正弦定理解三角形时解的个数教学内容

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高中数学新教材解三角形教案

高中数学新教材解三角形教案高中数学新教材解三角形教案1一、教学内容分析向量作为工具在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用.本小节的重点是结合向量知识证明数学中直线的平行、垂直问题，以及不等式、三角公式的证明、物理学中的应用.二、教学目标设计1、通过利用向量知识解决不等式、三角及物理问题，感悟向量作为一种工具有着广泛的应用，体会从不同角度去看待一些数学问题，使一些数学知识有机联系，拓宽解决问题的思路.2、了解构造法在解题中的运用.三、教学重点及难点重点：平面对量知识在各个领域中应用.难点：向量的构造.四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习与回顾1、提问：下列哪些量是向量?(1)力(2)功(3)位移(4)力矩2、上述四个量中，(1)(3)(4)是向量，而(2)不是，那它是什么?[说明]复习数量积的有关知识.二、学习新课例1(书中例5)向量作为一种工具，不仅在物理学科中有广泛的应用，同时它在数学学科中也有许多妙用!请看例2(书中例3)证法(一)原不等式等价于，由基本不等式知(1)式成立，故原不等式成立.证法(二)向量法[说明]本例关键引导学生观察不等式结构特点，构造向量，并发现(等号成立的充要条件是)例3(书中例4)[说明]本例的关键在于构造单位圆，利用向量数量积的两个公式得到证明.二、巩固练习1、如图，某人在静水中游泳，速度为km/h.(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进?速度大小为多少?答案：沿北偏东方向前进，实际速度大小是8 km/h.(2) 他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?答案：朝北偏西方向前进，实际速度大小为km/h.三、课堂小结1、向量在物理、数学中有着广泛的应用.2、要学会从不同的角度去看一个数学问题，是数学知识有机联系.四、作业布置1、书面作业：课本P73, 练习8.4 4高中数学新教材解三角形教案2教学目标：1.了解反函数的概念，弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系.2.会求一些简单函数的反函数.3.在尝试、探索求反函数的过程中，深化对概念的认识，总结出求反函数的一般步骤，加深对函数与方程、数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识.4.进一步完善学生思维的深刻性，培育学生的逆向思维能力，用辩证的观点分析问题，培育抽象、概括的能力.教学重点：求反函数的方法.教学难点：反函数的概念.教学过程：教学活动设计意图一、创设情境，引入新课1.复习提问①函数的概念②y=f(x)中各变量的意义2.同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的函数关系，即S=vt和t=(其中速度v是常量)，在S=vt中位移S是时间t的函数;在t=中，时间t是位移S的函数.在这种情况下，我们说t=是函数S=vt 的反函数.什么是反函数，如何求反函数，就是本节课学习的内容.3.板书课题由实际问题引入新课，激发了学生学习爱好，展示了教学目标.这样既可以拨去反函数这一概念的神秘面纱，也可使学生知道学习这一概念的必要性.二、实例分析，组织探究1.问题组一：(用投影给出函数与;与()的图象)(1)这两组函数的图像有什么关系?这两组函数有什么关系?(生答：与的图像关于直线y=x对称;与()的图象也关于直线y=x对称.是求一个数立方的运算，而是求一个数立方根的运算，它们互为逆运算.同样，与()也互为逆运算.)(2)由，已知y能否求x?(3)是否是一个函数?它与有何关系?(4)与有何联系?2.问题组二：(1)函数y=2x 1(x是自变量)与函数x=2y 1(y是自变量)是否是同一(2)函数(x是自变量)与函数x=2y 1(y是自变量)是否是同一函数?(3)函数()的定义域与函数()的值域有什么关系?3.渗透反函数的概念.(老师点明这样的函数即互为反函数，然后师生共同探究其特点) 从学生熟知的函数出发，抽象出反函数的概念，符合学生的认知特点，有利于培育学生抽象、概括的能力.