1.1等腰三角形的性质和判定(2)
等腰三角形的性质与判定
![等腰三角形的性质与判定](https://img.taocdn.com/s3/m/29b293e02dc58bd63186bceb19e8b8f67d1cef50.png)
第05讲等腰三角形的性质与判定【学习目标】1.了解等腰三角形的有关概念,探索并掌握性质及判定方法。
【基础知识】一.等腰三角形的性质(1)等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.(2)等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等.【简称:等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】(3)在①等腰;②底边上的高;③底边上的中线;④顶角平分线.以上四个元素中,从中任意取出两个元素当成条件,就可以得到另外两个元素为结论.二.等腰三角形的判定判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.【简称:等角对等边】说明:①等腰三角形是一个轴对称图形,它的定义既作为性质,又可作为判定办法.②等腰三角形的判定和性质互逆;③在判定定理的证明中,可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线,但不能作未来底边的中线;④判定定理在同一个三角形中才能适用.三.等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角,判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段.2、在等腰三角形有关问题中,会遇到一些添加辅助线的问题,其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线,虽然“三线合一”,但添加辅助线时,有时作哪条线都可以,有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同,需要具体问题具体分析.3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决,但要注意纠正不顾条件,一概依赖全等三角形的思维定势,凡可以直接利用等腰三角形的问题,应当优先选择简便方法来解决.【考点剖析】一.等腰三角形的性质(共7小题)1.(2021秋•盱眙县期末)如果等腰三角形两边长是5cm和2cm,那么它的周长是()A.7cm B.9cm C.9cm或12cm D.12cm2.(2021秋•抚远市期末)等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的周长是()A.15B.12C.12或15D.93.(2022春•鼓楼区校级期中)如图,在△ABC中,∠A=α,∠B=∠C,点D是△ABC外一点,E,F分别在AB,AC上,ED与AC交于点G,且∠D=∠B,若∠1=2∠2,则∠EGF的度数为()A.180°﹣2αB.60°+13αC.90°−32αD.30°+23α4.(2022春•镇江期中)三角形的三边长为2,a,5,如果这个三角形中有两条边相等,那么它的周长是.5.(2022春•金湖县校级月考)在△ABC中,∠C=30°,且∠A=∠B;求∠A的度数.6.(2022春•睢宁县月考)一个等腰三角形的两条边长为4,7,那么它的周长是多少?7.(2021秋•邗江区期末)如图,△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E.(1)若∠A=50°,求∠CBD的度数;(2)若AB=7,△CBD周长为12,求BC的长.二.等腰三角形的判定(共7小题)8.(2021秋•仪征市期末)在△ABC中,∠A=100°,当∠B=°时,△ABC是等腰三角形.9.(2021秋•靖江市期末)已知a,b是△ABC的两条边长,且a2+b2﹣2ab=0,则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.等边三角形C.锐角三角形D.不确定10.(2021秋•滨海县期末)用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形,其中两根木棒的长度分别为3cm和6cm,则第三根木棒长为cm.11.(2021秋•泗阳县期中)如图,∠EAC是△ABC的外角,AD平分∠EAC,AD∥BC.(1)求证:AB=AC;(2)若点H是BC的中点,求证:AH⊥AD.12.(2021秋•鼓楼区校级期末)下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是()A.1,2,3B.3,4,5C.2,2,3D.2,2,413.(2021秋•龙华区校级期末)如图,在3×3的正方形网格中,点A、B在格点上,要找一个格点C,使△ABC是等腰三角形(AB是其中一腰),则图中符合条件的格点有()A.2个B.3个C.4个D.5个14.(2020秋•定西期末)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,AC=20cm,P、Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为每秒2cm,它们同时出发,设出发的时间为t秒.(1)当点Q在边BC上运动时,出发几秒后,△PQB是等腰三角形?(2)当点Q在边CA上运动时,出发几秒后,△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形?三.等腰三角形的判定与性质(共6小题)15.(2020秋•绿园区期末)如图,直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F,EG平分∠BEF交直线CD 于点G,若∠1=∠BEF,若EF=3,则FG为()A.4B.3C.5D.1.516.(2021•建湖县二模)若一条长为32cm的细线能围成一边长等于8cm的等腰三角形,则该等腰三角形的腰长为cm.17.(2021秋•句容市期末)如图,BD平分∠ABC,DE∥BC交BA于点E,若DE=52,则EB=.18.(2021秋•射阳县校级期末)已知:如图,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,且MN ∥BC,分别交AB、AC于点M、N.求证:MN=BM+CN.19.(2021秋•盱眙县期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D,点E是AB的中点,连结DE.(1)求证:△ABD是等腰三角形;(2)求∠BDE的度数.20.(2021秋•苏州期末)如图,在△ABC中,AD⊥BC,∠B=62°,AB+BD=CD,则∠BAC的度数为()A.87°B.88°C.89°D.90°【过关检测】一.选择题(共6小题)1.(2021秋•溧阳市期末)若等腰三角形边长别为6cm和3cm,则该等腰三角形的周长是()A.9cm B.12cm C.15cm D.12cm或15cm2.(2021秋•江阴市期末)等腰三角形的周长为21cm,其中一边长为5cm,则该等腰三角形的底边长为()A.5cm B.11cm C.8cm或5cm D.11cm或5cm3.(2022•陕西模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,点E为AC的中点,连接DE.若△ABC 的周长为20cm,则△CDE的周长为()A.10 cm B.12 cm C.14 cm D.16cm4.(2022•黔东南州模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,BD为△ABC的高.若∠CBD=20°,则∠BAC 的度数是()A.30°B.40°C.50°D.60°5.(2021秋•鼓楼区校级期末)下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是()A.1,2,3B.3,4,5C.2,2,3D.2,2,46.(2021秋•靖江市期末)已知a,b是△ABC的两条边长,且a2+b2﹣2ab=0,则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.等边三角形C.锐角三角形D.不确定二.填空题(共3小题)7.(2021秋•溧水区期末)如图,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点O,MN经过点O,且MN ∥BC,分别交AB、AC于点M、N.若BM=3cm,MN=5cm,则CN=cm.8.(2021秋•宁津县期末)如图,△ABC中,∠A=∠ACB,CP平分∠ACB,BD,CD分别是△ABC的两外角的平分线,下列结论中:①CP⊥CD;②∠P=12∠A;③BC=CD;④∠D=90°−12∠A;⑤PD∥AC.其中正确的结论是(直接填写序号).9.(2021秋•东城区校级期末)如图,在△ABC中,ED∥BC,∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F,若BE=3,CD=4,ED=5,则FG的长为.三.解答题(共3小题)10.(2022春•无锡期中)如图①,△ABC的角平分线BD、CE相交于点P.(1)如果∠A=80°,求∠BPC的度数;(2)如图②,过P点作直线MN,分别交AB和AC于点M和N,且MN平行于BC,试求∠MPB+∠NPC 的度数(用含∠A的代数式表示);(3)将(2)中的直线MN绕点P旋转,分别交线段AB于点M(不与A、B重合),交直线AC于N,试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系,并说明理由.11.(2021秋•淮安区期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E,求∠DBC的度数.12.(2021秋•泗洪县期末)如图,在△ABC中,AB=AC,角平分线BD,CE相交于点O,求证:OB=OC.第05讲等腰三角形的性质与判定【学习目标】1.了解等腰三角形的有关概念,探索并掌握性质及判定方法。
1.1等腰三角形的性质和判定 第二课时 课件(苏科版九年级上)
![1.1等腰三角形的性质和判定 第二课时 课件(苏科版九年级上)](https://img.taocdn.com/s3/m/56197c034a7302768e9939f9.png)
D
B E
C
A
练一练:
2、在三角形纸片ABC中,∠C=90°, ∠A=30°,AC=3,折叠纸片,使A点与 B点重合,折痕与AB、AC分别相交于点D 1 和点E,折痕DE的长为 ; B D C E A
练一练:
3、如图,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=120°, AB的垂直平分线交AC于点D,则AD与DC的 1 数量关系是 AD= DC ;
已知:如图,在△ABC和△A'B’C’中, ∠ACB=∠A’C’B’=90°,AB=A’B’, AC=A’C’
求证: △ABC≌△A’B’C’
A(A′)
A
A′ C′ B′
B C(C′)
B′
C
B
说说你的证明思路。 还有其他的证明方法吗?
zxxk
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三 角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”.
