第八章 柱形体的扭转
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弹性力学第8章—柱体扭转问题
i =1
n
n
A
扭转刚度
KT = 2G ∑ ki Ai + 2G ∫∫ ψ dxdy
i =1 A
8.2 基本方程 （3）应力函数表示的应力、应变和翘曲函数
∂ψ ∂ψ τ zx = Gθ , τ zy = −Gθ ∂y ∂x
合力
⎛ ∂ψ ⎞ ⎛ ∂ψ ⎞ 2 2 τ = τ zx + τ zy = Gθ ⎜ +⎜ ⎟ ⎟ ∂ ∂ y x ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
8.3 矩形截面柱体的扭转
用应力函数方法求解，只要确
b/ 2
y
D
C
定应力函数，就可以进一步求出剪 应力和单位长度的相对扭转角。 应力函数方程
∇2ψ = −2
边界条件
b/ 2
O
x
B
A
a/ 2
a/ 2
b a x = ± 或 y = ± 时， ψ =0 2 2 上述问题称为泊松方程的第一边值问题，其解可由通解ψ 0和 特解 ψ 1 组成
A A
⎝ ∂x
∂y
⎠
对于柱体横截面是单连通域情况，利用斯托克斯公式，可得
⎛ ∂ψ ∂ψ ⎞ M T = −Gθ ∫∫ ⎜ x+ y ⎟ dxdy A ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎡∂ ⎤ ∂ = −Gθ ∫∫ ⎢ ( xψ ) + ( yψ ) ⎥ dxdy + 2Gθ ∫∫ ψ dxdy A ∂x A ∂y ⎣ ⎦ = −Gθ v ∫ ψ ( xl + ym ) ds + 2Gθ ∫∫ ψ dxdy
T
8.2 基本方程
8.2.1 基本关系式
位移表达式 圆柱上距离轴线为 r 的任 一点P的位移
u = − ( rθ z ) sin α = − yθ z ⎫ ⎪ v = ( rθ z ) cos α = xθ z ⎬ w = w ( x, y ) = θϕ ( x, y ) ⎪ ⎭
n
n
A
扭转刚度
KT = 2G ∑ ki Ai + 2G ∫∫ ψ dxdy
i =1 A
8.2 基本方程 （3）应力函数表示的应力、应变和翘曲函数
∂ψ ∂ψ τ zx = Gθ , τ zy = −Gθ ∂y ∂x
合力
⎛ ∂ψ ⎞ ⎛ ∂ψ ⎞ 2 2 τ = τ zx + τ zy = Gθ ⎜ +⎜ ⎟ ⎟ ∂ ∂ y x ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
8.3 矩形截面柱体的扭转
用应力函数方法求解，只要确
b/ 2
y
D
C
定应力函数，就可以进一步求出剪 应力和单位长度的相对扭转角。 应力函数方程
∇2ψ = −2
边界条件
b/ 2
O
x
B
A
a/ 2
a/ 2
b a x = ± 或 y = ± 时， ψ =0 2 2 上述问题称为泊松方程的第一边值问题，其解可由通解ψ 0和 特解 ψ 1 组成
A A
⎝ ∂x
∂y
⎠
对于柱体横截面是单连通域情况，利用斯托克斯公式，可得
⎛ ∂ψ ∂ψ ⎞ M T = −Gθ ∫∫ ⎜ x+ y ⎟ dxdy A ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎡∂ ⎤ ∂ = −Gθ ∫∫ ⎢ ( xψ ) + ( yψ ) ⎥ dxdy + 2Gθ ∫∫ ψ dxdy A ∂x A ∂y ⎣ ⎦ = −Gθ v ∫ ψ ( xl + ym ) ds + 2Gθ ∫∫ ψ dxdy
T
8.2 基本方程
8.2.1 基本关系式
位移表达式 圆柱上距离轴线为 r 的任 一点P的位移
u = − ( rθ z ) sin α = − yθ z ⎫ ⎪ v = ( rθ z ) cos α = xθ z ⎬ w = w ( x, y ) = θϕ ( x, y ) ⎪ ⎭
第八章 柱形体的扭转
称为约束扭转。
§8-1 位移法的控制方程和边界条件
§8-2 应力函数解法
§8-3 剪应力分布特点 §8-4 椭圆截面杆的扭转 §8-5 等边三角形截面杆的扭转 §8-6 具有半圆形槽的圆轴的扭转
§8-7 同心圆管的扭转
设取一任意截面的柱形杆，其长度为l，一端“固定”
于xy平面，另一端作用一个力偶，其矩的大小为M，
现在来推导翘曲函数所满足的方程。将（8-1） 代入位移表示的平衡微分方程（6-2），显然该 方程组的前两式已得到满足，而最后一式要求
2 2 2 2 2 0 （在内） （8-4） x y
方程（8-4）就是扭转问题位移法求解的控制方程。
它表明，翘曲函数必须是调和函数。
的两横截面的相对转角，称为单位长度扭转角。利用
几何方程（2-11）可以得到应变分量为
x y z xy 0 zx ( y) x zy ( x) y
u yz
( x, y )
2 2
（8-7）
（8-8） 式中 已由前面微分方程（8-4）的边值问题确定， 与截面的几何形状有关，因此D表征了柱形截面抗 扭的几何特征。从物理意义上讲，GD就是扭转刚度。
