第三章-经典单方程计量经济学模型教学文稿
经典单方程计量经济
误差项
表示模型中未能包括的所有其他影响因素 的综合效果。
自变量
解释因变量的经济变量，通常是模型的输 入。
研究目的与意义
描述经济现象
通过构建模型，对经济现象进行 定量描述和解释。
预测未来趋势
利用历史数据对模型进行拟合， 进而对未来经济趋势进行预测。
研究目的与意义
研究目的与意义
理论意义
丰富和发展了经济学理论，提高了经济现象的解释力。
实践意义
为政府、企业和个人提供了决策支持和参考依据，有助于实现资源的优化配置和经济的可持续发展。
02
经典单方程模型构建
模型设定原则与方法
科学性原则
模型设定应Байду номын сангаас经济理论为基础，确保模型具 有科学性和合理性。
可操作性原则
模型设定应考虑数据的可获得性和可处理性， 确保模型具有实际应用价值。
经典单方程计量经济
目录 Contents
• 绪论 • 经典单方程模型构建 • 参数估计与假设检验 • 模型诊断与修正 • 预测与政策评价 • 总结与展望
01
绪论
计量经济学定义与特点
定义
计量经济学是经济学的一个分支，旨在 运用数学、统计学等方法对经济现象进
行定量分析和预测。
实证性
通过收集实际经济数据，对模型进行 验证和评估。
统计量的分布，判断原假设是否成立。
04
模型诊断与修正
残差分析及应用
1 2
残差图分析
通过绘制残差与预测值或解释变量的散点图，观 察是否存在非线性关系、异方差性或自相关性等 问题。
残差的正态性检验
利用直方图、QQ图或Jarque-Bera等统计量检 验残差是否服从正态分布，以确保模型的可靠性。
经典单方程计量经济学演示文稿
2.1 一元线性回归模型（5）
通到常的线，性利回用归样函 本数 得到E(的yt)只= 是0对+E(1yxt)t
是观察不
= 0 + 1 xt
的估计，即对0和1的估计。
在对回归函数进行估计之前应该对随机误差项
ut做出如下假定。
(（1)再ut初是等一阶个段随我机们变一量般，假ut 设的服取从值正服态从分概布率）分。布
(2) E(ut) = 0。
(3) D(ut) = E[ut - E(ut) ]2 = E(ut)2 = 2。称ui 具
有同方差性。
(4) ut 为正态分布（根据中心极限定理）。
以上四个假定可作如下表达。ut N (0, )。
(5) Cov(ui, uj) = E[(ui - E(ui) ) ( uj - E(uj) )] = E(ui, uj) = 0, (i j )。含义是不同观测值所对应的随机项相互 独立。称为ui 的非自相关性。
3. 有效性：OLS估计量在线性无偏估计量中方差最
小。0, 1的OLS估计量的方差比其他估计量的方差
小。 Gauss-Marcov定理：若ut满足E(ut) = 0，D(ut)
= 2，那么用OLS法得到的估计量就具有最佳线性
无偏性。估计量称最佳线性无偏估计量。最佳线性
无偏估计特性保证估计值最大限度的集中在真值周
(6) xi是非随机的（初等阶段）。
(7) Cov(ui, xi) = E[(ui - E(ui) ) (xi - E(xi) )] = E[ui (xi E(xi) ] = E[ui xi - ui E(xi) ] = E(ui xi) = 0. ui 与xi 相互独立。否则，分不清是谁对yt的贡献。
计量经济学单方程计量经济学模型专门问题PPT学习教案
64332.4
88228.1
1989 5146.9
16917.8
2001
73762.4
94346.4
1990 7034.2
18598.4
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以Y为储蓄，X为收入，可令：
1990年前:Yi=1+2Xi+1i i=1,2…,n1 1990年后:Yi=1+2Xi+2i i=1,2…,n2 则有可能出现下述四种情况中的一种： (1)1=1,且2=2，即两个回归相同，称为重合回归； (2)11,但2=2，两个回归的差异仅在截距，称为平行回归; (3)1=1,但22，两个回归的差异仅在斜率，称为汇合回归； (4)11,且22，即两个回归完全不同，称为相异回归 可以运用邹氏结构变化的检验。这一问题也可通过引入乘法形式
(-2.55)
由2与3的t检验可知：参数显著不等于0，强烈显示出两个时期 的回归是相异的，储蓄函数分别为：
1990年前Dt=1 : Ŷt =-1649.7+0.4116Xt 1990年后Dt=0 : Ŷt =-15452+0.8881Xt 共同的储蓄函数为：Ŷt =-15452+0.8881Xt 教科书上分别给出了1991年和1997年的估计模型
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8
3.临界指标的虚拟变量的引入
在经济发生转折时期，可通过建立临界值指标的虚拟变量模 型来反映。 案例4，进口消费品数量Y主要取决于国民收入X的多少，中国在 改革开放前后，Y对X的回归关系明显不同。
这时，可以t*=1979年为转折期，以1979年的国民收入Xt*为 临界值，设虚拟变量：t< t*, Dt=0 ， t t*, Dt=1
产品（如冷饮）销售的影响等等。
单方程计量经济学模型经典单方程计量经济学模型
• 概念：
在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的期望 轨迹称为总体回归线（population regression line）， 或更一般地称为总体回归曲线（population regression curve）。
相应的函数：
E (Y | X i ) f ( X i )
称为（双变量）总体回归函数（population regression function, PRF）。
