线性规划在运输问题中的应用
线性规划算法在运输问题中的应用
线性规划算法在运输问题中的应用随着现代物流的发展，运输问题已成为企业经营中一个重要的问题。
如何在物流中实现优化运输，减少运输费用，增加效率，对企业利润的提升具有重要意义。
线性规划算法是运输问题优化中的一种重要算法，通过优化分配问题中的资源，实现最小化或最大化目标。
本文将探讨线性规划算法在运输问题中的应用。
一、运输问题在运输问题中，物流企业需要将各个厂商生产的货物运输到各个销售点。
假设存在m 个货源，n 个销售点，运输单位费用已知，并且每个销售点需要的货物数量也已知。
运输问题需要找到一种方案，使得总运输成本最小。
运输问题可以表示为如下形式的线性规划问题：$$\begin{aligned}\text{minimize}\quad & \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} c_{ij}x_{ij}\\\text{subject to}\quad & \sum_{j=1}^{n} x_{ij} =a_i\quad(i=1,\dots,m) \\& \sum_{i=1}^{m} x_{ij} = b_j\quad(j=1,\dots,n) \\& x_{ij} \geqslant 0\quad(i=1,\dots,m; j=1,\dots,n)\end{aligned}$$其中 $c_{ij}$ 表示从货源 $i$ 运输到销售点 $j$ 的单位费用，$x_{ij}$ 表示从货源 $i$ 运输到销售点 $j$ 的货物数量，$a_i$ 表示货源$i$ 需要的货物数量，$b_j$ 表示销售点$j$ 需要的货物数量。
二、线性规划算法线性规划算法是一种用于优化线性目标函数的算法。
其能够有效地解决一些商业或工程中的问题。
线性规划算法的步骤如下：1.建立目标函数：根据优化的目的，建立线性表达式，该表达式称为目标函数。
2.限制条件：列出所有限制条件，在限制条件中，变量的取值范围必须是非负数。
线性规划应用案例分析
线性规划应用案例分析线性规划是一种在数学和运营管理中常见的优化技术。
它涉及到在一组线性不等式约束下，最大化或最小化一个线性目标函数。
这种技术可以应用于许多不同的领域，包括供应链管理、资源分配、投资组合优化等。
本文将探讨几个线性规划应用案例，以展示其在实际问题中的应用和价值。
某制造公司需要计划生产三种产品，每种产品都需要不同的原材料和生产时间。
公司的目标是最大化利润，但同时也受到原材料限制、生产能力限制以及每种产品市场需求限制的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的生产计划，即在满足所有约束条件下，最大化利润。
某物流公司需要计划将货物从多个产地运输到多个目的地。
公司的目标是最小化运输成本，但同时也受到运输能力、货物量和目的地需求的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的运输方案，即在满足所有约束条件下，最小化运输成本。
某投资公司需要将其资金分配给多个不同的投资项目。
每个项目都有不同的预期回报率和风险水平。
公司的目标是最大化回报率，同时也要保证投资风险在可接受的范围内。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的投资组合，即在满足所有约束条件下，最大化回报率。
这些案例展示了线性规划在实践中的应用。
然而，线性规划的应用远不止这些，它还可以用于诸如资源分配、时间表制定、路线规划等问题。
线性规划是一种强大的工具，可以帮助决策者解决复杂的问题并找到最优解决方案。
线性规划是一种广泛应用的数学优化技术，适用于在多种资源限制下寻求最优解。
这种技术涉及到各种领域，包括工业、商业、运输、农业、金融等，目的是在给定条件下最大化或最小化线性目标函数。
下面我们将详细讨论线性规划的应用。
线性规划是一种求解最优化问题的数学方法。
它的基本思想是在一定的约束条件下，通过线性方程组的求解，求得目标函数的最优解。
这里的约束条件通常表现为一组线性不等式或等式，而目标函数则通常表示为变量的线性函数。
工业生产：在工业生产中，线性规划可以用于生产计划、物料调配、人力资源分配等方面。
线性规划在高等数学中的具体应用
线性规划在高等数学中的具体应用线性规划是高等数学中较为实用的一种特殊算法，该算法主要用于求解最优解问题。
线性规划包括线性规划模型的建立、线性规划问题的转化、线性规划问题的求解等环节。
这一算法能够有效地应用于生产、管理、交通、环境等各个领域。
本文将从实际案例出发，介绍线性规划在高等数学中的具体应用。
一、供应链系统中的运输问题在供应链系统中，物流运输是一项重要的环节。
如何最大限度地降低物流运输成本，提高供应链系统运作效率，一直是供应链管理者们关注的问题。
在线性规划中，物流运输问题也是解决最优化的一个经典问题之一。
通常，这样的问题可以被描述为如下数学模型：$$\begin{aligned}\min \quad& Z = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} c_{ij}x_{ij} \\s.t. \quad& \sum_{j=1}^{n} x_{ij}=a_{i}(i=1,2,\dots,m) \\& \sum_{i=1}^{m} x_{ij}=b_{j}(j=1,2,\dots,n) \\& x_{ij}\ge0(i=1,2,\dots,m;j=1,2,\dots,n)\end{aligned}$$其中，$x_{ij}$表示从$i$到$j$的运输量，$c_{ij}$表示从$i$到$j$的单位运输费用，$a_{i}$表示$i$的产量，$b_{j}$表示$j$的需求量。
这个模型的目标是最小化总运输成本$Z$，并满足产量和需求量的平衡。
这个模型可以通过线性规划算法求解，得到最优解以确定最优运输方案。
二、生产排产问题在生产过程中，高效的生产调度和计划是提高生产效率和降低生产成本的关键。
对于生产排产问题，线性规划也提供了一种有效的数学解法。
我们可以用下面的数学模型描述生产排产问题：$$\begin{aligned}\min \quad& Z = \sum_{i=1}^{m} c_{i}x_{i} \\s.t. \quad& \sum_{i=1}^{m} a_{ij}x_i\ge b_{j}(j=1,2,\dots,n)\\ & x_i\ge0(i=1,2,\dots,m)\end{aligned}$$其中，$x_i$表示第$i$种生产课程的生产数量，$c_i$表示第$i$种生产课程的生产成本，$a_{ij}$表示第$i$种课程在第$j$个生产周期内的产能，$b_j$表示第$j$个生产周期的生产需求。
线性规划应用案例
线性规划应用案例线性规划是一种在约束条件下寻找最优解的数学优化方法。
