浙教版八年级数学上册 第2章 特殊三角形 单元测试卷(有答案)

浙教版八年级数学上册第2章特殊三角形单元测试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30分）1.已知△ABC中，2(∠B+∠C)=3∠A，则∠A的度数是()A. 54°B. 72°C. 108°D. 144°2.若等腰三角形腰长为6，则底边x的取值范围是()A. 6<x<12B. 0<x<6C. 0<x<12D. 无法确定3.满足下列条件的不是直角三角形的是()A. 三边之比为1:2:√3B. 三边之比为1:√2:√3C. 三个内角之比为1:2:3D. 三个内角之比为3:4:54.已知直角三角形的两直角边长为6和8，那么斜边上的高为()A. 6B. 8C. 4.8D. 2.45.已知一个等腰三角形有两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为()A. 20 °B. 120°C. 20°或120°D. 36°6.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=45°，AD、CF都是高，相交于点P，角平分线BE分别交AD、CF于Q、S，则图中的等腰三角形个数是()．A. 2B. 3C. 4D. 57.如图，AB//CD，CE交AB于点E，EF平分∠BEC，交CD于点F.若∠ECF=50∘，则∠CFE的度数为()A. 35∘B. 45∘C. 55∘D. 65∘8.将一把直角三角尺和一把直尺按如图所示的方式放置，若∠α=44°，则∠β的度数为()A. 44°B. 45°C. 46°D. 54°9.根据下列操作回答后面的问题：(1)分别以线段AB的端点A、AB长为半径作圆弧相交于点P、M；(2)B为圆心，以大于12作直线PM交AB于点C.则下列有关的说法不一定正确的是()A. PM是线段AB的垂直平分线B. PA=PBC. 作线段垂直平分线的实质是作平角的平分线D. AP⊥BP10.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为()A. 4 cmB. 5 cmC. 6 cmD. 10 cm二、填空题（本大题共10小题，共40分）11.如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么它的顶角等于_______．12.如图，正方形ABCD的边长为1，且DB=DM，则数轴上的点M表示是________．13.AD，BE是锐角△ABC的高，相交于点O，若BO=AC，BC=a，CD=b，则AD的长为________。

14.如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABE，DE⊥BC，如果BC=10cm，则△DEC的周长是______cm．15.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=8，BC=5，则BD的长为______ ．16.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=______．17.如图，一架15m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙OA上，这时梯子的顶端A离地面距离OA为12m，如果梯子顶端A沿墙下滑3m至C点，那么梯子底端B向外移至D点，则BD的长为______m.18.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为点D，交BC于点E，∠B=∠BAE，若BC=5，AC=3，则AD的长________．19.如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是．20.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是________．三、计算题（本大题共1小题，共10分）21.如图：四边形ABCD中，AB=CB=√2，CD=√5，DA=1，且AB⊥CB于B．试求：(1)∠BAD的度数；(2)四边形ABCD的面积．四、解答题（本大题共5小题，共40分）22.已知：等腰三角形ABC的周长为50cm，AD是底边BC上的高，△ABD的周长为40cm，求AD的长．23.如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB上一点．(1)△ACE与△BCD全等吗？为什么？(2)等式AD2+BD2=DE2成立吗？请说明理由．24.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=9，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．(1)求证：BE=BF；(2)求BE的长．25.如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且CD=AE，AD与BE相交于点P。

(1)求证：∠ABE=∠CAD；(2)若BH⊥AD于点H，PE=1，PH=2，求AD的长26.在▵ABC中，AE平分且；(1)如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，求∠EFD的度数；(2)如果点F在线段AE上(不与点A重合)，如图2，问∠EFD与∠C−∠B有怎样的数量关系？并说明理由。

(3)如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C−∠B有怎样的数量关系？(直接写出结论)。

