2.3_三角形的内切圆
切线长定理及三角形内切圆
例2 PA、PB是☉O的两条切线，A，B是切点，OA=3. （1）若AP=4，则OP= 5 ； （2）若∠BPA=60 °，则OP= 6 .
A
O
P
B
二、三角形的内切圆及作法
思考
图是一块三角形的铁片，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使 截下来的圆与三角形的三条边都相切？
思路引导：半径为 r 的☉I 与△ABC 的三 边都相切，圆心 I 到三角形三边的距离相 等，都等于 r.
B
C
F O
由BD+CD=BC,可得（13-x）+（9-x）=14.
B
D
C
解得x=4.
因此AF=4，BD=5，CE=9.
归纳总结
你学会了吗？
求三角形内切圆的问题，一般的作辅助线的方法为： 一是连顶点、内心产生角平分线； 二是连切点、内心产生半径及垂直条件.
小试牛刀
1.下列说法错误的是( C ) A．三角形有且只有一个内切圆 B．等腰三角形的内心一定在它的底边的高上 C．三角形的内心不一定都在三角形的内部 D．若I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC
24.2.2.3 切线长定理及 三角形内切圆
九年级上
学习目标
1.探索并证明切线长定理. 重点
2.了解三角形内切圆、内心的概念，对比区分内切圆与外接圆的区别
与联系. 难点 3.会运用切线长定理进行计算与证明. 难点
4.能用尺规作图：作三角形的外接圆.
Байду номын сангаас 新课引入
前面我们已经学习了切线的判定和性质，已知⊙O和⊙O外一点P，你能 过点P画出⊙O的切线吗？
A
☉I是△ABC的内切圆，点I是
I
△ABC的内心，△ABC是☉I的外
2.3 三角形的内切圆-2020浙教版九年级数学下册习题课件(共25张PPT)
1．如图 2－3－1，⊙O 是△ABC 的内切圆，则点 O 是△ABC 的( B )
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高线的交点
图2－3－1
2.如图 2－3－2，已知△ABC 的内切圆⊙O 与各边分别相切于点 D，E，F，那么点 O
＋
BC)
，
∴r
＝
AC·BC AB＋AC＋BC
＝8＋8×151＋517＝3，∴直径为
6
步．故选 C.
第9题答图
10．[2018·威海]如图 2－3－9，在扇形 CAB 中，CD⊥AB，垂足为 D，⊙E 是△ACD 的内切圆，连结 AE，BE，则∠AEB 的度数为__1_3_5__°_．
图 2－3－9
第 7 题答图
8．如图 2－3－7，⊙O 为△ABC 的内切圆，切点分别为 D，E，F，∠C＝90°，BC ＝3，AC＝4. (1)求△ABC 的面积； (2)求⊙O 的半径； (3)求 AF 的长．
图 2－3－7
解：(1)∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴S△ABC＝12×3×4＝6； (2)如答图，连结 OE，OD，OF. ∵⊙O 为△ABC 的内切圆，D，E，F 为切点， ∴EB＝FB，CD＝CE，AD＝AF，OE⊥BC，OD⊥AC. 又∵∠C＝90°，OD＝OE， ∴四边形 ECDO 为正方形， 设 OE＝OD＝CE＝CD＝x， 则 EB＝3－x，AD＝4－x，FB＝3－x，AF＝4－x.
(2)∵AC＝AB，CE＝BE，
∴AE⊥BC，∠FAO＝∠DAO，
∵AF＝AD，∴FM＝DM，AE⊥DF，
∴AE 过圆心 O，DF∥BC，
∴AF∶AC＝DF∶BC，即 4∶6＝DF∶4，
浙教版初中九年级下册数学精品教学课件 第2章 直线与圆的位置关系 2.3 三角形的内切圆
④作圆：以定点为圆心，定长为半径，
旋转一周作圆.⊙ 即为△ 的内切圆.
图示
新知探究
典例1如图，点是△ 的内切圆的圆心，
∠ = 40∘ ，则∠的度数为()
C
A.80∘ B.100∘ C.130∘ D.140∘
[解析]∵点是△ 的内切圆的圆心，
注意
一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只
有一个内切圆.
新知探究
2.三角形内心的性质
三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点.
三角形的内心到三角形三边的距离相等.
新知探究
名称
形成
辨析
三角形外心、内心的区别
三角形的外心
三角形的内心
三角形的外接圆圆心，即三角形
三角形的内切圆圆心，即三角形三
三边垂直平分线的交点.
∴ ，，分别平分∠，∠，∠，
∴ ∠ = 2∠ = 2 × 40∘ = 80∘ ，
∠ =
1
∠，∠
2
∴ ∠ =
180∘
=
1
∠，
2
− ∠ + ∠ =
∠ሻ = 180∘ −
1
2
180∘
− ∠ =
180∘
180∘
1
新知探究
拓展
三角形的四心：外心、内心、重心（三角形三边中线的交点）、垂心（三角形三条
高的交点）.当三角形是等边三角形时，这四心合一，称为等边三角形的中心.
新知探究
3.三角形内切圆的作法
作三角形内切圆的步骤
①作三角形任意两个内角的平分线:
如右图，作∠，∠的平分线1 ，2 .
②定圆心：以1 ，2 的交点为圆心.
浙教版九年级数学下册课件 2.3 三角形的内切圆
（来自《典中点》）
知2－练
3 下列说法错误的是( ) A．三角形有且只有一个内切圆 B．等腰三角形的内心一定在它的底边的高上 C．三角形的内心不一定都在三角形的内部 D．若I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC
（来自《典中点》）
总结
知2－讲
因为三角形的内心是三角形三条角平分线的交 点，所以三角形的内心与任一顶点的连线平分三角 形的内角．
（来自《点拨》）
13 三角形内切圆的圆心是( ) A．三个内角平分线的交点 B．三边中垂线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高线的交点
知2－练
（来自《典中点》）
知2－练
知1－讲
见切点，连半径，结合等腰三角形、等边三角形的 性质求出半径长.
（来自《点拨》）
知1－讲
例2 已知:如图, ⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D， E，F.设△ABC的周长为l，求证: AE+BC= 1 l. 2
证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，E,F为切点，
∴AE=AF(根据什么？).
A
同理，BD=BF，CD=CE.
理解三角形内切圆的概念要注意以下三点： ①与各边相切； ②在三角形内部； ③圆心叫做三角形的内心．
知1－讲
例1 如图，等边三角形ABC的边长为3 cm，求△ABC
的内切圆⊙O的半径.
解：如图,设⊙O切AB于点D，连结OA，OB，OD.