在RtΔABC和RtΔA'B’C’中, AB=A’B’ AC=A’C’
∴ Rt△ABC≌Rt△ A’B’C’(HL)
A
A′
,在△ABC中,D是BC的中点, DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F, 且DE=DF。 求证:△ABC是等腰三角形。 A
E
(课本P12 习题1.2 1)
B
E D
F C
例2:已知:如图,∠C=∠BED=90°,且 CD=DE,AD=BD,求∠B的度数。 A 2 1
E
B
C
D
拓展与延伸 《评价手册》P4 问题导引
在直角三角形中,30°角所对的直角 边长等于斜边长的一半。
练一练:
1、如图,∠A=90°,∠C=75°,AC=12mm, DE垂直平分BC,则BE= ; 24㎜
等腰三角形的性质与判定(2)
![等腰三角形的性质与判定(2)](https://img.taocdn.com/s3/m/d1163b41df80d4d8d15abe23482fb4daa58d1dd8.png)
等腰三角形的性质与判定一.选择题(共4小题)1.如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,下列结论错误的是()A.∠C=2∠A B.BD=BCC.△ABD是等腰三角形D.点D为线段AC的中点2.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,ED∥BC,若AB=4,AD=2,则△AED的周长是()A.6B.7C.8D.103.如图,△ABC中,CD平分∠ACB,BE⊥CD,∠A=∠ABE.若AC=5cm,BC=3cm,则BD的长为()cm.A.1B.1.5C.2D.44.如图,OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB,MN∥BC,若AB=6,AC=4,则△AMN 的周长是()A.5B.7C.9D.10二.填空题(共3小题)5.用一条长为16cm的细绳围成一个等腰三角形,已知其中有一边的长为4cm,那么该等腰三角形的腰长为cm.6.一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为.7.一个三角形的三边长为3、8、m,则m的取值范围是,如果这个三角形是等腰三角形,那么它的周长是.三.解答题(共4小题)8.已知:如图,AB=AC,∠ABD=∠ACD,求证:BD=CD.9.如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC交AB于点E.(1)求证:BE=DE;(2)若AB=BC=10,求DE的长.10.已知△ABC为等腰三角形,顶角∠A=36°,BD平分∠ABC.求证:△BCD也为等腰三角形.11.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,DE是AC的垂直平分线.(1)求证:△BCD是等腰三角形;(2)△BCD的周长是a,BC=b,求△ACD的周长(用含a,b的代数式表示)12.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在BC、AB、AC边上,且BE=CF,AD+EC=AB.(1)求证:△DEF是等腰三角形;(2)当∠A=40°时,求∠DEF的度数;(3)△DEF可能是等腰直角三角形吗?为什么?(4)请你猜想:当∠A为多少度时,∠EDF+∠EFD=120°,并请说明理由.1.如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,点D是AB上一点,过点D作DE⊥BC交BC于点E,交CA延长线于点F.(1)证明:△ADF是等腰三角形;(2)若∠B=60°,BD=4,AD=2,求EC的长,2.如图,已知BD=CE,AD=AE,求证:∠B=∠C.。
等腰三角形的性质及判定方法
![等腰三角形的性质及判定方法](https://img.taocdn.com/s3/m/783cec00bf1e650e52ea551810a6f524ccbfcb2e.png)
等腰三角形的性质及判定方法等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
在几何学中,等腰三角形有着独特的性质和判定方法。
本文将介绍等腰三角形的性质以及判定方法。
1. 等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边的长度相等的三角形。
根据定义,等腰三角形的两边是等长的,它们被称为等腰三角形的腰,而剩下的边则被称为底边。
2. 等腰三角形的性质(1)等腰三角形的底边上的两个底角相等。
这是等腰三角形最基本的性质之一。
由于底边两边等长,所以两个底角的两边也相等,根据三角形内角和定理,两个底角相等。
(2)等腰三角形的顶角等于180度减去底角的一半。
这个性质可以通过角度和边的关系来推导。
设等腰三角形的两个底角为x度,则顶角为180度减去两个底角的和2x度。
(3)等腰三角形的高线线对称于底边中点的垂直平分线。
等腰三角形的高是从顶点到底边的垂直距离,而底边的中点是由两点确定的垂直平分线。
这两条线通过等腰三角形的顶点,并且垂直于底边。
3. 等腰三角形的判定方法(1)边长判定:如果一个三角形的两边长度相等,则它是一个等腰三角形。
通过测量三角形的两边长度,如果相等,则可以判定为等腰三角形。
(2)角度判定:如果一个三角形的两个底角相等,则它是一个等腰三角形。
通过测量三角形的两个底角,如果相等,则可以判定为等腰三角形。
(3)边角关系判定:如果一个三角形的一边与另外两边的边长比相等,并且底角相等,则它是一个等腰三角形。
通过测量三角形的边长和角度,如果满足该条件,则可判定为等腰三角形。
4. 实际应用等腰三角形在几何学中有着广泛的应用。
例如,在建筑物的设计中,等腰三角形常用于门窗的设计,通过运用等腰三角形的性质,可以确保门窗的开合顺畅和美观。
此外,在数学问题解答中,等腰三角形的性质和判定方法也经常被使用。
例如,在解决几何证明问题时,可以通过利用等腰三角形的性质进行推理和证明。
综上所述,等腰三角形具有底边两个底角相等和顶角等于底角的一半等独特性质。
1.1等腰三角形的性质和判定
![1.1等腰三角形的性质和判定](https://img.taocdn.com/s3/m/ae891c16941ea76e59fa045b.png)
第一章图形与证明(二)1.1 等腰三角形的性质和判定Ⅰ.核心知识点扫描1.等腰三角形和等边三角形的性质和判定性质判定等腰三角形⑴等腰三角形两个底角相等(简称“等边对等角”) .⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”).⑴如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”).⑵定义:如果一个三角形中有两条边相等,那么这个三角形是等腰三角形.图示(1)在△ABC中,∵AB=AC ∴∠B=∠C;(2)在△ABC中,AB=AC.若∠BAD=∠CAD,那么AD⊥BC,BD=CD;若BD=CD,那么∠BAD=∠CAD,AD⊥BC;若AD⊥BC,那么∠BAD=∠CAD,BD=CD.在△ABC中,∵∠B=∠C ∴AB=AC.等边三角形⑴等边三角形是特殊的等腰三角形,因此等边三角形具有等腰三角形的所有性质,并且,在每条边上都有“三线合一”;⑵等边三角形的每个内角都等于60°.⑴定义:三条边都相等的三角形是等边三角形.⑵有一个角是60°等腰三角形是等边三角形.⑶三个角都相等的三角形是等边三角形.图示∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°.(1)∵AB=BC=AC,∴△ABC是等边三角形;(2) ∵AB=BC,∠A=60°,∴△ABC是等边三角形;(3)∵∠A=∠B=∠C,∴∴△ABC是等边三角形.Ⅱ.知识点全面突破知识点1:等腰三角形性质(重点)⒈等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”);可用符号语言表述如下:如图1-1-1,在△ABC中,∵AB=AC ∴∠B=∠C.已知:如图1-1-1,在△ABC中, AB=AC.求证:∠B=∠C.图1-1-3定理的证明分析:利用分析法思考证明的过程:如下所示:作顶角的平分线AD.()AB AC B C ABD ACD SAS BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⇐≅⇐∠=⎨⎪=⎩,具体证明过程略.此外,我们还可以用AAS 、ASA 、SSS 证明这一性质.如取BC 的中点D ,连接AD,在△ABD 和△ACD中,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴△ABD ≌△ACD (SSS ),∴B C ∠=∠.2.等腰三角形的性质定理2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”).可用符号语言表述如下:如图1-1-2,在△ABC 中,AB=AC.若∠BAD=∠CAD ,那么AD ⊥BC ,BD=CD ; 若BD=CD ,那么∠BAD=∠CAD ,AD ⊥BC ;若AD ⊥BC ,那么∠BAD=∠CAD ,BD=CD.详解:①等腰三角形是特殊的三角形,它拥有一般三角形所具有的所有的性质.同时它还具有一般三角形所没有的特点和性质;②定理1常用来证明同一个三角形中的两个角相等;定理2实际上是等腰三角形中的两个结论,已知其中任意一个可以得到另两个结论,常用来证明角相等、线段相等或垂直;③将这两条性质用在特殊的等腰三角形即等边三角形中,可得等边三角的性质:等边三角形的各角都相等,并且都等于60°;等边三角形每一条边上的中线高都与所对的角平分线互相重合.例1.如图1-1-3,房屋的顶角∠BAC=100O ,过屋顶A 的立柱,屋椽AB=AC 求∠B ,∠C ,∠BAD ,∠CAD 的度数.解:在△ABC 中, AB=AC(已知).∴∠B=∠C(等边对等角) .∴∠B=∠C=21(180O -∠BAC) 图1-1-1图1-1-2=21(180O -100O )=40O (三角形内角和定理) .又∵AD ⊥BC ,∴∠BAD=∠CAD(等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合),∴∠BAD=∠CAD=50O .点拨:已知等腰三角形的顶角,根据等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠B 与∠C 的度数,再根据等腰三角形的三线合一,可得AD 是顶角的平分线,则∠BAD 与∠CAD 的度数即可求.例2:(2010,山东济南)(一题多解)如图1-1-4,已知AB AC AD AE ==,.求证BD CE =.证明:方法1 如图1-1-5过点A 作AH ⊥BC ,交BC 于点H . ∵AB=AC ,AD=AE ,AH ⊥BC , ∴BH=CH , DH=EH∴BH 一DH=CH 一EH 即BD=CE 方法2 ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵AD=AE ∴∠ADE=∠AED∴180O-∠ADE=180O-∠AED 即∠ADB=∠AEC ∵AB=AC ,∠B=∠C ,∠ADB=∠AEC ∴△ABD ≌△ACE ∴BD=CE .点拨:在等腰三角形中,虽然顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,但如何添加,要根据具体情况来定.本题中适合高AH AH ,利用等腰三角形的“三线合一”来解决这个问题。