（*）式称为总体回归函数（方程）PRF的随机设定 形式。表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响 外，还受其他因素的随机性影响。 由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型， 因此也称为总体回归模型。
为什么要引入随机扰动项
• 模型中引入反映不确定因素影响的随 机扰动项μ 的目的在于使模型更符合客观 经济活动实际。 • 干扰项是从模型中省略下来而又集体 地影响着Y地全部变量地替代物
例2.1中，个别家庭的消费支出为：
(*) 即，给定收入水平Xi ,个别家庭的支出可表示为两部分之和: （1）该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi)，称为 系统性（systematic）或确定性（deterministic)部分。 （2）其他随机或非确定性（nonsystematic)部分i。
简单线性需求函数——不可能包罗万象地 引入全部影响变量
• 我们以最简单的线性需求函数为例进行分析。 • Qd=b0+b1X1 • 理论分析和实践经验表明，某种商品需求量 不仅趋近于价格，而且趋近于替代商品的价格X2， 消费者收入X3和消费者偏好X4等等。将所有对需 求量有影响的个变量引入方程： • Qd=b0+b1X1+b2X2+b3X3+b4X4++bkXk • 即使如此也还可能有其他次要因素影响需求 量，譬如社会风尚，心理变化甚至天气等等。总 之，不可能巨细无遗地全部都引入。
3__经典单方程计量经济学模型
变的情况下，Xj每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化;
或者说 j 给出了Xj 的单位变化对Y均值的“直接”或 “净”（不含其他变量）影响。
7
n个观测样本的多元线性回归模型可以表示为下面的 方程组：
20
于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：
由极值的必要条件有： Q ˆ ˆ ˆ 2 Yi 0 1X i 1 k X ik）（ 1） 0 （ ˆ 0 Q ˆ ˆ ˆ 2 Yi 0 1X i 1 k X ik）（ X i 1） 0 （ ˆ 1 Q ˆ ˆ ˆ 2 Yi 0 1X i 1 k X ik）（ X ik） 0 （ ˆ P
Y1 0 1 X 11 2 X 12 k X 1k u1 Y2 0 1 X 21 2 X 22 k X 2 k u2 Yn 0 1 x n1 2 X n 2 k X nk un
ˆ Y Xβ e
其中：
ˆ 0 ˆ ˆ 1 β ˆ k
10
二、多元线性回归模型的基本假定
假设1：回归模型是正确设定的。 假设2：解释变量是非随机的或固定的，且各X之间互不相 关（无多重共线性）。 是指一个变量不能表示为另一变量的完全线性函数。 因而，若有： Xi1= 3 + 2Xi2 或 Xi1= 4Xi2 则这两个变量之间是共线性的，因为X1、X2之间存在完 全的线性关系。
var( 1 ) cov( 1 , n ) 2 cov( , ) var( n ) 0 n 1
计量经济学 第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型
第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型一、内容提要本章将一元回归模型拓展到了多元回归模型，其基本的建模思想与建模方法与一元的情形相同。
主要内容仍然包括模型的基本假定、模型的估计、模型的检验以及模型在预测方面的应用等方面。
只不过为了多元建模的需要，在基本假设方面以及检验方面有所扩充。
本章仍重点介绍了多元线性回归模型的基本假设、估计方法以及检验程序。
与一元回归分析相比，多元回归分析的基本假设中引入了多个解释变量间不存在（完全）多重共线性这一假设；在检验部分，一方面引入了修正的可决系数，另一方面引入了对多个解释变量是否对被解释变量有显著线性影响关系的联合性F检验，并讨论了F检验与拟合优度检验的内在联系。
本章的另一个重点是将线性回归模型拓展到非线性回归模型，主要学习非线性模型如何转化为线性回归模型的常见类型与方法。
这里需要注意各回归参数的具体经济含义。
本章第三个学习重点是关于模型的约束性检验问题，包括参数的线性约束与非线性约束检验。
参数的线性约束检验包括对参数线性约束的检验、对模型增加或减少解释变量的检验以及参数的稳定性检验三方面的内容，其中参数稳定性检验又包括邹氏参数稳定性检验与邹氏预测检验两种类型的检验。
检验都是以F检验为主要检验工具，以受约束模型与无约束模型是否有显著差异为检验基点。
参数的非线性约束检验主要包括最大似然比检验、沃尔德检验与拉格朗日乘数检验。
它们仍以估计无约束模型与受约束模型为基础，但以最大似然原χ分布为检验统计量理进行估计，且都适用于大样本情形，都以约束条件个数为自由度的2的分布特征。
非线性约束检验中的拉格朗日乘数检验在后面的章节中多次使用。
二、典型例题分析例1．某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为36.0.+=-10+094medufedu.0sibsedu210131.0R2=0.214式中，edu为劳动力受教育年数，sibs为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu与fedu分别为母亲与父亲受到教育的年数。
单方程计量经济学模型理论与方法
e1, , en i.i.d., E(ui) = 0, D(ui) = s2
我们要估计 b0, b1 和 s2. • 若 e 的分布已知, 可用 极大似然估计 (MLE). 否则, 可考虑 最小二乘估计 (LSE) 和其他估计方法.