它在实际应用中广泛使用，涉及许多领域和行业。
本文将介绍两个典型的线性规划应用案例：运输问题和产能规划问题。
一、运输问题运输问题是线性规划最早发展起来的一个领域，它是指如何在各个供应地和需求地之间运输商品，以使得总运输成本最小。
一个典型的运输问题可以描述为：有m个供应地和n个需求地，每个供应地和需求地之间有一个固定的运输成本和一个固定的供应和需求量。
问题是如何确定每对供需地之间的运输量，以使得总运输成本最小。
举例来说，假设有三个供应地A、B、C，三个需求地X、Y、Z。
运输成本如下表所示：\begin{array}{ c c c c c c }&X&Y&Z&供应量\\A&10&12&8&100\\B&6&8&7&200\\C&9&10&11&300\\需求量&150&175&125&\\\end{array}求解此问题的线性规划模型如下：目标函数：minimize \quad Z = 10x_{11} + 12x_{12} + 8x_{13} + 6x_{21} + 8x_{22} + 7x_{23} + 9x_{31} + 10x_{32} + 11x_{33}约束条件：x_{11} + x_{12} + x_{13} \leq 100x_{21} + x_{22} + x_{23} \leq 200x_{31} + x_{32} + x_{33} \leq 300x_{11} + x_{21} + x_{31} \geq 150x_{12} + x_{22} + x_{32} \geq 175x_{13} + x_{23} + x_{33} \geq 125x_{ij} \geq 0, i = 1,2,3 \quad j = 1,2,3其中x_{ij}表示从供应地i到需求地j的运输量。
线性规划在物流运输中数学模型及应用
目录线性规划在物流运输中数学模型及应用 (1)摘要 (1)关键词 (1)引言 (1)1、线性规划问题 (1)1.1、线性规划问题的提出 (1)1.2、线性规划数学模型 (6)1.3、线性规划问题的标准形式 (7)1.4、线性规划问题解的概念 (8)1.4.1、可行解 (9)1.4.2、基 (9)1.4.3、基可行解 (10)1.4.4、可行基 (10)2、物流运输问题 (10)2.1、物流运输 (10)2.2、物流运输的规划设计 (11)2.2.1、运输成本 (11)2.2.2、运输速度 (11)2.2.3、运输的一致性 (11)2.2.4、与物流节点的匹配程度 (11)2.3、运输规划设计内容 (12)2.3.1、确定运输战略 (12)2.3.2、确定运输线路 (12)2.3.3、选择运输方式 (12)2.3.4、运输过程控制 (12)2.4、物流运输问题的提出 (12)2.5、物流运输问题的数学模型 (14)3、物流运输问题线性规划数学模型实例 (14)3.1、车辆调度问题 (15)3.2、产销运输问题 (17)3.3、物资调运问题： (18)4、结束语 (25)致谢 (25)参考文献 (25)英文摘要 (26)Linear Programming in logistics and (26)transportand application of mathematical models (26)Abstract (26)Keywords (26)线性规划在物流运输中数学模型及应用线性规划在物流运输中数学模型及应用摘要：本论文重要是对线性规划问题的提出、标准型、以及求解进行分析，然后建立一些数学模型来解决一些实际问题。
针对物流运输这个方面的实际应用建立一些特殊的数学模型用线性规划进行分析，让物流运输变的简单、快捷、节约成本。
本文的关键是对物流运输中的问题建立的数学模型就行分析，利用线性规划来运算和求解，建立线性规划数学模型。
运筹学运输问题笔记(一)
运筹学运输问题笔记(一)运筹学运输问题笔记一、运输问题的概述运输问题的定义运输问题是运筹学中的一种经典问题，也是线性规划中最简单的一种。
其定义是：在将若干种供给物品分别运往若干种需求地的过程中，在满足各个供求量限制和运输能力限制的基础上，使得总的运输成本最小。
运输问题的特点• 只涉及一种商品的运输；• 供给地和需求地的数量相等；• 供给地和需求地之间的运费相同。
运输问题的模型运输问题的模型可以用线性规划的形式表示：min Z =∑∑c ij nj=1m i=1x ijs.t. {∑x ij ni=1=b j (j =1,2,...,n )∑x ij m j=1=a i (i =1,2,...,m )x ij ≥0 (i =1,2,...,m;j =1,2,...,n )其中，c ij 代表从供给点i 到需求点j 的单位运费，a i 代表供给点的总供给量，b j 代表需求点的总需求量，x ij 代表从供给点i 到需求点j 的运输量。
二、运输问题的求解方法1. 列出初始可行解运输问题的求解可以先列出初始可行解，常用的方法有两种： • 西北角法（Northwest Corner Method ）• 最小元素法（Least Cost Method ）以上两种方法均可得到初始可行解，但最终得到的最优解可能不同。
2. 用改进的对角线法求解在得到初始可行解后，可以用改进的对角线法求解运输问题。
该方法的基本思想是：通过计算每个空运输路线上的机会成本，确定可能改进的单元格，然后通过交错路径法得到改进可行解，并最终求出最优解。
3. 用运输单纯形法求解对于规模较大或复杂的运输问题，可以用运输单纯形法求解。
该方法是将单纯形法应用到运输问题上，可以快速、准确地求解最优解。
三、运输问题的应用运输问题在物流领域的应用在物流领域中，运输问题是非常重要的，可以通过求解运输问题来优化物流配送方案、降低物流成本、提高物流效率。
运输问题在生产计划中的应用运输问题还可以应用于生产计划中，可以通过求解运输问题来优化原材料到达厂区和半成品成品出厂的方案，提高生产效率，降低成本。
管理运筹运输课程设计例题
管理运筹运输课程设计例题一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握管理运筹学中有关运输问题的基本概念和理论，如线性规划、运输表、最小成本流等；2. 使学生能够运用运输模型解决实际问题，并能够分析不同运输策略的优劣；3. 帮助学生理解运输问题在各种行业中的应用，如物流、生产、销售等。
技能目标：1. 培养学生运用数学模型解决实际问题的能力，特别是运用线性规划求解运输问题；2. 提高学生运用计算机软件（如Excel、Lingo等）辅助解决运输问题的技能；3. 培养学生进行团队协作、沟通和表达的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对管理运筹学科的兴趣，激发他们继续深入学习的热情；2. 培养学生具备良好的逻辑思维和分析问题的能力，形成科学、严谨的学习态度；3. 增强学生的社会责任感，使他们认识到运输问题在国民经济中的重要性，从而关注国家和社会发展。
