解析法巧解中考数学压轴题

解析法巧解中考压轴题

在平面几何题中，适当的建立直角坐标系，利用代数的方法解决几何问题，即解析法，有时会显得更简洁高效．现以近年中考压轴题为例，分析说明解析法之妙．例1 （2013泰州）如图1，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连结PQ，M为PQ中点．

若AD＝10，AB＝a，DP＝8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M 落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围．

分析本题将矩形、三角形、动点、参数相结合，考察学生利用相似解决问题的综合能力，难度较大，区分度高，按照参考答案给出的解题思路，如图2所示，当点M落在矩形ABCD外部时，须满足的条件是“BE>MN”．分别求出BE与MN的表达式，列不等式求解，即可求出a的取值范围．

由△ADP∽△ABQ，解得QB＝4

5 a．

由△QBE∽△QCP，同样由比例关系得出BE＝

() 28 225

a a

a

-

+

．

又因为MN为QCP的中位线，得出

MN＝1

2

PC＝

1

2

（a－8）．

再由BE>MN，

即

()

28

225

a a

a

-

+

()

1

8

2

a

>-

得出a> ．

当点M落在矩形ABCD外部时，a的取值范围为a>．

这种解法不仅要想到添加辅助线，还两次运用了相似比，计算量大，易出错．比较稳妥而简洁的做法是将图形放进直角坐标系中，利用数形结合的方法来解决此类问题．

一如何建立合适、恰当的坐标系呢通常需要考虑以下两点：

第一，让尽可能多的点落在直角坐标系上，这些点的坐标含有数字O，可以起到简化运算的功效；

第二，考虑图形的对称性，同样，也能起到简化运算的作用．

解答如图3所示，建立以B点为原点，BC方向为x轴正半轴，BA方向为y轴正半轴的直角坐标系．

则A(0，a)，P(0，a－8)．

直线AP的斜率为k AP＝－4

5

，

∴直线

AQ为y＝

5

4

x＋a，

直线AQ与x轴交于点Q，

∴Q(－

4

5

a，0)．

又M为线段QP上的中点，

∴M（5－

2

5

a，

2

a

－4）．

因为M点落在矩形ABCD的外部，所以M点在第二象限，

∴

3

50

5

40

2

a

a

⎧

-<

⎪⎪

⎨

⎪->

⎪⎩

解得a＞．

这样，通过建立合适的直角坐标系，使图形上各点得到确定，让问题变得清晰明了，避免了运用相似而产生的复杂计算．

例2（2014连云港）某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB＝8．问题思考：

如图4，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．

(1)分别连结AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK 中，是否存在两个面积始终相等的三角形请说明理由．

问题拓展：

(2)如图5，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM＝BN＝1，点

G、H分别是边CD、EF的中点，请写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点D所经过的路径的长

(3)在第二问的情况下，求OM＋OB的最小值．

分析这是一道关于正方形的综合题，难度较大，解题难点在于分析动点的运动轨迹，需要很好的空间想象能力和作图分析能力；此外本题还综合考查了二次函数、整式的运算、四边形、中位线、相似、轴对称与勾股定理等众多知识点．但是，如果我们建立直角坐标系，用解析几何的方法就可以避开相似，省去很多不必要的麻烦．在第(1)问根据点的坐标，

求得PK ＝a 28a -，进而求得DK ＝PD －PK ＝2

8

a ，然后根据面积公式即可求得，第(2)(3)问涉及点的运动轨迹，GH 中点O 的运动路径是与AB 平行且距离为3的线段XY 上，如图6所示；然后利用轴对称的性质，求出OM ＋OB 的最小值．

解答 (1)如图6所示，以A 点为原点，AB 方向

为x 轴正半轴，AC 方向为y 轴正半轴，建立直角坐标系．

设AP ＝a ．

又P 在M 到N 之间运动，

∴1≤a ≤7．

∴a 经过的路径是一条与AB 平行的线段，长为3．

(3)如图7所示，作点M 关于直线XY 的对称点M'，连结BM'．

由轴对称性质可知，M'(1，8)，

由两点之间线段最短可知，此时OM ＋OB ＝BM'最小，

而BM'＝()()22

1880113-+-= ∴OM ＋DB 的最小值为113．

综上所述，在以特殊图形为基础几何问题中，不要因变化多端的条件而搞乱思路，可以尝试用解析几何的方法去应对，有可能达到化繁为简的效果．