高斯—马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem)
在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计 量是具有最小方差的线性无偏估计量。
ˆ 的均值（期望）等于总体回归 ˆ 、 b 2、无偏性 ，即估计量b 0 1
参数真值 b0 与 b1
ˆ k Y k (b b X ) b 证： b i i i 0 1 i i 0 k i b1 k i X i k i i 1
xi y i ˆ b1 2 x i b ˆ Y b ˆ X 1 0
由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到的，
故称为普通最小二乘估计量。
2.3、普通最小二乘估计的性质
当模型参数估计出后，需考虑参数估计值的
精度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需
考察参数估计量的统计性质。
分析： 由于不确定因素的影响，对同一收入水平X，不同 家庭的消费支出不完全相同
描出散点图发现：随着收入的增加，消费 “平均地说”也在增加，且Y的取值大致落在一 根正斜率的直线上下。这条直线称为总体回归线。
总体的信息往往无法掌握，现实的情况只能是在 一次观测中得到总体的一个样本。 问题：能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？ 如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？
ˆ b ˆ X )) 2 ˆ ) 2 (Y ( b Q (Yi Y i i 0 1 i
经典单方程计量经济学模型一元回归模型
4. 相关分析与回归分析之间的关系
联系： 区别：
1）都是对存在相关关系的变量的统计相关关系的研究； 2）都能测度线性相关程度的大小； 3）都能判断线性相关关系是正相关还是负相关。
1）相关分析仅仅是从统计数据上测度变量之间的相关程度， 不考虑两者之间是否存在因果关系，因而变量的地位在相 关分析中是对等的； 回归分析是对变量之间的因果关系的分析，变量的地位是 不对等的，有被解释变量和解释变量之分。
3. 回归分析
研究不仅存在相关关系而且存在因果关系的变量之间的依存关系的 一种分析理论与方法，是计量经济学的方法论基础，
1）设定理论模型，描述变量之间的因果关系； 2）根据样本观察数据利用适当方法对模型参数进行估计， 得到回归方程； 3）对回归方程中的变量、方程进行显著性检验，推求参数 的置信区间、模型的预测置信区间；
i Yi E (Y | X i )
• 例2.1.1中，给定收入水平Xi ,个别家庭的支出可 表示为两部分之和：
– 该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi)，称 为系统性（systematic）或确定性（deterministic)部 分； – 其他随机或非确定性（nonsystematic)部分i。
则总体相关系数的估计——样本相关系数为
（X i X） (Yi Y )
i 1 n
rXY
(X
i 1
n
i
X)
2
(Y Y )
i 1 i
n
2
或 rXY
n X iYi X i Yi
i 1 i 1 i 1
n
n
n
n X ( X i )
i 1 2 i i 1
3500 每 月 消 费 支 出 Y （元） 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 每月可支配收入X（元）
经典单方程计量经济学模型多元线性回归模型
3、关于随机项的假设
• 0均值假设。The conditional mean value of μi is zero.
