高考数学复习 第十一讲 立体几何之空间距离

第十一讲 立体几何之空间距离

一、空间距离包括：

点与点、点与线、点与面、线与线(异面直线）、线与面（线面平行)、面与面(面面平行)的距离。要理解各个距离的概念。

二、空间距离的求法

重点掌握:线线距离、点面距离、尤其点面距离 （1） 线线距离：找公垂线段 （2） 点面距离

① 直接法（过点向面作作垂线段,即求公垂线段长度） ② 等体积法(三棱锥)

③ 向量法：设平面α的法向量为n

，P 为平面α外一点，Q 是平面α内任一点,则

点P 到平面α的距离为ｄ 等于PQ 在法向量n

上的投影绝对值。d =三、例题讲解

1、下列命题中:

①ABCD PA 矩形⊥所在的平面，则P 、B 间的距离等于P 到BC 的距离； ②若,,,//αα⊂⊄b a b a 则a 与ｂ的距离等于a 与α的距离；

③直线a 、ｂ是异面直线,,//,ααb a ⊂则a 、b 之间的距离等于b 与α的距离

④直线a 、ｂ是异面直线，,//,,βαβα且⊂⊂b a 则a 、b 之间的距离等于βα、间的距离 其中正确的命题个数有（ Ｃ )

A ． 1个 Ｂ. ２个 C. ３个 D. 4个

２、如图所示，正方形的棱长为1，Ｃ、D 为两条棱的中点，A 、B 、M 是顶点,那么点M 到截面ABCD 的距离是__________＿＿。

解析：取AB 、C Ｄ中点Ｐ、Q ，易证MPQ ∆中,ＰQ 边长的高MH 为所

求,423,22==PQ PM 3

2=∴MH

3、在底面是正方形的四棱锥Ａ-B ＣD Ｅ中，BCDE AE 底面⊥且AE=CD ＝a ， Ｇ、Ｈ是BE 、ＥD 的中点,则ＧH 到面ABD 的距离是_____＿＿____＿。

解析:连结EC ，交BD 于Ｏ，且交GH 于O '，则有平面ABD AEO 面⊥。

过Ｅ作AO EK ⊥于K ，则所求距离等于

a AO EO AE EK 6

3

2121=⋅= 4、如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为棱ＡB 和B Ｃ的中点，Ｇ为上底面1111D C B A 的中心,则点D 到平面EF B 1的距离＿_＿________。 解：方法1:建立如图直角坐标系，

则()()(),0,2,

,0,,0,0,,,0,0

,⎪⎭⎫ ⎝⎛a a E a C a a B a A ()⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a G a a a B a a F ,2,2,,,,0,,21 设平面FE B 1的法向量为()z y x n ,,1=

⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a EB a a EF ,2,0,0,2,21

0,0111=⋅=⋅∴EB n EF n

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⇒=+=⇒=+-∴02102

022z y az y a x y y a x a

取2=y , 则1,2-==z x 可取()1,2,21-=n

又()a a a DB ,,1=D ∴到平面EF B 1的距离a a

a a n n DB d =-+=⋅=3

22111

方法2：等体积法

设D 到平面EF B 1的距离为h

EF B D DEF B V V 11--=EF B 1∆ 是等腰三角形，取E Ｆ中点H,连结H B 1

EF B DEF S h S a 131

31⋅=⋅ 可得a H B 4231= a a h a a a 4

2

322214232221⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ a h =∴

即D 到平面EF B 1的距离为a 。

5、如图所示,将等腰直角三角形ＡBC 沿斜边ＡＢ上的高C Ｄ为棱折成一个︒60的二面角，使Ｂ到1B 的位置，已知ＡB=2,求

（1)顶点C 到平面D B A '的距离 (2）顶点A 到平面D B C '的距离 (3）ＣD 和B A '的之间的距离

分析:有关立体几何中的翻折问题,主要判断翻折前后各种量的变化与否。

解析：（１）由已知得AB CD ⊥, 即B D CD AD CD '⊥⊥,在翻折前后它们的位置关系不变,

B AD CD '⊥∴面，则

C 点到平面B A

D '的距离就是CD 的长,ABC ∆ 为等腰三角形，A

Ｂ=2, 1=∴CD

（2)如图所示,过A 作D B AE '⊥于E,连结CE

CD B CD B AD CD '⊂'⊥面面,

B AD CD B '⊥'∴面平面 CD B AE '⊥∴面

故ＡE 的长为A 点到平面CD B '的距离

DC D B DC AD ⊥'⊥,

B AD '∠∴为平面ACD 与平面CD B '所成二面角的平面角

即︒='∠60B AD 2

3=

∴AE （３）如图二,平面D B A '中，过D 作B A DF '⊥,交AB 于F 点

D B A DF D B A CD '⊂'⊥,平面 DF CD ⊥∴

DF ∴为异面直线CD 和B A '的距离

由B D AE B A DF '⋅='⋅得 2

3=DF

6、(06海淀模拟）如图所示,在直三棱柱ABC C B A -111中

,21===CA CB CC ,CB AC ⊥ D 、E 分别为棱111C C ，，B C 中点

（1） 求点Ｂ到平面CA C A 11的距离 （2） 求二面角A D A B --1的大小

（3） 在线段ＡC 上是否存在一点F,使BD A EF 1面⊥?若存在，确定其位置并证明结论,

若不存在，说明理由。

解析:（1)ABC C B A -111 为直三棱柱

ABC CC 底面⊥∴1BC CC ⊥∴1

CB AC ⊥

CA C A BC 11平面⊥∴

BC ∴长度即为Ｂ点到平面CA C A 11的距离 2=BC

∴点Ｂ到平面CA C A 11的距离为2。

(2）ABC C B A -111 是直三棱柱

,,21CB AC CA CB CC ⊥===

Ｄ、Ｅ分别为棱111C C ，，B C 中点 建立如图直角坐标系