对于给定的柱形杆，G和D都是已知的，故只要知道
扭矩M，即可求出；反之，知道了，也可求出M。 综上所述，柱形杆扭转的位移法可归结为：首先在 边界条件（8-5）下，由拉普拉斯方程（8-4）解出 翘曲函数；再由（8-8）式计算D，由（8-7）式算
x y
（8-19）
该组应力满足所有平衡方程，故为应力函数。 将应力分量（8-19）代入应力表示的协调方程
（6-13），其中前四个方程都得到满足，而后
§8-1 位移法的控制方程和边界条件
§8-2 应力函数解法
§8-3 剪应力分布特点 §8-4 椭圆截面杆的扭转 §8-5 等边三角形截面杆的扭转 §8-6 具有半圆形槽的圆轴的扭转
§8-7 同心圆管的扭转
设取一任意截面的柱形杆，其长度为l，一端“固定”
于xy平面，另一端作用一个力偶，其矩的大小为M，
现在来推导翘曲函数所满足的方程。将（8-1） 代入位移表示的平衡微分方程（6-2），显然该 方程组的前两式已得到满足，而最后一式要求
2 2 2 2 2 0 （在内） （8-4） x y
方程（8-4）就是扭转问题位移法求解的控制方程。
它表明，翘曲函数必须是调和函数。
的两横截面的相对转角，称为单位长度扭转角。利用
几何方程（2-11）可以得到应变分量为
x y z xy 0 zx ( y) x zy ( x) y
u yz
( x, y )
2 2
（8-7）
（8-8） 式中 已由前面微分方程（8-4）的边值问题确定， 与截面的几何形状有关，因此D表征了柱形截面抗 扭的几何特征。从物理意义上讲，GD就是扭转刚度。
对于给定的柱形杆，G和D都是已知的，故只要知道
扭矩M，即可求出；反之，知道了，也可求出M。 综上所述，柱形杆扭转的位移法可归结为：首先在 边界条件（8-5）下，由拉普拉斯方程（8-4）解出 翘曲函数；再由（8-8）式计算D，由（8-7）式算
x y
（8-19）
该组应力满足所有平衡方程，故为应力函数。 将应力分量（8-19）代入应力表示的协调方程
（6-13），其中前四个方程都得到满足，而后
柱体扭转问题
同理可得
∫∫τ
A
zy
dxdy = 0
∂ϕ ∂ϕ dxdy +x −y ∂y ∂x
将（5）式代入（10）式最后一式得下式（12）
M
T
2 = Gθ ∫∫ x + A
y
2
（12）
也可以改写成下式（13）。（14）
M
T
= θ K T 或θ =
M K
T T
（13）
σ l +σ l = 0 +σ l = 0 σ l σ l + σ l = 0
x 1 xy 2 xy 1 y 2 zx 1 yz 2
（9
分别为柱体侧表面外法线与OX轴，OY轴之间夹角的余弦
柱体扭转-位移解法 柱体扭转 位移解法
柱体扭转问题-位移解法 柱体扭转问题 位移解法
寇小强
LOGO
柱体扭转-位移解法 柱体扭转 位移解法
建立如图所示坐标系统， 建立如图所示坐标系统， OZ轴在柱体的轴线上， 轴在柱体的轴线上， 轴在柱体的轴线上 OX轴，OY轴分别取为截 轴 轴分别取为截 面的两个形心轴， 面的两个形心轴，坐标原 点取在截面的对称中心处， 点取在截面的对称中心处， 在所建立的坐标系中， 在所建立的坐标系中，任 意截面形状的柱体自由扭 转的三个位移分量由下式 （1）给出即 ）
柱体扭转-位移解法 柱体扭转 位移解法
采用位移法求解时需要将平衡微分方程改写为用位移分量表示的形式
u = −γ zy v = γ zx w = w( x, y )
2
（6）
2 u ∂Θ + X = 0 ρ ∂ 2 G ∆ u + (λ + G ) ∂ ∂x t 并注意到Θ = 将上式代入Lame方程， 2 ∂Θ 2 ∂ u + Y = 0 ρ G ∆ v + (λ + G ) ∂ 2 ∂y t
∫∫τ
A
zy
dxdy = 0
∂ϕ ∂ϕ dxdy +x −y ∂y ∂x
将（5）式代入（10）式最后一式得下式（12）
M
T
2 = Gθ ∫∫ x + A
y
2
（12）
也可以改写成下式（13）。（14）
M
T
= θ K T 或θ =
M K
T T
（13）
σ l +σ l = 0 +σ l = 0 σ l σ l + σ l = 0
x 1 xy 2 xy 1 y 2 zx 1 yz 2
（9
分别为柱体侧表面外法线与OX轴，OY轴之间夹角的余弦
柱体扭转-位移解法 柱体扭转 位移解法
柱体扭转问题-位移解法 柱体扭转问题 位移解法
寇小强
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柱体扭转-位移解法 柱体扭转 位移解法
建立如图所示坐标系统， 建立如图所示坐标系统， OZ轴在柱体的轴线上， 轴在柱体的轴线上， 轴在柱体的轴线上 OX轴，OY轴分别取为截 轴 轴分别取为截 面的两个形心轴， 面的两个形心轴，坐标原 点取在截面的对称中心处， 点取在截面的对称中心处， 在所建立的坐标系中， 在所建立的坐标系中，任 意截面形状的柱体自由扭 转的三个位移分量由下式 （1）给出即 ）
柱体扭转-位移解法 柱体扭转 位移解法
采用位移法求解时需要将平衡微分方程改写为用位移分量表示的形式