专题08 等腰三角形(考点串讲)(解析版)
![专题08 等腰三角形(考点串讲)(解析版)](https://img.taocdn.com/s3/m/9a20c69659eef8c75fbfb3cb.png)
专题08 等腰三角形【考点剖析】1.等腰三角形的性质(1)等腰三角形性质1:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角) (2)等腰三角形性质2:文字:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称:等腰三角的三线合一) 图形:如下所示;21DCBA符号:在ABC ∆中,AB =AC ,1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD ∠=∠⎧⎪=⊥∠=∠⊥∠=∠⎨⎪⊥⎩==若则若则若,则2.等腰三角形的判定(1)等腰三角形的判定方法1:(定义法)有两条边相等的三角形是等腰三角形;(2) 等腰三角形的判定方法2:有两个角相等的三角形是等腰三角形;(简称:等角对等边)3.等边三角形的性质(1)等边三角形性质1:等边三角形的三条边都相等; (2) 等边三角形性质2:等边三角形的每个内角等于60︒; (3)等边三角形性质3:等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴.4.等边三角形的判定(1)等边三角形的判定方法1:(定义法:从边看)有三条边相等的三角形是等边三角形; (2)等边三角形的判定方法2:(从角看)三个内角都相等的三角形是等边三角形;(3)等边三角形的判定方法3:(从边、角看)有一个内角等于60︒的等腰三角形是等边三角形. 【典例分析】例1 (杨浦2019期末14)在ABC ∆中,AB=AC ,把ABC ∆折叠,使点B 与点A 重合,折痕交AB 于点M ,交BC 于点N. 如果CAN ∆是等腰三角形,则B ∠的度数为 . 【答案】4536︒︒或;【解析】因为把ABC ∆折叠,使点B 与点A 重合,折痕交AB 于点M ,交BC 于点N.所以MN 是AB 的中垂线,∴NB=BA ,B BAN ∴∠=∠,AB AC B C =∴∠=∠Q ,设B x ∠=,则C BAN x ∠=∠=. (1)当AN=NC 时,CAN C x ∠=∠=,在ABC ∆中,根据三角形内角和定理得4180x =︒,得45x =︒,故45B ∠=︒;(2)当AN=AC 时,ANC C x ∠=∠=,而ANC B BAN ∠=∠+∠,故此时不成立;(3)当CA=CN 时,1802x NAC ANC ︒-∠=∠=,于是得1801802xx x x ︒-+++=︒,解得36x =︒. 综上所述:4536B ∠=︒︒或.NM CBA例2 (浦东2018期末18)如图,在ABC ∆中,A=120,=40B ∠︒∠︒,如果过点A 的一条直线把ABC ∆分割成两个等腰三角形,直线l 与BC 交于点D ,那么ADC ∠的度数是 .CBA【答案】14080︒︒或;【解析】如图所示,把BAC ∠分为1000︒︒和2或者4080︒︒和,可得ADC=14080∠︒︒或.ABCDC BA20°80°80°40°40°20°20°40°40°100°例3 (闵行2018期末17)有下列三个等式①AB =DC ;②BE =CE ;②∠B =∠C .如果从这三个等式中选出两个作为条件,能推出Rt △AED 是等腰三角形,你认为这两个条件可以是 (写出一种即可)EDCBA【答案】①②或①③或②③.(答案不唯一)【解析】解:当AB =DC ,BE =CE ,∠AEB =∠DEC 时,Rt △ABE ≌Rt △DCE (HL ),故AE =DE ,即Rt △AED 是等腰三角形;当AB =DC ,∠B =∠C ,∠AEB =∠DEC 时,△ABE ≌△DCE (AAS ),故AE =DE ,即Rt △AED 是等腰三角形;当BE =CE ,∠B =∠C ,∠AEB =∠DEC 时,△ABE ≌△DCE (ASA ),故AE =DE ,即Rt △AED 是等腰三角形.故答案为:①②或①③或②③.(答案不唯一)例4 (黄浦2018期末27)如图,在ABC ∆中,AD BC ⊥,垂足为点D ,AD 平分BAC ∠,点O 是线段AD 上一点,线段的延长线交边AC 于点F ,线段CO 的延长线交边AB 于点E . (1)说明ABC ∆是等腰三角形的理由; (2)说明BF=CE 的理由.O FE DC BA【答案与解析】(1)AD BC ADB=ADC ⊥∴∠∠Q ,Q AD 平分BAC ∠,BAD=CAD ∴∠∠.ADB=DAC+ACD ADC=BAD+ABD ∠∠∠∠∠∠Q ,,ABD=ACD ∴∠∠,AB=AC ∴即ABC ∆是等腰三角形;(2)ABC ∆Q 是等腰三角形,AD BC ⊥,BD=CD ∴.在BDO CDO ∆∆与中,DO DO ADB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,BDO CDO ∴∆∆≌OBD OCD ∴∠=∠.在BEC CFB ∆∆与中ECB FBCBC CBABC ACB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BEC CFB ∴∆∆≌,BF CE ∴=. 【真题训练】 一、选择题1.(宝山2018期末18)如图7,在ABC ∆中,AB=AC ,30A ∠=︒,以B 为圆心,BC 的长为半径作弧,交AC 于点D ,联结BD ,则ABD ∠等于( )A. 45︒;B. 50︒;C. 60︒;D. 75︒.DABC【答案】A ;【解析】因为在ABC ∆中,AB=AC ,30A ∠=︒,所以18030752ABC ACB ︒-︒∠=∠==︒,又因为以B为圆心,BC 的长为半径作弧,交AC 于点D ,所以,75BD BC BCA BDC =∴∠=∠=︒,30CBD ∴∠=︒,故753045ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒-︒=︒. 故答案选A.2.(长宁2019期末20)在平面直角坐标系,O 为坐标原点,点A的坐标为,M 为坐标轴上一点,且使得MOA ∆为等腰三角形,那么满足条件的点M 的个数为( ) A. 4; B.5; C.6; D.8 【答案】C ;【解析】分三种情况:(1)当OA=OM 时,可得M 点坐标可以为:(0,2)、(0,-2)、(2,0)、(-2,0);当AO=AM 时,M 点坐标可以为(2,0)、(0,;当MO=MA 时,(2,0)、(0,3;故一共有6个不同的点. 故选C. 二、填空题3.(浦东2018期末13)已知一个等腰三角形两边长分别为2和4,那么这个等腰三角形的周长是 . 【答案】10;【解析】依题,(1)若腰长为2、底为4,不可能构成等腰三角形,舍去;(2)若腰长为4、底为2,符合题意,周长为4+4+2=10;由上可知,这个等腰三角形的周长为10. 4.(宝山2018期末7)已知实数x 、y满足|3|0x -=,那么以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 . 【答案】15;【解析】因为实数x 、y满足|3|0x -=,所以x=3,y=6,故符合题意的等腰三角形三边长分别为6、6、3,故此等腰三角形的周长为6+6+3=15.5.(闵行2018期末15)如图,直线l 1∥l 2∥l 3,等边△ABC 的顶点B 、C 分别在直线l 2、l 3上,若边BC 与直线l 3的夹角∠1=25°,则边AB 与直线l 1的夹角∠2= .l 3l 2l 1【答案】35°.【解析】解:∵直线l 1∥l 2∥l 3,∠1=25°,∴∠1=∠3=25°.∵△ABC 是等边三角形, ∴∠ABC =60°,∴∠4=60°﹣25°=35°,∴∠2=∠4=35°.故答案为:35°.1l 2l 36.(普陀2018期末17)如图,已知△ABC 中,∠ABC 的角平分线BE 交AC 于点E ,DE ∥BC ,如果点D 是边AB 的中点,AB=8,那么DE 的长是 .E D CBA【答案】4;【解析】解:连接BE ,∵BE 平分∠ABC ,∴∠ABE=∠CBE ,∵DE ∥BC ,∴∠DEB=∠ABE , ∴∠ABE=∠DEB ,∴BD=DE ,∵D 是AB 的中点,∴AB=BD ,∴DE=12AB=4,故答案为:4 AD BCE7.(宝山2018期末13)如图,已知Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,AC=AE ,BC=BD ,则ACD BCE ∠+∠= ______-︒.ECBA【答案】45;【解析】过点C 作CH AB ⊥于点H ,因为AC =AE ,所以ACE AEC ∠=∠,因为CH AB ⊥,所以90AEC HCE ∠+∠=︒, 又90ACE BCE ∠+∠=︒,所以=BCE HCE ∠∠;同理可得:ACD HCD ∠=∠; 故+=+BCE ACD HCE HCD ∠∠∠∠即+=45BCE ACD ∠∠︒.HED CBA8.(黄浦2018期末19)已知等腰三角形的一个内角为50度,则这个等腰三角形的顶角为 ︒. 