微小体积。
根据连续性假设，流体的各种性质在空间和时间上都是连续变化的。
这个假设使得我们能够用数学方法来描述和求解流体力学问题。
二、流体的运动描述流体的运动可以通过流体的速度场来描述。
速度场是流体中每个位置和时间点上速度矢量的集合。
通常，我们使用速度矢量的三个分量来描述速度场，即速度分量 u、v 和 w。
这些分量代表流体在 x、y 和 z 方向上的速度。
三、流体的运动方程流体的运动可以由一组方程来描述，即流体力学的基本方程。
其中包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
1. 质量守恒方程质量守恒方程描述了流体质量的守恒规律。
它表达了一个简单的原理：质量既不能被创建也不能被销毁，只能通过流体的流动改变位置。
数学形式上，质量守恒方程可以表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0其中，ρ表示流体的密度，t表示时间，u表示流体的速度。
方程右侧的项表示质量的输入和输出。
2. 动量守恒方程动量守恒方程描述了流体运动的力学特性。
它可以分解为三个方程，分别描述了流体在 x、y 和 z 方向上的动量守恒。
数学形式上，动量守恒方程可以表示为：∂(ρu)/∂t + ∇·(ρu⊗u) = -∇p + ∇·τ∂(ρv)/∂t + ∇·(ρv⊗v) = -∇p + ∇·τ∂(ρw)/∂t + ∇·(ρw⊗w) = -∇p + ∇·τ其中，p表示压力，τ表示应力张量。
3. 能量守恒方程能量守恒方程描述了流体运动中能量的转化和传递。
它包括两个主要项：内能和流体的机械能。
高等流体力学第一章10.25
二阶张B aij b jl a B ai bik B a bij a j A : B aij bij
4)三阶符号张量
其定义为：
0 当i, j, k中有两个以上指标取值 相同时 ijk 1 当i, j, k为偶排例时（ 如123 231 312等） ， ， 1 当i, j, k为奇排例时（ 如132 213 321 ， ， ）
例如:
aibi a1b1a2b2 a3b3
a j a1 a2 a3 a x j x1 x2 x3
注意：两式的结果都是标量。
（1）指标表示法和符号约定
指标表示法 直角坐标的3个方向记做1、2、3， x、y、z 分别计作 x1、x2、x3，
ax、ay、az 分别计作 a1、a2、a3，
二阶张量点积即两个张量中相邻的两个单位矢量作点积运算，得到 一个新的二阶张量。
（2）笛卡尔张量
二阶张量的代数运算 点积和双点积 2) 二阶张量与矢量的点积
a B ai ei bjk e j ek aibjkijek aibik ek
B a bij ei e j ak ek bij ak ei jk bij a j ei
i , j , k 分别计作
e1 , e2 , e3 ,
a ax i ay j az k a1e1 a2e2 a3e3
求和约定 在同一项中如有两个指标相同时，就表示对该指标从1到3求和,
ai ai a12 a2 2 a32 a
1.3 张量记法
张量记法包括下标记法,求和约定,二阶单位张 量,三阶符号张量等 。 1）张量的下标记法 从形式上看,张量是由3n 个分量确定的物理量, 通常采用张量的名配上n个下标来表示.其每一 个下标都约定可取1,2,3, 又称为自由指标。 2)求和约定 约定:若在同一项中出现两个下标相同,就表示 要对该下标从1到3求和。
矢量场的散度名词解释
矢量场的散度名词解释矢量场是数学中一个重要的概念，常见于物理学和工程学中的描述和分析问题。
散度作为矢量场的一个重要性质，具有深远的意义。
本文将对矢量场的散度进行一个名词解释，并探讨其在数学和物理领域中的应用。
一、矢量场的定义矢量场可以理解为在空间中的每个点上存在一个矢量，这个矢量可以表示某种物理量的大小和方向。
比如，速度场中的矢量可以表示每个点处的速度大小和方向。