u = −γ zy v = γ zx w = w( x, y )
2
（6）
2 u ∂Θ + X = 0 ρ ∂ 2 G ∆ u + (λ + G ) ∂ ∂x t 并注意到Θ = 将上式代入Lame方程， 2 ∂Θ 2 ∂ u + Y = 0 ρ G ∆ v + (λ + G ) ∂ 2 ∂y t
第八章 轴的扭转
第八章 轴的扭转判断题：1. 传动轴的转速越高，则轴横截面上的扭矩也越大。
(错)2. 扭矩是指杆件受扭时横截面上的内力偶矩，扭矩仅与杆件所收的外力偶矩有关，而与杆件的材料和横截面的形状大小无关。
(对)3圆截面杆扭转时的平面假设，仅在线弹性范围内成立。
(错)4. 一钢轴和一橡皮轴，两轴直径相同，受力相同，若两轴均处于弹性范围，则其横截面上的剪应力也相同。
(对)5. 铸铁圆杆在扭转和轴向拉伸时，都将在最大拉应力作用面发生断裂。
(错)6.木纹平行于杆轴的木质圆杆，扭转时沿横截面与沿纵截面剪断的可能性是相同的。
(错)7. 受扭圆轴横截面之间绕杆轴转动的相对位移，其值等于圆轴表面各点的剪应变。
(错)习题八1．直径D =50mm 的圆轴，受到扭矩T =2.15kN.m 的作用。
试求在距离轴心10mm 处的剪应解：4．实心轴与空心轴通过牙嵌式离合器连在一起，已知轴的转速n =1.67r/s ，传递功率N =7.4kW ，材料的[]40t =MPa ，试选择实心轴的直径1d 和内外径比值为1/2的空心轴的外径2D 。
N.m5．机床变速箱第Ⅱ轴如图所示，轴所传递的功率为N=5.5 kW,转速n=200r/min ，材料为45钢，[]40t =MPa ，试按强度条件设计轴的直径。
6.某机床主轴箱的一传动轴，传递外力偶矩T=5.4N.m，若材料的许用剪应力[]30t=MPa，G=80GN/2m, []0.5q=/m，试计算轴的直径。
7．驾驶盘的直径520f=mm，加在盘上的力P=300N[]60t=MPa。
（1）当竖轴为实心轴时，试设计轴的直径；（2）如采用空心轴，试设计轴的内外直径；（3）比较实心轴和竖心轴的重量。
解：方向盘传递的力偶矩m Pϕ= 330052010-=⨯⨯156=N.m8解：（1）20105AB N =--5=kN.m105BC N =--15=-kN.m5CD N =-kN.m（2） 120T =-kN.m22010T =-+10=-kN.m320T =kN.m第九章 梁的弯曲判断题：1. 梁发生平面弯曲时，梁的轴线必为载荷作用面内的平面曲线。
弹塑性力学 第08章柱形杆的扭转
⎛ ∂v ∂u ⎞ τ xy = G⎜ ⎜ ∂x + ∂y ⎟ ⎟=0 ⎝ ⎠ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂v ∂w ⎞ τ yz = G⎜ ⎜ ∂y + x ⎟ ⎟ ⎜ ∂z + ∂y ⎟ ⎟ = αG⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂w ∂x ⎞ − y⎟ + ⎟ = αG⎜ τ zx = G⎜ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂z ⎠
M = − αG ∫
S1,S 2 ,L,S n n
Φ ( xl + ym )ds + 2αG ∫∫ Φdxdy
R R
= −αG ∑ ∫ ki ( xl + ym )ds + 2αG ∫∫ Φdxdy
i =1 Si
由斯托克斯公式计算得
∫ (xl + ym)ds = − ∫ (xl + ym)ds = −2∫∫
处切应力大小应等于薄膜的斜率即由前述可知扭矩等于oxy平面与薄膜之间体设内外边界所围面积的平均值即薄壁杆截面中线所包围的面积为a于可见切应力与杆壁的厚度还成反比最大切应力发生在杆壁最薄为求单位长度上的扭转角先计算图示杆截面中心线即虚线上的应力环量以a表示中心线所包围的面积于是有为截面中心线的长度若闭口薄壁杆有凹角如上图在凹角处可能发生高度的应力集中现象
§8-1 扭转问题的位移解法·圣维南扭转函数
需要完全精确地求解柱形杆的扭转问题是十分困难的。 因为，一方面，在实际问题中，柱形杆两端面上外力分布情 况往往是不清楚的，而只知道它 们的静力效应；另外，即使知道 M 了外力在端面上的分布情况，也 很难得到一组解答能精确地满足 端面上的精确条件。但是，如果 杆足够长，就能够按局部性原理 对其端面处的边界条件进行放松， n 而使问题得到解决。 O 本章仍然采用半逆解法求解 M 柱形杆的扭转问题。
第八章工程力学之扭转全解
设 d DO2 D为半径转过的角度，亦即楔形体左、右两截面 间的相对扭转角。 设 dad ，由图形可以看出 dd dx d d 即： dx d 式中 代表扭转角沿轴线方向的变化率。对于同一截面，它 dx 是一个定值。由此可见，剪应变 与半径 成正比。
例如作图8-4（a）所示轴的扭矩图。
AB轴可以分为等扭矩的AC段和CB 段，AC段各截面的扭矩都等于T1， CB段各截面的扭矩都等于T2。建立 如图8-7所示坐标，水平轴代表各截 面的位置，垂直轴代表扭矩的大小， 正扭矩画在水平轴的上方，负扭矩画 在水平轴的下方，得到图8-7所示扭 矩图。
