必修5-第三章不等式知识点总结
高中数学必修5第三章《不等式》内容分析
数学必修5第三章《不等式》内容分析同文中学高二数学备课组:陈劲一.教学内容分析:“不等式”是高中数学的传统内容,与高中数学中很多内容有密切关系。
同大纲教材相比,新课标(北师大版)教材在内容安排、编写思路、教材目标与要求上都有较大变化。
新课标教材中不等式主要包括:1.必修5第三章《不等式》中:不等关系、一元二次不等式、基本不等式及二元一次不等式组与简单的线性规划问题。
其结构是:第一节不等关系,讲不等关系、不等式的性质和用不等式来比较大小;第二节讲一元二次不等式;第三节讲基本不等式和用基本不等式求最大值、最小值;最后一节讲简单的线性规划。
线性规划也分几个层次,第一个层次是用二元一次不等式组来刻画平面区域,然后讲简单线性规划的问题,最后讨论简单线性规划的应用。
2.选修4—5《不等式选讲》中:不等式的性质、含绝对值的不等式、基本不等式、不等式的证明、不等式的应用及柯西不等式、排序不等式、贝努利不等式等内容。
大纲教材中“不等式”只有一章内容共五部分:不等式的基本性质及其证明、两个正数的算术平均数与几何平均数定理的证明与应用、不等式的证明、简单不等式的解法、含绝对值的不等式。
新课程教材的主要变化体现在:在必修5中删除了大纲教材中的“不等式的基本性质及其证明”,“不等式的证明”,“含绝对值的不等式”放在选修4—5中学习。
增加了“不等关系”,将“一元二次不等式”与“线性规划问题”从原来分散在其他章节整合到了本章中,增强了知识体系的整体性、逻辑性和严谨性。
同时还强调信息技术与课程内容的整合,还在“一元二次不等式”中融入了算法思想等。
二.教学目标与要求的分析:1.不等关系:通过具体情境,感受现实世界与生活中存在着大量的不等关系,包括:常量与常量之间的不等关系,常量与变量之间的不等关系,函数与函数之间的不等关系,一组变量之间的不等关系等。
通过了解不等式(组)的实际背景,经历由实际问题建立数学模型的过程,体会基本方法。
高中数学必修五解三角形数列不等式知识点讲义(全)
森学教育教研中心 2017.06 修订版
目录
第一讲 解三角形 ........................................................................................................................ 1 〇、直击考纲 .......................................................................................................................... 1 一、愈学悦乐 .......................................................................................................................... 1 课时一、正弦定理 ..................................................................................................................................... 1 课时二、余弦定理 ..................................................................................................................................... 3 课时三. 正、余弦定理综合应用 .............................................................................................................. 4 课时四. 正、余弦定理实际问题 .............................................................................................................. 6 二、回归课本 .......................................................................................................................... 7
人教版高一数学必修5 第三章《不等式》1
必修5 不等式不等关系与不等式知识点:1、0a b a b ->⇔>;0a b a b -=⇔=;0a b a b -<⇔<.2、不等式的性质: ①a b b a >⇔<; ②,a b b c a c >>⇒>; ③a b a c b c >⇒+>+;④,0a b c ac bc >>⇒>,,0a b c ac bc ><⇒<; ⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+; ⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>; ⑦()0,1nna b a bn n >>⇒>∈N ≥;⑧()0,2n n a b a b n n >>⇒>∈N ≥.【基础练习】1、已知a b >,c d >,且c 、d 不为0,那么下列不等式成立的是( )A .ad bc >B .ac bc >C .a c b d ->-D .a c b d +>+ 2、下列命题中正确的是( )A .若a b >,则22ac bc > B .若a b >,c d >,则a c b d ->-C .若0ab >,a b >,则11a b < D .若a b >,c d <,则a b c d> 3、下列命题中正确命题的个数是( )①若x y z >>,则xy yz >; ②a b >,c d >,0abcd ≠,则a bc d>; ③若110a b <<,则2ab b <; ④若a b >,则11b b a a ->-. A .1 B .2 C .3 D .44、如果0a <,0b >,则下列不等式中正确的是( ) A .11a b< B .a b -< C .22a b < D .a b >5、下列各式中,对任何实数x 都成立的一个式子是( )A .()2lg 1lg 2x x +≥ B .212x x +> C .2111x ≤+ D .12x x+≥ 6、若a 、b 是任意实数,且a b >,则( )A .22a b > B .1b a < C .()lg 0a b -> D .1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7、如果a R ∈,且20a a +<,那么a ,2a ,a -,2a -的大小关系是( ) A .22a a a a >>->- B .22a a a a ->>-> C .22a a a a ->>>-D .22a a a a >->>-8、若231x x M =-+,22x x N =+,则( )A .M >NB .M <NC .M ≤ND .M ≥N9、若2x ≠或1y ≠-,2242x y x y M =+-+,5N =-,则M 与N 的大小关系是( ) A .M >NB .M <NC .M =ND .M ≥N10、不等式①222a a +>,②()2221a b a b +≥--,③22a b ab +>恒成立的个数是( )A .0B .1C .2D .311、已知0a b +>,0b <,那么a ,b ,a -,b -的大小关系是( ) A .a b b a >>->- B .a b a b >->-> C .a b b a >->>-D .a b a b >>->-12、给出下列命题:①22a b ac bc >⇒>;②22a b a b >⇒>;③33a b a b >⇒>;④22a b a b >⇒>.其中正确的命题是( ) A .①②B .②③C .③④D .①④13、已知实数a 和b 均为非负数,下面表达正确的是( )A .0a >且0b >B .0a >或0b >C .0a ≥或0b ≥D .0a ≥且0b ≥14、已知a ,b ,c ,d 均为实数,且0ab >,c da b -<-,则下列不等式中成立的是( ) A .bc ad <B .bc ad >C .a b c d >D .a bc d<15、若()231f x x x =-+,()221g x x x =+-,则()f x ,()g x 的大小关系是( )A .()()f x g x <B .()()f x g x =C .()()f x g x >D .随x 值的变化而变化 16、某一天24小时内两艘船均须在某一码头停靠一次,为了卸货的方便,两艘船到达该码头的时间至少要相差两小时,设甲、乙两船到达码头的时间分别为x ,y 时,且两船互不影响,则x ,y 应满足的关系是( )A .200y x x y -≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩B .200x y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩C .200y x x y ->⎧⎪≥⎨⎪≥⎩ D .2024024y x x y ⎧-≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩17. 四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示. 盛满酒后他们约定:先各自饮杯中酒的一半. 设剩余酒的高度从左到右依次为1234,,,h h h h ,则它们的大小关系正确的是( ).(A )2h >1h >4h (B ) 1h >2h >3h (C ) 3h >2h >4h (D ) 2h >4h >1h 18. 右图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆数如图所示(50,55;20,30;30,35),图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段 ,,AB BCCA 的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则 ( )(A )123x x x >> (B )1x >3x >2x (C )231x x x >> (D )231x x x >>19、某商场对顾客实行优惠活动,规定一次购物付款总额:①200元以内(包括200元)不予优惠;②超过200元不超过500元,按标价9折优惠;③超过500元其中500元按②优惠,超过部分按7折优惠,某人两次购物分别付款168元和423元,若他一次购物,应付款_______________元.20、某高校录取新生对语、数、英三科的高考分数的要求是:语文不低于70分;数学应高于80分;语、数、英三科的成绩之和不少于230分.若张三被录取到该校,设该生的语、数、英的成绩分别为x ,y ,z ,则x ,y ,z 应满足的条件是____________________________. 21、用“>”“<”号填空:如果0a b c >>>,那么c a ________c b. 22、某品牌酸奶的质量规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%,蛋白质的含量p 应不少于2.3%,写成不等式组就是____________________.23、某中学对高一美术生划定录取控制分数线,专业成绩x 不低于95分,文化课总分y 不低于380分,体育成绩z 不低于45分,写成不等式组就是____________________. 24、若0a b <<,且12a b +=,则12,a ,2ab ,22a b +中最大的是_______________. 25、a 克糖水中有b 克糖(0a b >>),若再添进m 克糖(0m >),则糖水就变甜了,试根据事实提炼一个不等式______________________.26、已知a 、b R +∈,且a b ≠,比较55a b +与3223a b a b +的大小.27、比较下列各组中两个数或代数式的大小: ⑴ 117+与153+; ⑵ ()()4422a b a b ++与()233a b +.28、已知0a b >>,0c d <<,0e <,求证:e e a c b d>--.29、若0,0a b >>,求证:22b a a b a b+≥+.30、已知a 、b 为正实数,试比较a b b a+与a b +的大小.31、已知22ππαβ-<<<,求αβ-的范围.32、已知 1260,1536a b <<<<,求a b -及ab的取值范围.33、若二次函数()y f x =的图象过原点,且()()112,314,f f ≤-≤≤≤求()2f -的取值范围.一元二次不等式及其解法知识点:1、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式.2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++()0a >的图象一元二次方程20ax bx c ++=()0a >的根有两个相异实数根1,22b x a-±∆=()12x x <有两个相等实数根122bx x a==-没有实数根一元二次不等式的解集20ax bx c ++>()0a >{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R20ax bx c ++<()0a >{}12x xx x <<∅ ∅【基础练习】1、不等式2654x x +<的解集为( ) A .41,,32⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B .41,32⎛⎫- ⎪⎝⎭ C .14,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D .14,23⎛⎫- ⎪⎝⎭2、设集合{}12x x A =≤≤,{}0x x a B =-<,若A B ≠∅ ,那么实数a 的取值范围是( ) A .