答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．根据三角形内角和定理和已知条件得出方程，解方程即可．【解答】解：∵2(∠B+∠C)=3∠A，∠A+∠B+∠C=180°，∴2(180°−∠A)=3∠A，解得：∠A=72°．故选：B．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形性质和三角形的三边关系，基础题需要牢固．根据三角形的三边关系两边之和大于第三边就可以求解．【解答】解：根据三角形的三边关系两边之和大于第三边，底边大于0而小于6+6=12．即0<x<12,故选C．3.【答案】D【解析】【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．【解答】解：A.12+(√3)2=22，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；B.12+(√2)2=(√3)2，三边符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；C.根据三角形内角和定理，求得第三个角为90°，所以此三角形是直角三角形；D.根据三角形内角和定理，求得各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；故选：D．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的知识点有勾股定理以及三角形的面积公式.解题关键是掌握直角三角形的面积公式的两种计算方法.先根据题意求出斜边的长，再根据三角形的面积公式即可求出斜边上的高即可得出正确选项．【解答】解：∵直角三角形的两直角边长为6和8，斜边长为√62+82=10，×6×8=24，三角形的面积=12设斜边上的高为x，x⋅10=24，则12x=4.8，∴斜边上的高为4.8．故选C．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论是解题的关键．设两内角的度数为x、4x，分顶角为x或4x根据三角形内角和列等式求解即可．【解答】解：设两内角的度数为x、4x；当等腰三角形的顶角为x时，x+4x+4x=180°，x=20°；当等腰三角形的顶角为4x时，4x+x+x=180°，x=30°，4x=120°；因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．故选：C．6.【答案】D【解析】解：∵∠ABC=60°，∠ACB=45°，AD、CF都是高，∴∠DAC=45°，∠BAD=30°，∠APF=60°，∴CD=AD，∴△ADC为等腰直角三角形，∵∠ABC=60°，且BE是∠ABC的角平分线，∴∠QBD=30°，∴∠BQD=60°，∴SP=SQ，∴△QSP为等腰三角形，∵∠BAD=∠EBA=30°，∴△QAB是等腰三角形，∵∠ABE=30°，∠AEB=∠EBC+∠ACD=30°+45°=75°，∴∠BAC=180°−30°−75°=75°，∴∠BAC=∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵∠SBC=∠SCB=30°，∴△SBC是等腰三角形，根据在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=45°，利用三角形内角和定理求得∠BAC=75°，然后可得△ADC为等腰直角三角形，△QSP为等腰三角形．此题主要考查学生对等腰三角形的判定和三角形内角和定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解答此题的关键．先根据AB//CD得出∠BEC+∠ECF=180°，再根据∠ECF=50°求出∠BEC的度数，由EF平分∠BEC求出∠BEF的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵AB//CD，∴∠BEC+∠ECF=180°∴∠BEC=180°−∠ECF=180°−50°=130°，又∵EF平分∠BEC∴∠BEF=12∠BEC=12×130°=65°，∵AB//CD，∴∠CFE=∠BEF=65°．故选：D．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠2的度数，注意：两直线平行，同位角相等．根据三角形外角性质求出∠1，根据平行线的性质求出∠2，根据三角形的内角和定理求出即可．【解答】∵∠B=30°，∠α=44°，∴∠1=∠B+∠α=74°，∵EF//GH，∴∠2=∠1=74°，∵∠A=60°，∴∠β=180°−∠2−∠A=180°−74°−60°=46°，故选C．9.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图及其性质．根据线段垂直平分线的尺规作图及其性质逐一判断可得．【解答】解：A、PM是线段AB的垂直平分线，正确；B、PA=PB，正确；C、作线段垂直平分线的实质是作平角的平分线，正确；D、AP不一定垂直BP，错误；故选：D．10.【答案】B【解析】解：∵△ABC是直角三角形，两直角边AC=6cm、BC=8cm，∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10cm，∵△ADE由△BDE折叠而成，∴AE=BE=12AB=12×10=5cm．故选：B．先根据勾股定理求出AB的长，再由图形折叠的性质可知AE=BE，故可得出结论．本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．11.【答案】120°【解析】【分析】本题考查了等腰三角形和直角三角形的性质，作出图形，根据等腰三角形三线合一的性质可知底边上的高也是底边的中线，求出三角形被分成两个直角三角形，求出两底角，再根据三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．【解答】解：如图作等腰三角形ABC底边BC上的高AD，由题意可知AD=12AB，又∵∠ADB=90°，∴∠B=30°，∴∠BAC=180°−30°−30°=120°，故答案为120°．12.【答案】√2+1【解析】【分析】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出DM的长是解题关键．根据勾股定理，可得DM的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：由勾股定理，得DM=DB=√2，数轴上的点M表示的数是√2+1，故答案为√2+1．13.