例8-3 图8-8（a）、图8-8（b）所示传动轴，转速n=300r/m。 A为主动轮，输入功率NA=10kW； B、C、D为从动轮，输出功 率分别为NB=4.5kW，NC=3.5kW，ND=2.0kW。试绘轴的扭矩 图。
径线性分布。楔形体上的剪应力分布如图8-14所示。 结论： 圆轴扭转时横截面上的扭转剪应力 垂直于半径， 并与半径 成正比。横截面中心处的剪应力为零，外表面上 剪应力最大，在半径为 的各点处剪应力大小相等。 实心圆截面轴和空心圆截面轴横截面上的扭转剪应力的分 布情况分别如图8-15（a）、图8-15（b）所示。
2. 物理方面 以 代表横截面上半径为 处的剪应力，即d点处的剪应 力，根据剪切虎克定律，在弹性范围内，剪应力 和剪应变 成线性关系，即有 G
d 将（8-3）式代入上式，得： G dx 上式表明： 扭转剪应力 与半径 成正比，即剪应力沿半
'
上式表明： 在相互垂直的两个截面上，剪应力 必然成对存在，大小相等，都垂直于两个截面的 交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。这 一规律称为剪应力互等定理。
第八章_柱体的扭转
τ zx =
∂ϕ ⎫ ∂y ⎪ ⎪ ⎬ ∂ϕ ⎪ τ zy = − ∂x ⎪ ⎭
（8.5）
函数 ϕ ( x, y ) 称之为扭转应力函数，式（8.5）将两个未知剪应力分量与一个未知函数 ϕ ( x, y ) 联系在一 起，下面寻求 ϕ ( x, y ) 所满足的方程，将各应力分量代入应力协调方程（2.23）式，得：
x
zx
dxdy = 0
(e)
同济大学结构工程与防灾研究所
（李遇春编）
图 8.4 柱体端表面边界 考察(j)式中的第一式，利用 Green 公式（见附录）及 ϕ
S
= 0 得:
(f)
∫∫ P dxdy = − ∫∫ τ
x D D
zx
dxdy = − ∫∫
D
∂ϕ dxdy = v ϕ dx = 0 ∫ ∂y S
同济大学结构工程与防灾研究所
（李遇春编）
第八章 柱体的扭转
柱体的扭转在土木工程中是一类常见的问题，本章所谓的扭转是指仅在柱体端部受到扭矩的作 用，且扭矩向量方向与杆的轴线重合，本章仅讨论自由扭转问题，即允许柱体受扭变形后的横截面可 以自由翘曲（发生轴向变形） ，关于横截面翘曲受到约束的情况（约束扭转问题）不在本书的讨论范围 之列。 §8-1 扭转问题中的位移与应力 在材料力学中，我们研究过等截面圆柱体的扭转问题（见图 8.1(a)） ，圆柱体的受扭变形有如下的 特点： 1）长度为 l 圆柱体的母线都转过相同的角度 γ （见图 8.1(a)） ；2)每个圆截面都保持为一个平 面，圆的大小、形状保持不变，截面只是在原来的平面内刚性地转动了一个角度，即圆截面在 z 方向 没有发生变形。
再将（8.3）式代入物理方程（2.15）得：
（8.3）
《土木工程-力学》第八章 扭转
其中 2 d A A
称为横截面的极惯性矩Ip，
它是横截面的几何性质。
以Ip
2 d A 代入上式得：
A
dj T
d x GI p
从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点
处切应力计算公式
t
ρ
G
T GIp
T
Ip
30
T
t max
d T
t max
D
t max
t
T
Ip
横截面周边上各点处 r)的
由 t d A r T 根据应力分布可知 Me A
tr0
d A T，于是有
A
t dA
t
r0
T d
A
A
T
r0 (2πr0 )
T
2πr02
引进 A0 πr02 ，上式亦可写作
t T 2 A0
m r0
x m
20
§8-4 切应力互等定理和剪切胡克定律 1. 单元体·切应力互等定理
以横截面、径向截面以及与表面平行的面(切向 截面)从受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处截取 一微小的正六面体——单元体。
{M
e }Nm
2π
{n} r m in 60
103
因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上
每个轮的转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P
之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶
矩： 6
{Me }Nm
9.55 103
{P}kw {n}r
Nm
min
{Me }Nm
9.55 {P}kw {n}r
kN m
kN
m
M2
M3
(9.55 150) 300
等截面柱体的弹塑性扭转
τ zx
=
∂ϕ ∂y
=
−
2MT y ， πab3
τ zy
=
− ∂ϕ ∂x
=
Байду номын сангаас
2MT x πa 3b
(7.2-2)
由(7.1-12)得合剪应力为
τ=
τ2 zx
+
τ
2 zy
= 2MT πab
x2 + y2 a4 b4
(7.2-3)