本课程针对高中年级学生，结合课程性质、学生特点和教学要求，将目标分解为具体的学习成果。
在教学过程中，注重理论与实践相结合，以实际案例为载体，引导学生运用所学知识解决实际问题。
通过本课程的学习，学生将能够掌握管理运筹学中运输问题的基本知识和方法，具备解决实际问题的能力，并形成积极的学习态度和价值观。
后续教学设计和评估将以此为基础，确保课程目标的实现。
二、教学内容本章节教学内容依据课程目标，结合教材《管理运筹学》第五章“运输问题”展开，主要包括以下几部分：1. 运输问题基本概念：介绍运输问题的定义、特点及其在现实生活中的应用。
2. 运输模型的建立：学习如何根据实际问题构建运输表，明确供应点、需求点和运输成本。
3. 线性规划在运输问题中的应用：讲解如何利用线性规划求解运输问题，包括北西角法、最小成本法、位势法等。
4. 运输问题求解方法：介绍各种运输问题求解方法，如单纯形法、最小费用流算法等。
5. 计算机软件在运输问题中的应用：学习运用Excel、Lingo等软件辅助解决运输问题。
运用线性规划对运输问题进行研究运输问题在企业管理方面的应用
运用线性规划对运输问题进行研究运输问题在企业管理方面的应用一、本文概述随着全球化的推进和市场竞争的日益激烈，运输问题在企业管理中扮演着越来越重要的角色。
如何有效地进行物资运输、降低成本、提高效率，成为了企业运营中必须面对和解决的问题。
线性规划作为一种数学优化技术，为运输问题的研究和解决提供了有力的工具。
本文旨在探讨线性规划在运输问题中的应用，以及它在企业管理中的实际作用。
本文将首先介绍线性规划的基本概念、原理及其在运输问题中的应用原理。
接着，通过具体案例，分析线性规划在运输问题中的实际应用，包括如何建立运输问题的数学模型、如何运用线性规划求解最优运输方案等。
本文还将探讨线性规划在企业管理中的其他应用，如资源分配、生产计划等。
本文将总结线性规划在运输问题和企业管理中的应用效果，并展望未来的发展趋势。
通过本文的研究，我们期望能够帮助企业更好地理解和应用线性规划，优化运输方案，提高运营效率，从而在激烈的市场竞争中获得优势。
也希望本文能为相关领域的研究人员提供参考，推动线性规划在运输问题和企业管理领域的研究和发展。
二、线性规划理论基础线性规划是一种数学方法，用于解决具有线性约束和线性目标函数的优化问题。
它广泛应用于各种领域，包括运输问题。
在企业管理中，线性规划尤其适用于资源分配、生产调度和物流优化等问题。
线性规划问题的基本形式可以描述为：在给定的线性约束条件下，最大化或最小化一个线性目标函数。
这些约束条件和目标函数都是由决策变量的线性组合构成的。
决策变量是在问题中需要优化的变量，例如运输量、生产量等。
在运输问题中，线性规划可以用于优化运输成本、运输时间和运输路线等。
例如，假设一个企业需要将其产品从多个工厂运输到多个销售点，每个工厂和销售点之间的运输成本可能不同。
通过线性规划，企业可以找出一种运输方案，使得总运输成本最低，同时满足各种约束条件，如每个工厂的生产能力、每个销售点的需求量等。
线性规划的理论基础包括线性代数、凸分析和优化理论等。
线性规划的应用
线性规划的应用引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在许多领域都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将详细介绍线性规划的应用，并分为五个部分进行阐述。
一、生产计划的优化1.1 生产成本最小化：线性规划可用于确定生产计划，以最小化生产成本。
通过设定生产量的变量和成本的约束条件，可以得到最优的生产计划。
1.2 资源分配优化：线性规划可以帮助确定资源的最优分配，以满足生产需求。
通过考虑资源的供应量和需求量，可以得出最佳的资源分配方案。
1.3 生产效率提升：线性规划可以优化生产过程，提高生产效率。
通过考虑生产线上的各个环节和资源的利用率，可以得出最佳的生产安排，从而提升生产效率。
二、运输问题的解决2.1 最优运输方案：线性规划可用于解决运输问题，以确定最佳的运输方案。
通过考虑运输成本、运输量和运输距离等因素，可以得出最优的运输方案。
2.2 供应链优化：线性规划可以优化供应链的运作，以提高运输效率和降低成本。
通过考虑供应商、生产商和分销商之间的关系和需求，可以得出最佳的供应链优化方案。
2.3 库存管理：线性规划可用于优化库存管理，以最小化库存成本和满足需求。
通过考虑库存量、订购量和供应量等因素，可以得出最佳的库存管理方案。
三、资源分配问题的解决3.1 人力资源优化：线性规划可以优化人力资源的分配，以满足不同部门和项目的需求。
通过考虑人员的技能、工作量和工作时间等因素，可以得出最佳的人力资源分配方案。
3.2 资金分配优化：线性规划可用于优化资金的分配，以最大化利润或最小化成本。
通过考虑不同项目的收益和成本，可以得出最佳的资金分配方案。
3.3 能源利用优化：线性规划可以优化能源的利用，以提高能源效率和降低能源成本。
通过考虑不同能源的供应量和需求量，可以得出最佳的能源利用方案。
四、市场营销策略的制定4.1 定价策略优化：线性规划可用于优化产品定价策略，以最大化利润或市场份额。
基于线性规划模型的运输问题研究_肖满红
） 此时 其 数 学 模 型 与 表 达 式 （ 基 本 相 同， 只需将表达式 Ｉ Ｉ ∑ａ ＞ ∑ｂ ，
ｉ ｊ
ｉ＝１ ｊ＝１ ｎ
（ ） 中的 产 地 约 束 条件 Ｉ Ｉ
∑ｘ
ｊ＝１ ｍ
ｉ ｊ
＝ａ ｉ 改为
ｍ
∑ｘ
ｊ＝１ ｍ
ｉ ｊ
! ａ ｉ 。
ｊ
ｎ
即满足 ⑵总产量小于总销量， ） 式（ 中的 销 地 约 束 条件 Ｉ Ｉ
第１ ４卷 第７期 ２ ０ １ ２年７月
天津职业院校 联 合学 报 Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｔ ｉ ａ ｎ ｉ ｎ Ｖ ｏ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｓ ｊ
ＮＯ． ７Ｖ ｏ ｌ ． １ ４ ｕ ｌ ． ２ ０ １ ２ Ｊ
基于 线 性规 划 模 型 的 运输问题 研究
ａ ｘ ｘ ｘｎ !（ ｂ ＝ ， ） １ １ １ ＋ａ １ ２ ２ ＋ … ＋ａ １ ｎ １ 烄 … （ ， ） ! ! ａ ｘ ｘ ｘｎ ＝ ｂ ＋ａ ２ １ １ ＋ａ ２ ２ ２＋ ２ ｎ ２
烅 ａ ｘ ｘ ｘｎ !（ ｂ ＝ ，!） ｍ １ １ ＋ａ ｍ ２ ２ ＋ … ＋ａ ｍ ｎ ｍ
收稿 日 期 ： ２ ０ １ ２－０ ５－２ ５ ， 作 者简介 ： 肖 满红 （ 男， 湖南省 邵 阳 人， 天 津 机 电 职 业 技 术 学 院 讲 师， 从某个事最优化方法机器算 １ ９ ８ １－ ） 法、 数 值 分析研究 。
·１ １ ０·