通过这两组问题，为反函数概念的引出做了铺垫，利用旧知，引出新识，在最近进展区设计问题，使学生对反函数有一个直观的粗略印象，为进一步抽象反函数的概念奠定基础.三、师生互动，归纳定义1.(根据上述实例，老师与学生共同归纳出反函数的定义)函数y=f(x)(x∈A) 中，设它的值域为C.我们根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x = j (y) .如果对于y在C中的任何一个值，通过x = j (y)，x在A中都有的值和它对应，那么, x = j (y)就表示y是自变量，x是自变量y 的函数.这样的函数x = j (y)(y ∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数.记作: .考虑到用x表示自变量, y表示函数的习惯，将中的x与y对调写成.2.引导分析：1)反函数也是函数;2)对应法则为互逆运算;3)定义中的如果意味着对于一个任意的函数y=f(x)来说不一定有4)函数y=f(x)的定义域、值域分别是函数x=f(y)的值域、定义域;5)函数y=f(x)与x=f(y)互为反函数;6)要理解好符号f;7)交换变量x、y的原因.3.两次转换x、y的对应关系(原函数中的自变量x与反函数中的函数值y 是等价的，原函数中的函数值y与反函数中的自变量x是等价的.)4.函数与其反函数的关系函数y=f(x)函数定义域AC值域CA四、应用解题，总结步骤1.(投影例题)【例1】求下列函数的反函数(1)y=3x-1 (2)y=x 1【例2】求函数的反函数.(老师板书例题过程后，由学生总结求反函数步骤.)2.总结求函数反函数的步骤:1° 由y=f(x)反解出x=f(y).2° 把x=f(y)中x与y互换得.3° 写出反函数的定义域.(简记为：反解、互换、写出反函数的定义域)【例3】(1)有没有反函数?(2)的反函数是________.(3)(x0)的反函数是__________.在上述探究的基础上，揭示反函数的定义，学生有针对性地体会定义的特点，进而对定义有更深刻的认识，与自己的预设产生矛盾冲突，体会反函数.在剖析定义的过程中，让学生体会函数与方程、一般到特殊的数学思想，并对数学的符号语言有更好的把握.通过动画演示，表格对比，使学生对反函数定义从感性认识上升到理性认识，从而消化理解.通过对具体例题的讲解分析，在解题的步骤上和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培育学生分析、思考的习惯，以及归纳总结的能力.题目的设计遵循了从了解到理解，从掌握到应用的不同层次要求，由浅入深，循序渐进.并体现了对定义的反思理解.学生思考练习，师生共同分析纠正.五、巩固强化，评价反馈1.已知函数y=f(x)存在反函数，求它的反函数y =f( x)(1)y=-2x 3(xR) (2)y=-(xR,且x)( 3 ) y=(xR,且x)2.已知函数f(x)=(xR,且x)存在反函数，求f(7)的值.五、反思小结，再度设疑本节课主要讨论了反函数的定义，以及反函数的求解步骤.互为反函数的两个函数的图象到底有什么特点呢?为什么具有这样的特点呢?我们将在下节讨论.(让学生谈一下本节课的学习体会，老师适时点拨)进一步强化反函数的概念，并能正确求出反函数.反馈学生对知识的掌握情况，评价学生对学习目标的落实程度.具体实践中可实行同学板演、分组竞赛等多种形式调动学生的乐观性.问题是数学的心脏学生带着问题走进课堂又带着新的问题走出课堂.六、作业习题2.4第1题，第2题进一步巩固所学的知识.教学设计说明问题是数学的心脏.一个概念的形成是螺旋式上升的，一般要经过具体到抽象，感性到理性的过程.本节教案通过一个物理学中的具体实例引入反函数，进而又通过若干函数的图象进一步加以诱导剖析，最终形成概念.反函数的概念是教学中的难点，原因是其本身较为抽象，经过两次代换，又采纳了抽象的符号.由于没有一一映射，逆映射等概念的支撑，使学生难以从本质上去把握反函数的概念.为此，我们大胆地使用教材，把互为反函数的两个函数的图象关系预先揭示，进而探究原因，寻找规律，程序是从问题出发，讨论性质，进而得出概念，这正是数学讨论的顺序，符合学生认知规律，有助于概念的建立与形成.另外，对概念的剖析以及习题的配备也很精当，通过不同层次的问题，满足学生多层次需要，起到评价反馈的作用.通过对函数与方程的分析，互逆探索，动画演示，表格对比、学生讨论等多种形式的教学环节，充分调动了学生的探求欲，在探究与剖析的过程中，完善学生思维的深刻性，培育学生的逆向思维.使学生自然成为学习的主人。