()1,+∞ B .[)2,+∞ C .(],2-∞ D .[)1,+∞3、若不等式210x mx ++>的解集为R ,则m 的取值范围是( ) A .R B .()2,2- C .()(),22,-∞-+∞ D .[]2,2-4、设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,则ab 的值是( )A .6-B .5-C .6D .55、不等式()221200x ax a a --<<的解集是( )A .()3,4a a -B .()4,3a a -C .()3,4-D .()2,6a a7、不等式222693191122x x x x -+++⎛⎫⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集是( )A .[]1,10-B .()[),110,-∞-+∞C .RD .(][),110,-∞-+∞8、不等式()()120x x --≥的解集是( )A .{}12x x ≤≤B .{}12x x x ≥≤或C .{}12x x <<D .{}12x x x ><或9、不等式()200ax bx c a ++<≠的解集为∅,那么( )A .0a <,0∆>B .0a <,0∆≤C .0a >,0∆≤D .0a >,0∆≥10、设()21f x x bx =++,且()()13f f -=,则()0f x >的解集是( )A .()(),13,-∞-+∞B .RC .{}1x x ≠ D .{}1x x =11、若01a <<,则不等式()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解是( ) A .1a x a <<B .1x a a <<C .x a <或1x a >D .1x a<或x a > 12、不等式()130x x ->的解集是( ) A .1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .()1,00,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C .1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭13、二次函数()2y ax bx c x R =++∈的部分对应值如下表:x3- 2- 1- 0 1 2 3 4y60 4- 6-6- 4- 06则不等式20ax bx c ++>的解集是____________________________.14、若0a b >>,则()()0a bx ax b --≤的解集是_____________________________.15、不等式20a x b xc ++>的解集为{}23x x <<,则不等式20a x b x c -+>的解集是________________________.16、不等式2230x x -->的解集是___________________________.17、不等式2560x x -++≥的解集是______________________________.18、()21680k x x --+<的解集是425x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或,则k =_________.19、已知不等式20x px q ++<的解集是{}32x x -<<,则p q +=________.20、不等式30x x +≥的解集为____________________. 21、求下列不等式的解集:⑴ ()()410x x +--<; ⑵ 232x x -+>; ⑶ 24410x x -+>.22、已知不等式220ax bx ++>的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,求a 、b 的值.23、已知集合{}290x x A =-≤,{}2430x x x B =-+>,求A B ,A B .25、求函数()()124lg 2--+=x x x x f 的定义域.第 11 页 共 11 页 26、用一根长为m 100的绳子能围成一个面积大于2600m 的矩形吗? 当长、宽分别为多少米时,所围成的矩形的面积最大?27、已知0122>++mx mx 恒成立,求m 的范围.。
高中数学新人教A版必修5第三章 3.1 不等关系与不等式
不等关系与不等式预习课本P72~74,思考并完成以下问题 (1)如何用不等式(组)来表示不等关系?(2)比较两数(或式)的大小有哪些常用的方法?(3)不等式的性质有哪几条?[新知初探]1.不等式的概念我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式,以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式.2.比较两个实数a ,b 大小的依据3.不等式的性质 (1)对称性:a >b ⇔b <a ; (2)传递性:a >b ,b >c ⇒a >c ; (3)可加性:a >b ⇒a +c >b +c ; 推论(同向可加性):⎭⎬⎫a >bc >d ⇒a +c >b +d ;(4)可乘性:⎭⎬⎫a >b c >0⇒ac >bc ;⎭⎬⎫a >bc <0⇒ac <bc ; 推论(同向同正可乘性):⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ;(5)正数乘方性:a >b >0⇒a n >b n (n ∈N *,n ≥1); (6)正数开方性:a >b >0⇒n a >nb (n ∈N *,n ≥2).[点睛] (1)在应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件.不可强化或弱化成立的条件.(2)要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性质是否具有可逆性.[小试身手]1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)不等式x ≥2的含义是指x 不小于2( )(2)若a <b 或a =b 之中有一个正确,则a ≤b 正确( ) (3)若a >b ,则ac >bc 一定成立( ) (4)若a +c >b +d ,则a >b ,c >d ( )解析:(1)正确.不等式x ≥2表示x >2或x =2,即x 不小于2,故此说法是正确的. (2)正确.不等式a ≤b 表示a <b 或a =b .故若a <b 或a =b 中有一个正确,则a ≤b 一定正确.(3)错误.由不等式的可乘性知,当不等式两端同乘以一个正数时,不等号方向不变,因此由a >b ,则ac >bc 不一定成立,故此说法是错误的.(4)错误.取a =4,c =5,b =6,d =2,满足a +c >b +d ,但不满足a >b ,故此说法错误.答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)×2.已知a +b >0,b <0,那么a ,b ,-a ,-b 的大小关系是( ) A .a >b >-b >-a B .a >-b >-a >b C .a >-b >b >-aD .a >b >-a >-b解析:选C 法一:∵A 、B 、C 、D 四个选项中,每个选项都是唯一确定的答案,∴可用特殊值法.令a =2,b =-1,则有2>-(-1)>-1>-2, 即a >-b >b >-a .法二:∵a +b >0,b <0,∴a >-b >0,-a <b <0, ∴a >-b >0>b >-a ,即a >-b >b >-a .3.设a ,b 是非零实数,若a <b ,则下列不等式成立的是( )A .a 2<b 2B .ab 2<a 2bC.1ab 2<1a 2bD.b a <a b解析:选C 因为a <b ,故b -a >0, 所以1a 2b -1ab 2=b -a a 2b 2>0,故1a 2b >1ab 2. 4.当m >1时,m 3与m 2-m +1的大小关系为________. 解析:∵m 3-(m 2-m +1)=m 3-m 2+m -1=m 2(m -1)+(m -1) =(m -1)(m 2+1).又∵m >1,故(m -1)(m 2+1)>0. 答案:m 3>m 2-m + 1用不等式(组)表示不等关系[典例] 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h 的情况下,生产空调、彩电、冰箱共120台,且冰箱至少生产20台.已知生产这些家电产品每台所需工时如下表:家电名称 空调 彩电 冰箱 工时(h)121314若每周生产空调x [解] 由题意,知x ≥0,y ≥0,每周生产冰箱(120-x -y )台.因为每周所用工时不超过40 h ,所以12x +13y +14(120-x -y )≤40,即3x +y ≤120;又每周至少生产冰箱20台, 所以120-x -y ≥20,即x +y ≤100. 所以满足题意的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧3x +y ≤120,x +y ≤100,x ≥0,x ∈N *,y ≥0,y ∈N *.1.将不等关系表示成不等式的思路 (1)读懂题意,找准不等式所联系的量.(2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示.2.用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题在用不等式(组)表示不等关系时,应注意必须是具有相同性质,可以进行比较时,才可用,没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示.[活学活用]1.雷电的温度大约是28 000 ℃,比太阳表面温度的4.5倍还要高.设太阳表面温度为t ℃,那么t 应满足的关系式是________.解析:由题意得,太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度,即4.5t <28 000. 答案:4.5t <28 0002.一辆汽车原来每天行驶x km ,如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km ,那么在8天内它的行程将超过2 200 km ,用不等式表示为________.解析:因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km ,所以汽车每天行驶的路程为(x +19)km ,则在8天内它的行程为8(x +19)km ,因此,不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km ”可以用不等式8(x +19)>2 200来表示.答案:8(x +19)>2 200不等式的性质[典例] (1)已知b <2a,3d <c ,则下列不等式一定成立的是( ) A .2a -c >b -3d B .2ac >3bd C .2a +c >b +3dD .2a +3d >b +c(2)下列说法不正确的是( ) A .若a ∈R ,则(a 2+2a -1)3>(a -2)3 B .若a ∈R ,则(a -1)4>(a -2)4 C .若0<a <b ,则⎝⎛⎭⎫13a >⎝⎛⎭⎫13bD .若0<a <b ,则a 3<b 3[解析] (1)由于b <2a,3d <c ,则由不等式的性质得b +3d <2a +c ,故选C.(2)对于A ,因为(a 2+2a -1)-(a -2)=a 2+a +1=⎝⎛⎭⎫a +122+34>0,所以a 2+2a -1>a -2,则(a 2+2a -1)3>(a -2)3,故A 选项说法正确;对于B ,当a =1时,(a -1)4=0,(a -2)4=1,所以(a -1)4>(a -2)4不成立;对于C 和D ,因为0<a <b ,所以由指数函数与幂函数的性质知C 、D 选项说法正确,故选B.[答案] (1)C (2)B1.利用不等式判断正误的2种方法(1)直接法:对于说法正确的,要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明;对于说法错误的只需举出一个反例即可.(2)特殊值法:注意取值一定要遵循三个原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算;三是所取的值要有代表性.2.利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.(2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.[活学活用]1.已知a >b >c ,且a +b +c =0,则下列不等式恒成立的是( ) A .ab >bc B .ac >bc C .ab >acD .a |b |>|b |c解析:选C 因为a >b >c ,且a +b +c =0,所以a >0,c <0,所以ab >ac . 2.若a >b >0,c <d <0,e <0,求证:e (a -c )2>e(b -d )2. 证明:∵c <d <0,∴-c >-d >0.又a >b >0,∴a -c >b -d >0,则(a -c )2>(b -d )2>0,即1(a -c )2<1(b -d )2. 又e <0,∴e (a -c )2>e(b -d )2.数式的大小比较[典例] (1)已知x <1,比较x 3-1与2x 2-2x 的大小; (2)已知a >0,试比较a 与1a 的大小. [解] (1)(x 3-1)-(2x 2-2x ) =(x -1)(x 2+x +1)-2x (x -1) =(x -1)(x 2-x +1)=(x -1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x -122+34.