【答案】50︒或80︒;【解析】(1)当顶角为50︒时,这个等腰三角形的顶角为50︒;(2)当底角为50︒时,则顶角为180-250=80︒⨯︒︒;综上述,这个等腰三角形的顶角为50︒或80︒.9.(长宁2018期末14)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40︒,那么这个等腰三角形的顶角为____度.【答案】50130︒︒或.【解析】(1)如下图1,4050ABD A ∠=︒∴∠=︒,(2)如图2,40130ABD BAC ∠=︒∴∠=︒,故这个等腰三角形的顶角为50130︒︒或(图2)(图1)10.(黄浦2018期末14)等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角,用符号来表示为:如图,如果在ABC ∆中,AB=AC ,且 ,那么AD BC ⊥且 .DCBA【答案】BD=CD ;BAD CAD ∠=∠;【解析】等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角,用符号来表示为:如图,如果在ABC ∆中,AB=AC ,且BD=CD ,那么AD BC ⊥且BAD CAD ∠=∠.故答案为:BD=CD ;BAD CAD ∠=∠. 11.(杨浦2019期末13)如图,已知在ABC ∆中,AB=AC ,点D 在边BC 上,要使BD=CD ,还需添加一个条件,这个条件是 .(只需填上一个正确的条件)D B A【答案】BAD CAD ∠=∠或者AD BC ⊥(只填一个)【解析】解:在ABC ∆中,AB=AC ,BAD CAD ∠=∠,BD CD ∴=;或者 在ABC ∆中,AB=AC ,AD BC ⊥,BD CD ∴=;故答案为:BAD CAD ∠=∠或者AD BC ⊥. 考查等腰三角形的三线合一。
等腰三角形的性质与判定
![等腰三角形的性质与判定](https://img.taocdn.com/s3/m/82e0a82ea55177232f60ddccda38376bae1fe042.png)
等腰三角形的性质与判定等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在几何学中,等腰三角形拥有一些独特的性质和判定条件。
本文将介绍等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等腰三角形。
一、等腰三角形的性质:1. 两边相等:等腰三角形的两条边长度相等,即两边的边长相同。
2. 两顶角相等:等腰三角形的顶角(顶点所对的角)相等,即两个顶角的度数相同。
3. 底角相等:等腰三角形的底角(底边所对的角)相等,即两个底角的度数相同。
4. 对称轴:等腰三角形的对称轴通过顶角的顶点和底边的中点。
二、如何判定三角形为等腰三角形:1. 两边相等判定法:若一个三角形的两条边相等,那么这个三角形就是等腰三角形。
2. 两角相等判定法:若一个三角形的两个角度相等,那么这个三角形就是等腰三角形。
3. 底角相等判定法:若一个三角形的两个底角相等,那么这个三角形就是等腰三角形。
4. 边角关系判定法:若一个三角形的两边相等,同时这两边所对的角也相等,那么这个三角形就是等腰三角形。
由于等腰三角形的性质和判定条件相对简单明确,故在解决几何问题时常常利用这些性质进行推理和证明。
以下是一些等腰三角形的应用实例:实例一:已知三角形ABC,其中AB=AC,角B=60°,求角A和角C的度数。
解:由等腰三角形的性质可知,AB=AC,故角A=角C。
又知角B=60°,所以角A=角C=60°。
实例二:判断以下三角形是否为等腰三角形:三角形XYZ,其中XY=XZ,角Y=60°。
解:由等腰三角形的判定条件可知,若一个三角形的两边相等,同时这两边所对的角也相等,那么这个三角形就是等腰三角形。
已知XY=XZ,角Y=60°,符合判定条件,故三角形XYZ是等腰三角形。
实例三:已知等腰三角形PQR,其中底边PQ=8cm,顶角R=110°,求顶角P和底角Q的度数。
解:由等腰三角形的性质可知,底角Q=底角R。
又知顶角R=110°,所以底角Q=底角R=110°。
等腰三角形的性质定理和判定定理
![等腰三角形的性质定理和判定定理](https://img.taocdn.com/s3/m/38a0b224647d27284b73513d.png)
等腰三角形的性质和判定一、知识梳理知识点1:等腰三角形的性质定理1(1)文字语言:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)(2)符号语言:如图,在△ABC中,因为AB=AC,所以∠B=∠C(3)证明:取BC的中点D,连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等)(4)定理的作用:证明同一个三角形中的两个角相等。
知识点2:等腰三角形性质定理2(1)文字语言:等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高,互相重合(简称“三线合一”)(2)符号语言:∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC∴AD⊥BC,BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2BD=DC AD⊥BC(3)定理的作用:可证明角相等,线段相等或垂直。
知识3:等腰三角形的判定定理(1)文字语言:如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写为“等角对等边”)(2)符号语言:在△ABC中∵∠B=∠C ∴AB=AC(3)证明:过A作AD⊥BC于D,则∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD (AAS)∴AB=AC(4)定理的作用:证明同一个三角形中的边相等。
二、【典型例题分析】基础知识应用题:例1. 如图,已知P、Q是△ABC边BC上两点,且BP=PQ=AP=AQ=QC,求∠BAC的度数。
例2. 已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C,D、E、F分别为AB,BC,AC上的点,且BD=CE,∠DEF=∠B。
求证:△DEF是等腰三角形。
综合应用题:例3. 已知:如图,AC和BD相交于点O,AB∥CD,OA=OB,求证:OC=OD例4. 如图,在四边形ABDC中,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB,试判断DC与AC的位置关系,并证明你的结论。
例5. 求证:等腰三角形两腰上的中线相等解:已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC的中线求证:BD=CE例6. 如图,点C为线段AB上的一点,△ACM,△BCN是等边三角形,AN,MC相交于点E,CN与BM相交于点F。
等腰三角形的性质与判定
![等腰三角形的性质与判定](https://img.taocdn.com/s3/m/7368f45d49d7c1c708a1284ac850ad02de800716.png)
等腰三角形的性质与判定等腰三角形是初中数学中经常遇到的一个重要概念,它具有一些独特的性质和判定方法。
在本文中,我将为大家详细介绍等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等腰三角形。
一、等腰三角形的性质等腰三角形是指两条边相等的三角形。
它具有以下几个重要的性质:1. 顶角平分线:等腰三角形的顶角平分线也是底边的中线。
这意味着等腰三角形的顶角平分线与底边相等,并且平分线的中点与底边的中点重合。
2. 底角相等:等腰三角形的两个底角是相等的。
这是等腰三角形最基本的性质之一,也是判定一个三角形是否为等腰三角形的重要依据。
3. 高线重合:等腰三角形的两条高线重合于底边中点。
这意味着等腰三角形的两条高线相等,并且它们的交点与底边的中点重合。
二、判定等腰三角形的方法判定一个三角形是否为等腰三角形,我们可以运用以下几种方法:1. 两边相等:如果一个三角形的两边相等,那么它就是一个等腰三角形。
这是最简单的判定方法,只需要比较两条边的长度即可。
2. 底角相等:如果一个三角形的两个底角相等,那么它就是一个等腰三角形。
这个方法也比较简单,只需要用量角器或直尺测量两个角的度数即可。
3. 顶角平分线:如果一个三角形的顶角平分线与底边的中线重合,那么它就是一个等腰三角形。
这个方法需要用到直尺和量角器,先画出顶角平分线,再测量底边中线的长度,如果两者重合,就可以判定为等腰三角形。
三、实际应用等腰三角形在现实生活中有许多实际应用。
例如,在建筑设计中,我们经常会遇到等腰三角形的形状,比如屋顶的斜面。
通过了解等腰三角形的性质和判定方法,我们可以更好地理解和应用这些形状。
此外,等腰三角形还与数学中的其他概念有着密切的联系。
例如,等腰三角形的顶角平分线与底边的中线重合这一性质,与中位线的性质有着相似之处。
通过比较和分析这些概念之间的关系,我们可以更深入地理解数学知识。
总结:等腰三角形是初中数学中的重要概念,它具有独特的性质和判定方法。
等腰三角形的性质与判定
![等腰三角形的性质与判定](https://img.taocdn.com/s3/m/40c6628f09a1284ac850ad02de80d4d8d15a0108.png)
等腰三角形的性质与判定等腰三角形是我们初中数学学习的重要内容之一。
它具有一些独特的性质和判定方法,本文将详细介绍等腰三角形的相关概念和定理,并提供一些实例以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、等腰三角形的定义等腰三角形是指两边边长相等的三角形。
具体而言,等腰三角形拥有以下特点:1. 两个底边边长相等(a = b)2. 两个底边所对的角度相等(∠A = ∠B)3. 顶点角可以是锐角、直角或钝角,但不可能是等边三角形的顶点角二、等腰三角形的性质1. 顶角平分线:等腰三角形的顶角平分线也是它的高线,且它们重合于等腰三角形的底边中点。
2. 底角相等:等腰三角形的底角(底边所对的角)相等。
3. 对称性:等腰三角形具有对称性。
即,以等腰三角形的顶点为中心,底边为轴进行对称变换,可以得到另一个完全相同的等腰三角形。
4. 面积计算:等腰三角形的面积可通过底边长度和高(顶角平分线)的关系公式计算,即S = 1/2 * b * h。