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，
∴AO,BO 是∠BAC, ∠ABC，
（来自《典中点》）
1. 三角形的内切圆中“切”是指三角形的三边与圆的 位置关系．
浙教版九年级数学下册作业本：2.3 三角形的内切圆
2.3 三角形的内切圆1．三角形内切圆定义：与三角形三边相切的圆叫做三角形的内切圆．2．三角形的内心是__________________________交点．3．如图，⊙I 内切于△ABC ，切点分别为D ，E ，F .(1)∠BIC ＝90°＋12∠BAC ；∠DEF ＝90°－12∠BAC ； (2)△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，⊙I 的半径为r ，则有S △ABC ＝12r (a ＋b ＋c )； (3)若∠ACB ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，则内切圆半径r ＝CE ＝a ＋b －c 2.A 组 基础训练1．下列命题正确的是( )A ．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等B ．三角形的内心不一定在三角形的内部C ．等边三角形的内心，外心重合D ．一个圆一定有唯一一个外切三角形第2题图2．如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE等于()A．70°B．110°C．120°D．130°第3题图3．如图，⊙I是△ABC的内切圆，D，E，F为三个切点，若∠DEF＝52°，则∠A的度数为()A．76°B．68°C．52°D．38°4．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则它的内切圆与外接圆半径分别为() A．1.5，2.5B．2，5 C．1，2.5D．2，2.55．如图，∠A＝70°，若O为△ABC的外心，则∠BOC＝________，若O为△ABC 的内心，则∠BOC＝________．第5题图第6题图6．如图，△ABC的三边分别切⊙O于点D，E，F.若AB＝7，BC＝8，AC＝9，则BE ＝_______，CF＝_______．7．⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．8．已知△ABC的面积为4cm2，周长为10cm，则△ABC的内切圆半径为________cm.第9题图9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的内切圆⊙O切AB于点D，切BC 于点E，切AC于点F，AD＝4，BD＝6，求Rt△ABC的面积．10.如图，在△ABC中，AB＝AC，内切圆⊙O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F.(1)求证：BF＝CE；(2)若∠C＝30°，CE＝23，求AC的长．第10题图B组自主提高第11题图11.(遵义中考)将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB＝3，则四边形AB1ED的内切圆半径为()A.3＋12 B.3－32C.3＋13 D.3－33第12题图12.如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，DC ＝1，则⊙O 的半径等于________．13.如图，点I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交边BC 于点D ，交△ABC 的外接圆于点E.(1)求证：IE ＝BE ；(2)若IE ＝4，AE ＝8，求DE 的长．第13题图C 组 综合运用14.如图，在锐角△ABC 中，BC ＝5，sin ∠BAC ＝45，点I 为三角形ABC 的内心，AB ＝BC ，求AI 的长．第14题图参考答案【课堂笔记】2．三角形的三条角平分线的【课时训练】1－4.CBAC 5.140° 125° 6.3 5 7.33 8.45 9.连结OE ，OF ，OD ，设△ABC 的内切圆⊙O 的半径为r.∵△ABC 的内切圆⊙O 切AB 于点D ，切BC 于点E ，切AC 于点F ，∴∠OFC ＝∠OEC ＝∠C ＝90°，AF ＝AD ＝4，BD ＝BE ＝6，∴四边形OECF 是矩形．∵OE ＝OF ，∴四边形OECF 是正方形．在Rt △ABC 中，AB 2＝BC 2＋AC 2，∴102＝(6＋r)2＋(4＋r)2，解得r ＝2或r ＝－12(舍去)，∴BC ＝8，AC ＝6，∴Rt △ABC 的面积为12×6×8＝24.第10题图10．(1)证明：∵AE ，AF 是⊙O 的切线，∴AE ＝AF ，又∵AC ＝AB ，∴AC －AE ＝AB －AF ，∴CE ＝BF ，即BF ＝CE ； (2)连结AO 、OD ，∵O 是△ABC 的内心，∴OA 平分∠BAC ，∵⊙O 是△ABC 的内切圆，D 是切点，∴OD ⊥BC ；又∵AC ＝AB ，∴A 、O 、D 三点共线，即AD ⊥BC ，∵CD 、CE 是⊙O 的切线，∴CD ＝CE ＝23，∴在Rt △ACD 中，由∠C ＝30°，CD ＝23，得AC ＝CD cos 30°＝2332＝4. 11.B 12.45 13.(1)连结IB.∵点I 是△ABC 的内心，∴∠BAD ＝∠CAD ，∠ABI ＝∠IBD.第13题图又∵∠BIE ＝∠BAD ＋∠ABI ，∴∠BIE ＝∠CAD ＋∠IBD ＝∠DBE ＋∠IBD ＝∠IBE ，∴BE ＝IE; (2)在△BED 和△AEB 中，∵∠EBD ＝∠CAD ＝∠EAB ，∠BED ＝∠AEB ，∴△BED ∽△AEB ，∴BE AE ＝DE BE .∵IE ＝4，∴BE ＝4.∵AE ＝8，∴DE ＝BE 2AE＝2.第14题图14．连结CI ，BI ，且延长BI 交AC 于点F ，过点I 作IG ⊥BC 于点G ，IE ⊥AB 于点E.∵AB ＝BC ＝5，点I 为△ABC 的内心，∴BF ⊥AC ，AF ＝CF.在Rt △ABF 中，∵sin ∠BAC ＝45＝BF AB，∴BF ＝4.∴AF ＝BA 2－BF 2＝3，∴AC ＝6.∵点I 是△ABC 的内心，IE ⊥AB ，IF ⊥AC ，IG ⊥BC ，∴IE ＝IF ＝IG.∴S △ABC ＝12(AB ＋AC ＋BC)·IF ＝12AC ·BF ，∴IF ＝AC ·BF AB ＋AC ＋BC ＝6×45＋5＋6＝32，∴AI ＝AF 2＋IF 2＝32 5.。
【优选整合】浙教版九年级下册数学 2.3三角形的内切圆 素材
【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 三角形的内切圆2. 切线长定理二. 重点、难点： 1. 内心的特点：（1）角平分线的交点 （2）到三边等距（3）内心张角必为钝角 （4）内心必在形内（5）三角形面积等于周长的一半与内切圆半径之积 （6）四边形有内心的条件2. 常见的切线长定理模型及其中蕴含的定理结论。
ANH OPBL【典型例题】[例1] 已知ABC ∆外心为O ，内心为I ，AI 延长线交外接圆O 于D ，求证：（1）D 为BIC ∆的外心；（2）若DE=1，AE=3，求DI 长。
证明：（1）连BD 、CD ∵ I 为ABC ∆内心 ∴ 21∠=∠，43∠=∠∵ 1∠与5∠对圆弧⋂BD ∴ 251∠=∠=∠ 又 ∵ 32∠+∠=∠DIC ，54∠+∠=∠DCI∴ DCI DIC ∠=∠ ∴ DI=DC 又 ∵ 21∠=∠ ∴ BD=DC=DI ∴ D 为BIC ∆的外心（2）∵ 52∠=∠，ADC ∠为公共角 ∴ EDC ∆∽CDA ∆∴DA DCDC DE = ∴ 4412=⨯=⋅=DA DE DC ∴ DC=2 ∴ DI=DC=2[例2] ⊙I 为ABC ∆的内切圆，与三边分别切于D 、E 、F 三点，若AC=4，AB=6，BC=7，求AE 的长。
ABC DEF.I解：由切线长定理，设x AF AE ==，y BD BF ==，z CD CE ==，则有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+476x z z y y x解得23=x ∴ AE 的长为23[例3] 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90C ，以CD 为直径的半圆切AB 于E 点，若梯形面积为221cm ，周长为20cm ，求圆的半径。
.OA BCEFK D解：如图，将之补成一个等腰梯形ABKF ，设⊙O 半径为r ，易知⊙O 为梯形ABKE 的内切圆。
∴ 221)220(221⨯=⋅-⋅=r r S ABKF 即021102=+-r r ，3=r 或7但7=r 时，AB=3，CD=14，CD AB <，矛盾 ∴ 圆O 的半径为cm 3[例4] ABC ∆中，AB=AC=17cm ，BC=16cm ，求ABC ∆内切圆的半径。
2.3三角形的内切圆-2020春浙教版九年级数学下册习题课件(共25张PPT)
6
( C)
第2章 直线与圆的位置关系
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7
2．如图为4×4的网格图，点A，B，C，D，O均在格点上，点O是 A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心
( B)
第2章 直线与圆的位置关系
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12
8．【四川泸州中考】如图，等腰△ABC 的内切圆⊙O 与 AB，BC，CA 分别相切
于点 D，E，F，且 AB＝AC＝5，BC＝6，则 DE 的长是
(D )
A．3
10 10
C．3 5 5
第2章 直线与圆的位置关系
B．3
10 5
D．6
5 5
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第2章 直线与圆的位置关系
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22
(1)类比推理：若面积为 S 的四边形 ABCD 存在内切圆(与各边都相切的圆)，如 图 2，各边长分别为 AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，求四边形的内切圆半径 r；
(2)理解应用：如图 3，在等腰梯形 ABCD 中，AB∥DC，AB＝21，CD＝11，AD ＝13，⊙O1 与⊙O2 分别为△ABD 与△BCD 的内切圆，设它们的半径分别为 r1 和 r2， 求rr12的值．
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20
(3)解：由∠BAD＝120°，得∠BCI＝∠DCI＝30°.设△BCD 的内
切圆半径为 r.过点 I 作 IF⊥BC，IG⊥CD，垂足为点 F，G，过点 E
分别作 EM⊥BC，EN⊥CD，垂足为点 M，N.由(1)，可知 AC＝245，
2018-2019学年浙教版九年级数学下册习题课件：2.3 三角形的内切圆 (共12张PPT)
9．(12分)(教材P49例2变式题)△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于 点D，E，F，且AB＝9 cm，BC＝14 cm，CA＝13 cm，求AF，BD，CE的长．
解：根据切线长定理，设 AE＝AF＝x cm，BF＝BD＝y cm，CE＝CD＝z cm.根据题意，得 x＋y＝9， x＝4， y＋z＝14，解得 y＝5，即 AF＝4 cm，BD＝5 cm，CE＝9 cm x＋z＝13， z＝9，
角形． (1)请写出一个双圆四边形的名称：__正方形__； (2)如图②，已知四边形ABCD是双圆四边形，其内切圆与四条边相切于点E， F，G，H，且EG是内切圆的直径，交弦FH于点P，连结EF，FG.