高中《正弦和余弦定理》数学教案

高中《正弦和余弦定理》数学教案高中《正弦和余弦定理》数学教案1三维目标1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法，会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.2.通过正弦定理的探究学习，培养学生探索数学规律的思维能力，培养学生用数学的方法去解决实际问题的能力.通过学生的积极参与和亲身实践，并成功解决实际问题，激发学生对数学学习的热情，培养学生独立思考和勇于探索的创新精神.重点难点教学重点：正弦定理的证明及其基本运用.教学难点：正弦定理的探索和证明;已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个数.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(特例引入)教师可先通过直角三角形的特殊性质引导学生推出正弦定理形式，如Rt△ABC中的边角关系，若∠C为直角，则有a=csinA，b=csinB，这两个等式间存在关系吗?学生可以得到asinA=bsinB，进一步提问，等式能否与边c和∠C建立联系?从而展开正弦定理的探究.思路2.(情境导入)如图，某农场为了及时发现火情，在林场中设立了两个观测点A和B，某日两个观测点的林场人员分别测到C处有火情发生.在A处测到火情在北偏西40°方向，而在B处测到火情在北偏西60°方向，已知B在A的正东方向10千米处.现在要确定火场C距A、B多远?将此问题转化为数学问题，即“在△ABC中，已知∠CAB=130°，∠CBA=30°，AB=10千米，求AC与BC的长.”这就是一个解三角形的问题.为此我们需要学习一些解三角形的必要知识，今天要探究的是解三角形的第一个重要定理——正弦定理，由此展开新课的探究学习.推进新课新知探究提出问题1阅读*引言，明确*将学习哪些内容及*将要解决哪些问题?2联想学习过的三角函数中的边角关系，能否得到直角三角形中角与它所对的边之间在数量上有什么关系?3由2得到的数量关系式，对一般三角形是否仍然成立?4正弦定理的内容是什么，你能用文字语言叙述它吗?你能用哪些方法证明它?5什么叫做解三角形?6利用正弦定理可以解决一些怎样的三角形问题呢?活动：教师引导学生阅读*引言，点出*数学知识的某些重要的实际背景及其实际需要，使学生初步认识到学习解三角形知识的必要性.如教师可提出以下问题：怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离?怎样测出海上航行的轮船的航速和航向?怎样测量底部不可到达的建筑物的.高度?怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度?这些实际问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识.让学生明确*将要学习正弦定理和余弦定理，并学习应用这两个定理解三角形及解决测量中的一些问题.关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，教师引导学生探究其数量关系.先观察特殊的直角三角形.如下图，在Rt△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有ac=sinA，bc=sinB，又sinC=1=cc，则asinA=bsinB=csinC=c.从而在Rt△ABC中，asinA=bsinB=csinC.那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立呢?教师引导学生画图讨论分析.如下图，当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角的三角函数的定义，有CD=asinB=bsinA，则asinA=bsinB.同理，可得csinC=bsinB.从而asinA=bsinB=csinC.(当△ABC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成)通过上面的讨论和探究，我们知道在任意三角形中，上述等式都成立.教师点出这就是今天要学习的三角形中的重要定理——正弦定理.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinA=bsinB=csinC上述的探究过程就是正弦定理的证明方法，即分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种情况进行证明.教师提醒学生要掌握这种由特殊到一般的分类证明思想，同时点拨学生观察正弦定理的特征.它指出了任意三角形中，各边与其对应角的正弦之间的一个关系式.正弦定理的重要性在于它非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系;描述了任意三角形中大边对大角的一种准确的数量关系.因为如果∠A∠B，由三角形性质，得asin(π-A)=sinA，所以仍有sinA正弦定理的证明方法很多，除了上述的证明方法以外，教师鼓励学生课下进一步探究正弦定理的其他证明方法.讨论结果：(1)～(4)略.(5)已知三角形的几个元素(把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素)求其他元素的过程叫做解三角形.(6)应用正弦定理可解决两类解三角形问题：①已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边，即“两角一边问题”.这类问题的解是唯一的.②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角，即“两边一对角问题”.这类问题的答案有时不是唯一的，需根据实际情况分类讨论.应用示例例1在△ABC中，已知∠A=32.0°，∠B=81.8°，a=42.9 cm，解此三角形.活动：解三角形就是已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程，在本例中就是求解∠C，b，c.此题属于已知两角和其中一角所对边的问题，直接应用正弦定理可求出边b，若求边c，则先求∠C，再利用正弦定理即可.解：根据三角形内角和定理，得∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°.根据正弦定理，得b=asinBsinA=42.9sin81.8°sin32.0°≈80.1(cm);c=asinCsinA=42.9sin66.2°sin32.0°≈74.1(cm).高中《正弦和余弦定理》数学教案2教学目标：1.了解利用向量知识推导正弦定理;2.掌握正弦定理并能运用正弦定理解斜三角形，并会利用计算器解决解斜三角形中复杂的计算问题;3.会判定已知两边和其中一边的对角解斜三角形的解时一解、两解或无解;4.通过利用向量证明正弦定理，了解向量的工具性和知识间的相互联系，体会事物之间是相互联系的辩证思想;教学重点：正弦定理及其推导过程，正弦定理在三角形中的应用;教学难点：正弦定理的向量法证明以及运用正弦定理解三角形时解的个数的判定.教学方法：情景问题、启发引导教学设计过程(一)设置情境。

高二数学人教A版必修5教学教案1-1-1正弦定理(2)_1

正弦定理一、教学内容的分析“正弦定理”是人教A版必修五第一章第一节的主要内容。

其主要任务是引入并证明正弦定理．做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力．二、学生学习情况分析在初中学生已经学习过关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，本节内容是处理任意三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有着密切的联系；这里的一个重要问题是：是否能得到这个边、角关系准确量化的表示．也就是如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．三、设计思想培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。