三、等腰三角形的判定1. 边长判定:若三角形的两边边长相等,则该三角形为等腰三角形。
2. 角度判定:若三角形的两个角度相等,则该三角形为等腰三角形。
3. 边角关系判定:若三角形的一个角度和一个边边长与另一个角度和另一边边长相等,则该三角形为等腰三角形。
实例一:已知三角形ABC,AB = AC,∠B = ∠C。
判断该三角形是否为等腰三角形。
解:根据等腰三角形的定义,若两边边长相等且两个底角相等,则该三角形为等腰三角形。
根据题目给出的已知条件,可以得出AB = AC,∠B = ∠C。
因此,三角形ABC为等腰三角形。
实例二:已知三角形DEF,DF = EF,∠E = 60°。
判断该三角形是否为等腰三角形。
解:根据等腰三角形的定理,若两边边长相等且两个底角相等,则该三角形为等腰三角形。
根据题目给出的已知条件,可以得出DF = EF,∠E = 60°。
因此,三角形DEF为等腰三角形。
等腰三角形的性质,等腰三角形的判定
![等腰三角形的性质,等腰三角形的判定](https://img.taocdn.com/s3/m/f42274ab162ded630b1c59eef8c75fbfc67d9477.png)
等腰三角形的性质,等腰三角形的判定等腰三角形的性质,等腰三角形的判定等腰三角形是指具有两边相等的三角形,它有一些特殊的性质和判定方法。
本文将详细介绍等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否是等腰三角形。
一、等腰三角形的性质1. 两边相等:等腰三角形的两个底边相等,记作AB=AC。
2. 两角相等:等腰三角形的顶角与底边相对的两个底角相等,即∠B=∠C。
3. 对称轴:等腰三角形的对称轴是通过顶角和底边中点的垂直平分线。
二、等腰三角形的判定判定一个三角形是否是等腰三角形,可以通过以下几种方式进行判定。
1. 两边相等:如果已知一个三角形的两边相等,可以判断这个三角形是等腰三角形。
例如,若已知AB=AC,则可得出三角形ABC是等腰三角形。
2. 两角相等:如果已知一个三角形的两个角相等,可以判断这个三角形是等腰三角形。
例如,若已知∠B=∠C,则可得出三角形ABC是等腰三角形。
3. 辅助线:通过画辅助线,可以判断一个三角形是否是等腰三角形。
例如,可以在顶角上作一条中位线,若中位线与底边重合,则可判定该三角形是等腰三角形。
三、等腰三角形的应用等腰三角形在几何学中有着广泛的应用,以下是其中一些应用场景。
1. 建筑设计:等腰三角形的稳定性使其在建筑中常被用于设计坚固的结构,例如建筑物的屋顶、柱子等。
2. 制图:在地图和平面设计中,等腰三角形可以用于定位和测量,方便绘制和计算。
3. 数学推导:等腰三角形的性质常常被用于解决各种几何问题,例如判断角度、求解边长等。
综上所述,等腰三角形具有两边相等和两角相等的特点。
我们可以通过两边相等或两角相等来判定一个三角形是否为等腰三角形。
等腰三角形在实际生活和数学推导中有着广泛的应用,具有重要的意义。
理解等腰三角形的性质和判定方法有助于我们更好地应用和理解几何学知识。
等腰三角形的性质与判定
![等腰三角形的性质与判定](https://img.taocdn.com/s3/m/dd5d7f55c381e53a580216fc700abb68a982ad04.png)
等腰三角形的性质与判定等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。
在几何学中,等腰三角形具有一些独特的性质和判定方法。
本文将介绍等腰三角形的性质,并提供几种判定等腰三角形的方法。
一、等腰三角形的性质1. 两底角相等:等腰三角形的两个底角(底边对应的两个角)相等。
假设等腰三角形的两边长分别为a,底角为∠A,顶角为∠B,则有∠A = ∠B。
2. 顶角平分底边:等腰三角形的顶角(顶边对应的角)等于底边上的两个底角之和的一半。
即∠B = (∠A + ∠A) / 2。
3. 等腰直角三角形是等边三角形:当等腰三角形的底角是90度时,即为等腰直角三角形。
在等腰直角三角形中,两个等边也是等于斜边的长度。
二、判定等腰三角形的方法1. 通过边长判定:如果三角形的两个边长相等,则可以判断它为等腰三角形。
例如,当三角形的两边长都为3cm,底角为60度时,即可判定该三角形为等腰三角形。
2. 通过角度判定:如果三角形的两个角度相等,则可以判断它为等腰三角形。
例如,当三角形的底角和顶角均为45度时,即可判定该三角形为等腰三角形。
3. 通过边角关系判定:如果三角形的两个底角相等,则可以判断它为等腰三角形。
例如,当三角形的两个底角均为60度时,即可判定该三角形为等腰三角形。
三、等腰三角形的应用1. 建筑设计:等腰三角形常被用于建筑设计中,例如设计等腰三角形的屋顶或者窗户。
2. 数学计算:在数学中,等腰三角形的性质可用于解决各种几何问题,如计算其面积、周长以及三角形内外接圆的半径等。
3. 测量工具:在实际测量中,等腰三角形也被应用于测量工具的设计,如三角板、量角器等。
总结:等腰三角形的性质和判定方法是几何学中的基础知识。
熟练掌握这些知识,不仅可以帮助我们解决数学问题,还可以应用于实际生活中的建筑设计和测量工作中。
通过本文的介绍,相信读者对等腰三角形有了更深入的了解,能够正确判定和应用等腰三角形。
1.1等腰三角形的性质和判定教案(职称微型课)
![1.1等腰三角形的性质和判定教案(职称微型课)](https://img.taocdn.com/s3/m/ee793b32580216fc710afd04.png)
第一章图形与证明(二)1.1 等腰三角形的性质和判定学习目标:1.能证明等腰三角形性质定理和判定定理;2.了解分析的思考方法;3.经历思考、猜想,并对操作活动的合理性进行证明的过程,不断感受证明的必要性,感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识的事物的重要途径.学习重点:了解分析的思考方法;学习难点:合理添加辅助线。
学习过程:一、回顾旧知:文字命题的几何证明一般步骤是:①;②;③。
二、情境创设:1、什么叫做等腰三角形?2、等腰三角形有哪些性质?3、上述性质你是怎么得到的?你能否用从基本事实出发,对它们进行证明?(不妨动手操作做一做)三、合作探究:活动一:1、证明:等腰三角形的两个底角相等.2、思考:由上面的证明过程,你能否得出“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”的结论?请用符号语言表示.3、通过上面两个问题的证明,我们得到了等腰三角形的性质定理.定理:_______________________________________,(简称:________________)定理:_______________________________________,(简称:________________)活动二:如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的? 要求:(1)写出它的逆命题:如果 ,那么 。
(2)画出图形,写出已知、求证,并进行证明.活动三:例:已知:如图∠EAC 是△ABC 的外角,AD 平分∠EAC ,且AD ∥BC. 求证:AB =AC拓展:在下图中,如果AB =AC ,AD ∥BC ,那么AD 平分∠EAC 吗?为什么?四、反馈检测:1.若等腰三角形的周长为12,一边长为5,那么另两边长分别为 ;2.若等腰三角形有两边长为2和5,那么周长为 ;3.若等腰三角形有一个角等于50°,那么另两个角为 ; 4.若等腰三角形有一个角等于120°,那么另两个角为 ;五、总结反思:六、布置作业: 必做题: 课本P8第1、2、4题;选做题: 课本P8第3题. 七、课外拓展:已知:如图,AB=AC .(1)若CE=BD ,求证:GE=GD ;(2)若CE=mBD (m 为正数),试猜想GE 与GD 有何关系。
1.1第1课时等腰三角形的性质(教案)
![1.1第1课时等腰三角形的性质(教案)](https://img.taocdn.com/s3/m/dc06ddb2afaad1f34693daef5ef7ba0d4b736d60.png)
3.数学建模:通过解决实际问题,让学生学会运用等腰三角形的性质建立数学模型,提高解决实际问题的能力。
4.数学抽象:使学生能够从具体实例中抽象出等腰三角形的性质,培养数学抽象思维能力。
5.数学运算:在论证等腰三角形性质的过程中,训练学生的运算能力和严谨的数学态度。
(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了等腰三角形的定义、性质和判定方法。同时,我们也通过实践活动和小组讨论加深了对等腰三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在日常生活中灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
五、教学反思
在上完这节等腰三角形的性质课程后,我进行了深入的思考。首先,我发现学生们对于等腰三角形的定义和性质的理解总体上是到位的。他们在课堂上能够积极参与,通过实际操作和小组讨论,对等腰三角形的性质有了直观的感受。
1.1第1课时等腰三角形的性质(教案)
一、教学内容
本节课选自八年级数学下册第五章“三角形”,第1课时“等腰三角形的性质”。教学内容主要包括以下三个方面:
1.等腰三角形的定义:两边相等的三角形称为等腰三角形,相等的两边称为腰,另一边称为底。
2.等腰三角形的性质:
a.等腰三角形的两底角相等。
b.等腰三角形的底边上的中线(即底边的中点到对角的线段)等于底边的一半,并且垂直于底边。
1.讨论主题:学生将围绕“等腰三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法,并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发:在讨论过程中,我将作为一个引导者,帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
1.1等腰三角形的性质和判定 课件2(苏科版九年级上册)
![1.1等腰三角形的性质和判定 课件2(苏科版九年级上册)](https://img.taocdn.com/s3/m/0998489751e79b89680226f9.png)
怎么想
要证 只要证
。 。 。
怎么写
. .