…， …， …， 假 设 某 物 资 有 ｍ 个 产 地 Ａ１ ， 各 地 产 量 分 别 为ａ 各地 Ａ２ ， Ａｍ ， ａ ａ ｎ 个 产 地 Ｂ１ ， Ｂ Ｂｍ ， １， ２， ｍ ； ２，
线性规划的实际应用
线性规划的实际应用一、引言线性规划是一种优化技术，它在多种领域中都有着广泛的应用。
它通过数学模型来描述和解决问题，如最大化利润、最小化成本、优化资源分配等。
本文将对线性规划的实际应用进行深入的探讨，旨在展示其在现实生活中的重要性和价值。
二、生产计划与资源分配在生产制造业中，线性规划发挥着举足轻重的角色。
通过运用线性规划技术，企业可以更好地安排生产计划、管理生产成本及制定预防维修规划，帮助生产和物控单位获取利润的最大化和亏损的最小化，制定合理的检修时间规划及最短人员出勤次数。
三、物流管理与运输问题在物流领域，线性规划也扮演着重要的角色。
例如，在运输问题中，线性规划可以帮助企业找到最优的运输路线，以最小的成本完成运输任务。
这不仅可以提高企业的物流效率，还可以降低企业的运营成本。
四、金融与投资决策在金融领域，线性规划也被广泛应用。
例如，在投资组合优化问题中，线性规划可以帮助投资者找到最优的投资组合，以实现最大的收益或最小的风险。
此外，线性规划还可以用于制定财务计划、优化贷款结构等方面。
五、环境优化与能源管理随着环境保护意识的日益增强，线性规划在环境优化和能源管理方面的应用也越来越广泛。
例如，在污水处理问题中，线性规划可以帮助企业制定最优的污水处理方案，以最少的资源消耗达到最好的处理效果。
在能源管理中，线性规划也可以帮助企业优化能源使用结构，提高能源利用效率。
六、教育与科研线性规划在教育和科研领域也有广泛的应用。
在教育领域，线性规划可以用于制定最优的教学计划、分配教育资源等。
在科研领域，线性规划可以用于优化实验设计、提高科研效率等。
七、结论综上所述，线性规划在实际应用中的价值和意义不容忽视。
它可以帮助企业解决各种优化问题，提高生产效率、降低运营成本、优化资源配置等。
随着科技的进步和社会的发展，线性规划的应用领域还将不断扩大，其在现实生活中的重要性也将不断提升。
为了更好地发挥线性规划的作用，我们需要在理论研究和实践应用中不断探索和创新。
线性规划在运输问题中的应用
摘要随着我国市场经济的不断完善，同地区、不同地区、甚至跨国间的企业交易更加的频繁。
因此，在运输中如何降低运输费用、减少运输路线等问题，已经成为交易活动的重点，而随着社会分工的细化，物流和运输业不断的发展，运输问题也就变的越来越复杂，运输量有时候非常巨大，所以科学的组织运输显得十分重要。
线性规划主要应用于解决最优化问题，而运输问题可以看作是一类特殊的线性规划问题。
本文结合案例，分析了运输问题的基本特征及解决策略，并通过实例对运输问题进行了优化分析建立了线性规划的数学模型，并借助计算机进行求解，在本篇文章中主要应用的是excel求解，能快速准确的得到最优化方案，提高了实际运输工作中的经济效益。
关键词：线性规划；运输问题；excelLinear Programming In The Application Of TheTransportation Problem09404323 Li Yong Information and Computing ScienceFaculty adviser Dong Jian-xinAbstractAs the constant improvement of market economy in our country, trade become more frequently in the same areas, different regions and even multinational companies. In transit, therefore, how to reduce the transportation cost, reduce transport routes and other issues has become the focus of trading activities. With the refinement of social division of labor, the development of logistics and transport, transportation problem also becomes more and more complex, traffic sometimes very large, so the science of organization transportation appears very important. Linear programming is mainly applied to solve the optimization problem. Transportation problem can be regarded as a kind of special linear programming problem. Combining with the case, analyzes the basic characteristics of the transportation problem and solving strategy, and through the instance analysis of transportation problem is optimized, so that linear programming mathematical model is established. The solution can be obtained with the aid of computer. In this article, the problem is solved by the application of excel which can quickly and accurately get optimal solution. In addition, it also improve the economic efficiency in the actual transportation work.Key Word:Linear programming; transportation problem; excel目录引言 (2)1. 线性规划的基本理论 (2)1.1 线性规划的基本概念 (2)1.2 线性规划的一般数学模型 (3)2．线性规划在运输问题中的应用 (3)2.1 运输问题的基本特征 (3)2.2 运输问题的解决策略 (4)2.2.1 产销平衡运输问题的一般作法 (4)2.2.2 产销不平衡运输问题分两种情况 (4)3.应用excel求解运输问题简介 (5)3.1 运输问题的形式 (5)3.2 在excel中的形式 (5)3.3 excel求解步骤 (6)4.运输问题实例 (6)5.结束语 (11)6.参考文献 (12)致谢 (13)线性规划在运输问题中的应用09404323 李勇信息与计算科学指导教师董建新引言线性规划是决策系统的静态最优化数学规划方法之一。