∵x <1,∴x -1<0.又⎝⎛⎭⎫x -122+34>0, ∴(x -1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x -122+34<0. ∴x 3-1<2x 2-2x .(2)因为a -1a =a 2-1a =(a -1)(a +1)a, 因为a >0,所以当a >1时,(a -1)(a +1)a >0,有a >1a ;当a =1时,(a -1)(a +1)a =0,有a =1a ; 当0<a <1时,(a -1)(a +1)a <0,有a <1a .综上,当a >1时,a >1a ; 当a =1时,a =1a ; 当0<a <1时,a <1a .1.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤:作差→变形→定号→结论.(2)变形的方法:①因式分解;②配方;③通分;④对数与指数的运算性质;⑤分母或分子有理化;⑥分类讨论.2.作商法比较大小的步骤及适用范围 (1)作商法比较大小的三个步骤. ①作商变形; ②与1比较大小; ③得出结论.(2)作商法比较大小的适用范围. ①要比较的两个数同号;②比较“幂、指数、对数、含绝对值”的两个数的大小时,常用作商法. [活学活用]若m >2,比较m m 与2m 的大小.解:因为m m 2m =⎝⎛⎭⎫m 2m ,又因为m >2,所以m 2>1,所以⎝⎛⎭⎫m 2m >⎝⎛⎭⎫m 20=1,所以m m >2m.用不等式性质求解取值范围 [典例] 已知1<a <4,2<b <8,试求2a +3b 与a -b 的取值范围. [解] ∵1<a <4,2<b <8,∴2<2a <8,6<3b <24. ∴8<2a +3b <32.∵2<b <8,∴-8<-b <-2.又∵1<a <4,∴1+(-8)<a +(-b )<4+(-2), 即-7<a -b <2.故2a +3b 的取值范围是(8,32),a -b 的取值范围是(-7,2).同向不等式具有可加性与可乘性,但是不能相减或相除,应用时,要充分利用所给条件进行适当变形来求范围,注意变形的等价性.1.在本例条件下,求ab 的取值范围. 解:∵2<b <8,∴18<1b <12,而1<a <4,∴1×18<a ·1b <4×12,即18<a b <2.故ab 的取值范围是⎝⎛⎭⎫18,2.不等式两边同乘以一个正数,不等号方向不变,同乘以一个负数,不等号方向改变,求解中,应明确所乘数的正负.2.已知-6<a <8,2<b <3,求ab 的取值范围. 解:∵-6<a <8,2<b <3. ∴13<1b <12, ①当0≤a <8时,0≤ab <4;②当-6<a <0时,-3<ab <0. 由①②得:-3<ab <4.故ab的取值范围为(-3,4). 利用不等式性质求范围,应注意减少不等式使用次数. 3.已知-1≤a +b ≤1,1≤a -2b ≤3,求a +3b 的取值范围.解:设a +3b =λ1(a +b )+λ2(a -2b )=(λ1+λ2)a +(λ1-2λ2)b ,解得λ1=53,λ2=-23.又-53≤53(a +b )≤53,-2≤-23(a -2b )≤-23,所以-113≤a +3b ≤1.故a +3b 的取值范围为⎣⎡⎦⎤-113,1.层级一 学业水平达标1.李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机,他现在已存60元.计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少有400元.设x 个月后他至少有400元,则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( )A .30x -60≥400B .30x +60≥400C .30x -60≤400D .30x +40≤400解析:选B x 月后他至少有400元,可表示成30x +60≥400. 2.若abcd <0,且a >0,b >c ,d <0,则( ) A .b <0,c <0 B .b >0,c >0 C .b >0,c <0D .0<c <b 或c <b <0解析:选D 由a >0,d <0,且abcd <0,知bc >0, 又∵b >c ,∴0<c <b 或c <b <0.3.已知:a ,b ,c ,d ∈R ,则下列命题中必成立的是( ) A .若a >b ,c >b ,则a >c B .若a >-b ,则c -a <c +b C .若a >b ,c <d ,则a c >bdD .若a 2>b 2,则-a <-b解析:选B 选项A ,若a =4,b =2,c =5,显然不成立,选项C 不满足倒数不等式的条件,如a >b >0,c <0<d 时,不成立;选项D 只有a >b >0时才可以.否则如a =-1,b =0时不成立,故选B.4.设α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,β∈⎣⎡⎦⎤0,π2,则2α-β3的范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0,56π B.⎝⎛⎭⎫-π6,56π C.()0,πD.⎝⎛⎭⎫-π6,π 解析:选D 0<2α<π,0≤β3≤π6,∴-π6≤-β3≤0,由同向不等式相加得到-π6<2α-β3<π.5.已知M =2x +1,N =11+x 2,则M ,N 的大小关系为( )A .M >NB .M <NC .M =ND .不确定解析:选A ∵2x >0,∴M =2x +1>1,而x 2+1≥1, ∴11+x 2≤1,∴M >N ,故选A. 6.某校高一年级的213名同学去科技馆参观,租用了某公交公司的x 辆公共汽车.如果每辆车坐30人,则最后一辆车不空也不满.则题目中所包含的不等关系为________.解析:根据题意得:⎩⎪⎨⎪⎧30(x -1)<213,30x >213.答案:⎩⎪⎨⎪⎧30(x -1)<213,30x >2137.比较大小:a 2+b 2+c 2________2(a +b +c )-4. 解析:a 2+b 2+c 2-[2(a +b +c )-4] =a 2+b 2+c 2-2a -2b -2c +4=(a -1)2+(b -1)2+(c -1)2+1≥1>0, 故a 2+b 2+c 2>2(a +b +c )-4. 答案:>8.已知-1≤x +y ≤4,且2≤x -y ≤3,则z =2x -3y 的取值范围是________(用区间表示).解析:∵z =-12(x +y )+52(x -y ),-2≤-12(x +y )≤12,5≤52(x -y )≤152,∴3≤-12(x +y )+52(x -y )≤8,∴z 的取值范围是[3,8]. 答案:[3,8]9.两种药片的有效成分如下表所示:应满足怎样的不等关系?用不等式的形式表示出来.解:设提供A 药片x 片,B 药片y 片,由题意可得:⎩⎪⎨⎪⎧2x +y ≥12,5x +7y ≥70,x+6y ≥28,x ≥0,x ∈N ,y ≥0,y ∈N.10.(1)若a <b <0,求证:b a <a b ; (2)已知a >b ,1a <1b,求证:ab >0.证明:(1)由于b a -a b =b 2-a 2ab =(b +a )(b -a )ab, ∵a <b <0,∴b +a <0,b -a >0,ab >0, ∴(b +a )(b -a )ab <0,故b a <ab.(2)∵1a <1b ,∴1a -1b<0,即b -aab <0,而a >b ,∴b -a <0,∴ab >0.层级二 应试能力达标1.若x ∈R ,y ∈R ,则( ) A .x 2+y 2>2xy -1 B .x 2+y 2=2xy -1 C .x 2+y 2<2xy -1D .x 2+y 2≤2xy -1解析:选A 因为x 2+y 2-(2xy -1)=x 2-2xy +y 2+1=(x -y )2+1>0,所以x 2+y 2>2xy -1,故选A.2.已知a 1∈(0,1),a 2∈(0,1),记M =a 1a 2,N =a 1+a 2-1,则M 与N 的大小关系是( ) A .M <N B .M >N C .M =ND .M ≥N解析:选B ∵a 1∈(0,1),a 2∈(0,1),∴-1<a 1-1<0,-1<a 2-1<0,∴M -N =a 1a 2-(a 1+a 2-1)=a 1a 2-a 1-a 2+1=a 1(a 2-1)-(a 2-1)=(a 1-1)(a 2-1)>0,∴M >N ,故选B.3.若-1<α<β<1,则下列各式中恒成立的是( ) A .-2<α-β<0 B .-2<α-β<-1 C .-1<α-β<0D .-1<α-β<1解析:选A 由-1<α<1,-1<β<1,得-1<-β<1, ∴-2<α-β<2.又∵α<β,故知-2<α-β<0.4.某厂技术科组织工人参加某项技能测试,某职工参加完测试后对自己的成绩进行了如下估计:理论考试成绩x 超过85分,技能操作成绩y 不低于90分,答辩面试成绩z 高于95分,用不等式组表示为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x >85y ≥90z ≥95B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥85y >90z >95C.⎩⎪⎨⎪⎧ x >85y ≥90z >95D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥85y >90z ≥95 解析:选C x 超过85分表示为x >85,y 不低于90分表示为y ≥90,z 高于95分,表示为z >95,故选C.5.已知|a |<1,则11+a与1-a 的大小关系为________. 解析:由|a |<1,得-1<a <1.∴1+a >0,1-a >0.即11+a 1-a =11-a 2∵0<1-a 2≤1,∴11-a 2≥1, ∴11+a≥1-a . 答案:11+a ≥1-a 6.设a ,b 为正实数,有下列命题:①若a 2-b 2=1,则a -b <1;②若1b -1a=1,则a -b <1; ③若|a -b |=1,则|a -b |<1;④若|a 3-b 3|=1,则|a -b |<1.其中正确的命题为________(写出所有正确命题的序号).解析:对于①,由题意a ,b 为正实数,则a 2-b 2=1⇒a -b =1a +b⇒a -b >0⇒a >b >0,故a +b >a -b >0.若a -b ≥1,则1a +b≥1⇒a +b ≤1≤a -b ,这与a +b >a -b >0矛盾,故a -b <1成立.对于②,取特殊值,a =3,b =34,则a -b >1. 对于③,取特殊值,a =9,b =4时,|a -b |>1.对于④,∵|a 3-b 3|=1,a >0,b >0,∴a ≠b ,不妨设a >b >0.∴a 2+ab +b 2>a 2-2ab +b 2>0,∴(a -b )(a 2+ab +b 2)>(a -b )(a -b )2.即a 3-b 3>(a -b )3>0,∴1=|a 3-b 3|>(a -b )3>0,∴0<a -b <1,即|a -b |<1.因此正确.答案:①④7.已知a ,b ∈R ,x =a 3-b ,y =a 2b -a ,试比较x 与y 的大小. 解:因为x -y =a 3-b -a 2b +a =a 2(a -b )+a -b =(a -b )(a 2+1), 所以当a >b 时,x -y >0,所以x >y ;当a =b 时,x -y =0,所以x =y ;当a <b 时,x -y <0,所以x <y .8.已知x ,y 为正实数,且1≤lg(xy )≤2,3≤lg x y ≤4,求lg(x 4y 2)的取值范围.解:由题意,设a =lg x ,b =lg y ,∴lg(xy )=a +b ,lg x y =a -b ,lg(x 4y 2)=4a +2b .设4a +2b =m (a +b )+n (a -b ),∴⎩⎪⎨⎪⎧ m +n =4,m -n =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =3,n =1. 又∵3≤3(a +b )≤6,3≤a -b ≤4,∴6≤4a +2b ≤10,∴lg(x 4y 2)的取值范围为[6,10].。
人教版必修5第三章第一节5.3.1不等关系与不等式3
1 1 解析:∵ < <0,∴a<0,b<0. a b ∴a+b<0,ab>0,∴a+b<ab,①正确. 1 1 1 1 b-a 由 < <0,得 - = <0. a b a b ab ∵ab>0,∴b-a<0,即 b<a,∴③错误. 由 b<a<0,知|b|>|a|,∴②错误.
b a b2+a2-2ab a-b2 由 + -2= = , ab ab a b
【思路启迪】 可利用不等式的性质判断一个命题为真命 题,要说明一个命题为假,可通过举反例说明.
【解】
(1)因未知 c 的正负或是否为零,无法确定 ac 与
bc 的大小,所以是假命题. (2)因为 c2≥0,所以只有 c≠0 时才能正确.c=0 时,ac2 =bc2,所以是假命题. 变式:若 ac2>bc2,则 a>b,命题是真命题. (3)a<b,a<0⇒a2>ab;a<b,b<0⇒ab>b2,命题的真命题. 1 1 (4)由性质定理 a<b<0⇒ > ,命题是真命题. a b
(3)乘法单调性: a>b,c>0⇒ a>b,c<0⇒ a>b>0,c>d>0⇒ a>b>0(n∈N*)⇒an>bn; a>b>0(n∈N ,n≥2)⇒ a> b. 双向性:a>b⇔ .
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; ; ;
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问题探究 1:两个不同向不等式的两边可以分别相减或相 除吗?
提示:不可以.两个不同向不等式的两边不能分别相减, 也不能分别相除,在需要求差或求商时,可利用不等式的性质 转化为同向不等式相加或相乘.