E(i Xi ) 0, i 1,2, ,n
由模型设定正确假设推断。
• 同方差假设。The conditional variances of μi are identical.(Homoscedasticity)
coefficients)，表示在其他解释变量保持不变 的情况下，Xj每变化1个单位时，Y的均值 E(Y)的变化。
或者说j给出了Xj的单位变化对Y均值的
“直接”或“净”（不含其他变量）影响。
总体回归模型的矩阵表示
Y Xβ μ
1 X 11
X
1
X 12
X 21 X 22
X k1
X
k
2
1 X 1n
一、普通最小二乘估计(OLS)
1、普通最小二乘估计
• 最小二乘原理：根据被解释变量的所有观测值 与估计值之差的平方和最小的原则求得参数估 计量。
• 步骤：
(Yi , X ji ), i 1,2,, n, j 0,1,2,k
Yˆi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X Ki
X 2n
X
kn
n(k 1)
Y1
Y
Y2
Yn
n1
0
1
β
2
k ( k 1)1
1
μ
2
n
n1
样本回归函数与样本回归模型
• 从一次抽样中获得的总体回归函数的近似，称为样
本回归函数（sample regression function）。
• 样本回归函数的随机形式，称为样本回归模型 （sample regression model）。
计量经济学 第三章
第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型例1．某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为fedu medu sibs edu 210.0131.0094.036.10++-=R 2=0.214式中，edu 为劳动力受教育年数，sibs 为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu 与fedu 分别为母亲与父亲受到教育的年数。
问（1）sibs 是否具有预期的影响？为什么？若medu 与fedu 保持不变，为了使预测的受教育水平减少一年，需要sibs 增加多少？（2）请对medu 的系数给予适当的解释。
（3）如果两个劳动力都没有兄弟姐妹，但其中一个的父母受教育的年数为12年，另一个的父母受教育的年数为16年，则两人受教育的年数预期相差多少？ 解答：（1）预期sibs 对劳动者受教育的年数有影响。
因此在收入及支出预算约束一定的条件下，子女越多的家庭，每个孩子接受教育的时间会越短。
根据多元回归模型偏回归系数的含义，sibs 前的参数估计值-0.094表明，在其他条件不变的情况下，每增加1个兄弟姐妹，受教育年数会减少0.094年，因此，要减少1年受教育的时间，兄弟姐妹需增加1/0.094=10.6个。
（2）medu 的系数表示当兄弟姐妹数与父亲受教育的年数保持不变时，母亲每增加1年受教育的机会，其子女作为劳动者就会预期增加0.131年的教育机会。
（3）首先计算两人受教育的年数分别为 10.36+0.131⨯12+0.210⨯12=14.452 10.36+0.131⨯16+0.210⨯16=15.816因此，两人的受教育年限的差别为15.816-14.452=1.364例2．以企业研发支出（R&D ）占销售额的比重为被解释变量（Y ），以企业销售额（X1）与利润占销售额的比重（X2）为解释变量，一个有32容量的样本企业的估计结果如下：099.0)046.0()22.0()37.1(05.0)log(32.0472.0221=++=R X X Y其中括号中为系数估计值的标准差。
第三讲 经典单方程计量经济学模型
第三讲 经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型 学习目标：• 理解多元线性回归模型的基本表达形式• 理解多元线性回归模型的基本假设，并比较与一元线性回归模型的基本假设 • 掌握多元线性回归模型参数估计的普通最小二乘法• 掌握多元线性回归模型的统计学检验并理解其作用和意义——拟合优度检验（调整的可决系数、赤池信息准则和施瓦茨准则） ——方程总体线性的显著性检验（F 检验）——变量的显著性检验（t 检验）• 理解多元线性回归模型的预测问题§3.1 多元线性回归模型一、多元线性回归模型的一般形式多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的解释变量有多个。
其中：k 为解释变量的数目，βj 称为回归系数；βj 也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情况下，X j 每变化1个单位时，Y 的均值E(Y)的变化; 或者说βj 给出了X j 的单位变化对Y 均值的“直接”或“净”（不含其他变量）影响。
习惯上：把常数项看成一虚变量的系数，该虚变量的样本观测值始终取1。
于是，模型中解释变量的数目为（k +1）练习题：1. 产量（X ，台）与单位产品成本（Y ，元/台）之间的回归方程为ˆY356 1.5X -＝，这说明__________。
A 产量每增加一台，单位产品成本增加356元B 产量每增加一台，单位产品成本减少1.5元C 产量每增加一台，单位产品成本平均增加356元D 产量每增加一台，单位产品成本平均减少1.5元2. 在二元线性回归模型i i i i u X X Y +++=22110βββ中，1β表示_________。