这就要求教师在教学中引导学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得知识。

所以本节课的教学将以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。

四、三维目标1、知识与技能通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及证明方法，并能解决一些简单的三角形问题。

2、过程与方法通过对特殊三角形边长和角度关系的探索，发现正弦定理，初步学会用特殊到一般的思想方法发现数学规律。

3、情感态度与价值观通过生活实例的探究引出正弦定理，体现数学来源于生活，并应用于生活，激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值。

五、教学重难点重点：正弦定理的证明及其基本运用．难点：（1）正弦定理的探索和证明；（2）已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个a cb O B C A 数．六、教学过程设计（一）新课导入如图，河流两岸有A 、B 两村庄，有人说利用测角器与直尺，不过河也可以得到A 、B 两地的距离(假设现在的位置是A 点)，请同学们讨论设计一个方案解决这个问题。

正弦定理说课稿

正弦定理说课稿一、课题正弦定理二、教学目标1. 知识与技能目标- 引导学生发现正弦定理的内容，理解正弦定理的证明过程。

- 能运用正弦定理解决两类基本的解三角形问题：已知两角和一边，求其他边和角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他的边和角。

2. 过程与方法目标- 通过对三角形边角关系的探索，培养学生的自主探究能力、观察分析能力、类比归纳能力。

- 在定理的证明过程中，体会从特殊到一般、分类讨论、转化与化归等数学思想方法。

3. 情感态度与价值观目标- 通过小组合作探究，培养学生的团队合作精神。

- 感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，提高学生学习数学的兴趣。

三、教学重点&难点1. 教学重点- 正弦定理的发现与证明。

- 正弦定理在解三角形中的应用。

2. 教学难点- 正弦定理的证明，特别是当三角形是钝角三角形时的证明。

- 已知两边和其中一边的对角解三角形时解的个数的判断。

四、教学方法探究式教学法、小组合作学习法五、教学过程1. 情境导入- 教师活动：展示一些实际生活中的三角形问题，如测量不可到达的两点间的距离（如河对岸两点间的距离），测量建筑物的高度等。

提问学生如何利用所学的数学知识来解决这些问题。

- 教师话术：“同学们，在我们的生活中经常会遇到一些与三角形有关的测量问题，比如说，我们想要知道河对岸两点间的距离，但是我们又不能直接到达那里去测量，那我们该怎么办呢？今天我们就来学习一个可以帮助我们解决这类问题的重要定理——正弦定理。

”- 学生活动：思考教师提出的问题，尝试用已有的知识回答。

2. 探究新知- 特殊三角形中的边角关系- 教师活动：画出直角三角形ABC，其中∠C = 90°，设a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边。

引导学生根据三角函数的定义，找出sinA、sinB、sinC与边a、b、c之间的关系。

- 教师话术：“同学们，我们先来看直角三角形这个特殊情况。

在直角三角形ABC中，∠C = 90°，根据正弦函数的定义，sinA=a/c，sinB = b/c，sinC = 1。

正弦定理解三角形时解的个数

重点难点教学类型设计思路
主要内容选题来源专家点评
人教 A 版教材章节：必修 5 第一章解三角形第节正弦定理和余弦定理知三角形两边及一边对角时三角形解的个数的判定自主探究三角形解的个数的判定相对来说是一个比较独立的题型，是知道三角形的两边及一边对角时，用正弦定理解时，可能会发生多解或无解或一解的情况，若一个选择题每个选项都用正弦定理来解答，虽可但烦，于此，本微课就专门介绍了一种比较便捷的用数形结合的方法来分析解的个数的方法。两道微诊断练习也都来自教材，第一道是巩固微课中的方法，和检测学习效果，第二道则是对方法的一种活用，检测你是不是深刻理解了该方法。根据此设计思路，我制作了本节微课. 通过一道教材练习题的对三角形解得个数的讲解分析，从中探究总结出一种新的方法 ——数形结合的方法。若三角形知 a,b,A 三个条件，我们不需要一一用正弦定理来解答。若角 A 是锐角则只要比较对边 a 与 bsinA 和 b 的大小即可。若角 A 是直角或钝角则只需要比较边 a 与 b 的大小就可以。
10 秒以内
三、结尾（ 10 秒以内）
谢谢(2观)当看２！ A 时，若a b,三角形无解
若a b, 三角形1解
第 6 张 PPT 10 秒以内
本节微课先用正弦定理解三角形来求三角形解的个数，然后再用数形结合的方法
来分析三角形解的个数，让学生对两种方法有对比，切身体会到数形结合法的便捷
性，并用动画演示了角 A 为锐角、直角和钝角，以及对边 a 由短到长的变化过程中各
教学过程
内容
画面
时间 (7 分 55 秒)
一、片头内容：你好，本节微课内容是“知三角形两边及一边对
（ 10 秒以角时判定三角形解的个数”。