①证：HF⊥GE.
解：(2)①取 EG 的中点 O，连结 OF.∵EG 为内切圆的直径，∴O 为内切圆的圆心，∠GFE ＝90°，OF⊥BC，OG＝OF＝40°，∴∠OFE＝50°，∴∠BFE＝40°.②连结 HG.∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，∴∠D＋∠B＝180°.∵H，G，F，E 是切点，∴DG＝DH，BF＝BE.∴∠DHG ＝∠DGH，∠BEF＝∠BFE，∴∠D＋2∠DGH＝180°，∠B＋2∠EFB＝180°，∴2∠DGH＋2∠EFB ＝180°，∴∠DGH＋∠EFB＝90°.由①可知，∠EFB＝∠EGF，∠DGH＋∠HGE＝90°，∴∠HGE
点拨：连结AO，交EF于点G，连结OE，在Rt△OEG中求EG的长，从而可得EF的 长．
13．(12分)如图，在△ABC中，AC＝AB＝10，BC＝12，圆O内切于△ABC，切 点分别为D，E，F. (1)求△ADE的周长；
(2)求内切圆的面积．
解：(1)∵AC＝AB＝10，BC＝12，圆 O 内切于△ABC，切点分别为 D，E，F，∴AF⊥BC，
2020九年级数学下册 第2章 2.3 三角形的内切圆同步练习(无答案)
第2章直线与圆的位置关系2.3 三角形的内切圆知识点1 三角形内切圆的有关概念及性质1．三角形的内心是( )A．三角形的三条中线的交点B．三角形的三条角平分线的交点C．三角形的三条高所在直线的交点D．三角形的三条边的垂直平分线的交点2．下列说法中正确的是( )A．内心一定在三角形内部，外心一定在三角形外部B．任何三角形只有一个内切圆，任何圆只有一个外切三角形C．到三角形三边所在的直线的距离相等的点只有1个D．若PA，PB分别切⊙O于A，B两点，则PA＝PB3．如图2－3－1，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F.若∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，连结OE，OF，则∠EOF的度数为( )A．80° B．100° C．120° D．140°图2－3－1图2－3－24．如图2－3－2，△ABC中，∠A＝45°，I是内心，则∠BIC的度数为( )A．112.5° B．112° C．125° D．55°5．如图2－3－3，已知△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，CB ，AC 分别相切于点D ，E ，F .若DE ︵的度数为80°，则下列结论错误的是( )A ．∠DOE ＝80°B ．∠DFE ＝40°C ．∠ABC ＝100°D ．∠ABC ＝140°2－3－3图2－3－46．如图2－3－4所示，⊙O 为△ABC 的内切圆，D ，E ，F 为切点，∠DOB ＝73°，∠DOE ＝120°，则∠DOF ＝________°，∠C ＝________°，∠A ＝________°.知识点2 特殊三角形内切圆的半径图2－3－57．如图2－3－5所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，它的内切圆的半径为( ) A ．3 B ．2.5 C ．2 D ．18．边长为1的正三角形的内切圆的半径为________．9．如图2－3－6，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝90°，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，CD ＝1，求⊙O 的半径．图2－3－610．如图2－3－7，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F.求证：BE＝CE.图2－3－711．2017·滨州若正方形外接圆的半径为2，则其内切圆的半径为( )A. 2 B．2 2 C.22D．112．如图2－3－8，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，⊙O内切于△ABC，则阴影部分的面积为( ) A．12－π B．12－2πC．14－4π D．6－π2－3－82－3－913．如图2－3－9，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，连结AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆，则PQ的长是( )A.52B. 5C.52D．2 2图2－3－1014．如图2－3－10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与Rt△ABC的三边AB，BC，AC分别相切于点D，E，F.若⊙O的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为________．15．如图2－3－11，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9 cm，BC＝14 cm，CA＝13 cm，求AF，BD，CE的长．图2－3－1116．如图2－3－12，△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F，∠A＝60°，BC＝7，⊙O的半径为 3.求：(1)BF＋CE的值；(2)△ABC的周长．图2－3－1217．如图2－3－13，在△ABC中，BC＝6 cm，CA＝8 cm，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，点P从点B开始沿BC边向点C以1 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CA边向点A以2 cm/s的速度移动．(1)求⊙O的半径；(2)若点P，Q分别从点B，C同时出发，当点Q移动到点A时，点P与⊙O有什么位置关系？(3)若点P，Q分别从点B，C同时出发，当点Q移动到点A时，停止移动，则经过几秒，△PCQ的面积等于5 cm2?图2－3－13。
2.3 三角形的内切圆
1 22.3三角形的内切圆学习单复习回顾1、确定一个圆的位置与大小的条件是什么？2、叙述角平分线的性质与判定定理3、下图中△ABC与圆O的关系？4、切线长定理善于自学11、如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心2、如图2，如果⊙O与△ABC的内角∠ABC的两边相切，且与内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？3、如何确定一个与三角形三边都相切的圆的圆心位置与半径的长？4、你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆么？内切圆圆心能否在三角形外部?5、⊙O是△ABC的__________,△ABC是⊙O的_____________.O是三角形的_________,它是____________的交点,到三角形_________的距离相等乐于合作：完成书本50页作业题2，每个学习小组请交流你们的画图方法善于自学2：自学书本49页例1和例2勤于巩固2：完成书本P50课内练习题１、2、3乐于合作：设△ABC是直角三角形，∠C=90°，它的内切圆的半径为r，△ABC 的各边长分别为a、b、c，试探讨r与a、b、c的关系.变：1.直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm 则其内切圆的半径为______。
2.若直角三角形斜边长为10cm，其内切圆的半径为2cm，则它的周长为( )A．24cm B．22cmC．14cm D．12cm勤于巩固3：如图,O是△ABC的内心, ∠BAC与∠BOC有何数量关系? 试着作一推导.COBA•2.完成书本作业题4喜于收获本节课有什么收获？还有什么疑问？CNO图2AB C。
数学3月9日《三角形内切圆复习》作业