线性规划算法在运输问题中的应用
线性规划算法在运输问题中的应用1.前言线性规划是优化问题中的经典方法，它可以求解各种约束条件下的最优解，具有广泛的应用领域，其中之一就是在运输问题中。
本篇文章将会介绍线性规划算法在运输问题中的应用。
2.运输问题的概述运输问题指的是在不同生产地到不同销售地之间物资的转运方案问题。
一般情况下，都是要求在一定情况下，物资的总运输成本最低，因此这个问题就可以转化为一个线性规划问题。
我们可以用各种算法来求解这个线性规划问题，例如单纯形法、对偶单纯形法、内点法等。
3.运输问题的建模要把运输问题转化为线性规划问题，首先要建立一个合适的模型。
通常我们会假设存在 m 个生产地和 n 个销售地，将其分别标记为 i 和 j（i=1, 2, …, m, j=1, 2, …, n）。
同时，我们还需要知道每个生产地的产量（a_i）、每个销售地的销售需求（b_j）和每个单位物资的运输成本（c_ij）。
假设我们还有一个变量，表示从第 i 个生产地到第 j 个销售地所转移的物资量为x_ij，则我们可以设计如下的线性规划模型：min ∑i=1m∑j=1nc_ijx_ijs.t. ∑j=1nb_jx_ij = a_i, i = 1, 2, …, m∑i=1ma_ix_ij = b_j, j = 1, 2, …, nx_ij ≥ 0, i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n其中，第一个约束条件表达的是每个生产地的产量必须全部转移到销售地；第二个约束条件表达的是每个销售地需要满足的需求必须从生产地得到满足；第三个约束条件表达的是转移的物资量必须非负。
我们需要通过求解上述线性规划问题来确定每个变量的取值以及满足目标函数的最小值。
4.应用实例在现实生活中，许多企业都会面临着运输问题。
例如，一些工业公司需要从不同的原材料生产地将材料转移到不同的生产线上，然后将成品运输到各个销售地点。
在这个过程中，经常需要决策如何分配货物，选择哪些物流线路等问题。
线性规划在运输问题中的应用
线性规划在运输问题中的应用一、引言线性规划是一种优化问题解决方法，应用广泛，特别是在生产和运输领域。
在运输问题中，线性规划可以用来最小化运输成本或最大化运输效益。
本文将探讨在运输问题中如何应用线性规划。
二、运输问题的定义运输问题是指在多个产地和多个销地之间运输商品的问题。
在一个运输问题中，首先需要确定每个产地和销地之间的运输费用，其次需要确定每个销地需要的商品数量和每个产地可供应的商品数量。
最终的目标是以最小的运输成本满足所有销售要求。
三、线性规划基础在运输问题中，线性规划可以用来最小化运输成本或最大化运输效益。
线性规划的目标是最小化或最大化一个线性函数，该函数的变量受到一组线性等式和不等式的限制。
线性规划的一般形式如下：最小值：c_1x_1 + c_2x_2 + ... + c_nx_n条件：a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n ≤ b_1a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n ≤ b_2 · ·· ·· ·a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n ≤ b_m 其中，x1，x2，...，xn是变量；c1，c2，...，cn是线性函数的系数；b1，b2，...，bm是不等式的约束条件；a11，a21，...，amn是系数矩阵。
确定这些系数矩阵可以从运输问题的定义中得出。
四、线性规划在运输问题中的应用1. 单位运输费用法单位运输费用法是解决运输问题的一种简单方法。
这种方法的基本思路是计算每个产地和销地之间的单位运输费用，然后将费用乘以需要运输的商品数量得出总费用。
这种方法没有考虑到不同销地的供求关系，也没有考虑到生产和销售的实际情况。
2. 广义网络法广义网络法是一种用图表达模型的线性规划方法，它可以解决多个销地和多个产地之间的运输问题。
线性规划与混合整数规划在物流运输中的应用
线性规划与混合整数规划在物流运输中的应用随着全球贸易的发展，物流运输变得愈发重要。
物流运输是产品从生产地到消费地的流动及相关服务的总称，它涉及到产品的储存、包装、运输、信息传递等环节。
为了提升物流效率，降低成本，使物流成为一项可持续发展的产业，线性规划与混合整数规划成为了物流运输中的重要工具。
一、线性规划在物流运输中的应用线性规划是一种以线性数学为基础的最优化方法，它被广泛应用于管理、经济、工程、科学等领域。
在物流运输中，线性规划可以用来确定运输最优方案及最优物流分配。
具体应用包括以下几个方面：1. 路线优化线性规划可以通过优化运输路线，降低物流运输成本。
以一个物流企业为例，它需要将一批货物从生产地点A运往销售地点B、C、D。
在确定最佳运输方案时，需要考虑到不同的运输方式、运输时间、运输成本等诸多因素。
线性规划可以考虑这些因素，确定最佳运输路径，同时满足生产地点A、销售地点B、C、D的运输需求，从而达到降低物流成本的目的。
2. 货源分配物流企业需要根据不同地区的销售情况，合理分配货源。
线性规划可以根据历史销售数据、市场预测等因素，计算出不同地区的销售量和需求量，并将其转化为数学模型，从而确定最佳货源分配方案。
3. 装载方式优化在运输货物时，货车的装载方式需要考虑到运输量、运输距离、装卸时间、货仓容量等因素，以满足不同客户的需求。
线性规划可以通过优化货车的装载方式，节约运输成本，提高物流效率。
二、混合整数规划在物流运输中的应用混合整数规划是一种将整数变量和实数变量混合在一起的最优化计算方法，常用于物流运输问题的解决。
混合整数规划可以应用于以下几个方面：1. 路线优化与线性规划相似，混合整数规划也可以用于优化运输路线。
但与线性规划不同的是，混合整数规划可以考虑到一些离散变量如货车的数量、形状等，从而实现更加精细化的运输路径优化。
2. 车辆调度物流企业需要合理调度运输车辆，以提高车辆利用率，降低物流成本。
线性规划算法在物流运输中的应用
线性规划算法在物流运输中的应用导语：物流运输是现代社会中不可或缺的重要环节，它涉及到从原材料的采购到产品的送达的整个过程。
如何高效地组织物流运输是一个复杂的问题，而线性规划算法成为解决这个问题的一种有效工具。
1. 线性规划算法的基本原理线性规划算法是一种通过线性关系来求解最优值的方法。
在物流运输中，我们可以将运输问题抽象为一组线性方程，其中目标函数代表着我们希望最小化或最大化的目标，约束条件则反映了实际运输中的各种限制。
通过求解这组方程，我们可以得到最优的运输方案。
2. 库存管理优化问题在物流运输中，库存管理是一个重要的环节。