A 当X 2不变时，X 1每变动一个单位Y 的平均变动。
B 当X 1不变时，X 2每变动一个单位Y 的平均变动。
C 当X 1和X 2都保持不变时，Y 的平均变动。
D 当X 1和X 2都变动一个单位时，Y 的平均变动。
iki k i i i X X X Y μββββ++⋅⋅⋅+++=22110二、多元线性回归模型的基本假定假设1. 回归模型是正确设定的；模型没有设定偏误（specification error）；假设2. 解释变量是非随机的或固定的，且各X之间互不相关（无多重共线性）；假设3. 解释变量X在所抽取的样本中具有变异性，随着样本容量的无限增加，解释变量X的样本方差趋于一个非零的有限常数。
第三讲--经典单方程计量经济学模型
第三讲 经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型学习目标：•理解多元线性回归模型的基本表达形式 •理解多元线性回归模型的基本假设，并比较与一元线性回归模型的基本假设 •掌握多元线性回归模型参数估计的普通最小二乘法 • 掌握多元线性回归模型的统计学检验并理解其作用和意义——拟合优度检验（调整的可决系数、赤池信息准则和施瓦茨准则）——方程总体线性的显著性检验（F 检验）——变量的显著性检验（t 检验）• 理解多元线性回归模型的预测问题 §3.1 多元线性回归模型一、多元线性回归模型的一般形式多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的解释变量有多个。
其中：k 为解释变量的数目，b j 称为回归系数；b j 也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情况下，X j 每变化1个单位时，Y 的均值E(Y)的变化; 或者说b j 给出了X j 的单位变化对Y 均值的“直接”或“净”（不含其他变量）影响。
习惯上：把常数项看成一虚变量的系数，该虚变量的样本观测值始终取1。
于是，模型中解释变量的数目为（k +1）练习题：1. 产量（X ，台）与单位产品成本（Y ，元/台）之间的回归方程为ˆY356 1.5X -＝，这说明__________。
A 产量每增加一台，单位产品成本增加356元B 产量每增加一台，单位产品成本减少1.5元C 产量每增加一台，单位产品成本平均增加356元D 产量每增加一台，单位产品成本平均减少1.5元2. 在二元线性回归模型i i i i u X X Y +++=22110βββ中，1β表示_________。
A 当X 2不变时，X 1每变动一个单位Y 的平均变动。
B 当X 1不变时，X 2每变动一个单位Y 的平均变动。
C 当X 1和X 2都保持不变时，Y 的平均变动。
iki k i i i X X X Y μββββ++⋅⋅⋅+++=22110D 当X1和X2都变动一个单位时，Y的平均变动。
第三章经典单方程计量经济学模型
第三章经典单方程计量经济学模型第三章经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型3—1 解释下列概念（1）多元线性回归模型解答：在现实经济活动中往往存在着一个变量受到其他多个变量的影响的现象，表现为在线性回归模型中有多个解释变量，这样的模型被称为多元线性回归模型，多元指多个解释变量。
（2）偏回归系数解答：在多元回归模型中，每一个解释变量前的参数即为偏回归系数，它测度了当其他解释变量保持不变时，该解释变量增加1个单位对被解释变量带来的平均影响程度。
（3）正规方程组解答：正规方程组指采用OLS 估计线性回归模型时，对残差平方和关于各参数求偏导，并令偏导数为零得到的一组方程，其矩阵形式为Y X X X '='β（4）调整的多元可决系数解答：调整的多元可决系数2R ,又称独院判定系数，是一个用于描述伴随模型中解释变量的增加和多个解释变量对被解释变量的联合影响程度的量。
它与2 R 有如下关系：11)1(122-----=k n n R R（5）多重共线性解答：多重共线性是多元回归中特有的一个概念，指多个解释变量间存在线性相关的情形。
如果存在完全的线性相关性，则模型的参数就无法求出，OLS 回归无法进行。
（6）联合假设检验解答：联合假设检验是相对于单个假设检验来说的，指假设检验中的假设有多个，不止一个。
如多元回归中的方程的显著性检验就是一个联合假设检验，而每个参数的t 检验就是单个假设检验。
（7）受约束回归解答：在世纪经济活动中，常常需要根据经济理论对模型中的变量参数施加一定的约束条件，对模型施加约束条件后进行回归，称为受约束回归。
（8）无约束回归解答：无约束回归是与受约束回归相当对的一个概念，无需对模型中变量的参数施加约束条件进行的回归称为无约束回归3—2 观察下列方程并判断其变量是否呈线性？系数是否呈线性？或都是？或都不是？（1）i i i X Y εββ++=310 （2）i i i X Y εββ++=log 10 （3）i i i X Y εββ++=ln ln 10 （4）i i i X Y εβββ++=)(210 （5）i ii X Y εββ+=10（6）i i i i X Y εββ+-+=)1(10 （7）i ii i X X Y εβββ+++=1022110 解答：（1），（2），（3），（7）变量非线性，系数线性：（4）变量线性，系数非线性：（5），（6）变量和系数均为非线性。
【精品】第3章--经典单方程计量经济学模型(多元)教学课件
即
(XXβ ˆ)XY
由于X’X满秩，故有
β ˆ(XX)1XY