正弦定理

正弦定理(第一课时)教学设计一、教学内容分析本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（人教A版）第一章1.1.1正弦定理。

本章“解三角形”内容既是必修4中三角函数与向量内容的延续，又包含求解三角形的重要数量关系，蕴含较强的理论性和应用性。

解三角形作为几何度量问题，突出了几何的作用和数量化的思想，为学生进一步学习数学奠定基础。

本节课作为本单元的起始课，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对一般三角形边角关系的量化探究，发现并初步掌握正弦定理，解决简单的两类解三角形问题，并为后续余弦定理等相关内容作知识和方法上的准备。

教学过程中，可发挥学生的主动性，通过试验猜测、探究发现、合情推理与演绎证明的过程，提高学生的思维能力和推理水平。

二、学生学情分析对刚刚升入高中不久的学生来说，虽已具备一定的平面几何、解直角三角形、三角函数及向量等知识，也具有一定观察、分析、解决问题的能力，但对知识间的联系与综合有一定难度，思维灵活性受到制约；尤其是本课中涉及到推理证明的复杂性、多样性和从特殊到一般的思维方式等，对学生学习会形成较大障碍。

因此，教学中教师应适时引导，降低各环节之间的联系难度，多带动前后知识间的联想，引领学生直接参与分析问题、解决问题并体验获得成果的喜悦。

若能注意与生活实际相结合，注重知识的发生、发展过程，就更能激发学生学习兴趣和参与探索的积极性。

三、教学任务分析1、通过对特殊三角形边角数量关系的试验结论归纳，猜测出正弦定理；2、尝试从各种途径证明正弦定理；3、初步应用正弦定理求解三角形（两种基本情形）；4、自行归纳表述本课收获；四、教法分析依据本节课内容的特点，学生的认识规律，本节知识遵循以教师为主导，以学生为主体的指导思想，采用与学生共同探索的教学方法，命题教学的发生型模式，以问题实际为参照对象，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化，并且运用例题和习题来强化内容的掌握，突破重难点。

正弦定理三角形解的个数问题

正弦定理三角形解的个数问题1. 引言大家好，今天我们要聊的可是个既有趣又让人挠头的问题，那就是正弦定理在三角形解的个数上的奥秘。

听起来可能有点复杂，但别担心，我会把它说得通俗易懂。

正弦定理，简单说就是在一个三角形里，任意一边的长度与它对角的正弦值成比例。

想象一下，三角形就像我们生活中的各种关系，千变万化，却又有些固定的规则，今天就来看看这些规则背后的故事。

2. 正弦定理的基本概念2.1 正弦定理是什么？首先，正弦定理是个非常好用的工具。

当我们知道一个三角形的两边和一个角时，我们就能找到其他边和角。

是不是很酷？比如说，咱们有个三角形ABC，已知边a、b 和角C，这时候就可以用正弦定理来找出其他的边和角。

就像在拼图，先有几个关键的拼块，再把其他的慢慢拼上去，最后形成一个完整的图案。

2.2 为何解的个数很重要？那么，解的个数究竟有多重要呢？想象一下，你在计划一次旅行，手里有几种选择的路线。

每一条路线都能带你去不同的目的地，这就是三角形解的个数的重要性。

可能出现一个解、两个解，甚至没有解！每个解都代表了不同的可能性，仿佛生活中那些看似平常却充满变数的选择。

3. 解的个数分析3.1 一解、二解和无解的情况接下来，我们要深入探讨一下正弦定理带来的这些解的个数。

一开始，如果你有一个边和两个角，基本上可以确定出一个独特的解，没啥争议。

但是，假如你只有两个边和一个角，那就有点意思了。

有时候，你可能会得到两个解！就像是双胞胎，虽然看上去一样，却有着各自不同的命运。

再比如，如果你发现某个角的对边比其他边的长度大，那就可能没有解，简直像一场失落的约会，让人心碎。

3.2 三角形的不唯一性再往深了说，三角形的解并不总是那么简单。

想想你喜欢的电影，有时候结局不止一个！在正弦定理中，特别是在不规则的三角形中，解的个数可以变得复杂得多。

有时我们需要考虑三角形的内外角，甚至需要引入余弦定理来帮助我们。

这就像你在厨艺比赛中，突然发现你的秘方需要调配出两道菜，真是让人措手不及！所以，准备好应对各种情况，才能在这个数学的迷宫中游刃有余。

正弦定理教案

正弦定理教案正弦定理教案「篇一」教学目标：1．让学生从已有的几何知识出发,通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。