合理的库存管理能够最大限度地减少库存占用和资金压力，同时确保及时供货。
线性规划算法可以用来优化库存管理的决策。
我们可以通过建立库存平衡方程，将库存水平与需求和供应之间的关系相结合，利用线性规划算法求解最佳的库存水平和订货量。
3. 资源分配问题在物流运输中，资源分配是一个难题。
资源包括人力、车辆和货物等。
如何合理分配这些资源，确保物流运输的顺利进行，是一个复杂而困难的问题。
线性规划算法可以帮助我们找到最佳的资源分配方案。
我们可以将各个运输环节抽象为一组线性方程，通过求解这组方程得到最优的资源分配方案。
4. 路线优化问题在物流运输中，路线优化是一个常见的问题。
如何选择最短的路线，能够有效地节约时间和成本。
线性规划算法可以用来解决路线优化问题。
我们可以将不同路线的长度、成本等因素抽象为一组线性方程，通过求解这组方程找到最优的路线。
5. 运输成本最小化问题在物流运输中，运输成本是一个重要的指标。
线性规划算法可以用来最小化运输成本。
我们可以将不同路径、不同运输方式的成本抽象为一组线性方程，通过求解这组方程找到最低的成本方案。
总结：线性规划算法在物流运输中具有重要的应用价值。
它可以帮助我们解决库存管理、资源分配、路线优化和运输成本最小化等问题。
合理运用线性规划算法，能够使物流运输更加高效和经济，进一步推动物流行业的发展。
线性规划模型在运输问题中的应用分析
线性规划模型在运输问题中的应用分析随着全球经济一体化进程的加快，各国经济间的联系日益紧密，物流运输也变得越来越重要。
在大量物流运输问题中，解决物流损失、成本分配等问题是最为关键的。
而运输问题通常可以被视为线性规划模型的一种，线性规划模型在运输问题中的应用也越来越受到人们的重视。
一. 运输问题的例子举一个简单的例子来说明运输问题。
假设A、B、C、D四个城市分别有工厂、仓库和销售点，且有以下数据：每个工厂生产的产品数量、仓库容量、销售点需要的产品数量、从一点到另一点的运输成本。
现在需要确定应该从哪些工厂生产哪些产品、应该从哪个工厂运送到哪个仓库、从哪个仓库运往哪个销售点、以及每个运输路径运输的数量等问题。
二. 运输问题的特点运输问题的特点在于：一个A城市的工厂能够生产的产品也可以被B、C、D城市的销售点使用，一个仓库也可以从多个工厂和向多个销售点运输货物。
这种“源-汇”模式的数据结构称为运输网络。
而线性规划模型正好可以处理这种模型，它使用高效的算法寻找最佳运输方案，从而最大程度地降低成本和货物的损失。
三. 模型的基本要素在解决运输问题时，需要建立一个线性规划模型。
它包括以下基本要素：1. 决策变量决策变量是需要最终确定的，例如面对这种运输问题，决策变量可以是每个工厂、仓库和销售点的生产、储存和销售数量等。
2. 目标函数目标函数是要最小化的总成本、总损失等等。
3. 约束条件约束条件是必须满足的等式或不等式，例如每个工厂生产的产品数量应该大于等于零，每个销售点的需求量应该小于等于该点的能力。
4. 非负条件决策变量必须满足非负条件，例如每个工厂、仓库和销售点的数量应该大于等于零。
四. 模型求解线性规划模型的目标是在约束条件下，最优化目标函数。
求解过程中需要使用线性规划算法，这些算法通常都是利用单纯形法、内点法等，来建立单个目标函数的等式或不等式的优化模型。
五. 结论在现代物流运输中，运输问题是一种常见的问题，线性规划模型正好可以处理这种问题。
线性规划与物流优化问题的研究
线性规划与物流优化问题的研究一、引言线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种数学优化方法，被广泛应用于各个领域的问题求解，其中物流领域是主要应用领域之一。
物流优化问题涉及到了货物的运输、仓储和配送等环节的优化规划，旨在提高物流效率和降低成本。
本文将介绍线性规划方法在物流优化问题中的应用，并着重探讨与物流相关的一些经典线性规划模型。
二、物流网络设计模型1. 运输问题（Transportation Problem）运输问题是物流优化中最常见的线性规划模型之一，它主要用于解决物流网络中货物从供应点到需求点之间的分配问题。
该模型的目标是在满足供应点和需求点之间的容量和需求限制条件下，使总运输成本最小化。
2. 单级物流网络设计问题（Single-level Logistics Network Design Problem）单级物流网络设计问题是指在一个物流网络中，从供应点到需求点的产品流动路径仅有一级中转的情况下，进行最优路径规划。
该模型的目标是在满足供应和需求约束条件下，使得总成本最小化，包括运输成本、仓库存储成本等。
3. 多级物流网络设计问题（Multi-level Logistics Network Design Problem）多级物流网络设计问题是指在一个物流网络中，货物从供应点到需求点的流动路径包括多个中转环节的情况下，进行最优路径规划。
该模型的目标是在满足供应和需求约束条件下，使得总成本最小化，并考虑到不同中转环节的运输成本、仓库存储成本以及中转点的选择等因素。
三、线性规划在物流优化中的应用案例1. 物流配送路径优化在一家大型电商公司的物流配送中心，物流管理团队面临如何合理规划配送路径的问题。
他们通过线性规划模型考虑了货车容量限制、配送时间窗口约束以及货物数量与经销商需求之间的对应关系，最终得出了一套最优的配送路径方案，既提高了物流效率，又降低了运营成本。
2. 物流仓储优化一家制造企业的物流管理团队需要优化其分布在全国各地的仓库网络。
线性规划在运输问题中的应用
线性规划在运输问题中的应用一、介绍线性规划是优化方法中的一种常见方法，它主要是指寻求在满足一系列约束条件的情况下最大限度地提高某种目标函数的值。
在对各种运输问题进行建模时，线性规划也广泛应用。
在本文中，我们将着重探讨线性规划在运输问题中的应用。
二、定义运输问题在了解线性规划如何应用于运输问题之前，我们需要了解运输问题是什么。
运输问题一般涉及将商品从一个地方运送到另一个地方，并需要最小化或最大化成本或利润等目标。
该问题可以表示为一个线性规划模型，其中各种变量和约束条件可以很好地描述该问题。
三、线性规划模型对于一个标准的运输问题，我们所需要的是一个线性规划模型。
根据这个模型，我们可以了解如何在运输问题中使用线性规划。
如果我们将一个运输问题表示为线性规划模型，我们可以得到以下组成部分：1. 目标函数：可以是最小化或最大化。
2. 变量：这是我们需要确定的变量，例如商品的数量，货物的运输费用等。
3. 约束条件：这些是约束条件，需要满足的条件，例如运输货物的容量限制，客户需求等。
4. 非负约束：这是一个常数，它有助于确保变量始终为正。
通过深入分析运输问题，我们可以确保我们将所有变量和约束条件插入正确的目标函数。
在这里，目标函数是最小化或最大化，而变量和约束条件则会影响该函数的结果。
四、线性规划解决运输问题通过了解运输问题的不同参数，我们可以使用线性规划快速解决运输问题。