A
D
B
C
拓展与延伸
如图:如果 AB =AC,AD∥BC,那么 AD 平分∠EAC 吗? 如果结论成立你能证明这个结论吗? E A D
B
C
小练身手
课堂练习:课本练习1,2,3
小结
在等腰三角形中,顶角平分线、底边上的中线、底 边上的高是常用的辅助线,通过添画辅助线,把一个 等腰三角形分成一对全等三角形。 等腰三角形的性质定理是一个三角形中由两边相等 证明两角相等的依据;等腰三角形的判定定理,是一 个由两角相等证明两边相等的依据。 证明中常用的一种思考方法:从需要的证明的结论 出发,逆推出要使结论成立所需要的条件,再把这样 的“条件”看作“结论”,一步一步逆推,直至归结 为已知条件。
推论:
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合
你能写出上面两个定理的符号语言吗? 文学语言 等边对等角 三线合一 图形符号语言 在△ABC中∵__; ∴__。 在△ABC中,AB=AC
(1)∵∠BAD=∠CAD∴__,__。
(2)∵BD=CD∴___,___。 (3)∵AD⊥BC∴___,__.
合情推理与演绎推理
几何证明
几何证明的一般步骤: (1)根据题意,画出图形; (2)结合图形,写出已知和求证; (3)经过分析,找出由条件推出求证的途径,写 出证明过程。 演绎证明 (题目是:已知…,求证…,证明…)。从条件出 发,根据公理(基本事实)或定理,进行符合逻辑 的有条理的推理(演绎推理),得到结论。
课外作业:1.课本习题2,4。 2.练习册相应课时.
谢谢
情景创设
等腰三角形的性质与判定
![等腰三角形的性质与判定](https://img.taocdn.com/s3/m/031a7a1d814d2b160b4e767f5acfa1c7aa008224.png)
等腰三角形的性质与判定等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
在几何学中,等腰三角形具有一些特殊的性质和判定方法。
本文将详细介绍等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等腰三角形。
一、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的两底角(底边两旁的角)是相等的。
设等腰三角形的两底角分别为A,那么∠A = ∠B。
2. 等腰三角形的顶角(底边对面的角)是锐角。
设等腰三角形的顶角为C,那么∠C < 90°。
3. 等腰三角形的高线(从顶点到底边的垂直线)同时也是它的中线和对称轴。
等腰三角形的高线可以将底边分成两段相等的线段,同时也将顶角分成两个相等的角。
4. 等腰三角形的中线(从顶点到底边中点的线段)是它的高线和对称轴。
等腰三角形的中线同时也是它的底边的二等分线,它将等腰三角形分成两个面积相等的小三角形。
二、判定一个三角形是否为等腰三角形在判定一个三角形是否为等腰三角形时,我们可以利用以下几种方法:1. 通过测量两边的长度。
如果一个三角形的两边长度相等,那么这个三角形就是等腰三角形。
2. 通过测量两底角的大小。
如果一个三角形的两底角相等,那么这个三角形就是等腰三角形。
3. 通过判断顶角是否为锐角。
如果一个三角形的顶角是锐角,那么这个三角形就有可能是等腰三角形。
我们可以通过测量或计算三个角的大小来判断是否满足等腰三角形的顶角为锐角的条件。
4. 通过判断两条边长和夹角的关系。
如果一个三角形的两边长度相等且夹角小于90°,那么这个三角形就是等腰三角形。
需要注意的是,以上方法只是判定等腰三角形的一些常见方法,并非所有方法的总结。
在实际问题中,可能还会涉及其他判定方法。
在几何学中,等腰三角形的性质和判定是非常重要的基础知识。
通过对等腰三角形的学习,可以帮助我们更好地理解和解决与三角形相关的问题。
无论是在数学学习中还是实际应用中,等腰三角形的性质和判定都具有广泛的应用价值。
总结:等腰三角形具有两边长度相等、两底角相等、顶角为锐角等性质。
等腰三角形的性质与判定
![等腰三角形的性质与判定](https://img.taocdn.com/s3/m/f5471fa49a89680203d8ce2f0066f5335b816770.png)
等腰三角形的性质与判定等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在几何学中,等腰三角形具有一些独特的性质,也有一些方法可以用来判定一个三角形是否为等腰三角形。
本文将详细介绍等腰三角形的性质和判定方法。
一、等腰三角形的性质1. 两边相等性质:等腰三角形的两边边长相等,记为AB=AC。
2. 两底角相等性质:等腰三角形的两个底角(即两边和底边之间的角)相等,记为∠B=∠C。
3. 顶角性质:等腰三角形的顶角(即底边上的角)是不等于底角的,记为∠A≠∠B。
二、等腰三角形的判定方法1. 边长判定法:如果一个三角形的两边边长相等,那么它是一个等腰三角形。
例如,已知一个三角形的边长为AB=AC,我们就可以确定这个三角形是等腰三角形。
2. 角度判定法:如果一个三角形的两个角相等,那么它是一个等腰三角形。
例如,已知一个三角形的两个底角相等,即∠B=∠C,我们可以得出结论这个三角形是等腰三角形。
三、等腰三角形的性质应用1. 等腰三角形的高:等腰三角形的高是从顶点到底边的垂直线段。
高可以分割底边成两个相等的线段。
等腰三角形的高线段是三角形的对称轴,将等腰三角形分为两个完全相同的部分。
2. 等腰三角形的中线:等腰三角形的中线是连接底边中点和顶点的线段。
等腰三角形的中线同时也是高线,因此中线也分割底边成两个相等的线段。
3. 等腰三角形的角平分线:等腰三角形的角平分线是从顶点到底边中点的线段。
等腰三角形的角平分线同时也是高线和中线,因此角平分线也分割底边成两个相等的线段。
4. 等腰三角形的内切圆:等腰三角形有一个内切圆,该圆与等腰三角形的两边和底边相切,且切点是底边的中点。
5. 等腰三角形的外接圆:等腰三角形有一个外接圆,该圆过等腰三角形的三个顶点。
综上所述,等腰三角形具有两边相等和两底角相等的性质。
通过边长判定法和角度判定法,可以判定一个三角形是否为等腰三角形。
等腰三角形的性质在几何学中有着重要的应用,例如计算三角形的面积、周长等。
专项1.1等腰三角形的性质与判定(解析版)
![专项1.1等腰三角形的性质与判定(解析版)](https://img.taocdn.com/s3/m/2950173bd15abe23492f4db1.png)
2020—2021八年级下学期专项冲刺卷(北师大版)专项1.1等腰三角形的性质与判定姓名:___________考号:___________分数:___________(考试时间:100分钟满分:120分)一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45,那么这个等腰三角形的底角为()A.22.5B.67.5C.6750 D.22.5或67.5【答案】D解:有两种情况:(1)如图当△ABC是锐角三角形时,BD⊥AC于D,则∠ADB=90°,已知∠ABD=45°,∴∠A=90°-45°=45°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=12×(180°-45°)=67.5°,(2)如图当△EFG是钝角三角形时,FH⊥EG于H,则∠FHE=90°,已知∠HFE=45°,∴∠HEF=90°-45°=45°,∴∠FEG=180°-45°=135°,∵EF=EG,∴∠EFG=∠G=12×(180°-135°)=22.5°.故选:D.2.如图,纸片△ABC中,AB=AC,∠A=40°,将纸片对折,使点A与点B重合,折痕为DE,连结BE.则∠EBC 的度数为()A.30°B.40°C.60°D.80°【答案】A由题可得,∠ABC=(180°-40°)÷2=70°,由翻折的性质可得:∠A=∠DBE=40°,∴∠EBC=∠ABC-∠DBE=70°-40°=30°,故选:A.3.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在边BC上,AD=BD,DE平分∠ADB交AB于点E.若AC=12,BC=16,则AE的长为()A.6B.8C.10D.12【答案】C解:如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=16,由勾股定理知:20AB==,∵AD=BD,DE平分∠ADB交AB于点E.∴1102AE BE AB===,故选:C.4.如图,AD是等边ABC∆的中线,E是AC边的中点,F是AD边上的动点,当EF+CF 取得最小值时,则ECF∠的度数为().A.20︒B.30︒C.45︒D.50︒【答案】B解:如图:∵AD是等边ABC∆的中线,∴AD⊥BC,BD=CD,∴BF=CF,∴CF+EF=BF+EF,∴当B、F、E位于同一直线,且BE⊥AC是,EF+CF最小.过点B作BE⊥AC于点E,交AD于点F,连接CF,∵△ABC是等边三角形,∴AE =EC ,AF =FC ,∴∠F AC =∠FCA ,∵AD 是等边△ABC 的BC 边上的中线,∴∠BAD =∠CAD =30°,∴∠ECF =30°.故选:B .5.