必修五--不等式的知识点归纳
知识点一:不等式关系与不等式一、不等式的主要性质:1.对称性:a>bob<a2.传递性:a>b,b>c=>a>c3.加法法则:a>b=>a+c>b+c; a>b,c>d=a+c>b+d4.乘法法则:a>b,c>O=>ac>he;a>h,c<0=>ac<hc;a>b>0,c>d>0=>ac>hd5.倒数法则:a>h,ab>0=>—<—6.乘方法则:a>b>0=>a n>b n(neN*⅛w>1)ab7.开方法则:a>b>bn爪>底(JIEN*且冷>1)二、含有绝对值的不等式1.绝对值的几何意义:IX1是指数轴上点X到原点的距离;|玉-々1是指数轴上不,W两点间的距离2、如果。
>0,则不等式:∖x∖>a<=>X> <-a ∖x∖<a<=>-a<x<aIx∣≥α<=>x≥a^x≤-a∣x∣≤«<=>-a≤x<a3.当c>0时,I依+〃|>co双+/?>c或Or+bv-c,∖ax+b∖<c<^>-c<ax+b<c;当CVO时,ItU:+b∣>cox∈R,∖ax+h∖<cx≡φ.4、解含有绝对值不等式的主要方法:①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次)不等式(组)进行求解;②去掉绝对值的主要方法有:(1)公式法:∣x∣<4(α>0)o-α<x<4,|/|>4(々>0)0]>。
或不<一。
.(2)定义法:零点分段法;(3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方.三、其他常见不等式形式总结:①分式不等式的解法:先移项通分标准化,贝IJ/(x)>o°"χm>o∙/(χ)≥OOP(X)g(χR0②指数不等式:转化为代数不等式"'3>d3(α>∣)of(x)>g(x);〃⑶>αS3(0<"<1)=f(x)<g(x)/⑺>b(α>O力>0)=/(x)∙1g0>1g∕>③对数不等式:转化为代数不等式]og,j(χ)>iog,g(χ)(α>i)o.g(χ)>O;IOgaf(X)>1og“g(χ)(O<α<1)=,g(x)>O/(x)>g(x) /(x)<g(x)四、三角不等式: ∣a∣-∣b∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣五、不等式证明的几种常用方法比较法(做差法、做商法)、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。
人教新课标版数学高二-数学必修5第三章《不等式》知识整合
数学·必修5(人教A版)一、本章概述不等关系是中学数学中最基本、最广泛、最普遍的关系.不等关系起源于实数的性质,产生了实数的大小关系、简单不等式、不等式的基本性质,如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系,又产生了重要不等式、基本不等式等.不等式是永恒的吗?显然不是,由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题.解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件,不同类型的不等式又有不同的解法.不等式证明则是推理性问题或探索性问题.推理性即在特定条件下,阐述论证过程,揭示内在规律,基本方法有比较法、综合法、分析法;探索性问题大多是与自然数n有关的证明问题,常采用观察—归纳—猜想—证明的思路,以数学归纳法完成证明.另外,不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等.不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程.不等式的知识渗透在数学中的各个分支,相互之间有着千丝万缕的联系,因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题,诸如集合问题,方程(组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域的确定,以及三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题,这些问题无一不与不等式有着密切的联系.不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题,许多问题最终归结为不等式的求解或证明.解决这类综合问题的一般思维方法是:引参,建立不等关系,解某一主元的不等式(实为分离变元),适时活用基本不等式.其中建立不等关系的常用途径是:①根据题设条件;②判别式法;③基本不等式法;④依据某些变量(如sin x,cos x)的有界性等.不等式的应用体现了一定的综合性、灵活多样性.这类问题大致可以分为两类:一类是建立不等式、解不等式;另一类是建立函数式求最大值或最小值.利用不等式解应用题的基本步骤:①审题;②建立不等式模型;③解决数学问题;④作答.本章中,不等式的证明是难点,解不等式是重点,含参数的不等式综合题是高考命题的热点.掌握不等式的意义和实数的符号法则,是分散难点和解决难点的关键.如能熟悉不等式的性质,认清基本不等式的特点,灵活运用比较、分析、综合等基本方法,认真进行思考和探索,是不难找到解题途径的.要善于进行转化变形,即化无理为有理、化分式为整式、化高次为低次、化绝对值为非绝对值等等,以突破解证不等式这一难关.通过本章的学习达到以下基本目标:1.会用不等式(组)表示不等关系;2.熟悉不等式的性质,能应用不等式的性质求解“范围问题”,会用作差法比较大小;3.会解一元二次不等式,熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系;4.会作二元一次不等式(组)表示的平面区域,会解简单的线性规划问题;5.明确基本不等式及其成立条件,会灵活应用基本不等式证明或求解最值.二、主干知识1.不等式与不等关系.不等式的性质刻画了在一定条件下两个量的不等关系.不等式的性质包括“单向性”和“双向性”.单向性主要用于证明不等式,双向性是解不等式的基础.因为解不等式要求的是同解变形.要正确理解不等式的性质,必须先弄清每一性质的条件和结论、注意条件和结论的放宽和加强,以及条件与结论之间的相互联系.双向性主要有:(1)不等式的基本性质:⎩⎪⎨⎪⎧ a >b ⇔a -b >0,a =b ⇔a -b =0,a <b ⇔a -b <0,这是比较两个实数的大小的依据;(2)a >b ⇔b <a ;(3)a >b ⇔a +c >b +c .单向性主要有:(1)a >b ,b >c ⇒a >c ;(2)a >b ,c >d ⇒a +c >b +d ;(3)a >b ,c >0(c < 0)⇒ac >bc (ac <bc );(4)a >b >0,c >d >0⇒ac >bd ;(5)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d ;(6)a >b >0,m ∈N *⇒a m >b m ;(7)a >b >0,n ∈N *,n >1⇒n a >n b .特别提醒:(1)同向不等式可以相加,异向不等式可以相减.即: 若a >b ,c >d ,则a +c >b +d ;若a >b ,c <d ,则a -c >b -d .但异向不等式不可以相加,同向不等式不可以相减.(2)左右同正不等式,同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘.即:若a >b >0,c >d >0,则ac >bd ;若a >b >0,0<c <d ,则a c >b d .(3)左右同正不等式,两边可以同时乘方或开方.即:若a >b >0,n ∈N *,n >1,则a n >b n 或n a >nb .(4)若ab >0,a >b ,则1a <1b ;若ab <0,a >b ,则1a >1b .如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.2.一元二次不等式及其解法解一元二次不等式常用数形结合法,基本步骤如下:①将一元二次不等式化成ax 2+bx +c >0的形式,②计算判别式并求出相应的一元二次方程的实数解,③画出相应的二次函数的图象,④根据图象和不等式的方向写出一元二次不等式的解集.设相应二次函数的图象开口向上,并与x 轴相交,则有口诀:大于取两边,小于取中间.解含参数的不等式的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键”.要注意对字母参数的讨论,如果遇到下述情况则一般需要讨论:(1)在解含有字母的一元二次不等式时,需要考虑相应的二次函数的开口方向,对应的一元二次方程根的状况(有时要分析Δ),比较两个根的大小,设根为x 1,x 2,要分x 1>x 2、x 1=x 2、x 1<x 2讨论.(2)不等式两端乘或除一个含参数的式子时,则需讨论这个式子的正负.(3)求解过程中,需用指数函数、对数函数的单调性时,则需对它们的底数进行讨论.注意解完之后要写上:“综上,原不等式的解集是…”.若按参数讨论,最后应按参数取值分别说明其解集;若按未知数讨论,最后应求并集.一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的解集:设相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两根为x1、x2且x1≤x2,Δ=b2-4ac,则不等式的解的各种情况如下表所示:二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=(a>0)的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集Δ>0有两相异实根x1,x2(x1<x2){x|x<x1,或x>x2}{x|x1<x<x2}Δ=0有两相等实根x1=x2=-b2a{x|x≠-b2a}∅Δ<0无实根R∅特别提醒:(1)解题中要充分利用一元二次不等式的解集是实数集R和空集∅的几何意义,准确把握一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根及二次函数图象之间的内在联系.(2)解不等式的关键在于保证变形转化的等价性.简单分式不等式可化为整式不等式求解:先通过移项、通分等变形手段将原不等式化为右边为0的形式,然后通过符号法则转化为整式不等式求解.转化为求不等式组的解时,应注意区别“且”、“或”,涉及最后几个不等式的解集是“交”,还是“并”.注意:不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.(3)在解决实际问题时,先要从实际问题中抽象出数学模型,并寻找出该数学模型中已知量与未知量,再建立数学关系式,然后用适当的方法解决问题.(4)解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要的题型,解决这类问题的难点在于对参数进行恰当分类.分类相当于增加了题设条件,便于将问题分而治之.在解题过程中,经常会出现分类难以入手或者分类不完全的现象.强化分类意识,选择恰当的解题切入点,掌握一些基本的分类方法,善于借助直观图形找出分类的界值是解决此类问题的关键.3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.(1)确定二元一次不等式表示的区域的步骤:①在平面直角坐标系中作出直线Ax+By+C=0;②在直线的一侧任取一点P(x0,y0),当C≠0时,常把原点作为特殊点;③将P(x0,y0)代入Ax+By+C求值:若Ax0+By0+C>0,则包含点P的半平面为不等式Ax+By+C>0所表示的平面区域,不包含点P的半平面为不等式Ax+By+C <0所表示的平面区域.也可采用:把二元一次不等式改写成y>kx +b或y<kx+b的形式,前者表示直线的上方区域,后者表示直线的下方区域.(2)线性规划的有关概念:①满足关于x,y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件;②关于变量x,y的解析式叫目标函数,关于变量x,y一次式的目标函数叫线性目标函数;③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,称为线性规划问题;④满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域;⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.(3)解简单线性规划问题的基本步骤:①根据实际问题的约束条件列出不等式;②作出可行域,写出目标函数;③确定目标函数的最优位置,从而获得最优解.具体来讲有以下5步:a.画图:画出线性约束条件所表示的平面区域即可行域;b.定线:令z=0,得一过原点的直线;c.平移:在线性目标函数所表示的一组平行线中,利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线;d.求最优解:通过解方程组求出最优解;e.求最值:求出线性目标函数的最大或最小值.特别提醒:(1)画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,区域包括边界线,因此,将边界直线画成实线;无等号时区域不包括边界线,用虚线表示不包含直线l.(2)Ax+By+C>0表示在直线Ax+By+C=0(B>0)的上方,Ax +By+C<0表示在直线Ax+By+C=0(B>0)的下方.(3)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l:Ax+By+C=0,若Ax1+By1+C与Ax2+By2+C同号,则P,Q在直线l的同侧,异号则在直线l的异侧.(4)在求解线性规划问题时要注意:①将目标函数改成斜截式方程;②寻找最优解时注意作图规范.4.基本不等式ab≤a+b 2.(1)基本不等式:设a,b是任意两个正数,那么ab≤a+b2.当且仅当a=b时,等号成立.①基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.②如果把a+b2看做是正数a,b的等差中项,ab看做是正数a,b的等比中项,那么基本不等式也可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.③基本不等式ab≤a+b2几何意义是“半径不小于半弦”.(2)对基本不等式的理解:①基本不等式的左式为和结构,右式为积的形式,该不等式表明两正数a ,b 的和与两正数a ,b 的积之间的大小关系,运用该不等式可作和与积之间的不等变换.②“当且仅当a =b 时,等号成立”的含义:a .当a =b 时等号成立的含意是:a =b ⇒a +b 2=ab ; b .