将上述过程用矩阵表示如下：
Y X β μ Yˆ Xβ ˆ YXβ ˆe
即求解 方程组：
β ˆ(YXβ ˆ)(YXβ ˆ)0
于是： β ˆ(XX)1XY
例3.1 求下列模型的参数估计量，
Y01X 12X 2
观察值： Y X1 X2
211
X1i
Xki
X1i X1 2 i
XkX i 1i
X X X 1iX k k 2kii i ˆˆˆ1 k 0 X X 11 k11 X X 1 1 k22 X X 1 1 knn Y Y Y1 n 2
一、非线性回归模型的两种基本类型
1、Yi与β1是线性关系，与Xi为非线性关系
Y i01 X i2i Y i01X ii
2、Yi与β1是非线性关系
Yi 012Xi i Yi 0 1Xi i Yi 011 Xi2i
第一类经适当变换可转化为线性模型，第二类 需用非线性最小二乘法
二、几种常见的非线性回归模型 1、多项式模型
模型的良好性质只有在大样本下才能得 到理论上的证明
§3.3 多元线性回归模型的统计检验
一、拟合优度检验 二、方程的显著性检验(F检验) 三、变量的显著性检验（t检验）
一、拟合优度检验
1、可决系数与调整的可决系数
TSS=ESS+RSS
( Y i Y ) 2 ( Y ˆ i Y ) 2 ( Y i Y ˆ i) 2
在满足基本假设的情况下，其结构参数的普通
最小二乘估计仍具有： 线性性、无偏性、有效性
coˆv )(2(XX)1
随机误差项的方差的无偏估计量为
计量经济学课件5 经典单方程计量经济学模型：专门问题(新)
1 正常年份 消费模型可建立如下： 如，设 Dt 0 反常年份
Ct 0 1 X t 2 Dt X t t
• 这里，虚拟变量D以与X相乘的方式引入了模 型中，从而可用来考察消费倾向的变化。 • 假定E(i)= 0，上述模型所表示的函数可化为：
正常年份：
E(Ct | X t , Dt 1) 0 ( 1 2 ) X t
E(Yi | X i , D1 1, D2 0) ( 0 2 ) 1 X i
•女职工本科以上学历的平均薪金：
E(Yi | X i , D1 0, D2 1) ( 0 3 ) 1 X i
•男职工本科以上学历的平均薪金：
E(Yi | X i , D1 1, D2 1) ( 0 2 3 ) 1 X i
比较类型，否定类型取值为0。
概念：
同时含有一般解释变量与虚拟变量的 模型称为虚拟变量模型或者方差分析 （analysis-of variance: ANOVA）模型。 一个以性别为虚拟变量考察企业职工 薪金的模型：
Yi 0 1 X i 2 Di i
其中：Yi为企业职工的薪金，Xi为工龄， Di=1 ，若是男性， Di=0 ，若是女性。
GNP 21662.5 26651.9 34560.5 46670.0 57494.9 66850.5 73142.7 76967.2 80579.4 88228.1 94346.4
以Y为储蓄，X为收入，可令：
• 1990年前： Yi=1+2Xi+1i i=1,2…,n1
• 1990年后： Yi=1+2Xi+2i
这种“量化”通常是通过引入“虚拟变 量”来完成的。根据这些因素的属性类型， 构造只取“0”或“1”的人工变量，通常称 为虚拟变量（dummy variables），记为D。 • 例如，反映文程度的虚拟变量可取为：
第三章 经典单方程计量经济学模型
若经检验某个方程在统计上是显著的，表明 存在异方差性。
利用Eviews软件进行Park检验与Gleiser检 验的步骤： （P75）
3、戈德菲尔德-匡特(Goldfeld-Quandt)检验
G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较大、 异方差递增或递减的情况。
又如，以总产值作为解释变量建立企业的成本函数 时，由于管理水平、生产技术条件等因素的影响，使得 同一生产规模的企业有不同的生产成本；但生产规模较 小的企业，其生产成本的差异不会很大（如相差几万 元），而生产规模较大的企业则可能会产生较大的差异 （如相差几十万元），即随机误差项的方差有增大的趋 势。
Yi 0 i X i i
Yi:第i个家庭的储蓄额 Xi:第i个家庭的可支配收入 高收入家庭：储蓄的差异较大 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小
i的方差呈现单调递增型变化
低收入家庭之间的储蓄存款不会有太大差异；对于高收入家庭， 因受储蓄心理、消费习惯、家庭成员构成等因素的影响，各个家 庭之间的储蓄存款可能会有很大差异，即随机误差项的方差会明 显地大于低收入家庭。
(2)X- e~i2 的散点图进行判断
看是否形成一斜率为零的直线
e~i 2
e~i 2
X 同方差
X 递增异方差
e~i 2
e~i 2
X 递减异方差
X 复杂型异方差
2、帕克(Park)检验与戈里瑟(Gleiser)检验
基本思想: 偿试建立残差序列对解释变量的（辅助）
回归模型：
ei2 f (x ji ) i 或 ei f (x ji ) i
分别用 e12i RSS1和 e22i RSS2表示较小与
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第三章 经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型3—1 解释下列概念 （1）多元线性回归模型解答：在现实经济活动中往往存在着一个变量受到其他多个变量的影响的现象，表现为在线性回归模型中有多个解释变量，这样的模型被称为多元线性回归模型，多元指多个解释变量。