等腰三角形的一个内角为120°,则底角的度数为( )A .30°B .40°C .60°D .120° 【答案】A解:∵等腰三角形中,一个内角为120°,而三内角的和为180°,∴该内角为顶角,设顶角为∠A ,底角为∠B、∠C,则有∠B=∠C ,∵∠A=120°,∴∠B=∠C=()1180-1202︒︒=30°, 故选:A .6.在△ABC 中,A x ∠=︒,B y ∠=︒,60C ∠≠︒.若1902y x =-,则下列结论正确的是( )A .AB BC =B .AB AC = C .AC BC =D .AB ,AC ,BC 中任意两边都不相等【答案】B【分析】由三角形内角和定理和已知条件得出∠B=∠C ,证出AC=AB .【详解】∵180A B C ∠+∠+∠=︒,A x ∠=︒,B y ∠=︒,∴180C x y ∠=︒-︒-︒, ∵1902y x =-, ∴∠C=11180(90)(90)22x x x y ︒-︒--︒=-︒=︒, ∴∠B=∠C ,∴AC=AB ,故选:B .7.如图,△ABC 是等边三角形,AQ = PQ ,PR ⊥AB 于点R ,PS ⊥AC 于点S ,PR =PS ,则四个结论:①点P 在∠A 的平分线上;②AS=AR ;③QP ∥AR ;④△BRP ≌△QSP ,正确的结论是( ).A .①②③④B .①②③C .②③④D .③④【答案】A 解:∵△ABC 是等边三角形,PR ⊥AB ,PS ⊥AC ,且PR=PS ,∴P 在∠A 的平分线上,∴①正确;由①可知,PB=PC ,∠B=∠C ,PS=PR ,∴△BPR ≌△CPS ,∴CS=BR∴AS=AR ,②正确;∵AQ=PQ ,∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC , ∴PQ ∥AR ,③正确;由③得,△PQC 是等边三角形,∴△PQS ≌△PCS ,又由②可知,④△BRP ≌△QSP ,④也正确∵①②③④都正确,故选:A .8.等边三角形的周长为18,则边长为( )A .2B .3C .4D .6 【答案】D解:因为等边三角形的三条边都是相等,所以边长为:18÷3=6 故选:D .9.如图,在ABC 中,AB AC =,D 、E 是ABC 内两点,AD 平分BAC ∠,60EBC E ∠=∠=︒,若7BE =,3DE =,则BC 的长度是( )A .12B .11C .10D .9【答案】C 解:延长DE 交BC 于M,延长AD 交BC 于N,∵AB=AC,AD 平分∠BAC, ∴AN ⊥BC, ∠EBC=∠E=60°,∴△BED 为等边三角形,∴BE=EM∵BE=7,DE=3,∴DM=EM-DE=7-3=4∵△BEM 为等边三角形,∴∠EMB=60°∵AN ⊥BC∴∠DNM=90°∴∠NDM=30°∴NM=2∴BN=5∴BC=2BN=10故答案为:C ..10.如图,已知△ABC 三个内角的平分线交于点O ,点D 在CA 的延长线上,且DC =BC ,AD =AO ,若∠BAC =80°,则∠BCA 的度数为( )A .80°B .60°C .40°D .30°【答案】B 解:∵△ABC 三个内角的平分线交于点O ,∴∠ACO =∠BCO ,在△COD 和△COB 中,CD CB OCD OCB CO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△COD ≌△COB ,∴∠D =∠CBO ,∵∠BAC =80°,∴∠BAD =100°,∴∠BAO =40°,∴∠DAO =140°,∵AD =AO ,∴∠D =20°,∴∠CBO =20°,∴∠ABC =40°,∴∠BCA =60°,故选B .11.如图,分别以ABC ∆的边AB ,AC 所在直线为对称轴作ABC 的对称图形ABD △和ACE △,150BAC ∠=︒,线段BD 与CE 相交于点O ,连接BE 、ED 、DC 、OA .有如下结论:①90EAD ∠=︒;②60BOE ∠=︒;③OA 平分BOC ∠;④BP EQ =.其中正确的结论个数是( )A .1B .2C .3D .4【答案】C ∵ABD ∆和ACE ∆是ABC ∆的轴对称图形,∴BAD CAE BAC ∠=∠=∠,AB AE =,AC=AD ,∴3360315036090EAD BAC ∠=∠-︒=⨯︒-︒=︒,故①正确. ∴1(36090150)602BAE CAD ∠=∠=︒-︒-︒=︒, 由翻折的性质得,AEC ABD ABC ∠=∠=∠,∵EPO BPA ∠=∠,∴60BOE BAE ∠=∠=︒,故②正确.∵ACE ADB ∆≅∆,∴ACE ADB S S ∆∆=,BD CE =,∴BD 边上的高与CE 边上的高相等,即点A 到BOC ∠两边的距离相等,∴OA 平分BOC ∠,故③正确.∵∠EAQ=90°,∴AE <EQ∵AB AE =,∠BAE=60°,∴△ABE 是等边三角形,∴BP <AB ,∴BP <EQ ,故④错误;综上所述,结论正确的是①②③共3个.故选:C .12.在ABC 中,90BAC ∠=︒,6AB AC cm ==,D 为BC 中点,E ,F 分别是AB ,AC 两边上的动点,且90EDF ∠=︒,下列结论:①BE AF =;②EF 的长度不变;③BED CFD ∠+∠的度数不变;④四边形AEDF 的面积为29cm .其中正确的结论个数是( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】C 解:∵AB=AC ,∠BAC=90°,BD=CD ,∴AD ⊥BC ,AD=BD=DC ,∵∠BDA=∠EDF=90°,∴∠BDE=∠ADF ,∵∠B=∠DAF=45°,∴△BDE ≌△ADF (ASA ),∴BE=AF ,DE=DF ,故①正确,∵DE=DF ,∠EDF=90°,∴△DEF 是等腰直角三角形,∵DE 的长度是变化的,∴EF 的长度是变化的.故②不正确.∵△BDE ≌△ADF ,∴∠BED=∠AFD ,∴∠BED+∠CFD=∠AFD+∠CFD=180°,故③正确;∵△BDE ≌△ADF ,∴BDE ADF SS =, ∴21)11669(222ADE ADF ADE BDE ADB ABC S S S S S S cm +=+===⨯⨯⨯=. 故④正确.故选:C .二、 填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)13.如图,在△ABC 中,AB =AC ,AD ⊥BC 于点D .若BC =28,则BD 的长为____.【答案】14∵AB=AC ,∴△ABC 为等腰三角形,∵AD ⊥BC ,∴根据“三线合一”知,BD=12BC=14, 故答案为:14.14.如图,在Rt △ABC 中,∠A =90°,∠B =30°,CM 平分∠ACB 交AB 于点M ,过点M 作MN ∥BC 交AC 于点N ,且MN 平分∠AMC ,若AN =1,则BC 的长为_____.【答案】6.解:3090B A ∠=︒∠=︒,,60ACB ∴∠=︒,∵CM 平分∠ACB ,30ACM BCM ∴∠=∠=︒,//MN BC ,∴3030AMN B NMC BCM ∠=∠=︒∠=∠=︒,,30NCM NMC ∴∠=∠=︒,,NM NC ∴=∵130AN AMN =∠=︒,, ∴2MN =,2NC ∴=,∴3AC AN NC =+=,∴ 6.BC =故答案为:6.15.如图,在射线OA ,OB 上分别截取11OA OB =,连接11A B ,在11B A ,1BB 上分别截取1212B A B B =,连接22A B ,……按此规律作下去,若11A B O α∠=,则1010A B O ∠=___________.【答案】512α. 解:∵B 1A 2=B 1B 2,∠A 1B 1O =α,∴∠A 2B 2O 12=α, 同理∠A 3B 3O 12=∠A 2B 2O 212=α, ∠A 4B 4O 312=α, ∴∠A n B n O 112n -=α, ∴∠A 10B 10O 95221αα==. 故答案为:512α. 16.如图,是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁AB 的中点,立柱BC ,DE 分别垂直于横梁AC ,若DE =1.8m ,∠A =30°,则斜梁AB 的长为_____m .【答案】7.2由题意,DE ⊥AC ,BC ⊥AC ,∠A=30°,∴在Rt △ADE 中,AD=2DE=3.6m ,∵D 为AB 的中点,∴AB=2AD=7.2m ,故答案为:7.2.17.如图,在△ABC 中,AB =BC ,BE 平分∠ABC ,AD 为BC 边上的高,且AD =BD .则∠3=______°.【答案】22.5∵AD 为BC 边上的高,且AD =BD ,∴∠ABD =∠BAD =45°,∵AB =BC ,∴∠BAC =()1180ABC 2-∠=67.5°, ∴∠3=∠BAC -∠BAD =67.5°-45°=22.5°,故填:22.5°.18.如图,已知∠AOB=60°,点P 在边OA 上,OP=24,点M ,N 在边OB 上,PM=PN ,若NM=6,则OM=______________.【答案】9解:过P 作PD ⊥OB ,交OB 于点D ,∵∠AOB=60°,∴∠OPD=30°,∴OD =12OP=12. ∵PM =PN ,PD ⊥MN ,∴MD =ND =12MN =3, ∴OM =OD ﹣MD =12﹣3=9.