2013年高考湖北数学理科试题及答案(全word版)

2013年湖北省理科数学高考试题

一．选择题 1．在复平面内，复数21i

z i

=

+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2．已知全集为R ，集合112x

A x

⎧⎫⎪

⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩

⎭

，{}2|680B x x x =-+≤，则R A C B = （ ） A.{}|0x x ≤ B.{}|24x x ≤≤ C. {}|024x x x ≤<>或 D.{}|024x x x <≤≥或

3．在一次跳伞训练中，甲．乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A.()()p q ⌝∨⌝ B. ()p q ∨⌝ C. ()()p q ⌝∧⌝ D.p q ∨

4．将函数()sin y x x x R =

+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关于y 轴

对称，则m 的最小值是（ ） A.

12

π

B.

6

π

C.

3

π

D.

56

π

5．已知04

π

θ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与22

2222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ）

A.实轴长相等

B.虚轴长相等

C.焦距相等

D. 离心率相等

6．已知点()1,1A -．()1,2B ．()2,1C --．()3,4D ，则向量AB 在CD

方向上的投影为（ ）

A.

C. -

D.7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()25

731v t t t

=-+

+（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离（单位;m ）是（ ） A. 125ln 5+ B. 11

825ln

3

+ C. 425ln 5+ D. 450ln 2+ 8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）

A. 1243V V V V <<<

B. 1324V V V V <<<

C. 2134V V V V <<<

D. 2314V V V V <<<

9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X ，则X 的均值为()E X = A.

126125 B. 65 C. 168125 D. 7

5

10．已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则（ ）

A.

121

()0,()2

f x f x >>- B. 121

()0,()2f x f x <<- C.

121()0,()2f x f x ><-

D. 121

()0,()2f x f x <>-

二．填空题

11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图

所示。

（I ）直方图中x 的值为 ； （II ）在这些用户中，用电量落在区间[)100,250内的户数为 。

12

i = 。

13．设,,x y z R ∈，且满足：22

2

1x y z ++=，23x y z ++=x y z ++= 。

14．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为

()2111

2

22

n n n n +=

+。记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：

三角形数 ()211

,322

N n n n =

+ 正方形数 ()2

,4N n n = 五边形数 ()231,522

N n n n =

- 六边形数 ()2

,62N n n n =- ……

可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N = 。

选考题

15．如图，圆O 上一点C 在直线AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E 。若3AB AD =，则

CE

EO

的值为 。

16．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b θθ

=⎧⎨

=⎩()0a b ϕ>>为参数，。在极坐标系（与

直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 与圆O 的

极坐标方程分别为sin 4πρθ⎛⎫

+

= ⎪⎝

⎭()m 为非零常数与b ρ=。若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 。

三．解答题

17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c 。已知()cos 23cos 1A B C -+=。 （I ）求角A 的大小；

（II ）若ABC ∆

的面积S =，5b =，求sin sin B C 的值。

18．已知等比数列{}n a 满足：2310a a -=，123125a a a =。 （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）是否存在正整数m ，使得

121111m

a a a +++≥ ？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由。

19．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，

PC 的中点。

（I ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；

（II ）设（I ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12

DQ CP =

。记直线PQ 与平面ABC 所

成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=。

O

D E B

A

第15题图

C