我们可以运用简单的算法来求解问题，包括单纯形法、内点法等。
例如，在运输问题中，我们经常利用单纯形法来确定目标函数的最优解。
通过单纯形法，我们可以找到目标函数的最佳解，并确定每个变量的最佳值。
然后，我们可以使用这些值来确定问题的解决方案，以实现最小化或最大化我们的目标函数。
五、实际应用线性规划在运输问题中的实际应用是广泛的。
例如，在制造业中，线性规划可用于优化生产线，减少运输成本，以及减少生产时间，提高生产效率等方面中。
类似地，在供应链管理方面，线性规划是一个重要的工具，可以用来优化存储、运输，以及供应等方面的成本。
运输问题中线性规划法的运用
运输问题中线性规划法的运用我国经济市场的开放，在很大程度上促进了交易活动的进行，这也意味着运输工作压力的进一步加大。
所以，为了更好地认识这一行情，本文将对线性规划在运输问题中的运用做出详尽的说明，以期能够为运输事业献一份力。
在实质的运输领域，有很多常有的问题急于被解决，经过频频的实践，发现以计算机作为载体的线性规划在运输问题中发挥了优秀的作用。
一、线性规划简介线性规划是数学中的一个重要部分，拥有实质应意图义，将现实中的问题记录，而后在成立必定的数学模型，使得某项指标获取最优化。
线性规划设计拥有必定的理论基础，主假如指，在某一要求下，从众多方案中找寻最优的方案。
在线性规划中，主要有拘束条件、数学目标函数、线性关系等几点元素，此中，拘束条件能够是等式，也能够是不等式，所谓的目标函数就是在拘束条件下获得的最值。
线性规划是运筹学中的重要构成部分，常被用于经济经营管理问题，在现代化的管理模式下拥有宽泛的实质意义，影响现代管理的最后决议。
常有的应用领域为生产制造、物流运输、经济规划、科学研究等方面，而且在这些领域都发挥了优秀的作用。
二、线性规划在运输问题中的运用背景剖析依据线性规划在运输问题中的实质运用状况，能够发现对其造成影响的主要有以下两点背景：市场开放惹起的交易活动增添以及煤炭资源资源散布不均惹起的煤炭运输屡次。
交易活动在现代全世界化背景下正在逐渐增添，在这一方面主要阐述网上交易和实质交易。
跟着网络覆盖面积的扩大，计算机普及率的提升，愈来愈多的人选择了进行网上交易，只要要经过网络就能够完成目的。
在网上交易的过程中，会有大批的物质需要进行运输，这就为运输事业创建了优秀的发展背景。
此外，就是实质交易，实质交易也是需要运输的，一般是之间的交易，对大批的物质进行交易。
这些促进了物流家产的发展，而在物流家产中，存在大批的相关规划的问题，依据规划能够很好地降低运输成本、提升运输质量。
不论是公司仍是个人都希望自己能够获取最大的收益，减少输出、消耗，在这一方面，就一定要对物质的运输方案进行合理的规划，事实上，在物质运输上，一般都会提早对运输方案进行规划，以期能够追求到最正确解决方案。
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线性规划在运输问题中的应用【摘要】用运筹学的思想探讨运筹学课程的教学方法。
运筹学中的指派问题、最短路问题，最小费用流问题可转化为运输问题或转运问题，从而可以统筹安排这些教学内容，为提高教学效果，减少教学时间找出更优的教学方法。
【关键词】运输问题；转运问题；运筹学；线性规划；教学方法引言：随着我国国民经济的不断发展，企业之间的交易活动更加频繁,同地区、不同地区、甚至跨国的交易活动也不断发生，运输则成为交易的活动重点了。
交通运输作为国民经济的一个重要部门，作为人类进步、社会发展的一个重要推动力，其发展模式正在对环境产生越来越重要的影响。
传统的运输方式已经不能满足环境保护、经济发展以及交通运输本身发展的需求，探寻与环境、资源条件相适应的运输是非常重要的一个问题。
人们在运输方面趋利避害建立更好的运输方法，让交通运输的方法达到一个更高的水平。
1．线性规划简介线性规划法是解决多变量最优决策的方法，是在各种相互关联的多变量约束条件下，解决或规划一个对象的线性目标函数最优的问题，即给与一定数量的人力、物力和资源，如何应用而能得到最大经济效益。
当资源限制或约束条件表现为线性等式或不等式，目标函数表示为线性函数时，可运用线性规划法进行决策。
线性规划法就是在线性等式或不等式的约束条件下，求解线性目标函数的最大值或最小值的方法。
其中目标函数是决策者要求达到目标的数学表达式，用一个极大或极小值表示。
约束条件是指实现目标的能力资源和内部条件的限制因素，用一组等式或不等式来表示。
线性规划是决策系统的静态最优化数学规划方法之一。
它作为经营管理决策中的数学手段，在现代决策中的应用是非常广泛的，它可以用来解决科学研究、工程设计、生产安排、军事指挥、经济规划；经营管理等各方面提出的大量问题。
最近几年，我国物流产业快速发展，形成了物流热。
在物流作业的管理活动中，有着大量的规划问题，物资的合理调运就是其中一个比较重要的问题。
求物资调运的最优调运方案，就是要在满足各种资源限制的条件下，找到使运输总费用最小的调运方案。
2.线性规划在运输中的应用在现实的生产经营、商品销售、经济建设和物资管理过程中，常常会遇到各类物资的分配和调运问题，即将各种生产资料或生活资料消耗品从供给基地调运到需求基地，这里就需要如何根据现有条件科学、合理的安排调运方案，提高运输经济效益。
这就是属于线性规划中网络配送的以最小的成本完成货物的运输问题。
运输问题就是讨论有关物资调运的问题，即将数量和单位运价都给定的某种物资从供应站运送到消费站，要求在供给和需求平衡的同时，制定出流量与流向，使总运输成本最低。
运输问题是特殊的线性规划问题，根据问题的要求，建立数学模型，用表上作业法或线性规划软件求解，即可得出最佳的调运方案，取得了较好的经济效益。
在运输问题中，确定的需求限制占据着重要的地位，即必须确定需求以及相应地确定需求的约束条件。
3.运输问题的特征运输问题关心的是以最低的总配送成本把供应中心（出发地）的任何产品运送到每一个接收中心（目的地）。
每一个出发地都有一定供应量配送到目的地，每一个目的地都需要一定的需求量。
运输问题在供应量和需求量两方面都做出了如下的假设：需求假设。
每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应量都必须配送到目的地。
与之类似，每一个目的地都有一个固定的需求量，整个需求量都必须由出发地满足成本假设。
从任何一个出发地到任何一个目的地的货物配送成本和所配送的数量成线性比例关系。
因此，这个成本就等于配送的单位成本乘以所配送的数量。
运输问题所需要的数据仅仅是供应量、需求量和单位成本，这些就是模型参数。
如果一个问题可以完全描述成如下表所示的参数表形式，明确出发地、供应量、需求量和单位成本，并且符合需求假设和成本假设，那么这个问题（不管其中是否涉及到运输）都适用于运输问题模型，最终目的都是要使配送的总成本最小。
