平面及其基本性质--三个公理三个推论的应用

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（3）平面及其基本性质

——三个公理三个推论的应用

上海市南洋中学马亚萍一、教学内容分析

本节课的重点是三个公理三个推论的应用.在上一节概念课

的基础上，让学生充分理解三个公理三个推论，能灵活运用三个

公理三个推论进行证明.

公理2说明了如果两个平面相交，那么它们就交于一条直线.

它的作用是：①确定两个平面的交线，即先找两个平面的两个公

共点，再作连线.②判定两个平面相交，即两平面只要有一个公

共点即可.③判定点在直线上，即点是某两平面的公共点，线是

这两平面的公共直线，则这个点在这条直线上.

公理3及其三个推论是空间里确定平面的依据，它提供了把

空间问题转化为平面问题的条件.

二、教学目标设计

理解三个公理三个推论，利用三个公理三个推论来解决共面、共点、共线问题，培养严密的逻辑推理能力. 三、教学重点及难点

利用三个公理三个推论解决共面、共点、共线问题

四、教学流程设计

五、教学过程设计

（一）复习上节课的概念，三个公理三个推论 1）若B ,AB A C αα∈∈∈平面，平面直线，则（ A ） A 、C α∈ B 、C α∉ C 、AB α⊄ D 、AB C α⋂= 2）判断

①若直线a 与平面α有公共点，则称a α⊄. （×）

②两个平面可能只有一个公共点. （×） ③四条边都相等的四边形是菱形. （×） ④若A 、B 、C α∈，A 、B 、C β∈，则,αβ重合. （×） ⑤若4点不共面，则它们任意三点都不共线. （√） ⑥两两相交的三条直线必定共面. （×） 3）下列命题正确的是（ D ）

A 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

B 、四条线段顺次首尾连接所构成的图形一定是平面图形.

C 、三条互相平行的直线一定共面.

D 、梯形是平面图形.

4）不在同一直线上的5点，最多能确定平面（ C ） A 、8个 B 、9个 C 、10个 D 、12个 5）两个平面可把空间分成 3或4 部分 ； 三个平面可把空间分成 4、6、7或8 部分.

（二）证明 1、共面问题

例1 已知直线123,,l l l 两两相交，且三线不共点. 求证：直线123,l l l 和在同一平面上.

证明：设13231213,,,,l l A l l B l l C l l A ⋂=⋂=⋂=⋂=

l 3

l 2

B C l 1

A

1312131232,1,,,l l C C l l C l B BC l l l l ααααα⎫⇒⎫

⇒∈⎬⎪

=⋂⇒∈⎬

⎭⎪

∈⎭⇒⊂∈⇒（推论）可确定平面平面同理平面（公理）平面即平面直线在同一平面上

【说明】证明共面问题的基本方法是归一法和同一法. 归一法：先根据公理3或其推论确定一个平面，然后再利用公理1证明其他的点或直线在这个平面内. 练习：

l 4D F

E l 3

l 2B C

l 1

A

12341234123123424121212123343442,,,,,,,,,,,l l l l l l l l l l A l l B l l C l l D l l E l l C l l l l A AB B l l A l l B l l l D DE l l l E α

α

α

ααααα⋂=⋂=⋂=⋂=⋂=⋂=⇒⇒⊂∈⎫⎧⇒⇒⊂⎬⎨

∈⋂=⋂=⎩⎭⇒⊂⎫

⎪

⋂=⇒⊂⇒⊂⎬⎪⋂=⎭⇒33已知：两两相交且无三线共点。求证：在同一平面上

证：设与确定平面平面又，平面四线共面

例2 已知直线l 与三条平行直线a,b,c 都相交，求证：l 与a 、b 、c

共面. 解题策略：同一法

证明：如图设,,a d A b d B c d C ⋂=⋂=⋂=

||,a b a b ∴、可确定一个平面α A ,,A ,,||,.

a B

b B AB b

c b c b a b c

d αα

αα

β

βαβαβ∈∈∴∈∈∴⊂⊂∴⊂∴即d 、可确定一个平面同理可证d 、均过相交直线、d 、重合，、、、共面

【说明】

同一法：可先由已知条件分别确定平面， 然后再证它们是重合的

2、三点共线

图（例3）

B C

A

a

b

c

d α

1111113,,,O ABCD A B C D P R AB BB CC DP QR O B C -例在正方体中、Q 、分别在棱上，且相交于。求证：、、三点共线

1111,BB C ABCD BB C BC O BC

O B C DP QR O O DP O ABCD

DP ABCD O QR QR BB C C O C

C ⋂=⇒∈⎫

⇒∈⎬⊂⎭

∈⊂⇒∈⎫⎬

⋂=⎭⇒∈⇒11证：直线平面又平面又直线平面平面又

平面平面、、三点共线

【说明】要证明空间三点共线的方法：将线看做两平面的交线，只需证明这三点都是两个平面的公共点，则公共点必定在两平面的交线上，因此三点共线.

例4 已知ABC ∆在平面α外，,,AB P AC Q BC R ααα⋂=⋂=⋂=. 求证：P 、Q 、R 三点共线

证：AB AC A

AB AC AB P PQ AC Q βααβα⋂=⇒⎫

⎪⋂=⇒⋂=⎬⎪⋂=⎭

直线直线直线、确定平面 B AB

BC B R C AC C BC R R BC AB AC ββββαββ∈⎫

⊂∈∈⎫⎧⎫⎪∈⇒⇒⇒⎬⎨⎬⎬∈⋂=∈⎩⎭⎭⎪⊂⊂⎭

直线直线直线， α

β

A

B

C

R

P

Q