由式(7.2-2)和式(7.2-3)可知，剪应力分布有如下特点：
(1)在每一点，应力比值τ zx /τ zy = −(a 2 / b2 )( y / x) ，即沿任意半径方向各点具 有相同的比值。这意味着沿同一半径方向各点剪应力相互平行，如图 7.2 所示。
A
(e)
同理，第一个积分也可写为
∫∫A
x
∂ϕ ∂x
dxdy
=
−∫∫Aϕdxdy
(f)
将式(e)、(f)代入式(d)，最后得
M T = 2∫∫Aϕdxdy
(7.1-13)
上式表示，如在截面上每一点有一个ϕ(x, y) 值，则扭矩 M T 为ϕ 曲面下所包体积的 二倍。
由以上讨论得出，如能找到一个函数ϕ(x, y) ，其在边界上的值为零，在截面 内满足方程(7.1-10)，则截面的剪应力分布及扭矩 M T 就都可求得。
168
ε x = ε y = ε z = 0，
γ zx
= θ (∂ψ ∂x
−
y)，
γ xy = 0
⎫ ⎪
γ zy
= θ (∂ψ ∂y
+ x)⎪⎭⎬
(7.1-5)
3.广义虎克定律 对于柱体的弹性扭转，根据(7.1-5)式可得应力与应变之间的关系化为
《柱体的弹塑性扭转》课件
《柱体的弹塑性扭转》 PPT课件
# 柱体的弹塑性扭转 ## 简介 介绍弹塑性扭转的概念和应用场景。
稳定性分析
1
线弹性方法
采用线弹性方法进行柱体扭转稳定性分析。
转稳定性分析的步骤。
3
数值方法
使用数值方法进行柱体扭转稳定性分析的优势和应用。
弹塑性扭转的基本理论
航空航天领域
介绍柱体弹塑性扭转在航空航天领域中的关键 应用和研究进展。
桥梁工程设计
探究柱体弹塑性扭转在桥梁工程设计中的实际 应用。
汽车工程
讲解柱体弹塑性扭转在汽车工程中的重要性和 应用示例。
解析计算
探讨使用解析方法进行弹塑性扭 转计算的理论和应用。
实验研究
1
材料试验
介绍柱体弹塑性材料试验的设计和实施。
2
试验结果分析
分析柱体弹塑性扭转试验中的结果，并与理论进行对比。
3
参数敏感性分析
讨论柱体弹塑性扭转模型中参数的敏感性和误差分析。
应用案例
高层建筑结构设计
展示柱体弹塑性扭转在高层建筑结构设计中的 应用案例。
材料的应力-应变关系
介绍弹塑性材料在扭转过程中的应力-应变关系。
截面形状对扭转刚度的影响
讲解不同截面形状对柱体扭转刚度的影响。
弹塑性扭转方程
推导弹塑性扭转方程，解释其物理意义。
弹塑性扭转的计算方法
试验数据的获取
介绍获取弹塑性扭转试验数据的 方法和注意事项。
有限元分析
讲解使用有限元分析进行弹塑性 扭转计算的步骤和技巧。
# 柱体的弹塑性扭转 ## 简介 介绍弹塑性扭转的概念和应用场景。
稳定性分析
1
线弹性方法
采用线弹性方法进行柱体扭转稳定性分析。
转稳定性分析的步骤。
3
数值方法
使用数值方法进行柱体扭转稳定性分析的优势和应用。
弹塑性扭转的基本理论
航空航天领域
介绍柱体弹塑性扭转在航空航天领域中的关键 应用和研究进展。
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探究柱体弹塑性扭转在桥梁工程设计中的实际 应用。
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讲解柱体弹塑性扭转在汽车工程中的重要性和 应用示例。
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实验研究
1
材料试验
介绍柱体弹塑性材料试验的设计和实施。
2
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分析柱体弹塑性扭转试验中的结果，并与理论进行对比。
3
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高层建筑结构设计
展示柱体弹塑性扭转在高层建筑结构设计中的 应用案例。
材料的应力-应变关系
介绍弹塑性材料在扭转过程中的应力-应变关系。
截面形状对扭转刚度的影响
讲解不同截面形状对柱体扭转刚度的影响。
弹塑性扭转方程
推导弹塑性扭转方程，解释其物理意义。
弹塑性扭转的计算方法
试验数据的获取
介绍获取弹塑性扭转试验数据的 方法和注意事项。
有限元分析
讲解使用有限元分析进行弹塑性 扭转计算的步骤和技巧。
7、第八章 柱形杆的弹性扭转和弯曲
位移法解等直杆扭转 应力法解等直杆扭转 薄壁杆的扭转 应力法解等直杆弯曲
6、利用所得应变和几何方程求得位移（P244式(8-12、l)） 。
位移分量 w 由如下方程确定。
w又称为截面翘曲函数。由于它的非零，平截面假 设已经不成立。
应力法的应用
思想：多用逆解法。 逆解思路： 设定应力函数 ，用协调方程2和边界条件3、4来确 定中待定常数和函数。然后5、6求应变和位移 例题：椭圆截面柱形杆受扭矩T作用，如图所示，试用应力函数
故最大剪应力在矩形截面的长边中点A上
P248式(8-19)有误
方向与扭矩T同，且形成环流（如图）。短边剪应力非常小(未给出)
8.4.2 一般矩形截面杆 显然，此时应力函数不再仅仅是y的函数。需要重 新构造 ，然后按照同样的思路求解（涉及三角级数）。