2.3 三角形的内切圆A练就好基础基础达标1．如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D，E是切点，若∠C＝90，OD＝1，则四边形OECD的周长是()A．3 B．4 C．2 2 D．232.下列三角形的内心和外心重合的是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形3.如图所示，某石油公司计划在三条公路围成的一块平地上建一个加油站，综合各种因素，要求这个加油站到三条公路的距离相等，则应建在（）A．△ABC的三条角平分线的交点处B．△ABC的三条高线的交点处C．△ABC的三边的中垂线的交点处D．△ABC的三条中线的交点处第3题图第5题图第6题图第7题图4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则它的内切圆与外接圆半径分别为() A．1.5，2.5 B．2，5C．1，2.5 D．2，2.55．（2018·湖州中考）如图所示，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是_________．6．如图所示，在半径为r的圆内作一个内接正三角形，然后作这个正三角形的一个内切圆，那么这个内切圆的半径是_________．7．如图所示，在△ABC中，∠A＝70°.(1)若O为△ABC的外心，则∠BOC＝_________；(2)若O为△ABC的内心，则∠BOC＝____________．8．如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，若AB＝AC＝3 cm，BC＝4 cm.(1)求AE的长；(2)求△ABC的内切圆半径r.9．如图所示，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，与三边的切点分别为E ，F ，G.∠C ＝90°，AO 的延长线交BC 于点D.若AC ＝6，CD ＝3.(1)求证：四边形OECF 为正方形；(2)求⊙O 的半径．B 更上一层楼 能力提升10．已知AC ⊥BC 于点C ，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，下列选项中⊙O 的半径为ab a ＋b的是( )A ．B ．C ． D.11．如图所示，△ABC 的内切圆⊙O 与BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F ，且AB ＝9 cm ，BC ＝14 cm ，CA ＝13 cm ，则AF 的长为( )A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．9 cm12．如图所示，在平面直角坐标系中有一个正方形AOBC ，反比例函数y＝k x的图象经过正方形AOBC 两对角线的交点，半径为6－32的圆内切于△ABC ，则k 的值为________．13．如图所示，在△ABC 中，AB=7cm ，AC=8cm ，BC=6cm ，点O 是△ABC的内心，过点O 作EF//AB ，与AC ，BC 分别交于点E 和点F ，求△14．如图所示，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E.(1)求证：IE＝BE；(2)若IE＝4，AE＝8，求DE的长．/C开拓新思路拓展创新)15．如图所示，在△ABC中，AD是边BC 上的中线，∠BAD＝∠CAD，CE∥AD，CE 交BA 的延长线于点E，BC＝8, AD＝3.(1)求CE 的长；(2)求证：△ABC 为等腰三角形；(3)求△ABC 的外接圆圆心P 与内切圆圆心Q 之间的距离．。
+2.3《三角形内切圆》课件+2023-2024学年浙教版九年级数学下册
（3）. 内心在三角形内部.
D
C
典例精析
例1 如图，等边三角形ABC的边长为3cm，求三角形ABC
的内切圆半径.
C
解：设⊙O切AB于点D，连结OA，OB，OD，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
O
∴AO，BO是∠BAC，∠ABC的角平分线.
∵△ABC是等边三角形，
∠BOC的度数为 130° .
作业布置
【综合拓展类作业】
=
6.已知△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，若
，如图①
(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；
(2)设AE与DF相交于点M，如图②，AF＝2FC＝4，求AM的长．
作业布置
【综合拓展类作业】
解：(1)等腰三角形．
证明：∵AC，AB，BC是⊙O的切线，
∴∠BDO＝∠BEO＝∠CFO＝∠CEO＝90°.
=
，
∵
∴∠EOF＝∠EOD
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形；
作业布置
【综合拓展类作业】
(2)∵AC＝AB，AE⊥BC，
∴CE＝BE，∠FAO＝∠DAO，
∵AF＝AD，
∴FM＝DM，AE⊥DF，
课堂练习
5. △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，
BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
设AF=xcm，则AE=xcm.
A
∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，
BF=BD=AB-AF=13-x(cm).
F
E
O
浙教版数学九年级下册2.3《三角形的内切圆》说课稿2
浙教版数学九年级下册2.3《三角形的内切圆》说课稿2一. 教材分析《三角形的内切圆》是浙教版数学九年级下册第2.3节的内容，本节课主要介绍三角形的内切圆的概念、性质及其在几何中的应用。
通过学习本节课，学生能够理解三角形的内切圆的定义，掌握其基本性质，并能运用内切圆解决一些几何问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和定理有一定的了解。
但是，对于三角形的内切圆这一概念，学生可能较为陌生，需要通过具体的实例和引导，让学生逐渐理解和掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解三角形的内切圆的定义和性质，并能够运用内切圆解决一些几何问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、交流等过程，学生能够培养自己的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，对数学产生兴趣，并能够自主探究问题，培养良好的学习习惯。
四. 说教学重难点1.重点：三角形的内切圆的定义和性质。
2.难点：理解和运用三角形的内切圆解决几何问题。
五. 说教学方法与手段本节课采用问题驱动的教学方法，通过引导学生观察、思考、交流等方式，让学生主动探索三角形的内切圆的性质。
同时，利用多媒体课件和实物模型等手段，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过复习平面几何中与圆有关的基本知识，引导学生进入本节课的学习。
2.探究三角形的内切圆的定义和性质：通过具体的实例和问题，引导学生观察和思考，让学生自主探索三角形的内切圆的定义和性质。
3.应用内切圆解决几何问题：通过一些具体的例题，引导学生运用内切圆的知识解决几何问题，巩固所学知识。
4.总结与拓展：对本节课的内容进行总结，并给出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。
七. 说板书设计板书设计主要包括三角形的内切圆的定义、性质和应用等内容，通过板书的设计，帮助学生更好地理解和掌握知识。
八. 说教学评价通过课堂表现、作业完成情况和几何问题的解决能力等方面进行评价，全面了解学生对三角形的内切圆的理解和掌握情况。
浙教版数学九年级下册2.3《三角形的内切圆》教学设计1
浙教版数学九年级下册2.3《三角形的内切圆》教学设计1一. 教材分析《三角形的内切圆》是浙教版数学九年级下册第2.3节的内容，主要介绍了三角形的内切圆的概念、性质和求法。
本节内容是在学生掌握了圆的定义、性质以及切线的性质的基础上进行的，是学生进一步学习几何图形的内在联系的重要环节。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何图形的基础知识，对圆的定义和性质有一定的了解。
但对于三角形的内切圆这一概念，学生可能较为陌生，因此需要教师通过生动的例子和形象的图形，帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.了解三角形的内切圆的概念，掌握其性质。
2.学会求解三角形的内切圆的方法。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.三角形的内切圆的概念和性质。
2.求解三角形的内切圆的方法。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法和小组合作法进行教学。
通过生动的例子和形象的图形，引导学生探索和发现三角形的内切圆的性质，从而达到理解并掌握知识的目的。
六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件。
2.准备一些实际的三角形案例，以便进行案例分析。
3.准备小组合作的学习材料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际的三角形案例，引导学生思考三角形的内切圆的概念。
例如，可以给学生展示一个三角形，然后问学生：“如果在这个三角形的内部画一个圆，使得这个圆与三角形的每条边都相切，那么这个圆叫做什么？”2.呈现（15分钟）在学生对三角形的内切圆有了初步的理解之后，教师可以呈现一些三角形的内切圆的图形，让学生观察和思考，引导学生发现三角形的内切圆的性质。