仅当a =b 时等号成立的含意是:a +b 2=ab ⇒a =b ; 综合起来,其含意是:a +b 2=ab ⇔a =b . (3)设a ,b ∈R ,不等式a 2+b 2≥2ab ⇔ab ≤a 2+b 22⇔ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 22. (4)基本不等式的几种变式:设a >0,b >0,则a +1a ≥2,b a +a b ≥2,a 2b ≥2a -b .(5)常用的几个不等式:① a 2+b 22≥a +b 2≥ab ≥21a +1b(根据目标不等式左右的运算结构选用);②设a ,b ,c ∈R ,则a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca (当且仅当a =b =c 时,取等号);③真分数的性质:若a >b >0,m >0,则b a <b +m a +m(糖水的浓度问题).特别提醒:(1)用基本不等式求函数的最值时,要特别注意“一正、二定、三相等,和定积最大,积定和最小”这17字方针.常用的方法为:拆、凑、平方.(2)用基本不等式证明不等式时,应重视对所证不等式的分析和化归,应观察不等式左右两边的结构,注意识别轮换对称式,此时可先证一部分,其他同理可证,然后再累加或累乘.题型1 恒成立问题(1)若不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上f (x )min >A ;(2)若不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上f (x )max <B .设函数f (x )=x ,g (x ) =x +a (a >0),若x ∈[1,4]时不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )-ag (x )f (x )≤1恒成立,求a 的取值范围.解析:由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )-ag (x )f (x )≤1⇔-1≤f (x )-ag (x )f (x )≤1,得0≤ag (x )f (x )≤2, 即ax +a 2x ≤2在x ∈[1,4]上恒成立,也就是ax +a 2≤2x 在x ∈[1,4]上恒成立.令t =x ,则t ≥0,且x =t 2,由此可得 at 2-2t +a 2≤0在t ∈[1,2]上恒成立,设g (t ) = at 2-2t +a 2,则只需⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≤0,g (2)≤0⇒⎩⎨⎧a -2+a 2≤0,4a -4+a 2≤0,解得 0<a ≤22-2,即满足题意的a 的取值范围是(0,22-2].题型2 能成立问题(1)若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立,则等价于在区间D 上的f (x )max >A ;(2)若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立,则等价于在区间D 上的f (x )min <B .若存在x ∈R ,使不等式|x -4|+|x -3|<a 成立,求实数a的取值范围.解析:设f (x )=|x -4|+|x -3|,依题意f (x )的最小值<a .又f (x )=|x -4|+|x -3|≥|(x -4)-(x -3)|=1(等号成立的条件是3≤x ≤4).故f (x )的最小值为1,∴a >1.即实数a 的取值范围是(1,+∞).题型3 恰成立问题(1)若不等式f (x )>A 在区间D 上恰成立,则等价于不等式f (x )>A 的解集为D ;(2)若不等式f (x )<B 在区间D 上恰成立,则等价于不等式f (x )<B 的解集为D .已知函数y =2x 2-ax +10x 2+4x +6的最小值为1,求实数a 的取值集合.解析:由y ≥1即2x 2-ax +10x 2+4x +6≥1⇒x 2-(a +4)x +4≥0恒成立,∴Δ=(a +4)2-16≤0,解得-8≤a ≤0(必要条件).再由y =1有解,即2x 2-ax +10x 2+4x +6=1有解,⇒x 2-(a +4)x +4=0有解,得:Δ=(a +4)2-16≥0,解得a ≤-8或a ≥0.综上即知a =-8或a =0时,y min =1,故所求实数a 的取值集合是{-8,0}.题型4 利用基本不等式求最值基本不等式通常用来求最值问题:一般用a +b ≥2ab (a >0,b>0)解“定积求和,和最小”问题,用ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a +b 22求“定和求积,积最大”问题,一定要注意适用的范围和条件:“一正、二定、三相等”,特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法,构造定值条件的方法,和对等号能否成立的验证.若等号不能取到,则应用函数单调性来求最值,还要注意运用基本不等式解决实际问题.已知0<x <2,求函数y =x (8-3x )的最大值.解析:∵0<x <2,∴0<3x <6,8-3x >0, ∴y =x (8-3x )=13·3x ·(8-3x )≤132+-⎛⎫⎪⎝⎭3x 83x 2=163, 当且仅当3x =8-3x ,即x =43时,取等号,∴当x =43时,y =x (8-3x )有最大值为163.设函数f (x )=x +2x +1,x ∈[0,+∞).求函数f (x )的最小值.解析:f (x )=x +2x +1=(x +1)+2x +1-1,∵x ∈[0,+∞),∴x +1>0,2x +1>0,∴x +1+2x +1≥2 2.当且仅当x +1=2x +1,即x =2-1时,f (x )取最小值. 此时f (x )min =22-1.题型5 简单线性规划问题求目标函数在约束条件下的最优解,一般步骤为:一是寻求约束条件和目标函数,二是作出可行域,三是在可行域内求目标函数的最优解,特别注意目标函数z =ax +by +c 在直线ax +by =0平移过程中变化的规律和图中直线斜率关系.简单的线性规划应用题在现实生活中的广泛应用也是高考的热点.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,x +3y ≥4,3x +y ≤4所表示的平面区域被直线y =kx +43分为面积相等的两部分,则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34解析:不等式组表示的平面区域如图所示:由于直线y =kx +43过定点⎝⎛⎭⎪⎫0,43,因此只有直线过AB 中点时,直线y =kx +43能平分平面区域,因为A (1,1),B (0,4),所以AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,52.当y =kx +43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12,52时,52=k 2+43,所以k =73.答案:A题型6 三个二次(二次函数、二次不等式、二次方程)问题 一元二次方程、一元二次不等式与二次函数三者之间形成一个关系密切、互为关联、互为利用的知识体系.将二次函数看作主体,一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零(零点)和不为零的两种情况,一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二次不等式来讨论,而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系,通过二次函数的图象揭示解(集)的几何特征.当m 为何值时,方程2x 2+4mx +3m -1=0有两个负根?解析:方程2x 2+4mx +3m -1=0有两个负根,则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ=(4m )2-4×2×(3m -1)≥0,-b a =-4m 2=-2m <0,c a =3m -12>0,即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12或m ≥1,m >0,m >13.∴当m ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫m 13<m ≤12或m ≥1时,原方程有两个负根.题型7 不等式与函数的综合问题定义在(-1,1)上的奇函数f (x )在整个定义域上是减函数,且f (1-a )+f (1-a 2)<0,求实数 a 的取值范围.解析:∵f (x )的定义域为(-1,1),∴⎩⎨⎧-1<1-a <1,-1<1-a 2<1,∴⎩⎨⎧0<a <2,-2<a <2且a ≠0,∴0<a <2,①原不等式变形为f (1-a )<-f (1-a 2). 由于f (x )为奇函数,有-f (1-a 2)=f (a 2-1), ∴f (1-a )<f (a 2-1). 又f (x )在(-1,1)上是减函数,∴1-a >a 2-1,解得-2<a <1.② 由①②可得0<a <1, ∴a 的取值范围是(0,1).题型8 求分式函数的最值求函数y =x 4+3x 2+3x 2+1的最小值.解析:y =(x 4+2x 2+1)+(x 2+1)+1x 2+1=(x 2+1)+1x 2+1+1≥2(x 2+1)·1x 2+1+1=3,当且仅当x 2+1=1x 2+1,即x 2+1=1,即x =0时等号成立.。
高中数学必修五不等式提纲
高中数学必修五不等式提纲高中数学必修五不等式提纲不等式不等式这部分学问,渗透在中学数学各个分支中,有着非常广泛的应用。
因此不等式应用问题表达了肯定的综合性、敏捷多样性,对数学各部分学问融会贯穿,起到了很好的促进作用。
在解决问题时,要根据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案,最终归结为不等式的求解或证明。
不等式的应用范围非常广泛,它始终贯串在整个中学数学之中。
诸如集合问题,方程(组)的解的商量,函数单调性的讨论,函数定义域确实定,三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的值、最小值问题,无一不与不等式有着亲密的联系,很多问题,最终都可归结为不等式的求解或证明。
学问整合1。
解不等式的核心问题是不等式的同解变形,不等式的性质则是不等式变形的理论根据,方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法亲密相关,要擅长把它们有机地联系起来,相互转化。
在解不等式中,换元法和图解法是常用的技巧之一。
通过换元,可将较冗杂的不等式化归为较简洁的或基本不等式,通过构造函数、数形结合,则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系,对含有参数的不等式,运用图解法可以使得分类标准明晰。
2。
整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础,利用不等式的性质及函数的单调性,将分式不等式、肯定值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想,分类、换元、数形结合是解不等式的常用〔方法〕。
方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解亲密相关,要擅长把它们有机地联系起来,互相转化和互相变用。
3。
在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较冗杂的不等式化归为较简洁的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰。
4。
证明不等式的方法敏捷多样,但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法。
要根据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟识各种证法中的推理思维,并把握相应的步骤,技巧和语言特点。
高中数学必修5--第三章《不等式》复习知识点总结与练习(一)
高中数学必修5__第三章《不等式》复习知识点总结与练习〔一〕第一节不等关系与不等式[知识能否忆起]1.实数大小顺序与运算性质之间的关系a -b >0⇔a >b ;a -b =0⇔a =b ;a -b <0⇔a <b . 2.不等式的基本性质1.在使用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件.不可强化或弱化成立的条件.如“同向不等式”才可相加,“同向且两边同正的不等式”才可相乘;可乘性中“c 的符号”等也需要注意.2.作差法是比较两数(式)大小的常用方法,也是证明不等式的基本方法.要注意强化化归意识,同时注意函数性质在比较大小中的作用.高频考点1. 比较两个数(式)的大小[例1] 已知等比数列{a n }中,a 1>0,q >0,前n 项和为S n ,试比较S 3a 3与S 5a 5的大小.[自主解答] 当q =1时,S 3a 3=3,S 5a 5=5,所以S 3a 3<S 5a 5;当q >0且q ≠1时,S 3a 3-S 5a 5=a 1(1-q 3)a 1q 2(1-q )-a 1(1-q 5)a 1q 4(1-q )=q 2(1-q 3)-(1-q 5)q 4(1-q )=-q -1q 4<0,所以S 3a 3<S 5a 5. 综上可知S 3a 3<S 5a 5.由题悟法比较大小的常用方法 (1)作差法:一般步骤是:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差.(2)作商法:一般步骤是:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论. (3)特值法:假设是选择题、填空题可以用特值法比较大小;假设是解答题,可先用特值探究思路,再用作差或作商法判断.[注意] 用作商法时要注意商式中分母的正负,否则极易得出相反的结论.以题试法1.(2012·吉林联考)已知实数a 、b 、c 满足b +c =6-4a +3a 2,c -b =4-4a +a 2,则a 、b 、c 的大小关系是( )A .c ≥b >aB .a >c ≥bC .c >b >aD .a >c >b解析:选A c -b =4-4a +a 2=(2-a )2≥0, ∴c ≥b .将题中两式作差得2b =2+2a 2,即b =1+a 2. ∵1+a 2-a =⎝⎛⎭⎫a -122+34>0,∴1+a 2>a . ∴b =1+a 2>a .