位移法解等直杆扭转 应力法解等直杆扭转 薄壁杆的扭转 应力法解等直杆弯曲
位移法解等直杆扭转 应力法解等直杆扭转 薄壁杆的扭转 应力法解等直杆弯曲
§8.2 弹性扭转问题的应力法求解
直解 1、给出用应力函数 表示的应力解（P241式(8-7)）； 思路：2、为满足用应力表示的协调方程得应力函数的准单调
和控制方程（P242(8-8)）；
3、由侧面边界条件得应力函数 需满足的边界条件（单 连域：P242式(8-9)；多连域： P243图8-3上方）；
i 最大剪应力发生在杆 壁最薄之处 。
如何计算单位长度扭转角α？
由剪应力环量定理
(4)
(3)代入(4)得
即 由(5)可得 对于等厚度的闭口薄壁杆，上式简化为 (5) (6)
(7)
基本思路总结：
1、各边剪应力等于垂度h除以壁厚δi (式(1)); 2、扭矩T 为xOy平面与薄膜曲面所围体积两倍(式(2)); 3、剪应力环量定理(式(4));
工程力学 第8章 扭转
T T T
G1=G2=G
G1=2G2
工程力学电子教案
§8-3 圆杆扭转时的应力与变形
19
将横截面上分布的切应力汇总即等于横截面上的扭矩，于是
T = ∫A τ ρ ⋅ ρ ⋅ d A ⇒ dφ T = d x GI p
工程力学电子教案
§8-3 圆杆扭转时的应力与变形
20
等直圆杆受扭时横截面上任一点处的切应力 切应力： 切应力 几何关系 ⇒ γ ρ = ρ ( 物理关系
工程力学电子教案
截面几何性质
2
极惯性矩： 1.概念 任意截面如图所示，其面积为A，在矢径为 ρ 的任一点处，取微面 积dA，则下述面积分，称为截面对原点O的极惯性矩或截面二次极 矩。
O ρ dA z
I P = ∫ ρ 2 dA
A
y
截面的极惯性矩恒为正，量纲为L4。
工程力学电子教案
截面几何性质
3
2.圆截面的极惯性矩 a.薄壁圆截面 平均半径为R0，厚为 δ的薄壁圆截面如图 所示，此薄壁圆截面 的极惯性矩为
§8-1 扭矩和扭矩图
6
Me a
O
m b
O′
Me
b′ m m T x m Me l B
A
亦可以取右段杆来分析： ∑Mx= 0 T - Me =0 即T = Me
B
截取杆件的不同部分分析，应该得到相同的结果。
工程力学电子教案
§8-1 扭矩和扭矩图
7
思考题：分析轴的左边部分，得出的结果是扭矩T的方向向右。但 是如果分析轴的右边部分，得出的结果是轴力T 的方向向左。那么 横截面m-m上的轴力方向到底是向左还是向右？ 答：不矛盾，内力的作用效果只是变形效应，它们作用效果相同。
G1=G2=G
G1=2G2
工程力学电子教案
§8-3 圆杆扭转时的应力与变形
19
将横截面上分布的切应力汇总即等于横截面上的扭矩，于是
T = ∫A τ ρ ⋅ ρ ⋅ d A ⇒ dφ T = d x GI p
工程力学电子教案
§8-3 圆杆扭转时的应力与变形
20
等直圆杆受扭时横截面上任一点处的切应力 切应力： 切应力 几何关系 ⇒ γ ρ = ρ ( 物理关系
工程力学电子教案
截面几何性质
2
极惯性矩： 1.概念 任意截面如图所示，其面积为A，在矢径为 ρ 的任一点处，取微面 积dA，则下述面积分，称为截面对原点O的极惯性矩或截面二次极 矩。
O ρ dA z
I P = ∫ ρ 2 dA
A
y
截面的极惯性矩恒为正，量纲为L4。
工程力学电子教案
截面几何性质
3
2.圆截面的极惯性矩 a.薄壁圆截面 平均半径为R0，厚为 δ的薄壁圆截面如图 所示，此薄壁圆截面 的极惯性矩为
§8-1 扭矩和扭矩图
6
Me a
O
m b
O′
Me
b′ m m T x m Me l B
A
亦可以取右段杆来分析： ∑Mx= 0 T - Me =0 即T = Me
B
截取杆件的不同部分分析，应该得到相同的结果。
工程力学电子教案
§8-1 扭矩和扭矩图
7
思考题：分析轴的左边部分，得出的结果是扭矩T的方向向右。但 是如果分析轴的右边部分，得出的结果是轴力T 的方向向左。那么 横截面m-m上的轴力方向到底是向左还是向右？ 答：不矛盾，内力的作用效果只是变形效应，它们作用效果相同。
建筑力学-第八章扭转欢迎下载课件.ppt
T Wp
(令Wp I p
D) 2
max
T Wp
Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。
对于实心圆截面： Wp I p R D3 16 0.2D3 对于空心圆截面：Wp I p精选R D3(1 4) 16 0.2D3(1- 4)
三、计算扭转变形的目的 作杆的刚度计算
四、刚度条件
max
Tmax GI p
180
(/m)
------称为许用单位扭转角。
刚度计算的三方面
① 校核刚度：
max
T
② 设计截面尺寸：
Ip
max
G[ ]
③ 计算许可载荷： T max GI p[ ]
• 对于各向同性材料,可以证明:E、G、μ 三个弹性常数之间存在着如下关系
G E
2(1 )
在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。
精选