形式上，矢量场可以用一个函数来描述，该函数将每个点和一个矢量相对应。
我们可以将矢量场看作是一个从空间到矢量的映射。
二、散度的定义矢量场的散度描述了在每个点上的矢量变化的“量级”。
在物理学中，我们常常将散度理解为物质或能量的流量。
正式地说，给定一个矢量场F=(F1,F2,F3)，其中F1、F2和F3分别表示空间中的x、y和z方向上的分量，那么矢量场的散度定义为散度向量D=(∂F1/∂x, ∂F2/∂y, ∂F3/∂z)的数量。
散度的物理解释是，如果在一个点上的矢量场的散度为正，表示该点上的物质或能量在单位时间内正方向上流入。
而如果散度为负，则表示物质或能量在单位时间内反方向上流出。
对于散度为零的情况，表示物质或能量在这个点周围没有流动。
三、散度的计算在计算散度时，我们使用偏导数来描述矢量场在各个方向上的变化率。
比如，如果F=(x^2, 3y^2, z^2)，那么我们可以计算出∂F1/∂x=2x、∂F2/∂y=6y和∂F3/∂z=2z，从而得到该矢量场的散度向量D=(2x, 6y, 2z)。
四、散度的应用散度作为矢量场的一个重要性质，在数学和物理领域中有着广泛的应用。
1. 流体力学中的应用：在流体力学中，散度描述了流体的流动情况。
例如，对于一个速度场，散度表示了流体的源和汇，以及流体流动的强度。
这对于分析流体流动和设计管道系统非常重要。
2. 电磁学中的应用：在电磁学中，电场和磁场都可以看作是矢量场。
通过计算电场和磁场的散度，可以得到电荷和电流的分布情况，从而研究电磁学现象。
高等流体力学第一讲
结果为标量
3. 叉积
av
v b
(a2b3
a3b2
)ev1
(a3b1
a1b3
)ev2
(a1b2 a2b1)ev3
ev1 a1
b1
ev2 ev3
a2 a3
b2 b3
3
第一讲，附录部分：数学基础
二、场的概念，梯度及方向导数
1. 场：一种函数，描述空间区域或空间与时间的函数
uv uv(x, y, z,t) uv(rv,t)
数学场——用标量描述空间叫标量场，用向量表示叫向 量场。
2.
哈密度算子：
e1
x
e2
y
e3
z
是一个具有微分及矢量双重运算性质的计算符号。
拉普拉斯算子：
2 2 2 2 x2 y2 z2
是一个具有微 分的标量算4符。
第一讲，附录部分：数学基础
高等流体动力学
主讲：赵鹤 能源与动力工程学院动力工程系
1
课程简介
一、课程名称: 高等工程流体力学 二、教材： 张鸣远 高等工程流体力学（第一版） 西安交通大学出版社 2006.7 三、参考书： 张鸣远 高等工程流体力学练习题解 西安交通大学出版社 2008.8 吴望一 流体力学 北京大学出版社
2
第一讲，附录部分：数学基础
x y z
ux uy uz
divergence--div： 矢量----标量：
rotation--rot：
矢量----矢量：
6
例：
为一速度势函数
1.速度场的梯度 速度（向量）
2.速度的散度：
赏析矢量场的场管及通量问题
＾ ＾ ＾
图２
＝
ＪＪ
ｌＡ． Ｓ＝ Ｉ ｃｓ ｄ ｌ ｄ ｌ ｏＯ Ｓ
ＪＪ
・
（）
（）
式 中 为 Ａ与面 元 ｄ 的 法线 ∞ 间 的夹 角 ， 之 ｄ ＝ｎ Ｓ ｄＳ．如 流速 场 中 的流 量 ，磁 场 中 的 磁通 量 等属于通量 “．下面 以常见的矢量场 为例 ，赏析竞 赛 试题 中矢 量 场 中 的场 管 及 通 量 问 题 ．
积 ，应 该 等 于 通 过 截 面 △ ， 出这 一 区 域 的 流 体 的 流 体 积 ， 即
口 △ ＝ ７ △ ． １ ） ２
点评 ：对 飞机而言 ，其质量与体积成正 比，即 与线度 的三 次方成正 比，螺旋浆叶片的线度与飞机 的线度之 间有确定 的比例关系 ，因此螺旋浆叶片旋 转 形成 的面积也与飞机线度的二次方成正 比．螺旋 桨对 空气柱 的作用 ，通过建构空气流管，使 问题 迎
一
悬停在 空中，其发动机功率为 只 若把三 维尺 寸全 部减半 ，而 密度 不 变 ，则当它同样停