【答案】a−b【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；结合已知条件发现并利用△BDO≌△ADC是正确解答本题的关键.由AD、BE是锐角△ABC的高，可得∠DBO=∠DAC，又BO=AC，∠BDO=∠ADC=90°，故△BDO≌△ADC，可得BD=AD，DO=CD，再由边的关系即可求出AD=a−b．【解答】解：如图∵AD、BE是锐角△ABC的高∴∠BDO=∠ADC=∠AEO=90°，∴∠DBO=∠DAC∵BO=AC，∠BDO=∠ADC=90°∴△BDO≌△ADC，∴BD=AD，∵BD=BC−CD=a−b∴AD=a−b．故答案为a−b．14.【答案】10【解析】【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，以及等腰直角三角形两直角边相等的性质，难度不大，仔细分析图形是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，DE=AD，再根据等腰直角三角形的两直角边相等得到AC=AB，然后证明△BAD与△BED全等，根据全等三角形对应边相等得到AB=BE，所以△DEC的周长是等于BC的长度，即可求解．【解答】解：∵BD平分∠ABE，DE⊥BC，∴DE=AD，∠ABD=∠CBD，∴CD+DE=AC，在Rt△BAD与Rt△BED中，{BD=BDDE=AD，∴Rt△BAD≌Rt△BED(HL)，∴AB=BE，∴△DEC的周长=CD+DE+CE=AC+CE=AB+CE=BE+CE=BC，∵BC=10cm，∴△DEC的周长=10cm．故答案为：10．15.【答案】1.5【解析】【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE=AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC=CE，AE=BE=2BD，根据AC=8，BC=5，即可推出BD 的长度．【解答】解：延长BD与AC交于点E，∵∠A=∠ABD，∴BE=AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD，∴∠EBC=∠BEC，∴△BEC为等腰三角形，∴BC=CE，∵BE⊥CD，∴2BD=BE，∵AC=8，BC=5，∴CE=5，∴AE=AC−EC=8−5=3，∴BE=3，∴BD=1.5．16.【答案】3【解析】【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10，∵AD平分∠CAB，∴CD=DE，∴S△ABC=12AC⋅CD+12AB⋅DE=12AC⋅BC，即12×6⋅CD+12×10⋅CD=12×6×8，解得CD=3．故答案为：3．17.【答案】3【解析】解：在Rt△ABO中，∵AB=15m，AO=12m，∴OB=√AB2−AO2=√152−122=9m．同理，在Rt△COD中，DO=√CD2−CO2=√152−92=12m，∴BD=OD−OB=12−9=3(m)．故答案是：3．先根据勾股定理求出OB的长，再在Rt△COD中求出OD的长，进而可得出结论．本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．18.【答案】1【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．由已知条件判定△AEC是等腰三角形，且AC=CE；由等角对等边判定AE=BE，则易求AD=12AE=1 2BE=12(BC−AC).结合已知条件即可得到答案．【解答】解：∵CD平分∠ACB，AE⊥CD，∴∠ACD=∠ECD，CD=CD，∠ADC=∠EDC，∴△ACD≌△ECD，∴AC=CE．又∵∠B=∠BAE，∴AE=BE．∴AD=12AE=12BE=12(BC−AC)．∵BC=5.AC=3，∴AD=12×(5−3)=1．故答案为1．19.【答案】√5【解析】【分析】此题考查了线段最短的问题，确定动点E在何位置时，使EC+ED的值最小是关键．首先确定DC′=DE+EC′=DE+CE的值最小．然后根据勾股定理计算．【解答】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小．连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=2，∵D是BC边的中点，∴BD=1，根据勾股定理可得DC′=√BC′2+BD2=√22+12=√5．故答案为√5．20.【答案】2<AD<8【解析】【分析】本题考查直角三角形的性质、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F.解直角三角形求出AE、AF即可判断；【解答】解：如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．在Rt△ABE中，∵∠A=60°，AB=4，∴∠E=30°，∴AE=2AB=8，在Rt△ABF中，∠ABF=90°−∠A=30°，∴AF=12AB=2，∴AD的取值范围为2<AD<8，故答案为：2<AD<8．21.【答案】解：(1)连接AC，∵AB⊥CB于B，∴∠B=90°，在△ABC中，∵∠B=90°，∴AB2+BC2=AC2，又∵AB=CB=√2，∴AC=2，∠BAC=∠BCA=45°，∵CD=√5，DA=1，∴CD2=5，DA2=1，AC2=4．∴AC2+DA2=CD2，由勾股定理的逆定理得：∠DAC=90°，∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°；(2)∵∠DAC=90°，AB⊥CB于B，∴S△ABC=12AB×BC，S△DAC=12DA×AC，∵AB=CB=√2，DA=1，AC=2，∴S△ABC=1，S△DAC=1而S四边形ABCD=S△ABC+S△DAC，∴S四边形ABCD=2．【解析】连接AC，则在直角△ABC中，已知AB，BC可以求AC，根据AC，AD，CD 的长可以判定△ACD为直角三角形，(1)根据∠BAD=∠CAD+∠BAC，可以求解；(2)根据四边形ABCD的面积为△ABC和△ACD的面积之和可以解题．本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了根据勾股定理逆定理判定直角三角形，考查了直角三角形面积的计算，本题中求证△ACD是直角三角形是解题的关键．