剪应力互等定理：
y
=
上式称为剪应
力互等定理。
dy
x
dz
z
dx 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应
力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交 线，其方向则共同指向或精共选 同背离该交线。
目 ①扭矩变化规律； 的 ②|T|max值及其截面位置
强度计算（危险截面）。
T
x
精选
扭矩图的做法：
1.把杆件分段。分段原则为：相邻两力偶之间为一 段
2.用截面法求出每段的扭矩，并判断扭矩的正负号 3.建立平面直角坐标系，横坐标x为杆件轴线，纵 坐标为扭矩T 4.绘制各段的扭矩图，正的扭矩绘制在x轴上方， 负的扭矩绘制在x轴下方，并标明正负号。
弹塑性力学讲义 第八章柱体的自由扭转问题
再将(x,y)代入端面上的边界条件：
S2
方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1)， x
S0
S1
y
面力： Z z 0 满足。 在,x,y 方向面力应用圣维南原理
A
zx
dA
XdA 0 ，恒满足。
A
A
zx dA
A
y
dxdy
(
y
dy)dx
(
A
B
)dx
0
A
zy
dA
YdA 0 , 恒满足。
oT
x
小压力 q 作用，薄膜将微微凸起， T
T
dy
而形成曲面 z=z(x,y)，薄膜仅承
T
y
受张力（拉力）T，下面来寻求
薄膜垂度 z=z(x,y) 所应满足的方程和边界条件。
寻求 z=z(x,y)应满足的方程，即求解方程是由薄膜微元 dxdy 的
z 方向的平衡条件来确定 (Fz = 0)。
Tdysin1 Tdysin2 Tdxsin3 Tdxsin4 qdxdy 0
dy n
y
X 0 l x m xy n zx 0
Y 0 l xy m y n zy 0 满足
Z
0
l zx
m zy
n z
lGk(
x
y)
mGk(
y
x)
或：
l(
x
y) m( y
x) 0
——边界条件用(x,y)的偏微
分表示。
由于 l cos(n, x) dx dy ， m cos(n, y) dy dx
边界上。
总结薄膜比拟与杆扭转各物理量之关系
柱扭转 (x,y) 2Gk
薄膜比拟 z(x,y) q/T
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（8-2）
x y z xy 0
zx yz
G ( y ) x G ( x) y
（8-3a）
（8-3b）
由上式可见，作用在横截面的应力分量只有两个不 等于零，并且与坐标z无关，即在所有横截面上的应 力分布规律都是相同的。
中的常数k是可以任取的。为了简便起见，对单
连通截面可取k = 0。
2G
2
（在内） （8-20） （在上） （8-21）
0
都能自动满足。
在单连通截面情况下，端部边界条件（8-6）的前二式
此结论证明如下：
zx dxdy
dxdy y
mds 0
现在来推导翘曲函数所满足的方程。将（8-1） 代入位移表示的平衡微分方程（6-2），显然该 方程组的前两式已得到满足，而最后一式要求
2 2 2 2 2 0 （在内） （8-4） x y
方程（8-4）就是扭转问题位移法求解的控制方程。
它表明，翘曲函数必须是调和函数。
曲线，而沿着轴向发生翘曲；且所有横截面的边界
线的翘曲程度都相同。
根据上述实验现象，我们可以认为，在扭转过程中， 截面上面内的转动是刚性的，而面外的翘曲与截面 位置(z)无关，从而可设：
v xz （8-1） w ( x, y ) 称为翘曲函数；为常数，表示相距单位长度
yz
w G ( x) G( x) y y
因此得到 w zx
w yz y, x x G y G
将上式代入（8-26）得
1 dw i G
1 G
(
i
zx dx
yz dy) ( ydx xdy)
称为约束扭转。
§8-1 位移法的控制方程和边界条件
§8-2 应力函数解法
§8-3 剪应力分布特点 §8-4 椭圆截面杆的扭转 §8-5 等边三角形截面杆的扭转 §8-6 具有半圆形槽的圆轴的扭转
§8-7 同心圆管的扭转
设取一任意截面的柱形杆，其长度为l，一端“固定”
于xy平面，另一端作用一个力偶，其矩的大小为M，
y
s
dy α -dx α dx
dv dy
0
x
故上式可写成
d yl xm d
（在上）
（8-5）
d / d 是翘曲函数对于边界的外法线方向的方
向导数。式（8-5）就是翘曲函数所要满足的边
界条件（在周界上）。 于是扭转问题转化为求解在给定的边界条件（8-5）
或（8-5）下，微分方程（8-4）的翘曲函数。
第八章
弹性柱体的扭转
柱体的扭转问题是工程中广泛存在的一类实际问题。
翘曲 对于非圆截面杆的扭转，一般说来横截面不再保持
为平面，即同一横截面的不同点将产生不同的轴向
位移，这种现象称为翘曲。 自由扭转 对于两端承受扭力矩的等截面直杆而言，如果截面
的翘曲不受限制，这种扭转称为自由扭转；
约束扭转 如果截面的翘曲受到限制，会产生附加正应力，