2．通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。

3．通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。

4．培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

教学重点与难点教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。

教学难点：正弦定理的猜想提出过程。

教学准备：制作多媒体，学生准备计算器，直尺，量角器。

教学过程：（一）结合实例，激发动机师生活动：师：每天我们都在科技楼里学习，对科技楼熟悉吗？生：当然熟悉。

师：那大家知道科技楼有多高吗？学生不知道。

激起学生兴趣！师：给大家一个皮尺和测角仪，你能测出楼的高度吗？学生思考片刻，教师引导。

生1：在楼的旁边取一个观测点C，再用一个标杆，利用三角形相似。

师：方法可行吗？生2：B点位置在楼内不确定，故BC长度无法测量，一次测量不行。

师：你有什么想法？生2：可以再取一个观测点D。

师：多次测量取得数据，为了能与上次数据联系，我们应把D点取在什么位置？生2：向前或向后师：好，模型如图（2）：我们设正弦定理教学设计，正弦定理教学设计 ,CD=10,那么我们能计算出AB吗？生3：由正弦定理教学设计求出AB。

师：很好，我们可否换个角度，在正弦定理教学设计中，能求出AD,也就求出了AB。

高中数学教学课例《正弦定理》课程思政核心素养教学设计及总结反思

过程与方法：
通过对正弦定理的探究，培养学生发现数学规律的
数学方法和思维能力，增强学生间的合作交流能力；通
过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能
力。
情感态度与价值观：
通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、
应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界,
进而领会数学的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ文价值、美学价值，不断提高自身的
问题（一）多媒体播放：《嫦娥奔月》的视频。引
发思考：明月高悬，仰望星空，我们会有无限遐想，遥
不可及的月亮离地球究竟有多远呢？我们如何测出地
球与月亮的距离呢
问题（二）“工人师傅的一个三角形的模型坏了，
只剩下如右图所示的部分，∠A=47°,∠B=53°,AB 长
为 1m,想修好这个零件，但他不知道 AC 和 BC 的长度是
多少好去截料，你能帮师傅这个忙吗？”
教学过程
【设计意图】激发学生的学习热情和学习兴趣，从
而进入今天的学习课题。
（二）探寻特例，推广一般，提出、证明猜想
1．激发学生思维，从自身熟悉的特例（直角三角
形）入手进行研究，发现正弦定理。
【设计意图】“兴趣是最好的老师”。我通过从学
生日常生活中的实际问题引入，激发学生的学习兴趣和
生真正成为学习的主人，学生就会在自主探索的学习中
享受到浓浓的乐趣，蕴藏着的无限创造潜能就会尽情地课例研究综
释放，我们的目标将更为充分地体现出来。述
时代发展呼唤着数学学习方式的改变，作为一名教师要
顺应时代的需求，不断更新观念，让学生在学习过程中
逐渐形成自主与合作学习方式，让学生真正成为学习的
主人，从而全面提高学校的教育教学质量。
高中数学教学课例《正弦定理》教学设计及总结反思

正弦定理教案全【精选文档】

1.1。

1 正弦定理教学要求:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。

教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程:一、复习引入：1.在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系？是否可以把边、角关系准确量化？2.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的正弦对边分别是c b a ,,，你能发现它们之间有什么关系吗？结论★：。

二、讲授新课：探究一:在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？直角三角形中的正弦定理： sin A =c a sin B =c bsin C =1 即c =sin sin sin a b c A B C==. 探究二:能否推广到斜三角形？（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==，则sin sin a b A B =。

同理，sin sin a cA C=（思考如何作高？）,从而sin sin sin a b cA B C==。

探究三:你能用其他方法证明吗？1．证明一：(等积法)在任意斜△ABC 当中S △ABC =111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==。

两边同除以12abc 即得：sin a A =sin bB =sin c C。

2．证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ,∴2sin sin a aCD R A D===，同理sin bB=2R ,sin c C ＝2R 。

3．证明三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于AC ，由AC +CB =AB 边同乘以单位向量j 得…。

.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC==2R[理解定理] 1公式的变形：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2)1(===C B A c b a sin :sin :sin ::)3(=,2sin ,2sin ,2sin )2(Rc C R b B R a A ===Bb Cc C c A a B b A a sin sin ,sin sin ,sin sin )4(===2.正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=。

三角形解的个数问题

三角形解的个数问题解析对于三角形个数问题，主要有两种方法进行判断，在具体的做题过程中，大家需要熟练运用，本文重点给大家梳理一下第二种方法，画圆法。

方法一、大角对大边，正弦定理求解在已知的ABC 的边长,,a b A ，且已知,a b 的大小关系时，常利用正弦定理结合“大角对大边”来判断三角形解的个数。

例、在ABC中，已知45,a b B ===︒，求,,A C c 。

分析：由正弦定理可得，sin sin 2a B A b ==因为459060,120B A =︒<︒∴=︒︒，所以这个地方A 的值就有两个了。

剩下的就不再进行赘述。

注意的是，往往很多时候，sin sin a b A B A B >⇔>⇔>，这是一个隐含条件，大家要记得挖掘使用。

方法二、画圆法方法说明：已知ABC 中，A 为已知角（这个地方先不讨论直角），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使AC 边长为已知长度，最后以顶点C 为圆心，以BC 边长为半径画圆，看该圆与A 的另一边是否有交点，如果没有交点，则说明三角形的个数为0个；若有一个交点，则说明该三角形解的个数为1个；若有两个交点，则说明该三角形解的个数为2个。