例如，可以让学生观察以下图形，并回答以下问题：(1)三角形的内切圆与三角形的三条边有什么关系？(2)三角形的内切圆与三角形的内心有什么关系？3.操练（10分钟）让学生通过实际的操作，进一步理解和掌握三角形的内切圆的性质。
可以给学生发放一些实际的三角形案例，让学生用直尺和圆规画出三角形的内切圆，并观察和分析三角形的内切圆的性质。
浙教版数学九年级下册2.3《三角形的内切圆》教案1
浙教版数学九年级下册2.3《三角形的内切圆》教案1一. 教材分析《三角形的内切圆》是浙教版数学九年级下册第2.3节的内容，本节主要让学生了解三角形的内切圆的概念，性质及其在几何中的应用。
通过学习，学生能更好地理解三角形的内心，提高解题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了圆的基本概念和性质，对几何图形的认知有一定的基础。
但是，对于三角形的内切圆这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和讲解让学生逐步理解和掌握。
三. 教学目标1.了解三角形的内切圆的定义及其性质。
2.学会运用三角形的内切圆解决相关几何问题。
3.提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.三角形的内切圆的定义及其性质。
2.运用三角形的内切圆解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，引导学生探究、讨论，激发学生的学习兴趣，提高学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.课件、教案。
2.三角板、直尺、圆规等几何画图工具。
3.相关例题和练习题。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）通过复习圆的定义和性质，引导学生思考：圆与三角形有什么联系？进而引入三角形的内切圆的概念。
2. 呈现（15分钟）利用课件展示三角形的内切圆的定义和性质，通过几何画图工具，演示内切圆的画法及其与三角形的关系。
同时，给出相关例题，让学生理解并掌握内切圆的性质。
3. 操练（15分钟）学生分组讨论，运用三角形的内切圆的性质解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4. 巩固（10分钟）教师给出一些有关三角形的内切圆的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 拓展（10分钟）引导学生思考：内切圆与三角形的内心有什么关系？内切圆在实际问题中的应用。
可以给出一些相关的几何问题，让学生探讨。
6. 小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，让学生明确三角形的内切圆的定义、性质及其应用。
7. 家庭作业（5分钟）布置一些有关三角形的内切圆的练习题，让学生课后巩固所学知识。
(浙教版)九年级数学下册 同步备课系列专题2.3 三角形的内切圆(作业)
第2章直线与圆的位置关系2.3 三角形的内切圆一、单选题1．如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值是（）A．4B．4C．4D．4【答案】B【分析】作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD＋PG转化为D′G找到最小值．【详解】取点D关于直线AB的对称点D′．以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆．连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG．连CG并延长交AB于点E．由以上作图可知，BG⊥EC于G．PD＋PG＝PD′＋PG＝D′G由两点之间线段最短可知，此时PD＋PG最小．∵D′C′＝8，OC′＝12∴D′O=∴D′G＝4∴PD＋PG的最小值为4故选B．【点睛】本题考查与圆有关的线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短． 2．如图，在O 中，AB 是直径，点D 是O 上一点，点C 是弧AD 的中点，CE AB ⊥于点E ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ，分别交CE ，CB 于点PQ ．连接AC ，关于下列结论：①BAD ∠= ABC ∠；②GP GD =；③点P 是ACQ ∆的外心，其中正确结论是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】C【分析】 由于AC 与BD 不一定相等，根据圆周角定理可知①错误；连接OD ，利用切线的性质，可得出∠GPD ＝∠GDP ，利用等角对等边可得出GP ＝GD ，可知②正确；先由垂径定理得到A 为CF 的中点，再由C 为AD 的中点，得到CD AF =，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP ＝∠ACP ，利用等角对等边可得出AP ＝CP ，又AB 为直径得到∠ACQ 为直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ ＝∠PQC ，得出CP ＝PQ ，即P 为直角三角形ACQ 斜边上的中点，即为直角三角形ACQ 的外心，可知③正确；【详解】∵在⊙O 中，AB 是直径，点D 是⊙O 上一点，点C 是弧AD 的中点，∴AC ＝CD ≠BD ，∴∠BAD ≠∠ABC ，故①错误；连接OD ，则OD ⊥GD ，∠OAD ＝∠ODA ，∵∠ODA ＋∠GDP ＝90︒，∠EPA ＋∠EAP ＝∠EAP ＋∠GPD ＝90︒，∴∠GPD ＝∠GDP ；∴GP ＝GD ，故②正确；∵弦CF ⊥AB 于点E ，∴A 为CF 的中点，即AF AC =，又∵C 为AD 的中点，∴AC CD =，∴CD AF =，∴∠CAP ＝∠ACP ，∴AP ＝CP ．∵AB 为圆O 的直径，∴∠ACQ ＝90︒，∴∠PCQ ＝∠PQC ，∴PC ＝PQ ，∴AP ＝PQ ，即P 为Rt △ACQ 斜边AQ 的中点，∴P 为Rt △ACQ 的外心，故③正确；故选C ．【点睛】此题是圆的综合题，其中涉及到切线的性质，圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，平行线的判定，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．3．如图，把ABC ∆剪成三部分，边AB ，BC ，AC 放在同一直线l 上，点O 都落在直线MN 上，直线//MN l .在ABC ∆中，若130BOC ∠=︒，则BAC ∠的度数为（ ）A ．70︒B ．75︒C ．80︒D ．85︒【答案】C【分析】 首先利用平行线间的距离处处相等，得到点O 是△ABC 的内心，点O 为三个内角平分线的交点，从而容易得到∠BOC=90°+12∠BAC ，通过计算即可得到答案． 【详解】解：如图，过点O 分别作OD ⊥AC 于D ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥BC 于F ，∵直线MN ∥l ，∴OD=OE=OF ，∴点O 是△ABC 的内心，点O 为三个内角平分线的交点，∴∠BOC=180-12（180-∠BAC ）=90°+12∠BAC=130°， ∴∠BAC=80°.故选C.【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形内心的性质及判定，利用平行线间的距离处处相等判定点O 是△ABC 的内心是解题的关键．4．一个等腰直角三角形的内切圆与外接圆的半径之比为（ ）A B ．2 C 1 D 1【分析】设等腰直角三角形的直角边是1．根据直角三角形的内切圆半径是两条直角边的和与斜边的差的一半，得其内切圆半径是22-；其外接圆半径是斜边的一半，得其外接圆半径是2．所以它们21． 【详解】解：设等腰直角三角形的直角边是1；∵内切圆半径是22-，外接圆半径是2，1． 故选：D ．【点睛】本题考查三角形的内切圆与外接圆的知识，解题的关键是熟记直角三角形外接圆的半径和内切圆的半径公式：直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半；直角三角形外接圆的半径是斜边的一半．5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？“其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，求直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径”则该圆的直径为（ ）A ．6步B ．5步C ．4步D ．3步【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，可确定出内切圆半径，即可求得直径．