1 2 2 ( x, y) G[ ( x y )] 2
由此
（8-16）
2G
2
（在内） 8-17）
k const
（在上） （8-18）
应力分量：
x y z xy 0 yz , zx
的关于的狄利克莱（Dirichlet）问题
2 0
1 2 (x y 2 ) C 2
（在内）
（8-11）
（在上）
（8-12）
采用共轭函数后，应力分量可表示为
x y z xy 0 yz G ( x) x zx G ( y) y
( xl ym)ds
0
0 ( xl
ym)ds
k ( xl ym)ds k ( xdy ydx)
2
i 1 n
i
k
i i 1
i
于是多连通截面情况的扭矩表示为
M 2 dxdy 2 k i i
zx dxdy 0
（8-6）
可以证明（8-6）式中前两式已恒满足。
zx dxdy G
( y)dxdy x
G
{
[ x( y)] [ x( x)]}dxdy x x y y
进一步根据积分定理，并利用边界条件（8-5）， 上式可化成
同理，y方向的合力
yz dxdy 0
由（8-6）式的第三式得对z轴的合力矩
M
(
zx y
yz x)dxdy
( x y)dxdy x y
[ ( x ) ( y ) 2 ]dxdy x y
( xl ym)ds 2 dxdy
（在上）
（ 2）
dy l ds
m
dx 代入上式得 ds
dx dy ydy xdx x y
或
1 2 d [ ( x y 2 )] 0 2
1 2 (x y 2 ) C 2
积分后得
（8-10）
我们就把原来关于的诺伊曼边值问题化成下列等价
( )ds 2G i i
(i 1, 2, , n)
§8-3 剪应力分布特点
等直杆扭转时的几个主要性质：
1. 扭转问题的最大剪应力发生在截面边界上
根据（8-3b）式，总剪应力
2 2 zx 2 zy
2 2 G ( y) ( x) y x
x y
（8-19）
该组应力满足所有平衡方程，故为应力函数。 将应力分量（8-19）代入应力表示的协调方程
（6-13），其中前四个方程都得到满足，而后
两个方程给出 2 0
x
2 0 y
即要求
C
2
这与方程（8-17）一致，所以方程（8-17）实际上
就是协调方程。 因为应力分量只与的导数有关，所以（8-18）式
的两横截面的相对转角，称为单位长度扭转角。利用
几何方程（2-11）可以得到应变分量为
x y z xy 0 zx ( y) x zy ( x) y
u yz
( x, y )
出；最后便可分别从（8-1）和（8-3b）式求出位
移分量和应力分量。上述求解翘曲函数的微分方 程定解问题在数学上称为诺伊曼（Neumann）问题。
该问题也可以把它变成另一个边值问题，因为函数
是一个调和函数，故可以引进另一个调和函数 ( x, y)
，以此定义一个解析函数（详见§11-1）。
2 2
（8-7）
（8-8） 式中 已由前面微分方程（8-4）的边值问题确定， 与截面的几何形状有关，因此D表征了柱形截面抗 扭的几何特征。从物理意义上讲，GD就是扭转刚度。
对于给定的柱形杆，G和D都是已知的，故只要知道
扭矩M，即可求出；反之，知道了，也可求出M。 综上所述，柱形杆扭转的位移法可归结为：首先在 边界条件（8-5）下，由拉普拉斯方程（8-4）解出 翘曲函数；再由（8-8）式计算D，由（8-7）式算
（8-13）
扭矩（（8-6）式）可表示为
M G
D
2
[x 2 y 2 x
y ]dxdy GD x y
（8-14） （8-15）
[x y x y ]dxdy x y
2
§8-2 应力函数解法
为了简化扭转问题的边界条件，普朗特尔（Prandtl） 建议引进应力函数
i
dx dy ( )ds i y ds x ds
( ydx xdy) 0
i
（ 2）
由图8-3中的几何关系，有
dy dy dx dx , ds d ds d
因此，（2）式中第一项积分化成
1 G
dx dy 1 ( )ds i y ds x ds G
i 1 n
计算D的公式与单连通截面情况相同，即
D M / G
上列各式中内边界上应力函数的值
下列位移单值条件确定
k i ，可通过
dw
i
w w ( dx dy) 0 (i 1, 2, , n) i x y
将（8-1）式的第三式代入（8-3b）式
zx
w G ( y) G( y ) x x
矩矢的方向与z轴一致(如图8-1)，柱形杆的侧面没有
外力作用，自重可以不计。 这里，所谓“固定端”指该截面不能转动，但可以沿
着z轴方向自由伸缩，以保证杆件产生自由扭转。
通过扭转试验观察到，变形后杆件表面的母线变成 了螺旋线，而原来与母线垂直的横截面的平面边界
线，绕着柱的轴线发生转动，一般不再保持为平面
0
单连通域：
0
M 2 dxdy
于是，由（8-7）式知
M 2 D G G
对于多连通截面
dxdy
0 1 n
图8-2
因为函数虽在同一边界上是一个常数，但不同 边界的值一般是不相等的，此时，只能取其中一 个边界上的值等于零，例如，在外边界 k 0 0 在内边界 k i (i 1, 2, , n)
但，位移解（8-1）中还有一个未知参数需要确定。