在 空 中时 ，其 发 动 机 的功率 Ｐ 应为 多少 ？ 解 析 ： 使 直 升 飞机 悬 停 在 空 中所 需 的机 械 功 率 只
管． 矢量场 Ａ通过一个截面 Ｓ的通量 定义 为面积
体 ， 而 定 常 流动 是指 不 同 时刻 ，通 过任 一 固 定 点 的 流 速 不 随 时 间 改变 ． 如图 １ 所 示 ， 流 体 中 在 取一细流管， ２ 并 任 意 作 两 个 垂 直 流 管 的截 面 和
△２ ，如 以 ｌ 图１
流 过 的空 气 一 个 速
度 口， 螺旋桨扫过 的面积为 则 由动量定理，有
Ｆ： ． ． 空气 的密 度 设
流体力学中的流速场
流体力学中的流速场流体力学是研究流体运动和力学性质的学科，而流速场则是流体力学中的一个重要概念。
流速场描述了流体在空间中的速度分布情况，对研究流体的运动规律具有重要作用。
本文将从理论模型、数学方法和工程应用三个方面探讨流体力学中的流速场。
Ⅰ. 理论模型在流体力学中，流速场通常通过矢量场来表示。
矢量场是一个向量的集合，每个向量代表了在空间中某一个点上的速度和方向。
流速场可以是二维的，也可以是三维的，具体取决于流动的环境和目标研究的问题。
流速场的描述常常借助于流线图和流函数等工具。
流线图通过将流速场上的向量与流体微粒的运动轨迹相结合，直观地展示了流体的流动情况。
流函数则是流速场的一个标量函数，通过求解流体力学的基本方程，可以得到流场的解析解。
流函数可用于计算速度分布、流线的形状及其它流动特性。
Ⅱ. 数学方法在数学上，流速场可以通过偏微分方程来描述。
流体力学中常用的偏微分方程包括连续性方程和动量方程。
连续性方程描述了流体的质量守恒，它要求在流体的任何给定点上，流体的流入速度与流出速度之和等于零。
动量方程则描述了流体受到的力以及根据这些力而改变流动状态的响应。
对于一维流动，流速场可以由初值问题求解，常见的方法有特征线方法和叠加原理等。
对于二维和三维流动，数值方法如有限差分法和有限元法等解析方法常用于求解流速场。
Ⅲ. 工程应用流速场的研究对于工程领域具有广泛的应用价值。
在流体力学的研究中，流速场可以帮助工程师预测并优化流体在管道、河流、空气动力学等环境中的流动情况。
例如，在空气动力学中，流速场的研究可以用于风力发电机叶片的设计，以提高发电效率。
除此之外，流速场的研究还可应用于导航、地质勘探、环境保护等领域。
例如，在河流导航中，流速场可以帮助船只寻找最佳路径并避免潜在的危险。
在地质勘探中，流速场可以模拟地下水的流动情况，有助于识别地下水资源和地下污染的传播。
综上所述，流速场是流体力学中的重要概念，用于描述流体在空间中的速度分布情况。
矢量具有大小和方向的物理量
矢量具有大小和方向的物理量矢量是物理学中的重要概念，它具有大小和方向的特点。
矢量在物理学中广泛应用于力学、电磁学、流体力学等领域，对于描述和分析复杂的物理现象有着重要的意义。
本文将以力学领域为例，探讨矢量的特性及其应用。
一、矢量的定义与运算矢量是指在空间中具有大小和方向的物理量。
在直角坐标系下，矢量可以用坐标表示为一个有序数对(x, y, z)，其中x、y、z分别表示在x、y、z轴上的投影。
1. 矢量的大小矢量的大小表示为矢量的模，通常用符号|A|表示。
对于(x, y, z)的矢量A来说，其大小计算公式为|A| = √(x^2 + y^2 + z^2)。
矢量的大小是一个标量，它表示了矢量的长度或大小。
2. 矢量的方向矢量的方向指的是矢量所指向的直线或轴。
在直角坐标系下，矢量的方向可以用与坐标轴之间的夹角来表示。
该夹角通常用符号θ表示。
3. 矢量的运算矢量之间的运算包括加法、减法和数乘。
（1）矢量的加法矢量的加法满足三角形法则。
即将两个矢量的起点置于同一点，然后依次将它们相连，连接的结果即为两个矢量的和。
用符号表示为 A + B = C。
在直角坐标系下，两个矢量A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)的和C(x₃, y₃, z₃)的坐标可以表示为 x₃ = x₁ + x₂，y₃ = y₁ + y₂，z₃= z₁ + z₂。