22.【答案】解：∵AD是底边上的高，∴BD=CD，∵等腰△ABC的周长为50cm，∴AB+BD=12×50=25cm，∵△ABD的周长为40cm，∴AD=40−25=15cm．【解析】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形三线合一的性质，比较简单.根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD，然后求出AB+BD的长，再根据△ABD的周长解答即可．23.【答案】解：(1)△ACE≌△BCD，∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACB−∠ACD=∠ECD−∠ACD，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，{AC=BC∠ACE=∠BCD CE=CD,∴△ACE≌△BCD(SAS)，(2)等式AD2+BD2=DE2成立，∵△ACE≌△BCD，∴BD=AE，∠CAE=∠B，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°，∴∠DAE=∠BAC+∠EAC=45°+45°=90°，∴在Rt△ADE中AD2+AE2=DE2，即AD2+BD2=DE2．【解析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰直角三角形性质，关键在于认真的阅读题目，正确的运用相关的性质定理求证三角形全等．(1)由等腰直角三角形的性质可知BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=90°，通过等量减等量即可推出∠ACE=∠BCD，根据全等三角形的判定定理“SAS”，即可推出结论；(2)根据(1)中所推出的结论可知，BD=AE，∠CAE=∠B=45°，然后根据等腰直角三角形的性质推出∠CAB=45°，即可推出EA⊥BA，即△EAD为直角三角形，再根据勾股定理即可推出AE2+AD2=DE2，即AD2+BD2=DE2．24.【答案】解：(1)在矩形ABCD中，AD//BC，∴∠DEF=∠EFB，由折叠可知，∠BEF=∠DEF，∴∠BEF=∠EFB．∴BE=BF；(2)在矩形ABCD中，∠A=90°，由折叠知BE=ED，设AE=x，那么DE=BE=9−x，在Rt△BAE中，AB2+AE2=BE2，即32+x2=(9−x)2，解得x=4，即AE=4，∴BE=9−4=5．【解析】(1)根据翻折变换的性质可知∠BEF=∠DEF，BE=DE，而四边形ABCD是矩形，那么AD//BC，于是∠DEF=∠BFE，则由∠BEF=∠BFE，可得BF=BE；(2)设AE=x，那么BE=9−x，在Rt△BAE中，利用勾股定理可求AE，进而可求BE=5．本题考查了翻折变换、勾股定理、矩形的性质、解题的关键是注意翻折前后的图形全等，并先求出AE．25.【答案】证明：(1)∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB，∠C=∠CAB．∵CD=AE，∴△ABE≌△CAD．∴∠ABE=∠CAD．(2)由(1)得△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD，BE=AD，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°，∴∠BAP+∠ABE=∠BPH=60°，∵BH⊥AD于H，∴∠BHP=90°，∴∠PBH=90°−∠BPH=90°−60°=30°，∴PB=2PH=4，∴BE=PB+PE=4+1=5，∴AD=BE=5．【解析】此题主要考查等边三角形的性质及全等三角形判定与性质及含30°角的直角三角形的性质；求得三角形全等及∠BPH=60°是正确解答本题的关键．(1)欲证∠ABE=∠CAD，可以通过证明△ABE≌△CAD得出；(2)因为BH⊥AD于点H，从而推出∠BPH=60°，在Rt△PBH中根据含30°的直角三角形的性质由∠PBH=30°，进而可得PB=2PH=4，进而求出BE，即可得出AD的长．26.【答案】解：(1)∵∠C=50°，∠B=30°，∴∠BAC=180°−50°−30°=100°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=50°，在△ACE中，∠AEC=180°−∠CAE−∠C=80°，在Rt△ADE中，∠EFD=90°−80°=10°；(2)∠EFD=12(∠C−∠B)，理由如下：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=180∘−∠B−∠C2=90°−12(∠C+∠B)，∵∠AEC为△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+90°−12(∠C+∠B)=90°+12(∠B−∠C)，∵FD⊥BC，∴∠FDE=90°，∴∠EFD=90°−90°−12(∠B−∠C)，∴∠EFD=12(∠C−∠B)；(3)∠EFD=12(∠C−∠B).如图，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=180∘−∠B−∠C2，∵∠DEF为△ABE的外角，∴∠DEF=∠B+180∘−∠B−∠C2=90°+12(∠B−∠C)，∵FD⊥BC，∴∠FDE=90°，∴∠EFD=90°−90°−12(∠B−∠C)，∴∠EFD=12(∠C−∠B)．【解析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质，三角形的外角性质，综合利用角平分线的性质和三角形内角和定理是解答此题的关键．(1)由三角形内角和定理可得∠BAC=100°，由角平分线的性质易得∠EAC的度数，可得∠AEC的度数，进而得到∠EFD；(∠C+∠B)，外角的性质(2)由角平分线的性质和三角形的内角和得出∠BAE=90°−12(∠B−∠C)，在△EFD中，由三角形内角和定理可得∠EFD；得出∠AEC=90°+12(3)利用角平分线的性质和三角形的外角性质进行求解即可．。