【详解】=17，则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r=815172+-=3（步），即直径为6步， 故选：A ．【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，掌握Rt △ABC 中，三边长为a ，b ，c （斜边），其内切圆半径r=2a b c +-是解题的关键．6．下列关于三角形的内心说法正确的是（ ）A ．内心是三角形三条角平分线的交点B ．内心是三角形三边中垂线的交点C ．内心到三角形三个顶点的距离相等D ．钝角三角形的内心在三角形外【答案】A【分析】根据三角形内心定义即可得到答案.【详解】∵内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，∴A 正确，B 、C 、D 均错误，故选：A.【点睛】此题考查三角形的内心，熟记定义是解题的关键.7．如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D ，连接BD ，BE ，CE ，若∠CBD=32°，则∠BEC 的度数为（ ）A ．128°B ．126°C ．122°D ．120°【答案】C【分析】 根据圆周角定理推论可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC ，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB ，再根据三角形内角和定理可求∠BEC 的度数．【详解】在⊙O 中，∵∠CBD=32°，∵∠CAD=32°，∵点E 是△ABC 的内心，∴∠BAC=64°，∴∠EBC+∠ECB=（180°-64°）÷2=58°，∴∠BEC=180°-58°=122°．故选：C ．【点睛】考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理推论，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB 的度数． 8．如图，O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE OB =，84AOC ∠=，则E ∠＝( )A ．28B ．42C ．21D ．20【答案】A【分析】 根据示意图结合已知条件可得出,2E DOE OCD ODC E ∠=∠∠=∠=∠，因此，1804COD E ∠=︒-∠，即可得出180(18044)8E E =︒-∠-︒-∠，计算即可得出答案．【详解】解：∵DE OB =∴DE OD =∴,2E DOE OCD ODC E ∠=∠∠=∠=∠∴1804COD E ∠=︒-∠∴180(18044)8E E =︒-∠-︒-∠∴28E ∠=︒故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是圆的综合题目，根据示意图得出,2E DOE OCD ODC E ∠=∠∠=∠=∠是解此题的关键．二、填空题9．阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：已知：ABC.求作：ABC 的内切圆．小明的作法如下：如图2，()1作ABC ∠，ACB ∠的平分线BE 和CF ，两线相交于点O ；()2过点O 作OD BC ⊥，垂足为点D ；()3点O 为圆心，OD 长为半径作O.所以，O 即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是______．【答案】到角两边距离相等的点在角平分线上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【分析】根据三角形的内切圆，三角形的内心的定义，角平分线的性质即可解答.【详解】解：该尺规作图的依据是到角两边距离相等的点在角平分线上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；故答案为到角两边距离相等的点在角平分线上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点睛】此题主要考查了复杂作图，三角形的内切圆与内心，关键是掌握角平分线的性质．10．边长分别为3、4、5的三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为________.【答案】1:2.5【解析】设三角形为△ABC，∵32+42=52，∴△ABC为直角三角形，∴外接圆的直径为5，∴外接圆的半径为2.5，设内切圆的半径为r，∵S△ABC=12，AB+BC+CA，•r，即12×3×4=12×，3+4+5，r，解得r=1，∴该三角形内切圆半径与外接圆半径之比为1，2.5，故答案是，1，2.5，11．已知等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，则△ABC的内切圆半径为cm．【答案】r=103【解析】试题分析：如图，设，ABC的内切圆半径为r，由勾股定理得AD=12，再由切线长定理得AE=8，根据勾股定理求得r 即可．试题解析：如图，，AB=AC=13cm ，BC=10cm ，，BD=5cm ，，AD=12cm ，根据切线长定理，AE=AB -BE=AB -BD=13-5=8，设，ABC 的内切圆半径为r ，，AO=12-r ，，（12-r ）2-r 2=64，解得r=103．考点：1．三角形的内切圆与内心；2．等腰三角形的性质．12．如图，已知点O 是ABC ∆的内心，若120BOC ∠=，则A ∠=__________．【答案】60【分析】先利用120BOC ∠=，可求出∠OBC ＋∠OCB ，再利用三角形的内心即为三个内角角平分线的交点，可求出∠ABC ＋∠ACB ，然后就可求出∠A.【详解】∵120BOC ∠=∴∠OBC ＋∠OCB=180°－∠BOC=60°又∵点O 是ABC ∆的内心∴BO、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB∴∠ABC ＋∠ACB=2（∠OBC ＋∠OCB ）=120°∴∠A=180°－（∠ABC ＋∠ACB ）=60°故答案为：60【点睛】此题考查的是三角形内心的定义和三角形内角和定理.13．如图，在O 中，弦4AB =，点C 在AB 上移动，连结OC ，过点C 作CD OC ⊥交O 于点D ，则CD 的最大值为__________．【答案】2【分析】连接OD ，根据勾股定理求出CD ，利用垂线段最短得到当OC ⊥AB 时，OC 最小，根据垂径定理计算即可；【详解】如图，连接OD ，∵CD ⊥OC ，∴∠DCO=90︒，∴CD当OC 的值最小时，CD 的值最大，OC ⊥AB 时，OC 最小，此时D 、B 两点重合，∴CD=CB=12AB=2，即CD 的最大值为2； 故答案为：2.【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键.14．在ABC ∆中，70A ∠=︒，若O 为ABC ∆的外心，则BOC ∠=______度；若O 为ABC ∆的内心，则BOC ∠=______度.【答案】140 125【分析】若O 为ABC ∆的外心，根据圆周角定理，即可求解；若O 为ABC ∆的内心，根据内心是角平分线的交点，再结合三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：如图一，点O 是三角形的外心．根据圆周角定理，得∠BOC=2∠A=140°；如图二，点O 是三角形的内心．∴BO 、CO 平分∠ABC 、∠ACB ，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-12（∠ABC+∠ACB ） =180°-12（180°-∠A ） =90°+12∠A=125°．故答案为140，125．【点睛】本题考查三角形外心和内心的定义，熟练掌握圆周角定理，熟记内心为三角形三个内角平分线的交点是解题的关键．三、解答题15．如图，点D 是ABC 外接圆的圆心，点O 是ABC 内切圆的圆心，已知110A ∠=︒，求BOC ∠和BDC ∠的度数．【答案】145BOC ∠=︒，140BDC ∠=︒【分析】如图，在D 上取点H ，连接,,BH CH 由圆的内接四边形的性质求解H ∠， 再利用圆周角定理求解,BDC ∠ O 为ABC 的内心，可得,OB OC 分别平分,,ABC ACB ∠∠结合三角形的内角和定理可得()()1118022OBC OCB ABC ACB A ∠+∠=∠+∠=︒-∠，再利用内角和定理可得BOC ∠的大小． 