（2）矢量的减法矢量的减法也可以通过三角形法则实现。
即将减去的矢量B反向，然后进行矢量的加法运算。
用符号表示为A - B = C。
在直角坐标系下，两个矢量A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)的差C(x₃, y₃, z₃)的坐标可以表示为 x₃ = x₁ - x₂，y₃ = y₁ - y₂，z₃ = z₁ - z₂。
（3）矢量的数乘矢量的数乘是指将矢量乘以一个标量。
用符号表示为 kA，其中k为标量。
对于矢量A(x, y, z)和标量k来说，数乘的结果为kA(kx, ky, kz)。
工程流体力学中的速度场分析
工程流体力学中的速度场分析工程流体力学中的速度场分析是指对流体在运动过程中速度的分布和变化进行研究和分析。
在工程领域中，流体力学中的速度场分析是非常重要的工作，它涉及到流体的运动特性和流体对结构物的影响。
本文将从速度场的概念和定义、速度场分析的方法以及应用领域三个方面对此进行详细介绍。
首先，我们来了解一下速度场的概念和定义。
速度场是指在空间中任意一点上，流体流动的瞬时速度的空间分布情况。
在工程流体力学中，通常我们会通过实验或数值模拟的方法来获取速度场的信息。
速度场可以用矢量场的形式表示，每个矢量代表一个流体质点的速度大小和方向。
通过分析速度场，可以了解流体的流动状态、速度分布、速度梯度等重要性质。
其次，我们将介绍速度场分析的方法。
速度场分析的方法主要包括实验方法和数值模拟方法两种。
实验方法是通过物理实验手段，在流体中设置传感器或流场可视化装置，来直接观测和测量速度场。
实验方法的优点是可以获得准确的实际流动情况，但需要相对较大的工作量和成本。
数值模拟方法则是通过计算机模拟流体的运动过程，通过离散化流场，利用数值方法求解包括速度场在内的流动规律。
数值模拟方法具有精确性高、成本低、操作灵活等优点，已经成为速度场分析的主要手段。
实验方法中常用的速度场分析技术包括热线法、激光多普勒测速法、PIV（粒子图像测速）法等。
热线法通过在流场中安置热线丝，通过测量热线丝上的温度变化来推算速度场。
激光多普勒测速法是利用激光束穿过流动介质，由激光与流体中的颗粒相互作用导致散射光的多普勒频移，从而得到速度场信息。
PIV法则通过在流场中喷入微粒，并利用成像系统连续拍摄微粒的运动轨迹，通过图像处理软件得到速度场分布。
数值模拟方法中常用的速度场分析技术包括有限元方法、有限差分方法、计算流体动力学（CFD）等。
有限元方法是一种将流场离散化成有限个控制体元，通过数值方法求解各个控制体元的速度内插值得到速度场分布的方法。
有限差分方法则是将流场离散化为网格，通过计算不同网格点处的速度值来求解速度场。
流体力学散度
流体力学散度流体力学是研究流体运动和相互作用的科学。
在流体力学中，散度是一个重要的概念，用来描述流体的流动性质和流场的分布情况。
散度是一个矢量场的微分运算，用来描述矢量场在某一点上的流入流出情况。
在流体力学中，矢量场可以是速度场、压力场等。
散度可以通过计算矢量场的导数来得到。
散度的物理意义是描述了流体在某一点上的流入流出情况。
如果矢量场的散度为正，则表示流体在该点处有流出现象；如果矢量场的散度为负，则表示流体在该点处有流入现象；如果矢量场的散度为零，则表示流体在该点处没有流入流出现象。
散度的计算公式是通过对矢量场的分量求偏导数，并将偏导数相加得到的。
在三维空间中，散度的计算公式为：div（V）= ∂Vx/∂x + ∂Vy/∂y + ∂Vz/∂z其中，Vx、Vy和Vz分别表示矢量场V在x、y和z方向的分量。
散度的计算可以帮助我们了解流体的流动性质和流场的分布情况。
例如，在流体力学中，我们可以通过计算速度场的散度来判断流体是否存在源汇，以及流体的流动方向和速度大小。
同时，散度也可以用来描述流体的压力分布情况，从而帮助我们分析流体力学问题。