故答案为:9.三、解答题(本大题共6小题,共66分,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 19.如图,在等边三角形ABC 中,D 是AB 上的一点,E 是CB 延长线上一点,连接,CD DE 、已知,6EDB ACD BC ∠=∠=,(1)求证:DEC ∆是等腰三角形(2)当5,8,2BDC EDB EC AD ∠=∠==时,求EDC ∆的面积.【答案】(1)证明见解析;(2)16(1)证明:ABC ∆是等边三角形60ABC ACB ∴∠=∠=,E EDB ACD BCD ∠+∠=∠+∠∴,EDB ACD ∠=∠,E BCD ∴∠=∠,DE DC ∴=,DEC ∴∆是等腰三角形;(2)设EDB ACD x ∠=∠=,则5BDC x ∠=,60ACB ∠=60BCD x ∠=∴-,60E x ∠=∴-,在DEC ∆中,180E EDC DCE ∠+∠+∠=︒,60560180x x x x ∴+︒-++︒-=,解得15x =,690EDC x ∴∠==,DEC ∴∆是等腰直角三角形,过点D 作DF EC ⊥于点F ,如图所示,DF EC ⊥,,DFE DFC ∆∆∴都是等腰直角三角形,12DF EC ∴= 8EC =,∴DF=4,EDC ∴∆的面积为:11841622EC DF ⋅⋅=⨯⨯=20.在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,对角线AC平分∠BAD.(1)如图1,若∠B=90°,则线段AB = ,D C= ;(2)如图1,若∠DAB=120°,且∠B=90°.试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.(3)如图2,若将(2)中的条件“∠B=90°”去掉,(2)中的结论是否成立?请说明理由.【答案】(1)AD,B C;(2)AC=AD+AB,理由见解析;(3)AB+ AD = A C,成立;理由见解析.解:(1)∵∠B=90°,∠B+∠D=180°,∴∠D=90°=∠B,∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,∵AC=AC,∴△ABC≌△ADC,∴AB = AD,DC= BC;(2)AC=AD+AB,证明:∵对角线AC平分∠BAD.∠DAB=120°,∴∠CAD=∠CAB=60°又∵∠B+∠D=180°,∠B=90°∴∠D=90°,∴∠ACD=∠ACB=30°∴AD=12AC,AB=12AC,∴AC=AD+AB;(3)成立证明:以C为顶点,AC为一边作∠ACE=60°∠ACE的另一边交AB延长线于点E∵∠CAB=60°,∴△ACE为等边三角形∴EC= AC ,∠E=60°又∵∠B+∠D=180°,∠DAB=120°,∴∠B CD=60°.∴∠ACD=∠ECB=60°—∠B CA.又∵∠CAD=∠E=60°∴△ACD≌△ECB∴AD=BE∴AB+ AD =AB+BE= AE又∵△ACE为等边三角形∴AE= AC∴AB+ AD = AC.21.已知长方形纸片ABCD,将长方形纸片按如图所示的方式折叠,使点D与点B重合,折痕为EF.(1)△BEF是等腰三角形吗?若是,请说明理由;(2)若AB =4,AD =8,求BE 的长.【答案】(1)BEF 是等腰三角形,理由见解析;(2)5.(1)BEF 是等腰三角形,理由如下:四边形ABCD 是长方形,//AD BC ∴,DEF BFE ∴∠=∠,由折叠的性质得:DEF BEF ∠=∠,BFE BEF ∴∠=∠,BEF ∴是等腰三角形;(2)四边形ABCD 是长方形,90A ∴∠=︒,由折叠的性质得:BE DE =,设BE DE x ==,则8AE AD DE x =-=-,在Rt ABE △中,222AB AE BE +=,即2224(8)x x +-=,解得5x =,即BE 的长为5.22.图①、图②均是6×6的正方形网格,小正方形的边长为1,每个小正方形的顶点称为格点,点A 、B 均在格点上.只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图. (1)在图①中,画一个以AB 为底边的等腰三角形ABC ,点C 在格点上;(2)在图②中,画一个以AB 为腰的等腰三角形ABD ,点D 在格点上.【答案】(1)见解析图;(2)见解析图(1)如图所示,存在C1,C2,C3,三种情况,画出其中一个即可;(2)如图所示,存在D1,D2,两种情况,画出其中一个即可.23.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN//BC交AB于M,交AC于N,(1)请判断△BME与△ECN的形状,并说明理由?(2)若BM+CN=9,求线段MN的长.【答案】(1)△BME与△ECN都是等腰三角形;理由见解析;(2)9(1)△BME 与△ECN 都是等腰三角形;理由如下:∵∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点E ,∴∠MBE =∠EBC ,∠ECN =∠ECB ,∵MN ∥BC ,∴∠EBC =∠MEB ,∠NEC =∠ECB ,∴∠MBE =∠MEB ,∠NEC =∠ECN ,∴BM =ME ,EN =CN ,∴△BME 与△ECN 都是等腰三角形;(2)解:∵MN =ME +EN ,BM =ME ,EN =CN ,∴MN =BM +CN .∵BM +CN =9,∴MN =9.24.如图,已知ABC 中,BE 平分∠ABC ,且BE =BA ,点F 是BE 延长线上一点,且BF =BC ,过点F 作FD ⊥BC 于点D .(1)求证:∠BEC =∠BAF ;(2)判断AFC △的形状并说明理由.(3)若CD =2,求EF 的长.【答案】(1)证明见解析;(2)AFC 是等腰三角形,理由见解析;(3)4 解:(1)∵BE 平分∠ABC ,∴∠EBC =∠ABF ,在△BEC 和△BAF 中,BE BA EBC ABF BC BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴∠BEC =∠BAF ;(2)△AFC 是等腰三角形.证明:过F 作FG ⊥BA ,与BA 的延长线交于点G ,如图,∵BA =BE ,BC =BF ,∠ABF =∠CBF ,∴∠AEB =∠BCF ,∵∠BEC =∠BAF ,∴∠GAF =∠AEB =∠BCF ,∵BF 平分∠ABC ,FD ⊥BC ,FG ⊥BA ,∴FD =FG ,在△CDF 和△AGF 中,90DCF GAF CDF AGF FD FG ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩,∴△CDF ≌△AGF (AAS ),∴FC =FA ,∴△ACF 是等腰三角形;(3)设AB =BE =x ,∵△CDF ≌△AGF ,CD =2,∴CD =AG =2,∴BG =BA+AG =x+2,在Rt △BFD 和Rt △BFG 中,FD FG BF BF =⎧⎨=⎩,∴BD=BG=x+2,∴BF=BC=BD+CD=x+4,∴EF=BF﹣BE=x+4﹣x=4.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
课题:等腰三角形的性质和判定(2)
[学习目标]
在掌握了等腰三角形的性质定理和判定定理的基础上,探索等边三角形和其它相关知识的证明方法。
[学习过程]
一、知识回顾
上节课中,我们对等腰三角形的性质定理和判定定理进行了证明,请你写出这些定理。
等腰三角形性质定理:(1)_______________________;
(2)_______________________。
等腰三角形判定定理:______________________。
二、典例分析
1、已知:如图∠EAC 是△ABC 的外角,AD 平分∠EAC ,且AD ∥BC 。
求证:AB =AC
2、在上图中,如果AB =AC ,AD ∥BC ,那么AD 平分∠EAC 吗?如果结论成立,你能证明这个结论吗?
3、你还能得到其他的结论吗?与同学交流。
三、思考与交流
1、证明:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
(简写为“AAS ”)
A B C
D E
A B C D
E
2、证明:(1)等边三角形的每个内角都等于60°。
(2)3个内角都相等的三角形是等边三角形。
3、证明:(1)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
(2)到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
四、随堂练习
1、如图,在△ABC中,∠B=∠C=36°,∠ADE=∠AED=2∠B,由这些条件你能得到哪些结论?请证明你的结论。
A
B C
2、已知:如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E。
求证:△ADE是等边三角形。
3、求证:如果一个等腰三角形中有一个角等于60°,那么这个三角形是等边三角形。
五、体会与交流
本节课,我们又证明了哪些定理?你掌握了吗?。