∴c ≥b >a . 2. 不等式的性质(2012·包头模拟)假设a >0>b >-a ,c <d <0,则以下结论:①ad >bc ;②a d +bc<0;③a -c >b -d ;④a ·(d -c )>b (d -c )中成立的个数是( )A .1B .2C .3D .4(2)∵a >0>b ,c <d <0,∴ad <0,bc >0, ∴ad <bc ,故①错误.∵a >0>b >-a ,∴a >-b >0, ∵c <d <0,∴-c >-d >0, ∴a (-c )>(-b )(-d ),∴ac +bd <0,∴a d +b c =ac +bdcd <0,故②正确.∵c <d ,∴-c >-d ,∵a >b ,∴a +(-c )>b +(-d ), a -c >b -d ,故③正确.∵a >b ,d -c >0,∴a (d -c )>b (d -c ), 故④正确,故选C.由题悟法1.判断一个关于不等式的命题的真假时,先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题的真假,当然判断的同时可能还要用到其他知识,比方对数函数、指数函数的性质.2.特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法,在命题真假未定时,先用特殊值试试,可以得到一些对命题的感性认识,如正好找到一组特殊值使命题不成立,则该命题为假命题.以题试法2.假设a 、b 、c 为实数,则以下命题正确的选项是( ) A .假设a >b ,c >d ,则ac >bd B .假设a <b <0,则a 2>ab >b 2 C .假设a <b <0,则1a <1bD .假设a <b <0,则b a >ab解析:选B A 中,只有a >b >0,c >d >0时,才成立;B 中,由a <b <0,得a 2>ab >b 2成立;C ,D 通过取a =-2,b =-1验证均不正确. 3. 不等式性质的应用典题导入[例3] 已知函数f (x )=ax 2+bx ,且1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4.求f (-2)的取值范围. [自主解答] f (-1)=a -b ,f (1)=a +b . f (-2)=4a -2b .设m (a +b )+n (a -b )=4a -2b .则⎩⎪⎨⎪⎧ m +n =4,m -n =-2,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =1,n =3.∴f (-2)=(a +b )+3(a -b )=f (1)+3f (-1). ∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,∴5≤f (-2)≤10.即f (-2)的取值范围为[5,10].由题悟法利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围,但应注意两点:一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.以题试法3.假设α,β满足⎩⎪⎨⎪⎧-1≤α+β ≤1,1≤α+2β ≤3,试求α+3β的取值范围.解:设α+3β=x (α+β)+y (α+2β)=(x +y )α+(x +2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =1,x +2y =3,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =2.∵-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6, 两式相加,得1≤α+3β≤7.∴α+3β的取值范围为[1,7].第二节一元二次不等式及其解法[知识能否忆起]一元二次不等式的解集二次函数y=ax2+bx+c的图象、一元二次方程ax2+bx+c=0的根与一元二次不等式ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0的解集的关系,可归纳为:判别式Δ=b2-4ac Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有两相异实根x=x1或x=x2有两相同实根x=x1无实根一元二次不等式的解集ax2+bx+c>0(a>0) {x|x<x1或x>x2} {x|x≠x1} R ax2+bx+c<0(a>0){x|x1<x<x2}∅∅假设a<0时,可以先将二次项系数化为正数,对照上表求解.解一元二次不等式应注意的问题:(1)在解一元二次不等式时,要先把二次项系数化为正数.(2)二次项系数中含有参数时,参数的符号会影响不等式的解集,讨论时不要忘记二次项系数为零的情况.(3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号.(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同高频考点1.一元二次不等式的解法典题导入[例1] 解以下不等式: (1)0<x 2-x -2≤4; (2)x 2-4ax -5a 2>0(a ≠0). [自主解答] (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-x -2>0,x 2-x -2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x -2>0,x 2-x -6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x -2)(x +1)>0,(x -3)(x +2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <-1,-2≤x ≤3.借助于数轴,如下图,原不等式的解集为{}x |-2≤x <-1,或2<x ≤3. (2)由x 2-4ax -5a 2>0知(x -5a )(x +a )>0. 由于a ≠0故分a >0与a <0讨论. 当a <0时,x <5a 或x >-a ; 当a >0时,x <-a 或x >5a .综上,a <0时,解集为{}x |x <5a ,或x >-a ;a >0时,解集为{}x |x >5a ,或x <-a .由题悟法1.解一元二次不等式的一般步骤:(1)对不等式变形,使一端为0且二次项系数大于0,即ax 2+bx +c >0(a >0),ax 2+bx +c <0(a >0);(2)计算相应的判别式;(3)当Δ≥0时,求出相应的一元二次方程的根; (4)根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集.2.解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨论;假设不能因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏.以题试法1.解以下不等式: (1)-3x 2-2x +8≥0;(2)ax 2-(a +1)x +1<0(a >0).解:(1)原不等式可化为3x 2+2x -8≤0, 即(3x -4)(x +2)≤0. 解得-2 ≤x ≤43,所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪-2≤x ≤43. (2)原不等式变为(ax -1)(x -1)<0, 因为a >0,所以⎝⎛⎭⎫x -1a (x -1)<0. 所以当a >1时,解为1a <x <1;当a =1时,解集为∅; 当0<a <1时,解为1<x <1a.综上,当0<a <1时,不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ; 当a =1时,不等式的解集为∅;当a >1时,不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1. 2.一元二次不等式恒成立问题典题导入[例2] 已知f (x )=x 2-2ax +2(a ∈R ),当x ∈[-1,+∞)时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围.[自主解答] 法一:f (x )=(x -a )2+2-a 2,此二次函数图象的对称轴为x =a . ①当a ∈(-∞,-1) 时,f (x )在[-1,+∞)上单调递增,f (x )min =f (-1)=2a +3. 要使f (x )≥a 恒成立,只需f (x )min ≥a ,即2a +3≥a ,解得-3≤a <-1; ②当a ∈[-1,+∞)时,f (x )min =f (a )=2-a 2,由2-a 2≥a ,解得-1 ≤a ≤1. 综上所述,a 的取值范围为[-3,1].法二:令g (x )=x 2-2ax +2-a ,由已知,得x 2-2ax +2-a ≥0在[-1,+∞)上恒成立,即Δ=4a 2-4(2-a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0,a <-1,g (-1)≥0.解得-3 ≤a ≤1.所求a 的取值范围是[-3,1].此题中的“x ∈[-1,+∞)改为“x ∈[-1,1)”,求a 的取值范围.解:令g (x )=x 2-2ax +2-a ,由已知,得x 2-2ax +2-a ≥0在[-1,1)上恒成立,即Δ=4a 2-4(2-a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0,a <-1,g (-1)≥0或⎩⎨⎧Δ>0,a >1,g (1)≥0.解得-3≤a ≤1,所求a 的取值范围是[-3,1] .由题悟法1.对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方;恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.2.一元二次不等式恒成立的条件:(1)ax 2+bx +c >0(a ≠0)(x ∈R ) 恒成立的充要条件是: a >0且b 2-4ac <0.(2)ax 2+bx +c <0(a ≠0)(x ∈R )恒成立的充要条件是: a <0且b 2-4ac <0.以题试法2.(2012·九江模拟)假设关于x 的不等式x 2-ax -a >0的解集为(-∞,+∞),则实数a 的取值范围是________;假设关于x 的不等式x 2-ax -a ≤-3的解集不是空集,则实数a 的取值范围是________.解析:由Δ1<0,即a 2-4(-a )<0,得-4<a <0; 由Δ2≥0,即a 2-4(3-a )≥0,得a ≤-6或a ≥2. 答案:(-4,0) (-∞,-6]∪[2,+∞) 2. 一元二次不等式的应用典题导入[例3] 某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.假设售价降低x成(1成=10%),售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ,试求y 与x 之间的函数关系式y =f (x ),并写出定义域; (2)假设再要求该商品一天营业额至少为10 260元,求x 的取值范围. [自主解答] (1)由题意得y =100⎝⎛⎭⎫1-x 10·100⎝⎛⎭⎫1+850x . 因为售价不能低于成本价, 所以100⎝⎛⎭⎫1-x10-80≥0. 所以y =f (x )=20(10-x )(50+8x ),定义域为[0,2]. (2)由题意得20(10-x )(50+8x )≥10 260, 化简得8x 2-30x +13≤0. 解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12,2.由题悟法解不等式应用题,一般可按如下四步进行:(1)认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系; (2)引进数学符号,用不等式表示不等关系; (3)解不等式; (4)答复实际问题.以题试法3.某同学要把自己的电脑接入因特网.现有两家ISP 公司可供选择.公司A 每小时收费1.5元;公司B 在用户每次上网的第1小时内收费1.7元,第2小时内收费1.6元,以后每小时减少0.1元(假设用户一次上网时间超过17小时,按17小时计算).假设该同学一次上网时间总是小于17小时,那么该同学如何选择ISP 公司较省钱?解:假设一次上网x 小时,则公司A 收取的费用为1.5x 元,公司B 收取的费用为x (35-x )20元.假设能够保证选择A 比选择B 费用少,则 x (35-x )20>1.5x (0<x <17),整理得x 2-5x <0,解得0<x <5,所以当一次上网时间在5小时内时,选择公司A 的费用少;超过5小时,选择公司B 的费用少.练习题[小题能否全取]1.(教材习题改编)以下命题正确的选项是( ) A .假设ac >bc ⇒a >b B .假设a 2>b 2⇒a >b C .假设1a >1b ⇒a <bD .假设a <b ⇒a <b答案:D2.假设x +y >0,a <0,ay >0,则x -y 的值( ) A .大于0 B .等于0 C .小于0D .不确定解析:选A 由a <0,ay >0知y <0,又x +y >0,所以x >0.故x -y >0. 4.12-1________3+1(填“>”或“<”). 解析:12-1=2+1<3+1. 答案:<5.已知a ,b ,c ∈R ,有以下命题:①假设a >b ,则ac 2>bc 2;②假设ac 2>bc 2,则a >b ; ③假设a >b ,则a ·2c >b ·2c .其中正确的选项是____________(请把正确命题的序号都填上). 解析:①假设c =0则命题不成立.②正确.③中由2c >0知成立. 答案:②③4.假设x >y, a >b ,则在①a -x >b -y ,②a +x >b +y ,③ax >by ,④x -b >y -a ,⑤a y >bx这五个式子中,恒成立的所有不等式的序号是________. 解析:令x =-2,y =-3,a =3,b =2, 符合题设条件x >y ,a >b ,∵a -x =3-(-2)=5,b -y =2-(-3)=5, ∴a -x =b -y ,因此 ①不成立.又∵ax =-6,by =-6,∴ax =by ,因此③也不正确. 又∵a y =3-3=-1,b x =2-2=-1,∴a y =bx,因此⑤不正确. 由不等式的性质可推出 ②④成立. 答案:②④[小题能否全取]1.(教材习题改编)不等式x (1-2x )>0的解集是( ) A.⎝⎛⎭⎫-∞,12 B.