散度在流体力学中有许多重要的应用。
例如，在流体动力学中，我们可以利用散度定理来推导流体的连续性方程。
在流体静力学中，我们可以利用散度来分析流体的静力平衡条件。
此外，散度还可以用来描述流体的输运现象，例如质量输运、热量输运和动量输运等。
散度是流体力学中一个重要的概念，用来描述流体的流动性质和流场的分布情况。
通过计算矢量场的散度，我们可以了解流体在某一点上的流入流出情况，并应用于流体力学中的各种问题分析和计算中。
散度的研究和应用对于深入理解流体力学现象和解决实际问题具有重要意义。
流体速度矢量
流体速度矢量
流体速度矢量是描述流体运动的物理量。
它是一个矢量，具有大小和方向。
在流体力学中，流体速度矢量通常用符号V表示。
对于每个空间点，可以定义一个流体速度矢量，它指示了该点处流体粒子的运动方向和速度大小。
流体速度矢量的方向与流体粒子的运动方向相同，而其大小与流体粒子的速度大小相等。
流体速度矢量可以用于描述流体在不同位置和时间的运动状态，从而帮助我们理解和分析流体的流动行为。
其特点和意义：
1. 矢量性质：流体速度是一个矢量，具有大小和方向。
大小代表了流体单位时间内通过某一点的位移量，方向表示了流体运动的方向。
2. 可加性：当多个流体以不同的速度流动时，它们的速度矢量可以相加或叠加。
这种可加性使得我们能够分析复杂的流体运动情况，比如在交汇处的流体混合、分离等。
3. 可微性：流体速度场可以进行微分运算，求取流体速度的梯度、散度等，从而得到流体运动的更详细信息，比如速度变化率、速度场的膨胀性等。
4. 控制流动：流体速度矢量是控制流体运动的重要因素之一。
通过改变速度矢量的大小和方向，可以调控流体的流速、流向，实现对流体运动的控制和调节。
5. 物理意义：流体速度矢量可以用来描述流体的动力学特性，比如流体的动能、压力分布、黏性等。
研究流体速度矢量可以帮助我们理解和预测流体的行为，用于工程设计、流体力学研究等领域。
矢量场散度的推导过程
矢量场散度的推导过程矢量场的散度是一个表示矢量场在给定点的发散程度的物理量。
它在流体力学、电磁学等领域具有重要的应用。
本文将详细介绍矢量场散度的推导过程，以帮助读者更好地理解。
首先，让我们从二维矢量场开始推导。
假设有一个二维平面，上面存在一个矢量场。
我们可以将该矢量场表示为一个二维向量函数V(x, y) = Vx(x, y) i + Vy(x, y) j，其中Vx和Vy是矢量场在x和y方向上的分量。
现在，我们想知道矢量场在给定点的发散程度。
我们可以通过比较给定点附近的两个小矩形区域的质量流量来推导散度。
假设我们选取一个小矩形区域，其边界长度为∆x和∆y，面积为∆A = ∆x∆y。
矢量场穿过该矩形区域的质量流量可以表示为Φ = Vx∆y - Vy∆x。
接下来，我们将对矢量场的散度进行定义。
假设我们选择该点附近的另一个小矩形区域，其边界长度为(∆x + ∆x')和(∆y + ∆y')，面积为∆A' = (∆x + ∆x')(∆y + ∆y')。
同样地，该矩形区域内的质量流量为Φ' = Vx(∆y + ∆y') - Vy(∆x + ∆x')。
现在，我们可以计算质量流量的变化量ΔΦ = Φ' - Φ。
展开上述表达式，我们可以得到ΔΦ = Vx∆y' - Vy∆x'。
通过将ΔΦ除以∆A'，我们可以得到单位面积上的质量流量变化量：ΔΦ/∆A' = (Vx∆y' - Vy∆x')/∆A'接下来，我们利用泰勒展开的思想，将∆y'和∆x'展开到一阶项，即∆y' ≈ ∂yVx∆x'，∆x' ≈ ∂xVy∆y'。
代入上述表达式，我们得到：ΔΦ/∆A' ≈ (Vx∂yVx - Vy∂xVy)∆x'∆y'/∆A'由于∆A' = (∆x + ∆x')(∆y + ∆y') ≈ ∆x∆y + ∂yVx∆x∆y +∂xVy∆x∆y，我们可以将上述表达式进一步简化为：ΔΦ/∆A' ≈ (Vx∂yVx - Vy∂xVy)∆A/∆A' ≈ (Vx∂yVx -Vy∂xVy)∆A/(∆x∆y + ∂yVx∆x∆y + ∂xVy∆x∆y)在极限∆x和∆y趋近于零的情况下，我们可以将上述表达式进一步简化为：ΔΦ/∆A' ≈ (Vx∂yVx - Vy∂xVy)/∂x(∂yVx - ∂xVy)继续化简上述表达式，我们可以得到：ΔΦ/∆A' ≈ (Vx∂yVx - Vy∂xVy)/(∂xVy - ∂yVx)最后，让我们将∆Φ/∆A'取极限。