（2）偏回归系数解答：在多元回归模型中，每一个解释变量前的参数即为偏回归系数，它测度了当其他解释变量保持不变时，该解释变量增加1个单位对被解释变量带来的平均影响程度。
（3）正规方程组解答：正规方程组指采用OLS 估计线性回归模型时，对残差平方和关于各参数求偏导，并令偏导数为零得到的一组方程，其矩阵形式为Y X X X '='βˆ（4）调整的多元可决系数解答：调整的多元可决系数2R ,又称独院判定系数，是一个用于描述伴随模型中解释变量的增加和多个解释变量对被解释变量的联合影响程度的量。
它与2R 有如下关系：11)1(122-----=k n n R R（5）多重共线性解答：多重共线性是多元回归中特有的一个概念，指多个解释变量间存在线性相关的情形。
如果存在完全的线性相关性，则模型的参数就无法求出，OLS 回归无法进行。
（6）联合假设检验解答：联合假设检验是相对于单个假设检验来说的，指假设检验中的假设有多个，不止一个。
如多元回归中的方程的显著性检验就是一个联合假设检验，而每个参数的t 检验就是单个假设检验。
（7）受约束回归解答：在世纪经济活动中，常常需要根据经济理论对模型中的变量参数施加一定的约束条件，对模型施加约束条件后进行回归，称为受约束回归。
（8）无约束回归解答：无约束回归是与受约束回归相当对的一个概念，无需对模型中变量的参数施加约束条件进行的回归称为无约束回归3—2 观察下列方程并判断其变量是否呈线性？系数是否呈线性？或都是？或都不是？（1）i i i X Y εββ++=310（2）i i i X Y εββ++=log 10 （3）i i i X Y εββ++=ln ln 10 （4）i i i X Y εβββ++=)(210 （5）i ii X Y εββ+=10（6）i i i i X Y εββ+-+=)1(10 （7）i ii i X X Y εβββ+++=1022110 解答：（1），（2），（3），（7）变量非线性，系数线性： （4）变量线性，系数非线性： （5），（6）变量和系数均为非线性。
3—4 为什么说最小二乘估计量是最优的线性无偏估计量？多元线性回归最小二乘估计的正规方程组，能解出唯一的参数估计的条件是什么？解答：在多元回归的参数模型中，在模型满足经典假设的条件下，参数的最小二乘估计量具有线性性、无偏性以及最小方差性，所以被称为最有线性无偏估计量（BLUE ）。
对于多元线性回归最小二乘估计的正规方程组，能解出唯一的参数估计量的条件是1)(-'X X 存在，或者说各解释变量间不完全线性相关。
3—7 为什么从计量经济学模型得到的预测值不是一个确定的值？预测值的置信区间和置信的含义是什么？在相同的置信度下如何才能缩小置信区间？解答： 原因有两个：（1）模型中的参数估计量不确定，它们随着抽样的不同而不同；（2）其他随机因素的影响，即使找到了参数的真实值，由于其他随机因素的影响，也会使通过估计的模型得到的预测值具有不确定性。
正是由于预测值的不确定性，得到的仅仅是预测值的一个估计值。
真实的预测值仅以某一个置信度处于以该估计值为中心的一个区间中，预测值的置信区间指：在给定α-1的置信度下，被解释变量的预测值0Y 的置信区间为01020001020)(1ˆˆ)(1ˆˆX X X X t Y Y X X X X t Y ''+⨯+<<''+⨯---σσαα 预测值的置信度又称预测值的置信水平，指预测值出现在上述区间的概率，是表明预测值的可靠程度的量。
在相同的置信度下，通过增加样本容量，提高模型的拟合优度和提高样本观测值的分散度可以达到缩小置信区间的目的。
3—8 设模型i i X X Y μβββ+++=22110，试在下列条件下： （1）121=+ββ； （2）21ββ=，分别求出1β和2β的最小二乘估计量。
解答：（1）由条件121=+ββ，容易将原模型变换为如下一元回归：μββ+-+=-)(21102X X X Y因此∑∑---=2212211)())((ˆi i i i i i x x xy x x β∑∑----=2212212)())((1ˆi i i i i i x x xy x x β其中，小写字母表示对其均值的离差。
（2）由条件21ββ=，容易将原模型变换为如下一元回归：μββ+++=)(2110X X Y因此∑∑++=221211)()(ˆi i i i i x xy x xβ∑∑++=221212)()(ˆi i i i i x xy x x β3—9 假设要求你建立一个计量经济学模型来说明在学校跑到上慢跑半小时或半小时以上的人数，以便决定是否修建第二条跑道以满足所有锻炼者。
你通过整个学年收集数据，得到两个可能的解释性方程：3215.10.10.150.125ˆX X X Y +--= , 75.02=R (a) 4217.35.50.140.123ˆX X X Y -+-= , 73.02=R （b ） 其中，Y 为某天慢跑者的人数，1X 为该天的降雨量（单位：毫米），2X 为该天的日照时间（单位：小时），3X 为该天的最高温度（单位：华氏温度），4X 为第二天需交学期论文的班级数。
请回答下列问题：（1） 这两个方程你认为哪个更合理，为什么？（2） 为什么用相似的数据区估计想通过变量的系数却得到不同的符号？解答：（1）方程（b ）更合理。
原因是方程（b ）中参数估计值的符号与现实更接近，如与日照的小时数同向变化，天长则慢跑的人会多些；与第二天需交学期论文的班级数称反比变化，这一点在学校的跑到模型中是一个合理的解释变量。