⎝⎛⎭⎫0,12 C .(-∞,0)∪⎝⎛⎭⎫12,+∞D.⎝⎛⎭⎫12,+∞ 答案:B2.不等式9x 2+6x +1≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠-13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫-13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪-13≤x ≤13D .R答案:B3.(2011·福建高考)假设关于x 的方程x 2+mx +1=0有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是( )A .(-1,1)B .(-2,2)C .(-∞,-2)∪(2,+∞)D .(-∞,-1)∪(1,+∞)解析:选C 由一元二次方程有两个不相等的实数根,可得:判别式Δ>0,即m 2-4>0,解得m <-2或m >2.4.(2012·天津高考)已知集合A ={x ∈R ||x +2|<3},集合B ={x ∈R |(x -m )(x -2)<0},且A ∩B =(-1,n ),则m =__________,n =________.解析:因为|x +2|<3,即-5<x <1,所以A =(-5,1),又A ∩B ≠∅,所以m <1,B =(m,2),由A ∩B =(-1,n )得m =-1,n =1.答案:-1 15.不等式1x -1<1的解集为________.解析:由1x -1<1得1-1x -1>0,即x -2x -1>0,解得x <1,或x >2.答案:{x |x <1,或x >2}1.(2012·重庆高考)不等式x -1x +2<0的解集为( )A .(1,+∞)B .(-∞,-2)C .(-2,1)D .(-∞,-2)∪(1,+∞)解析:选C 原不等式化为(x -1)(x +2)<0,解得-2<x <1,故原不等式的解集为(-2,1).2.(2013·湘潭月考)不等式4x -2≤x -2的解集是( )A .(-∞,0]∪(2,4]B .[0,2)∪[4,+∞)C .[2,4)D .(-∞,2]∪(4,+∞)解析:选B ①当x -2>0即x >2时,原不等式等价于(x -2)2≥4,解得x ≥4. ②当x -2<0即x <2时,原不等式等价于(x -2)2≤4, 解得0≤x <2.3.关于x 的不等式x 2-(a +1)x +a <0的解集中,恰有3个整数,则a 的取值范围是( ) A .(4,5) B .(-3,-2)∪(4,5) C .(4,5]D .[-3,-2)∪(4,5]解析:选D 原不等式可能为(x -1)(x -a )<0,当a >1时得1<x <a ,此时解集中的整数为2,3,4,则4<a ≤5,当a <1时得a <x <1,则-3≤a <-2,故a ∈[-3,-2)∪(4,5]4.假设(m +1)x 2-(m -1)x +3(m -1)<0对任何实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是( )A .(1,+∞)B .(-∞,-1)C.⎝⎛⎭⎫-∞,-1311D.⎝⎛⎭⎫-∞,-1311∪(1,+∞) 解析:选C ①m =-1时,不等式为2x -6<0,即x <3,不合题意.②m ≠-1时,⎩⎪⎨⎪⎧m +1<0,Δ<0,解得m <-1311.6.(2012·长沙模拟)已知二次函数f (x )=ax 2-(a +2)x +1(a ∈Z ),且函数f (x )在(-2,-1)上恰有一个零点,则不等式f (x )>1的解集为( )A .(-∞,-1)∪(0,+∞)B .(-∞,0)∪(1,+∞)C .(-1,0)D .(0,1)解析:选C ∵f (x )=ax 2-(a +2)x +1, Δ=(a +2)2-4a =a 2+4>0,∴函数f (x )=ax 2-(a +2)x +1必有两个不同的零点, 又f (x )在(-2,-1)上有一个零点,则f (-2)f (-1)<0, ∴(6a +5)(2a +3)<0,解得-32<a <-56.又a ∈Z ,∴a =-1.不等式f (x )>1,即-x 2-x >0,解得-1<x <0.7.假设不等式k -3x -3>1的解集为{x |1<x <3},则实数k =________.解析:k -3x -3>1,得1-k -3x -3<0,即x -k x -3<0,(x -k )(x -3)<0,由题意得k =1.答案:18.不等式x 2-2x +3 ≤a 2-2a -1在R 上的解集是∅,则实数a 的取值范围是________. 解析:原不等式即x 2-2x -a 2+2a +4≤0,在R 上解集为∅, ∴Δ=4-4(-a 2+2a +4)<0, 即a 2-2a -3<0, 解得-1<a <3. 答案:(-1,3)9.(2012·陕西师大附中模拟)假设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +5,x <3,2x -m ,x ≥3,且f (f (3))>6,则m 的取值范围为________.解析:由已知得f (3)=6-m ,①当m ≤3时,6-m ≥3,则f (f (3))=2(6-m )-m =12-3m >6,解得m <2;②当m >3时,6-m <3,则f (f (3))=6-m +5>6,解得3<m <5.综上知,m <2或3<m <5.答案:(-∞,2)∪(3,5) 10.解以下不等式: (1)8x -1≤16x 2;(2)x 2-2ax -3a 2<0(a <0).解:(1)原不等式转化为16x 2-8x +1≥0,即(4x -1)2 ≥0,则x ∈R , 故原不等式的解集为R .(2)原不等式转化为(x +a )(x -3a )<0, ∵a <0,∴3a <-a ,得3a <x <-a .故原不等式的解集为{x |3a <x <-a }.11.一个服装厂生产风衣,月销售量x (件)与售价p (元/件)之间的关系为p =160-2x ,生产x 件的成本R =500+30x (元).(1)该厂月产量多大时,月利润不少于1 300元?(2)当月产量为多少时,可获得最大利润,最大利润是多少? 解:(1)由题意知,月利润y =px -R , 即y =(160-2x )x -(500+30x ) =-2x 2+130x -500.由月利润不少于1 300元,得-2x 2+130x -500≥1 300. 即x 2-65x +900≤0,解得20≤x ≤45.故该厂月产量在20~45件时,月利润不少于1 300元. (2)由(1)得,y =-2x 2+130x -500 =-2⎝⎛⎭⎫x -6522+3 2252, 由题意知,x 为正整数.故当x =32或33时,y 最大为1 612.所以当月产量为32或33件时,可获最大利润,最大利润为1 612元.12.设二次函数f (x )=ax 2+bx +c ,函数F (x )=f (x )-x 的两个零点为m ,n (m <n ). (1)假设m =-1,n =2,求不等式F (x )>0的解集; (2)假设a >0,且0<x <m <n <1a ,比较f (x )与m 的大小.解:由题意知,F (x )=f (x )-x =a (x -m )·(x -n ), 当m =-1,n =2时,不等式F (x )>0, 即a (x +1)(x -2)>0.当a>0时,不等式F(x)>0的解集为{x|x<-1,或x>2};当a<0时,不等式F(x)>0 的解集为{x|-1<x<2}.(2)f(x)-m=a(x-m)(x-n)+x-m=(x-m)(ax-an+1),,∵a>0,且0<x<m<n<1a∴x-m<0,1-an+ax>0.∴f(x)-m<0,即f(x)<m.。
高中数学必修5知识点(不等式)
第三章 不等式1、0a b a b ->⇔>;0a b a b -=⇔=;0a b a b -<⇔<.2、不等式的性质: ①a b b a >⇔<;②,a b b c a c >>⇒>;③a b a c b c >⇒+>+; ④,0a b c ac bc >>⇒>,,0a b c ac bc ><⇒<;⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+; ⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>;⑦()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >; ⑧)0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >.3、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式.4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++()0a >的图象一元二次方程20ax bx c ++=()0a >的根有两个相异实数根1,22b x a-±∆=()12x x <有两个相等实数根122b x x a==-没有实数根一元二次不等式的解集20ax bx c ++>()0a >{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R20ax bx c ++<()0a >{}12x xx x <<∅ ∅5、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式.6、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.7、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(),x y ,所有这样的有序数对(),x y 构成的集合.8、在平面直角坐标系中,已知直线0x y C A +B +=,坐标平面内的点()00,x y P . ①若0B >,000x y C A +B +>,则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方. ②若0B >,000x y C A +B +<,则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方. 9、在平面直角坐标系中,已知直线0x y C A +B +=.①若0B >,则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域;0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=下方的区域.②若0B <,则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域;0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=上方的区域.10、线性约束条件:由x ,y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是x ,y 的线性约束条件.目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ,y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为x ,y 的一次解析式.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解(),x y . 可行域:所有可行解组成的集合.最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.11、设a 、b 是两个正数,则2a b+称为正数a 、b a 、b 的几何平均数.12、均值不等式定理: 若0a >,0b >,则a b +≥2a b+≥. 13、常用的基本不等式:①()222,a b ab a b R +≥∈;②()22,2a b ab a b R +≤∈;③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭;④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭.14、极值定理:设x 、y 都为正数,则有⑴若x y s +=(和为定值),则当x y =时,积xy 取得最大值24s .⑵若xy p =(积为定值),则当x y =时,和x y +取得最小值.。
高中数学必修5第三章3.2一元二次不等式式及其解法
≤
3 2
或x
≥1
1 x 3
因此1≤x<3,所求函数的定义域是[1,3).
思考题1
已知ax2 +2x
+c
>
0的解集为 禳镲睚x
-
1
<
x
<
1
,
镲铪 3 2
试求a, c的值,并解不等式 - cx2 +2x - a > 0。
解:对于任意实数x,
x2-2x+3=(x-1)2+2>0,
因此不等式(1)的解集为
实数集R,
y
3
不等式(2)无解,或说它 2
的解集为空集.
1
x
-1 O 1 2 3 -1
练习2.解不等式1-x-4x2>0.
解:原不等式可化为4x2+x-1<0,
因为△=12-4×4×(-1)>0,
方程4x2+x-1=0的根是
一元二次不等式及其解法
定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次 数是2的不等式,叫一元二次不等式。
一元二次不等式的一般表达式为 ax2+bx+c>0 (a≠0),或ax2+bx+c<0 (a≠0)
其中a,b,c均为常数。
一元二次不等式一般表达式的左边,恰 是关于自变量x的二次函数f(x)的解析式,
2a
韦达定理
x1
x2
b a
,
x1x2
c a
(2)二次函数
y ax2 bx c(a 0)
开口方向;
b 对称轴 x
高中数学必修5(人教A版)第三章不等式3.2知识点总结含同步练习及答案
(2)因为
为整式不等式
解得 x <
3 或 x > 4,所以原不等式的解集为 2 3 ∣ {x ∣ x < 或x > 4} . ∣ 2
4.高次不等式的解法 描述: 高次不等式的解法 解一元高次不等式一般利用数轴穿根法(或称根轴法)求解,其步骤是: (1)将 f (x) 最高次项系数化为正数; (2)将 f (x) 分解为若干个一次因式的乘积或二次不可分因式的乘积; (3)求出各因式的零点,并在数轴上依次标出; (4)从最右端上方起,自右至左依次通过各根画曲线,遇到奇次重根要一次穿过,遇到偶次重根 要穿而不过; (5)记数轴上方为正,下方为负,根据曲线显现出的 f (x) 的值的符号变化规律,写出不等式 的解集. 例题: 解不等式 (x + 2)(x + 1)2 (x − 1)3 (x − 2) < 0 . 解:不等式中各因式的实数根为 −2,−1,1 ,2 . 利用根轴法,如图所示.