详细步骤：①当A为钝角或者直角时：如上图所示，只有当a b>时才能有一解，否则无解。

②当A为锐角时：Case1、如果a b≥，则只有一解。

Case2、如果a b<，可以细分为以下三种情况：◎若sina b A>，则有两个解；画图说明：◎若sina b A=，则只有一解；◎若sina b A，则无解。

《正弦定理》教案

《正弦定理》教案《正弦定理》教案1一、教学内容分析本节课是高一数学第五章《三角比》第三单元中正弦定理的第一课时，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是坐标法等知识在三角形中的具体运用，是生产、生活实际问题的重要工具，正弦定理揭示了任意三角形的边角之间的一种等量关系，它与后面的余弦定理都是解三角形的重要工具。

本节课其主要任务是引入证明正弦定理及正弦定理的基本应用，在课型上属于“定理教学课”。

因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，学生通过对定理证明的探究和讨论，体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

二、学情分析对高一的学生来说，一方面已经学习了平面几何，解直角三角形，任意角的三角比等知识，具有一定观察分析、解决问题的能力；但另一方面对新旧知识间的联系、理解、应用往往会出现思维障碍，思维灵活性、深刻性受到制约。

根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，注意前后知识间的联系，引导学生直接参与分析问题、解决问题。

三、设计思想：培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要方面，也是高中新课程改革的主要任务。

如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。

”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不仅是通过教师传授得到的，更重要的是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下)协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。

本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。

四、教学目标：1、在创设的问题情境中，让学生从已有的几何知识和处理几何图形的常用方法出发，探索和证明正弦定理，体验坐标法将几何问题转化为代数问题的优越性，感受数学论证的严谨性。

正弦定理说课稿

正弦定理说课稿正弦定理说课稿1正弦定理位于人教版全日制普通高级中学数学第一册（下）第五章第5。

9节。

正弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具，也是前阶段学习的三角函数知识与平面向量知识在三角形的交汇应用，并为以后学习余弦定理提供了方法上的模式，为进一步运用正、余弦定理解决测量、工业、几何等方面的实际问题提供了理论基础，使学生又进一步了解数学在实际中的应用，激发他们的学习兴趣。

因此学好本节课的知识就显的尤为重要。

由于高一学生对初中几何中的三角形研究的较透彻，记忆深刻，针对我校学生的实际情况，学生们对新问题有一定的探求欲望，但对问题的分析能力尚未成熟。

我在教学中从学生已有经验出发，提出问题引起学生对结论迫切追求的愿望，把问题作为教学的出发点，将学生置于主动参与的地位，引导他们进行分析研究。

本节课又是在学习了平面向量数量积的基础上来对定理加以证明的，所以重要的是用向量来推导定理的证明方法。

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标：知识与技能目标：理解用向量的方法推导正弦定理的过程，掌握正弦定理，初步运用正弦定理解决两类基本的解三角形问题。

过程与方法目标：通过对定理的探究，培养学生合情推理发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会数形结合的思想方法。

情感、态度与价值观目标：通过利用向量证明正弦定理了解向量的工具性，体会知识的内在联系，体会事物之间相互联系与辨证统一。

由于正弦定理的证明有很多种方法，本教材是以向量的方法进行了证明，这主要是由于利用向量的数量积，可以把三角形的边长和内角的三角函数联系起来，从而把几何问题转化为代数运算；这样处理不但能对知识进行综合运用，而且还涉及到数形结合、分类讨论等多种数学思想，有利于培养学生的数学思维，因此确立教学重点：正弦定理的证明极其应用。

教学难点：定理的探究和向量知识在证明正弦定理时的应用。

正弦定理教案(精选3篇)

正弦定理教案（精选3篇）正弦定理教案1一、教材分析《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一节内容，也是三角形理论中的一个重要内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系。

在此之前，学生已经学习过了正弦函数和余弦函数，知识储备已足够。

它是后续课程中解三角形的理论依据，也是解决实际生活中许多测量问题的工具。

因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础，并能在实际应用中灵活变通。

二、教学目标根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标：知识目标：理解并掌握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角形。

能力目标：探索正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论，并能掌握多种证明方法。

情感目标：通过推导得出正弦定理，让学生感受数学公式的整洁对称美和数学的实际应用价值。

三、教学重难点教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。

教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

四、教法分析依据本节课内容的特点，学生的认识规律，本节知识遵循以教师为主导，以学生为主体的指导思想，采用与学生共同探索的教学方法，命题教学的发生型模式，以问题实际为参照对象，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化，并且运用例题和习题来强化内容的掌握，突破重难点。