方程（a ）相对来说不太合理，因为日照小时数前的符号与预期的正号不相符，而且所选的变量“日照小时数”与“该天的最高温度”有较强的相关性。
（2）方程（a ）和方程（b ）中由于选择了不同的解释变量，如方程（a ）选择的是“该天最高温度”而方程（b ）选择的是“第二天需交学期论文的班级数”，由此造成2X 与这两个变量之间的关系不同，所以用相同的数据估计相同的变量得到不同的符号。
其中变量“日照小时数”与“该天的最高温度”的较强相关性在很大程度上导致了2X 的符号位负。
3—10 有人以校园内食堂每天卖出的盒饭数量作为被解释变量，以盒饭价格、气温、附近餐厅的盒饭价格、学校当日的学生数量作为解释变量，进行回归分析。
假设你看到如下的回归结果（括号中是标准差），但并不知道各解释变量是哪一项。
是判定每项结果对应着哪一个变量，说明理由。
43219.561.07.124.286.10ˆi i i i i X X X X Y -+++= （2.6） （6.3） （0.61） （5.9）63.02=R 35=n解答：答案并不唯一，猜测为：1X 为学生数量，2X 为附近餐厅的盒饭价格，3X 为气温，4X 为校园内食堂的盒饭价格。
理由是被解释变量应与学生数量成正比，并且应该影响显著；与本食堂盒饭价格成反比，这与需求理论相吻合；与附近餐厅的盒饭价格成正比，因为彼此是替代品；与气温的变化关系不是十分显著，因为大多数学生不会因为气温升高不去食堂吃饭。
3—11 下面给出依据15个观察值计算得到的数据：693.367=Y , 760.4021=X , 0.82=X∑=269.660422iy,∑=096.8485521ix, ∑=0.28022ix∑=346.747781ii xy ,∑=9.42502ii xy ,∑=0.479621ii xx其中小写字母代表了各值与样本值的离差。
（1）估计0β，1β，2β三个多元回归系数，求出2R 与2R 。
（2）求出1ˆβ，2ˆβ的标准差，并估计1β，2β在95%置信度下的置信区间。
（3）在显著性水平%5=α下，检验估计的每个回归系数的统计显著性。
（4）在%5=α下检验假设：所有的参数都为零。
解答：（1）易知7266.07578105506200.4796280096.848850.47969.4250280346.74778ˆ2212122212122211==-⨯⨯-⨯=--=∑∑∑∑∑∑∑∑i i i i i i i i i i i i i xx x x x x x x x y x x y β 7363.275781020735800.4796280096.848850.4796346.74778096.848559.4250ˆ2212122212112122==-⨯⨯-⨯=--=∑∑∑∑∑∑∑∑i i i i i i i i i i i i i xx x x x x x x x y x x y β1572.530.87363.2760.4027266.0693.367ˆˆˆ22110=⨯-⨯-=--=X X Y βββ 由于∑∑∑∑=--==i i i i iiii iy e x x y e e e e )ˆ(22112ββ∑∑∑--=22112ˆˆi i i i ix y x y yββ故9988.0ˆˆˆˆ11222112221122=+=---=-=∑∑∑∑∑∑∑i i i i i i i i i i i y x y x y y x y x y y TSS RSS R ββββ9986.01)1(122=----=kn n R R （2）如果记样本回归模型的离差形式为ii i i e x x y ++=2211ˆˆββ 则容易知12)()ˆ(-'=iii Var x x σβ ， 2,1=i 由线性代数的知识易知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫--- ⎝⎛---='∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑-)x x (x x x )x x (x x x x )x x (x x x x )x x (x x x i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i 21222122221222121221222121212221221x)x ( 由于3821.6129.42507363.2346.747787266.0269.66042315ˆˆ32211222=⨯-⨯-=---=-=∑∑∑∑i i i i iix y x y y n eββσ于是0486.04796280096.848552803821.6)(22212221222ˆ1=-⨯⨯=-=∑∑∑∑i i i i i x x xx xS σβ8454.0479*******.84855096.848553821.6)(22212221212ˆ2=-⨯⨯=-=∑∑∑∑i i i i i x x xx xS σβ样本容量为12=n ，查5%显著性水平下自由度为15-2-1=12的分布表的临界值为179.2)12(025.0=t ，因此1β，2β在95%置信度的置信区间分别为25.306207.00486.0179.27266.01≤≤⨯±β或 5783.48941.08454.0179.27362.22≤≤⨯±β或（3）针对每个参数都为零的假设，易有下面的t 检验值：9509.140486.007266.01=-=βt2367.38454.007363.22=-=βt显然，两估计参数计算的t 值大于临界值2.179，拒绝它们各自为零的原假设。