一三节点三角形单元.docx

有限元课程总结

一三节点三角形单元

1位移函数

移函数写成矩阵形式为：

确定六个待定系数

a4

v玉＞

矩阵形式如下：

J“= TV, 0 Nj 0 N m bJ _ 0 TV, 0

Nj 0

2单元刚度矩阵的计算

1）单元应变和节点位移的关系

由几何方程可以得到单元的应变表达式,

5 6 > = ----------------- b .

「2A '

7

厂 f

Mg

Y — A

”——，

Y Cd

As _

u i

匕・

宀=[N]{5丫

V7

u i

8x

dv

du dv

----- 1 ----

dy dx

J_

2A

C

C

i

bj 0 0

Cj C J b J

u j

V J

2）单元应力与单元节点位移的关系

[KJ = [B r ]T [D][B s ]

b r b s + —

c r c s t s 2 * s

“也+与仏

(T = i,jjn;s = i,jjn)

3) 单元刚度矩阵

卩心][K“] [K]J [K }i ] [K 〃]

[心][K mj ]

3载荷移置

1）集中力的移置

图3

由虚功相等可得，

（㈤丁附=（Q YJW ｛P ｝

由于虚位移是任意的，则皿｝"=["卩｛鬥

2）体力的移置

[S M D I B .] =

E

2A(1-Z /2) Mi Ci %

2 z

如图3所示,

令单元所受的均匀分布体力为｛〃｝=

Et

4(1 —“2)A

地C$ + [DfB i

% [K 加 [K

如

6

由虚功相等可得，

（{J*r）r{7?r =^}>f[N]r{p}tdxdy

{R}e =\\[N]r{p}tdxdy

3）分布面力的移置

设在单元的边上分布有面力{可二[片了r,同样可以得到结点载荷,

{R}e=\[N]T{P}tds

4.引入约束条件，修改刚度方程并求解

1）乘大数法处理边界条件

图3・4所示的结构的约束和载荷情况，如图3・7所示。结点1、4上有水平

方向的位移约束，结点4、6上有垂直方向的约束，结点3上作用有集中力（'，

匕）。

整体刚度矩阵[K]求出后，结构上的结点力可以表示为:

{F} = [K]{5}

根据力的平衡，结点上的结点力与结点载荷或约束反力平衡。用{»}表示结

点载荷和支杆反力，则可以得到结点的平衡方程：

[K]0}={P}

（3.4）

这样构成的结点平衡方程组，在右边向量{P}中存在未知量，因此在求解平衡

方程之前，要根据结点的位移约束情况修改方程（3-4）o先考虑结点n有水平方向位移约朿，与n结点水平方向对应的平衡方程为：

+ ^2w-1.2V l + …+ ©几_[.2幵-1冷+笛”_1.2必+••co

根据支承情况，方程(3-5)应该换成下面的方程:^=

° (3-6)

对比公式(3-5)和(3-6),在式(3-4)中应该做如下修正：

在［K ］矩阵中，第2n ・l 行的对角线元素©s 改为1,该行中全部非对角 线元素改为0；在｛P ｝中，第2n ・l 个元素改为0。为了保持［K ］矩阵的对称性，将 第2ml 列的全部非对角元素也改为0。

同理，如果结点n 在垂肓方向有位移约束，则(3-4)中的第2n 个方程修改 为，

=0

在［K ］矩阵中，第2n 行的对角线元素改为1,该行中全部非对角线元素改为

对图3-4所示结构的整体刚度在修改后可以得到以下的形式,

如果结点n 处存在一个已知非零的水平方向位移知，这时的约束条件为,

0；在｛P ｝中，第2n 个元素改为0。 为了保持［K ］矩阵的对称性，将第2n 列的全 部非对角元素也改为

0。 _

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

u {

0 卩】

V

2

>

0 0 0 0 0

An-1

1 0 0 0 0

P” 0

10 0 0 0

* * * * * * *

* * *

*00 *00 *00

1 0 0 0 0 10 0 0 * * * 0 Er

0 T 0 0

(3-7)

在［K ］矩阵中，第2n ・l 行的对角线元素並12灯乘上一个大数A,向量{P} 中的对应换成人笛“一…—心，其余的系数保持不变。

方程改为，

^2n-\,\U \ + ^2n-\,2V \ + ••・+ ^^2tt-\,2n-\U n + ^2n-\.2n V

n +•••匕 ^^2n-\,2n-\ ( 3・8 )

A 的取值要足够大，例如取1010c 只有这样，方程(3-8)才能与方程(3-7) 等价。

二四面体单元

如图1所示的四面体单元，单元结点的编码为i,j,m,n o 每个结点的位移具有三 个分量u, v,w o 这样单元结点的位移列阵可表示成：

1T

单元的位移模式采用线性多项式

u = cc x + cc^x + oc 3y +

q =冬 + oc h x + cr 7 y + ^z 8 n

VP = 6Z 9 + 0()乂 + C] 1 y +

式中，为待定系数，由单元结点的位移和坐标决定。将四个结点的坐标(xi, yi, zi)> (xj,yj,zj)、(xm, ym, zm)> (xn, yn, zn)和结点位移

(ui, vi, wi)> (uj, vj, wj)>

m