即指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法。

学生采用自主式、合作式、探讨式的学习方法，这样能使学生积极参与数学学习活动，培养学生的合作意识和探究精神。

五、教学过程本节知识教学采用发生型模式：1、问题情境有一个旅游景点，为了吸引更多的游客，想在风景区两座相邻的山之间搭建一条观光索道。

已知一座山A到山脚C的上面斜距离是1500米，在山脚测得两座山顶之间的夹角是450，在另一座山顶B测得山脚与A山顶之间的夹角是300。

三角形解的个数问题

练习：在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 a＝λ， b＝ 3λ(λ>0)，A＝45° ，则满足此条件的三角形个数是( A．0 B．1 C．2 D．无数个 )
a b 解析：直接根据正弦定理可得＝，可得 sin A sin B bsin A 3λsin 45° 6 sin B＝＝＝ >1,没有意义, a λ 2 故满足条件的三角形的个数为 0，选 A．
【解析】设 c＝AB＝ 3，b＝AC＝1，由于 B＝30°， 1 3 ∴c·sin B＝ 3×2＝ 2 ，c· sin B<b<c， ∴符合条件的三角形有两个． b c 1 3 3 ∵sin B＝sin C，即1＝sin C，∴sin C＝ 2 ， 2 ∴C＝60°或 120°，∴A＝90°或 30°， 1 3 3 又 S△ABC＝2bcsin A，∴S△ABC＝ 2 或 4 ，故选 D.
【例 1】在 ABC 中，已知 a 3 ， b 2 ， B 45 ，求 A 、 C 及 c ．
a sin B 3sin 45 3 解：由正弦定理，得 sin A ， b 2 2 ∵ B 45 90 ， b a ，∴ A 60 或 120 ． b sin C 2 sin 75 6 2 当 A 60 时， C 75 ， c ； sin B sin 45 2
a b 无解若A为直角或钝角时: 锐角 a b一解
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三 s i n 角形时，只有当A为锐角且时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
b Aab
【例 1】在 ABC 中， A 60 ， a 6 ， b 3 ，则 ABC 解的情况（）（A）无解（B）有一解（C）有两解（D）不能确定

正弦定理判断三角形解的个数

正弦定理判断三角形解的个数
正弦定理是解三角形的重要定理之一，其可用于判断一个三角形是否能够得出唯一的解，以下是详细内容：
三角形是一个基本的几何形体，其由三条边和三个角组成。

在解决三角形问题时，经常需要确定三角形的形态和大小，即确定三角形的边长和角度大小。

在这个过程中，正弦定理是一个非常有用的定理。

正弦定理是指：在任意三角形ABC中，有以下公式成立：
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R （其中a、b、c为三角形任意两边之比，A、B、C为任意两角的正弦值之比，R为三角形的外接圆半径）
这个公式可以用来求解三角形的边长、角度和外接圆的半径等信息。

同时，正弦定理也可以用来判断一个三角形是否能够得出唯一的解。

具体来说，当已知三角形的两边和夹角时，可以通过正弦定理求出第三边的长度。

但是，如果已知的两边和夹角不能够满足正弦定理的条件，那么就不能够得出唯一的解。

具体而言，当正弦定理中的分母为0时，就不能够得出唯一的解。

例如，如果已知一个三角形的两边分别为3和4，夹角为90度，那么可以通过正弦定理求出第三边的长度为5。

但是，如果已知的两边分别为3和4，夹角为30度，那么通过正弦定理求得的第三边长度不唯一，因为在这种情况下正弦定理中的分母为0。

在这种情况下，必须要通过其他的定理或方法来判断三角形的解是否唯一。

总之，正弦定理是一个非常有用的定理，可以用来求解三角形的各种信息，同时也可以用来判断三角形是否能够得出唯一的解。

掌握正弦定理的应用方法和注意事项，对于解题是非常有帮助的。

正弦定理三角形解的个数

正弦定理三角形解的个数
正弦定理是一个用来求解三角形的边长或角度的公式，其基本形式为：$$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$$。

其中，$a$、$b$、$c$分别为三角形的边长，$A$、$B$、$C$分别为其
对应的角度。

根据正弦定理，已知三角形任意两边及其夹角，可以求解第三边的长度，也可以求解其余两个内角的大小。

因此，在已知三角形任意两边及其
夹角的情况下，通过正弦定理只能解出一个符合条件的三角形。

而在其他
情况下，也可能存在不止一个解或求解无法得出三角形的情况。

总之，正弦定理可以用于求解不同条件下的三角形，但具体解的个数
不一定固定，需要根据具体条件进行判断。