【详解】解：如图，在D 上取点H ，连接,,BH CH四边形ABHC 为D 的内接四边形，110A ∠=︒，18011070H ∴∠=︒-︒=︒，2140,BDC H ∴∠=∠=︒O 为ABC 的内心，,OB OC ∴分别平分,,ABC ACB ∠∠11,,22OBC ABC OCB ACB ∴∠=∠∠=∠ ()()1118022OBC OCB ABC ACB A ∴∠+∠=∠+∠=︒-∠ ()1180110352=⨯︒-︒=︒， ()180********.BOC OBC OCB ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒【点睛】本题考查的是圆的内接四边形的性质，圆周角定理的应用，三角形内心的含义，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．16．如图所示,AB 为☉O 的直径,CD 是☉O 的弦,AB ,CD 的延长线交于点E ,已知AB=2DE ,∠AEC=20°.求∠AOC 的度数.【答案】∠AOC=60°.【分析】连接OD ，如图，由AB，2DE，AB，2OD 得到OD，DE ，根据等腰三角形的性质得∠DOE，∠E，20°，再利用三角形外角性质得到∠CDO，40°，加上∠C，∠ODC，40°，然后再利用三角形外角性质即可计算出∠AOC，【详解】解:连接OD.∵AB=2DE ,AB=2OD ,∴OD=DE ,∴∠DOE=∠E=20°,∴∠CDO=∠DOE+∠E=40°,∵OC=OD ,∴∠C=∠ODC=40°,∴∠AOC=∠C+∠E=60°.【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．17．如图，AB 是O 的直径，点D 是O 上一点，DC AB ⊥于点C .（1）如图①，连接,OD BD ，若点C 是AO 的中点，求ODB ∠的大小；（2）如图②，过点D 作O 的切线，交AB 的延长线于点E ，DF OE 交O 于点F ，且DF OE =.若O 的半径为2，求CE 的长.【答案】（1）30°；（2【分析】（1）连接AD ，根据已知条件可得出AD=OD=OA ，因此，AOD 是等边三角形，得出DAO 60∠=︒，继而得出30ODB OBD ∠=∠=︒；（2）连接, OF OD ，可得四边形OFDE 为平行四边形，有2OF OD DE ===，DE 为圆的切线，90ODE ∠=︒，因此，ODE 为等腰直角三角形，可求出OE 的值，进一步求出CE 的长．【详解】解：（I ）如图，连接AD ，∵点C 是AO 的中点，∴AC OC =，∵DC AB ⊥，∴AD OD =，∵OA OD =，∴OA OD AD ==，∴AOD △为等边三角形，∴60AOD ∠=︒，∴30OBD ∠=︒，∵OB OD =，∴30ODB OBD ∠=∠=︒．（2）如图，连接, OF OD ，∵DE 为O 的切线，∴90ODE ∠=︒，∵,DF OE DF OE =，∴四边形OFDE 为平行四边形，∴2OF OD DE ===，∴ODE 为等腰直角三角形，∴OE =∵DC AB ⊥，∴12CE OE == 【点睛】本题是一道关于圆的综合题目，涉及到的知识点有圆的切线的性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理等，属于容易题，失分原因：（1）不能根据AC OC =判断出AOD △是等边三角形；（2）不能正确的作出辅助线证明四边形OFDE 是平行四边形；未能掌握等腰直角三角形的性质． 18．如图：在三角形ABC 中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径．【分析】作AD BC ⊥，根据勾股定理求解ABC S，再结合内切圆的性质，利用等面积转换的方法求解即可． 【详解】如图，作AD BC ⊥，设BD x =，则8CD x =-，由勾股定理可知：2222AB BD AC CD -=-，则()2225498x x -=--，解得52x =，则2AD =，故11822ABC S BC AD ==⨯=△ 由三角形的内切圆性质，可得：()12ABC S r AB BC AC =++△2578ABC S r AB BC AC ∴===++++△．【点睛】本题考查了勾股定理计算以及三角形的内切圆性质，能够灵活利用三角形的面积转换是解决问题的关键． 19．在同一平面直角坐标系中有6个点：A （1，1），B （−3，−1），C （−3，1），D （−2，−2），E （−2，−3），F （0，−4）．（1）画出△ABC 的外接圆P ，则点D 与P 的位置关系___；（2）△ABC 的外接圆的半径=___，△ABC 的内切圆的半径=___．（3）若将直线EF 沿y 轴向上平移，当它经过点D 时，设此时的直线为1l ，则直线1l 与⊙P 的位置关系____【答案】（1）见解析，在圆上；（2）△ABC ABC 的内切圆的半径：3（3）直线与圆相交【分析】（1）分别找出AC 与BC 的垂直平分线，交于点P ，即为圆心，求出AP 的长即为圆的半径，画出圆P ，如图所示，求出D 到圆心P 的距离，与半径比较即可做出判断；（2）求出三角形ABC 的外接圆半径，内切圆半径即可；（3）根据图形及直线与圆的位置关系即可判断．【详解】（1）画出△ABC 的外接圆P ，如图所示，∵DP r ===，∴点D 与P 的位置关系是点在圆上；故答案为：在圆上；（2）△ABC 的外接圆的半径AP ABC 的内切圆的半径为242+-3=3（3）画图之后由网格图得，直线与圆相交故答案为：相交． 【点睛】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，两点间的距离公式，点与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．20．如图，在ABC 中，8AB =，6AC =，O 是其内部一点，AO 平分BAC ∠，连接OC ，在AB 上取一点D ，使6AD =，连接OD ．（1）求证：ADO △△ACO △；（2）若130AOD ∠=︒，连接CD ，求OCD ∠的度数；（3）若O 是ABC 的内心，过O 作OM BC ⊥于M ，求CM 的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）40︒；（3）06CM <<．【分析】（1）由SAS 证明三角形全等；（2）根据全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，解得100DOC ∠=︒，再由等腰三角形等边对等角的性质解题即可；（3）过O 作ON AC ⊥于N ，OQ AB ⊥于Q ，由于三角形内心是三角形三个内角平分线的交点，可知OCN OCM ∠=∠，再由ASA 证明OCN ，OCM ，最后有全等三角形对应边相等的性质，解得CN CM =，同理解得BM BQ =，AN AQ =，根据三角形三边关系解出答案即可．【详解】解：（1）证明：，6AD AC ==，DAO CAO ∠=∠，AO AO =，，ADO △，ACO △．（2），ADO △，ACO △，，OD OC =，130AOD AOC ∠=∠=︒，，100DOC ∠=︒，，OD OC =，，40OCD ODC ∠=∠=︒．（3）过O 作ON AC ⊥于N ，OQ AB ⊥于Q ，，O 是ABC 的内心，，OCN OCM ∠=∠，，OC OC =，90ONC OMC ∠=∠=︒，，OCN ，OCM ，，CN CM =．同理可得BM BQ =，AN AQ =，，AN CN CM BM BQ AQ AB BC AC +++++=++，，22CM AB AB AC BC +=++，，22BC CM =+，，214BC <<，，22214CM <+<，，06CM <<【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内心的性质、等腰三角形的性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．。
2.3三角形的内切圆
O1 O2
D
C
作业
1、作业本2.3 2、课前课后 p83-84课前5、6 课后3、7、8
内心与顶点连线平分内角.
C
A
F
O
E
O
B
图2
C
A
D
B
名称
确定方法
图形
性质
外心（三角 三 角 形 三
形外接圆的 边 中 垂 线
圆心）
的交点
B
A O
(1)OA=OB=OC (2) 外 心 不 一 定 在三角形的内部
C
内心 （三角 形内切 圆的圆 心）
三角形三
条角平分
线的交点
B
A
(1) 到 三 边 的 距 离
相等；
O
(2)OA 、 OB 、 OC 分 别 平 分
∠ BAC 、 ∠ ABC
C 、∠ACB；
(3)内心在三角形
内部．
例1：如图，等边三角形ABC的边长为3cm， 求△ABC的内切圆⊙O的半径.
A
.O
B
D
C
例1：如图，等边三角形ABC的边长为3cm， 求△ABC的内切圆⊙O的半径。
等边△ABC内切圆半径和高线的比是 1∶3 .
A
等边△ABC的外接圆半径
3 为_________.
B
.O
D
C
请你尝试：
1、找出图中所有相等的线段;
若△ABC的周长为 l ,你能否在图中找到两条线
段，使这两条线段的和是 1 l . 2F
2、若△ABC的周长为 l ,
面积为S,请求出⊙I的半径.
1 B2
A
E I
●
4 D 3C
练习：已知△ABC的面积为12 cm,2 周长为24cm，则 △ABC的内切圆半径为________cm.