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S M
lim
l
u dl S
M
△S △l
与方向导数类似，它是一个与方向有关的标量 （n是由线元所围面元的法线方向）
旋度：矢量场中的一个矢量，其方向为环量面
密度在M点处变化率最大的方向，其模也正是
此环量面密度之最大值。常记作rot u。旋度是
风洞机翼模型流 体矢量图
矢量图绘制
不足之处敬请谅解
谢谢
ss
u ( x, y, z) dS uxxdydz u yydzdx uzzdxdy
s s s s
问题：通量值的大小即取决于矢量场u强度又取决于面积S的值，那
么我们如何才能更准确的度量出通量呢？ 散度：散度指通量在单位体积的改变率。简单地说，流体在运 动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。表示辐 合、 辐散的物理量为散度。
3.矢量场中的通量与散度
通量的概念
设有矢量场u(M)，定义其中有 向曲面 S（可开，可闭）沿某 一侧的曲面积分为矢量场u(M) 穿过曲面该侧的通量。
M))d dss 0 0 uu((M
ss
M))ds 0 uu((M
ss
u(M ) ds 0
一个矢量，它与坐标系选无关。
5.几种重要的矢量场
有势场：设有矢量场u满足u= grad T 则称此 矢量场u为有势场，并称－T 为这个场的势函 数。 管形场：若在矢量场u 中有divu= 0则称矢量 场u为管形场。 调和场：若在矢量场u 中恒有divu = 0且rotu ＝0，则称此矢量场为调和场。
散度是一个标量，它与坐标系选择无关。
4.矢量场中的环量及旋度
环量的概念 定义矢量场u(M) 中，沿某一封闭有 向曲线 L的曲线积 分为矢量场u(M)沿
曲线L该方向的环量
u ( M ) d l u dx u dy u dz x y z
lபைடு நூலகம்l
问题：环量值的大小即取决于矢量场u强度又取决于曲线L的大小，
标量场：当研究物理系统中温度、
压力、密度等在一定空间内的分 布状态时，数学上只需用一个代 数量来描绘，这些代数量（即标 量函数）所定出的场就称为标量 场。
2.矢量场的矢量线
定义 曲线：在曲线上的每一点处，场的矢 量都位于该点处的切线上。例如：磁 场的磁力线、流速场中的流线等。
性质 矢量线与矢径的关系式：A×dr=0
场与矢量
1. 2. 3. 4. 5.
场的概念 矢量场的矢量线 矢量场的通量与散度 矢量场的环量与旋度 几种重要的矢量场
1.场的概念
定义：场指物体在空间中的分布情况。是一种特 殊物质，看不见摸不着，但它确实存在， 比如引力场，磁场，电场。场是用间位置 函数来表征的，是一个以时空为变量的物 理量。在物理学中，我们经常要研究某种 物理量在空间的分布和变化规律。场可以 分为标量场、矢量场和张量场三种，依据 场在时空中每一点的值是标量、矢量还是 张量而定。
div u lim
u d s
s
V M
V
散度在直角坐标系下的计算式
div u lim u ds
s V M
1 lim u x dydz u y dzdx u z dxdy V M V s V
由高斯公式得 u x u y u z div u x y z
磁场模拟图
矢量场：如果我们给空间的每
一个点所赋予的“量”既有大小， 又有方向，即矢量，那么整个空 间就变成充满了矢量，这个场就 叫做矢量场。
张量场：是物理学中场的一种。
假如一个空间中的每一点的属性都可 以以一个张量来代表的话，那么这个 场就是一个张量场。最常见的张量场 有广义相对论的应力能张量场