4.运输问题的数学模型设某种物品有 m 个产地 1A ， 2A ，…， m A ，各产地的产量分别是 1a ，2a ，…，m a ；有 n 个销地 1B ，2B ，…，n B 各销地的销量分别为 1b ，2b ，…，n b ，假定从 产地 i A （i=1，2，…，m ） 向销地 j B （j=1，2，…，n ） 运输单位物品的运价为 ij C ，若用表示从到的运输量，则在产销平衡条件下，总费用最低的数学模型为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====≥====∑∑∑∑0,,2,1,,2,1..min 1111ij nj i ij mi j ij ijnj ij m i x nL i a x mL j b x t s x c z 运输问题通常用表上作业法求解，表上作业法是单纯形法求解运输问题时的一种简化方法，其实质是单纯形法。
表上作业法首先需要经过1-+n m 次加法运算求出初始基可行解。
在初始基可行解基础上用闭回路法或位势法计算所有空格（非基变量）的检验数N j i ij ∈,,λ ，如用位势法，需要经过解1-+n m 次一元一次方程计算位势和计算()()l n m n m -+-⨯个检验数，共需要计算 n m ⨯次。
当所有检验数0≥ij λ时，得最优解，否则需要在表上用闭回路法进行调整，确定换入变量和换出变量，找出新 的基可行解，直到得出最优解为止。
若需要调整 k 次，则 中间环节需要计算n m k ⨯⨯次。
故全部过程一共需要经过()()n m k l n m ⨯⨯+-+⨯2次运算，当 m ，n 很大时，表上作业的计算量庞大且繁杂。
本文提出的用线性规划法求解 运输问题将大大提高最优解的求解速度，大大提高了效率。
5.实例现在物流业面临的新问题是： 认定所给问题确实是一个线性规划问题； 把它建立起线性数学模型； 并能够完成具体实务的全部工作。
第一个问题实质上是具体实务究竟满足什么条件才能应用线性规划的方法。
一般地说，必须有：①一定要满足将目标表为最小化或最大化的要求；②一定要有达到目标的不同方法，且必须要有选择的可能性；③要求的目标是有限制条件的；④必须将约束条件用数学表示为线性等式或线性不等式，并将目标函数化为线性函数。
5.1物资调运最优问题：例 1：苹果的运价及产销量如表 1，求总运费最省的运输方案。
表1解：找线性关系：设ij x 表示产地i A 供给销地j B 的物资数量，产地A1 产量只有9个单位，可供销地B1、B2、B3， 其和为9，B1、B2、B3 的量有多种选择。
而B1 只需6个单位，可选A 1、A2 的产量，其和小于6。
因为总销量大于总产量。
故约束为： ()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥≤+≤+≤+=++=++2,13,2,1065679231322122111232221131211j i x x x x x x x x x x x x x ij 又从A1 运1 个单位的苹果到B1 需运价7 个单位，若11x 个单位则117x 运价，因此满足约束的()2,1;3,2,10==≥j i x ij 得总运价的目标函数为：()23222113121131131047m in x x x x x x +++++此约束方程组不是标准型。
将约束条件方程组（2）标准化为：()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=++=++=++=++=++2,1;3,2,1065679323132221212111232221131211j i x x x x x x x x x x x x x ij λλλ 用单纯形法的程序在计算机上可得最优调运矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡205450，最省的运费为69min =S 。
特别地，当产量大于销量时，如常数9 改为12，约束条件前两个方程改为7,12232221131211≤++≤++x x x x x x ，后面三个用等式。
当产销平衡时，约束方程组是等式方程组，方程组的个数为()1-+n m 个。
5.2车辆调度问题物流部门承接的运输千万种，并往往是几十种物资同时调运。
为此，只有一种物资的数学模型求最优调运方案方法，在多种物质运输情况下就不能直接使用。
原因是：在调度汽车去完成运输任务时，免不了要出现空驶现象。
例如某车队有一天要完成如表2 所示的运输任务，各地间的距离如表3，问应怎样安排汽车去完成这些任务才能做到最省？分析：满车路线和方向显然是固定的，但空车的路程、方向却没有固定。
如把木材从火车站运到建筑工地卸下后，空车即可去火车站装煤，也可去文具公司装纸张。
空车的走法不同，空驶的t ·km 数当然也不同，这就产生了车辆调度问题。
车辆调度问题主要解决的是：怎样安排车辆去完成所有的运输任务并使空驶的t ·km 数最小。
物资调运问题是“怎样才能使物资运输的t ·km 数最小”；这就是说把空车看成是一批货物（卸几吨货物就看成是几吨空车），则把车辆调度问题转化为物资调运问题。
把空车看成是货物，其发、收（产、销）点及发、收（产、销）量按如下的方法决定：（1）若某点的缷货总量大于装货总量，则该点是空车的发点，其发量等于卸货总量与装货总量之差。
如学校的卸货总量为4，装货为0，故学校是发点，发量为4。
（2）若某点装货总量大于卸货总量，则该点是空车的收点，其收量也是二者之差。
（3）如果某点的卸货总量等于装货总量，如此点不存在空车则不予考虑。
为此，车辆调度问题可作为物资调运问题来处理。
即空车的流向应怎样才能使车辆调度合理？其主要步骤如下：①确定空车的收发点和收发量，并列表；②确定空车调运的数学模型，并求解；③根据所得解并结合具体情况合理调派车辆。
解：收点：火车站、文具公司、粮店；发点：建筑工地、钢厂、学校。
约束条件为：()()33323123222113121132221231211133323123222113121113481025739min 4,3,2,1;3,2,1026424x x x x x x x x x S j i x x x x x x x x x x x x x x x x ij ++++++++==≥⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++用单纯形法的程序在计算机上可得：钢厂、学校分别向火车站发2t 空车，建筑工地向文具公司和粮店发2t 空车。
空车吨公里数最小是：5648222723min =⨯+⨯+⨯+⨯=S6.结论通过上例分析，我们可以很清楚地了解线性规划企业运输决策的整个运作过程具有很大的实践意义。
利用线性规划进行运输决策，可以制定出最佳运输方案，往哪里运，运多少，而且可以同时对线性规划的进一步运用、剖析运输决策中各环节、各部门之间的内在联系，使人力、物力和财力能够得到充分利用，从而实现最优化的货物流通，使企业的利润进一步追加，最终得到最佳运输计划，提高企业经济效益。