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1 结论：AE=AF=L-a 2 1 L-b BF=BD= 2 1 L-c CD=CE= 2
A O
E r D B C
F
补充： 如图，直角三角形的两直角边分别是a，b,斜边为c 则其
内切圆的半径ｒ为:（以含a、b、c的代数式表示r）
a+b-c r= 2
如：直角三角形的两直角边 分别是5cm，12cm 则其内切 2cm 。 圆的半径为______
3 (cm) 2 3 答:圆柱底面圆的半径为 cm. 2
B
C
例２ 如图，已知⊙O 是△ABC的内切圆， 切点分别点D、E、F，设△ABC周长为L. 求证：AE＋BC= L
1 2
A
F O
E
C B D
如图，设△ABC的边BC=a，CA=b， AB=c，L= a+b+c，内切圆I和各边分别 相切于D、E、F.
老师提示： 先画草图，由等腰三角形底边上的中垂 线与顶角平分线重合的性质知，等边三角形 的内切圆与外接圆是两个同心圆.
A
R
O r D C
变式： B 求边长为a的等边三角形的 内切圆半径r与外接圆半径R的比.
1 r OD = sin∠OBD = sin30°= = 2 R OB
以某三角形的内心为圆心，
图形
A
O
性质
1.OA=OB=OC 2.外心不一定 在三角形的内 C 部．
B 三角形三条 角平分线的 交点
B
A O 1.到三边的距离 相等； 2.OA、OB、OC分 别平分∠BAC、 ∠ABC、∠ACB C 3.内心在三角形内 部．
内心： 三角形 内切圆 的圆心
填一填
1.如图1，△ABC是⊙O的 内接 三角形。⊙O是△ABC 的 外接 圆，点O叫△ABC的 外心 ，它是三角 形 三边中垂线 A
BAC 4.如图,O是△ABC的内心,则OA平分∠______, OB平分 ABC ACB ∠______,OC 平分∠______,.
A
D .O E G
• O
B C 5、 如上图，四边形DEFG是⊙O的
形，⊙O是四边形DEFG的 内切
F
外切
圆.
四边
例1 如图，等边三角形ABC的边长为3cm，
求三角形ABC的内切圆的半径.
∴AF=4，BD=9，CE=5 答：AF=4，BD=9，CE=5。 还可用什么方法？
圆内接平行四边形是矩形
延 伸 与 拓 展
A A B · O C D C F
E
B
· O G
H D
菱形 圆外切平行四边形是_______
课本课内练习题1： 求边长为6 cm的等边三角形的 内切圆半径r与外接圆半径R.
A
D I
作一个圆使它与这个三角形
的某一条边（或所在的直线）
有两个交点，那么这个圆与
其他两边（或所在的直线） 有怎样的位置关系？
Ｅ
B F
O G
H
C
仔细观察图形，你还能发现什么 规律？再作几个三角形试一试， 是否有同样的规律？请说明理 由．
课内练习
完成作业题3、4、5、6
1： (1)在△ABC中，点I是内心，
M
C
课内练习3：用直尺和圆规作直角三角形的内切圆 作业题2：用直尺和圆规作钝角三角形的内切圆
3、性质: （1）内心到三角形三边的距离相等； （2）内心与顶点连线平分内角.
（3）内心在三角形内部
A
O
B
C
4、三角形内切圆和外接圆的比较:
名称
外心： 三角形 外接圆 的圆心
确定方法
三角形三边 中垂线的交 点
解： 如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD. ∵圆O是△ABC的内切圆, △ABC是等边三角形, ∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分线 ∴ ∠OAB=∠OBA=30o ∴OA=OB ∵OD⊥AB，AB=3cm，
1 ∴AD=BD= AB=1.5(cm) 2
D
A
r
O
∴OD=ADtan30o=
A
b D r C
c Ｉ
O
练习： 边长为３，４，５的三角形 1 的内切圆半径是＿＿
E a
B
直角三角形外接圆、内切圆半径的求法 c R= — 2
a+b-c r = —— 2
已知△ABC的三边BC,AB,AC分别为a,b,c,I为内心，内 A 切圆半径为r,
求△ABC的面积S(用a,b,c,r表示）
b
证明：连结AI,BI,CI r
． O
的交点。 D
． I
B
图1
C
E
图2
F
外切 2.如图2，△DEF是⊙I的 的 内切 圆，点I是 △DEF的
三角形，⊙I是△DEF
内 心，它是三角
形
三个角平分线 的交点。
填一填
3、 三角形的内切圆能作____ 1 个,圆的外切三角形有 无数 内部 _____个,三角形的内心在三角形的_______.
1、确定一个圆的位置与大小的条件是什么？
①.圆心与半径 ②.不在同一直线上的三点
2、叙述角平分线的性质与判定
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 判定：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3、下图中△ABC与圆O的关系？ △ABC是圆O的内接三角形； 圆O是△ABC的外接圆
O
A
圆心O点叫△ABC的外心 △ABC的外心是三边中垂线的 B 交点，它到三个顶△ABC ＝Ｓ△ABI
+
Ｓ△BCI
+
c· r 2
+
Ｓ△ACI
B
a
b· r a· r + ＝ 2 2 r ＝ (a+b+c）· 2
2 1.5 ⑵边长为５，５，６的三角形的内切圆半径是＿＿
S=
1
rL
完成课内练习题２：
练一练
已知：在△ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆 分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。 A x x 解：设AF＝x，则BF=13-x F E 13-x 9-x 因此，AE=AF=x,BD=BF=13-x, C B 13-x 9-x DC=EC=9-x, D 又∵BD+CD=14 ∴(13-x)+(9-x)=14 解得x=4
C
李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂 里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料， 且使圆的面积最大. 下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下.
A
B
C
A
r
D
C
O
E
F B
1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做 三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三 角形的内心，这个三角形叫做圆的外切 三角形.
A
O
B
∠AIC=120°，求∠B的度数。
若∠A=Xº ,则∠BIC=______.
(2) 一个三角形的面积为 12cm2 ，周长为 24cm ，则三 角形的内切圆的半径为______ cm。
(3)正三角形的内切圆半径和高的比为______
回 头 一 看 ， 我 想 说 …
１.定义 ２.内心的性质 ３.画三角形的内切圆 ４.初步应用
C
探 究 ： 三 角 形 内 切 圆 的 作 法
思考下列问题：
(1)．如图1，若⊙O与 ∠ABC的两边相切，那么圆 心O的位置有什么特点？ 圆心O在∠ABC的平分线上. 如图2，如果⊙O与△ABC 的内角∠ABC的两边相切， 且与内角∠ACB的两边也 相切，那么此⊙O的圆心 在什么位置？
B
A
M
O
B
图1
N
A
C
O
图2
C
圆心O在∠BAC、∠ABC与∠ACB的三个角 的角平分线的交点上.
(2)．如何确定一个与三角形三边都相切的圆 的半径的长？
作出三个内角的平分线，三条内角 平分线相交于一点，这点就是符合 条件的圆心，过圆心作一边的垂线， 垂线段的长是符合条件的半径.
(3)．你能作出几个与一个三角形 的三边都相切的圆么？内切圆圆 心能否在三角形外部？
A
C
F
E
I
D
B
只能作一个，圆心也只能在三角形内部,因 为三角形的三条内角平分线在三角形内部, 且相交只有一个交点.
2.一个三角形的内切圆作法
1. 作∠B、∠C的平分线 作法： BM和CN，交点为I. 2．过点I作ID⊥BC， 垂足为D. 3．以I为圆心，ID为 半径作⊙I. ⊙I就是所求的圆.
A
N I B D