2 )(x − a) ⩽ 0 . a 2 2 ① 当 < a ,即 a > √2 时,原不等式的解集为 {x| ⩽ x ⩽ a}. a a 2 2 ② 当 > a ,即 0 < a < √2 时,原不等式的解集为 {x|a ⩽ x ⩽ }. a a 2 ③ 当 = a ,即 a = √2 时,原不等式的解集为 {x|x = √2 } . a 2 (3)当 a < 0 时,原不等式化为 (x − )(x − a) ⩾ 0 . a 2 2 ① 当 < a ,即 −√2 < a < 0 时,原不等式的解集为 {x|x ⩽ 或x ⩾ a} . a a 2 2 ② 当 > a ,即 a < −√2 时,原不等式的解集为 {x|x ⩽ a或x ⩾ }. a a 2 ③ 当 = a ,即 a = −√2 时,原不等式的解集为 R. a
[高一数学必修5不等式知识点总结范文]高一数学必修五不等式
[高一数学必修5不等式知识点总结范文]高一数学必修五不等式不等式(inequality)用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。
例如2某+2y≥2某y,in某≤1,e某>0,2某<3等根据解析式的分类也可对不等式分类,不等号两边的解析式都是代数式的不等式,称为代数不等式;只要有一边是超越式,就称为超越不等式。
例如lg(1+某)>某是超越不等式。
通常不等式中的数是实数,字母也代表实数,不等式的一般形式为F(某,y,……,z)≤G(某,y,……,z)(其中不等号也可以为<,≥,>中某一个),两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域,不等式既可以表达一个命题,也可以表示一个问题。
不等式的最基本性质有:①如果某>y,那么yy;②如果某>y,y>z;那么某>z;③如果某>y,而z为任意实数,那么某+z>y+z;④如果某>y,z>0,那么某z>yz;⑤如果某>y,z<0,那么某z由不等式的基本性质出发,通过逻辑推理,可以论证大量的初等不等式,其中比较有名的有:柯西不等式:对于2n个任意实数某1,某2,…,某n和y1,y2,…,yn,恒有(某1y1+某2y2+…+某nyn)2≤(某12+某22+…+某n2)(y12+y22+…+yn2)。
排序不等式:对于两组有序的实数某1≤某2≤…≤某n,y1≤y2≤…≤yn,设yi1,yi2,…,yin是后一组的任意一个排列,记S=某1yn+某2yn-1+…+某ny1,M=某1yi1+某2yi2+…+某nyin,L=某1y1+某2y2+…+某nyn,那么恒有S≤M≤L。
根据不等式的基本性质,也可以推出解不等式可遵循的一些同解原理。
主要的有:①不等式F(某)<G(某)与不等式G(某)>F(某)同解。
②如果不等式F(某)<G(某)的定义域被解析式H(某)的定义域所包含,那么不等式F(某)0,那么不等式F(某)H(某)G(某)同解。
北师大版数学高二-必修5素材 3.1关于不等式“同向相加的四点注记
关于不等式“同向相加”的四点注记解答不等式问题中有一条用得比较多的性质——同向相加,即若a >b ,c >d ,则a +c >b +d.在使用这一性质解决问题时,如果对此性质没有深刻透彻的理解,常常会出现各种错误.下面就此性质在应用时提出四点注意之处.一、注意化“减”为“加”由于没有不等式相减的性质,所以遇到相减的问题时,应转化为加法运算.例1已知a >b >0,c <d <0,m <0,求证:m a -c >m b -d. 证明:∵c <d <0,∴-c >-d >0,又∵a >b >0,∴a -c >a -d >0,∴1a -c <1b -d. 又∵m <0,∴m a -c >m b -d. 二、注意同向相加可扩充到有限个等号成立的条件教材中的不等式同向相加的性质只涉及到两个不等式,实质上同向相加的性质可扩充到有限个不等式的情形.例2已知0<a <1, 0<b <1,0<c <1,求证:(1-a)b ,(1-b)c ,(1-c)a 不能都大于14. 证明:假设(1-a)b >14,(1-b)c >14,(1-c)a >14,则 ∵0<a <1,0<b <1,0<c <1,∴b 和1-a 都是正数,∵(1-a -b)2≥0,展开得(1-a)+b 2≥(1-a)b > 1 4 =12,即(1-a)+b 2>12, 同理可得,(1-b)+c 2>12,(1-c)+a 2>12, ∴(1-a)+b 2+(1-b)+c 2+(1-c)+a 2>12+12+12, ∴32>32,此为矛盾,∴结论成立. 三、注意等号成立的条件若干个含有等号同向不等式相加时,要注意等号成立的条件,只有每个不等式取等号的条件一致时,相加后的不等式才能取等号,否则,就必须去掉等号.例3已知a 、b ﹑c 是不相等的正数,求证:a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)+c(a 2+b 2)>6abc. 证明:∵(b -c) 2≥0,∴b 2+c 2-2bc≥0,即b 2+c 2≥2bc ,又a >0,∴a(b 2+c 2)≥2abc ,同理b(c 2+a 2)≥2abc ,c(a 2+b 2)≥2abc ,∵a 、b 、c 不全相等,∴以上三式中至少有一式不取等号(这是在论证中极易忽略的), 故a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)+c(a 2+b 2)>6abc.例4设函数f(x)的值域为,求函数y =g(x)=f(x)+1-2f(x)的值域.解:由38≤f(x)≤49,得19≤1-2f(x)≤14,则13≤1-2f(x)≤12, 两式同向相加,得1724≤f(x)+1-2f(x)≤1718,即函数的值域为. 上面的解法是错误的,这是因为当f(x)=49时,1-2f(x)=13,g(x)=f(x)+1-2f(x)=49+13=79≠1718,同理g(x)≠1724,所以1724≤g(x)≤1718,扩大了g(x)的值域,故不是函数g(x)的值域. 正确的解法:令t =1-2f(x),则f(x)=1-t 22,由1-2f(x)≥0,得f(x)≤12, ∵f(x)∈,∴38≤1-t 22≤49,∴19≤t 2≤14,∴13≤t≤12, 此时y =t +1-t 22=-12(t 2-2t -1)=-12(t -1)2+1, ∴当x =13时,y min =79,当x =12时,y max =78, ∴所求函数的值域为.四、注意同向相加的不可逆性在求函数的值域或某些取值范围时,一般不宜用同向相加,因为此性质是单向的,不具有可逆性,可能使函数的值域或所求的取值范围扩大.例5已知函数f(x)=ax 2-c ,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.解:依题意,得⎩⎨⎧ -4≤a -c≤-1…①-1≤4a -c≤5…②, 由①得1≤c -a≤4…③,再由②+③得0≤a≤3,∴0≤9a≤27…④由③×4得4≤4c -4a≤16…⑤,再由②+④得1≤c≤7,∴-7≤-c≤-1…⑥由④+⑥得-7≤9a -c≤26,即-7≤f(3)≤26.以上解法其错误原因在于,由①、③得到不等式④﹑⑥是利用了不等式性质中的加法法则,而此性质是单向的,不具有可逆性,从而使得a,c 的范围扩大,这样f(3)的范围也就随之扩大了.正确的解法:利用f(1)与f(2)设法表示a,c ,然后再代入f(3)的表达式中,从而用f(1)与f(2)来表示f(3),最后运用已知条件确定f(3)的取值范围.∵f(x)=ax 2-c ,∴⎩⎨⎧ f(1)=a -c f(2)=4a -c ,即⎩⎨⎧ a -c =f(1)4a -c =f(2),解之得⎩⎨⎧ a =13[f(2)-f(1)]c =13f(2)-43f(1), ∴f(3)=9a -c =83f(2)-53f(1),∵4≤f(1)≤-1,∴53≤-53f(1)≤203…①, 又∵-1≤f(2)≤5,∴-83≤f(2)≤403…②,把①和②的各边分别相加,得: -1≤83f(2)-53f(1)≤20,即-1≤f(3)≤20.。
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不等式知识总结
一、不等式的主要性质:
(1)对称性:a b b a <⇔> (2)传递性:c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+⇒>; d b c a d c b a +>+⇒>>,
(4)乘法法则:bc ac c b a >⇒>>0,;bc ac c b a <⇒<>0,;bd ac d c b a >⇒>>>>0,0 (5)倒数法则:b
a a
b b a 1
10,<⇒
>>; (6)乘方法则:)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且
二、一元二次不等式02>++c bx ax (0>a )和)0(02><++a c bx ax 及其解法
0>∆ 0=∆ 0<∆
二次函数
c bx ax y ++=2
的图象
)
)((212x x x x a c bx ax y --=++= )
)((212x x x x a c bx ax y --=++=
c bx ax y ++=2
一元二次方程
02
=++c bx ax 有两相异实根
)(,2121x x x x <
有两相等实根
a
b x x 221-
== 无实根
02>++c bx ax {}21x x x x x
><或
⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧-
≠a b x x 2 R
02<++c bx ax
{}21x x x x
<<
∅
∅
顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于取两边,小于取中间 三、均值不等式:若0a >,0b >,则2a b ab +≥,即).""(2
号时取当且仅当==≥+b a ab b
a 1. 使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等
2、常用的基本不等式:①()2
2
2,a b ab a b R +≥∈;②()22
,2
a b ab a b R +≤∈;
③()20,02a b ab a b +⎛⎫
≤>> ⎪⎝⎭;④()2
22,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭;⑤)0(2>≥+ab b a a b 3、平均不等式:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数),即
22211
22
a b a b
ab a b
++≥≥
≥
+(当a = b 时取等)
4、极值定理:设x 、y 都为正数,则有⑴若x y s +=(和为定值),则当x y =时,积xy 取得最大值2
4
s .
⑵若xy p =(积为定值),则当x y =时,和x y +取得最小值.
四、含有绝对值的不等式
1、绝对值的几何意义:||x 是指数轴上点x 到原点的距离;12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离
2、解含有绝对值不等式的主要方法:(1)解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次)不等式(组)进行求解;(2)去掉绝对值的主要方法有:
①公式法:|| (0)x a a a x a <>⇔-<<,|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-. ②定义法:零点分段法; ③平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方.
五、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
()()0()
()
0()()0;0()0()
()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨
≠⎩
六、数轴穿根法: 奇穿,偶不穿 例题:不等式03
)4)(23(2
2≤+-+-x x x x 的解为
七、线性规划:
1、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域” (1)在平面直角坐标系中作出直线Ax +By +C =0;
(2)在直线的一侧任取一点P (x 0,y 0),特别地,当C ≠0时,常把原点作为此特殊点.
(3)若Ax 0+By 0+C >0,则包含此点P 的半平面为不等式Ax +By +C >0所表示的平面区域, 不包含此点P 的半平面为不等式Ax +By +C <0所表示的平面区域. (4)同侧同号,异侧异号 方法二:“直线定界、左右定域”利用规律: (由x 的大小确定左右,由y 的大小确定上下)
1.Ax+By+C>0,当A>0时表示直线Ax+By+C=0右方,当A<0时表示直线Ax+By+C=0左方;
2.Ax+By+C<0,当A>0时表示直线Ax+By+C=0右方,当A<0时表示直线Ax+By+C=0左方。
注意:对应不等号画实线或虚线。
2.求线性目标函数(即截距型)最优解的一般步骤:
(1)设未知数; (2)确定目标函数; (3) 列出约束条件(将数据列表比较方便);
(4)画线性约束条件所确定的平面区域,即可行域;(5)取目标函数z=0,过原点作相应的直线; (6)平移该直线,使之与可行域有交点,观察确定区域内最优解的位置; (7)解有关方程组求出最优解,代入目标函数得最值.
3.课本习题中出现的都是“截距型”目标函数z ax by =+(a b ,不同时为零),即线性目标函数,高考中除了出现“截距型”目标函数的情况外,还有非线性目标函数:
(1) “斜率型”目标函数y b
z x a
-=-(a b ,为常数).最优解为点(a b ,)与可行域上的点的斜率的最值;
(2) “两点间距离型”目标函数22
()()z x a y b =-+-(a b ,为常数). 最优解为点(a b ,)与可行域上的点之间的距离的平方的最值;
(3) “点到直线距离型”目标函数z ax by c =++(a b c ,,为常数,且a b ,不同时为零). 最优解为可行域上的点到直线0ax by c ++=的距离的最值.
线性规划小测验
1、 不等式062<+-y x 表示的区域在直线260x y -+=的( ).
A .右上方
B .右下方
C .左上方
D .左下方
2、已知点(3,1)--和(4,6)-在直线320x y a -++=的两侧,则a 的取值范围是 .
3、在如图所示的可行域内,目标函数z x ay =+取得最小值的最优解有无数个,则a 的一个可能值是( ).
A. -3
B.3
C. -1
D.1
4、若实数x y ,满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩
,,,
≥≥≤则23x y
z +=的最小值是( )
A .0
B .1
C
D .9
5、设实数x y ,满足20240230x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩
≤,≥,≤,
,则y
z x =的最大值是_________ 6、如果点P 在平面区域22020210x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩
≥≤≥上,点Q 在曲线22
(2)1x y ++=上,那么PQ 的最小值为
7、已知实数x y ,满足121y y x x y m ⎧⎪
-⎨⎪+⎩
≥,≤,≤.如果目标函数z x y =-的最小值为1-,则实数m 等于( )
A .7
B .5
C .4
D .
8、若不等式组502x y y a x -+0⎧⎪
⎨⎪⎩
≥,≥,≤≤表示的平面区域是一个三角形,则a 的取值范围是 ( )
A.5a < B.7a ≥
C.57a <≤ D.5a <或7a ≥
9.已知2040250x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪--<⎩
,求|24|z
x y =+-的最大值为 。
10、某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。
已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C ;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐?
1)。