运筹学第4章单纯形法的对偶问题

x1 x2 300
2x1 x2 400
x2 250
x1, x2 0
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§1 线性规划的对偶问题
现在我们从另一个角度来考虑这个问题。假如有另外一个工厂要求租用该厂的设备A、B、 c，那么该厂的厂长应该如何来确定合理的租金呢？
设 y1, y2, y3 分别为设备A、B、c的每台时的 租金。为了叙述方便，这里把租金定义为扣 除 利成 润5本0后元的，利即润。y1作 2为y出2 租5，0者否来则说就，不生出产租单还位是用产于品生所产需各产设品备以的获台利时5各0元总；租同金样不生应产低一于单原位
设备 A
1
设备 B
2
设备 C
0
资源限量
1
300 台时
1
400 台时
1
250 台时
该工厂每生产一单位产品 可获利50元，每生产一单位产品Ⅱ可获利100元，问工厂应分别 生产多少 产品和Ⅱ产品，才能使工厂获利最多？
解：设x1为产品 的计划产量，x2 为产品Ⅱ的计划产量，则有
目标函数： 约束条件：
Max z=50 x1 + 100 x2
第4章 单纯形法的对偶问题
• §1 线性规划的对偶问题 • §2 对偶规划的基本性质 • §3 对偶单纯形法
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§1 线性规划的对偶问题
每一个线性规划问题，都存在每一个与它密切相关的线性规划的问题，我们称其为原问题， 另一个为对偶问题。
例题1 某工厂在计划期内安排Ⅰ、Ⅱ两种产品，生产单位产品所需设备A、B、c台时如表所示
5x1 3x2 x3 200 5x1 3x2 x3 200
显然，这两个约束条件与原来第三个约束条件是等价的，我们再把其 中的
5x1 3x2 x3 200 两边都乘以-1，得
5x1 3x2 x3 200
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§1 线性规划的对偶问题
通过上面的一些变换，我们得到了一个和原线性规划等价的线性规划 问题：
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§1 线性规划的对偶问题
下面来阐述如何写出一个线性规划问题的对偶问题。为了 便于阐述，我们不妨以下面的线性规划为例，写出它的对偶 问题。
max z 3x1 4x2 6x3
s.t. 2x1 3x2 6x3 440, 6x1 4x2 x3 100, 5x1 3x2 x3 200, x1, x2 , x3 0
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§1 线性规划的对偶问题
首先在写对偶问题之前，我们先把第二个约束条件两边乘以-1得
2x1 3x2 x3 60
然后按照上面的规则，我们可以得到其对偶问题为
max z 180 y1 60 y2 240 y3;
y1 2 y2 5 y3 3
s.t.
2 y1 3y2 3y3 9
另外，用大于等于0的两个决策变量之差来代替无非负限制的决策变 量也是求解含有无非负限制的决策变量的线性规划问题的一种方法。
原线性规划问题为：
min f 3x1 9x2 4x3
s.t. x1 2x2 3x3 180, 2x1 3x2 x3 60, 5x1 3x2 240, x1 , x2 0, x3无非负限制
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§1 线性规划的对偶问题
如果我们把求目标函数最大值的线性规划问题看成原问题，则把求目标函数最小值的线 性规划问题看成对偶问题。下面来研究这两个问题在数学模型上的关系。
1 求目标函数最大值的线性规划问题中有n 个变量 m个约束条件，它的约束条件都是小于 等于不等式。而其对偶则是求目标函数为最小值的线性规划问题，有m个变量n个约束条件， 其约束条件都为大于等于不等式。
2 原问题的目标函数中的变量系数为对偶问题中的约束条件的右边常数项，并且原问题的 目标函数中的第i个变量的系数就等于对偶问题中的第i个约束条件的右边常数项。
3 原问题的约束条件的右边常数项为对偶问题的目标函数中的变量的系数。并且原问题的 第i个约束条件的右边常数项就等于对偶问题的目标函数中的第i个变量的系数。
min
f
440
y1
100
y2
200
y
' 3
200
y
'' 3
s.t.
2 y1
6 y2
5
y
' 3
5
y
'' 3
3,
3 y1
4 y2
3
y
' 3
3
y
'' 3
4,
6 y1
y2
y
' 3
y
'' 3
6,
y1,
y2 ,
y
' 3
,
y
'' 3
0,
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§1 线性规划的对偶问题
这里
y
' 3
,
y
'' 3
和
y1, y2 一样都是不同的决策变量，为了表示这两个
当原线性规划问题的第i个约束条件取等号时，则其对偶问题的 i个决策变量没有非
负限制。
x xi
如果当原线性规划问题中的第 i个决策变量
x
' i
x
'' i
进行替换，这里 x'i 0，x''i
i 没有非负限制时，我们也可以用
0 ，用类似的方法知道其对偶问题中第
i个
约束条件取等号。
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§1 线性规划的对偶问题
4,
6 y1
y2
(
y
' 3
y
'' 3
)
6,
y1,
y2 ,
y
' 3
,
y
'' 3
0,
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§1 线性规划的对偶问题
进一步，我们可以令y3
y
' 3
y
'' 3
，这时当
y
' 3
y
'' 3
时，y
0，当
y
' 3
y
'' 3
时， y3 0 。这也就是说，尽管
y
' 3
,
y
'' 3
0,
但 y3 的取值可以为正，可以为0，
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§2 对偶规划的基本性质
3．最优性。如果 Xˆ是原问题的可行解，Yˆ 是对偶问题 的可行解，并且cXˆ bTYˆ，则 Xˆ 和 Yˆ分别为原问题和 对偶问题的最优解。
4．强对偶性。即若原问题及其对偶问题都有可行解，
则两者都有最优解，且它们的最性。在线性规划问题的最优解中，如果
3y1 y2 4
y2 , y3 0, y1没有非负限制
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§2 对偶规划的基本性质
对偶规划的基本性质
• 1．对称性。即对偶问题的对偶是原问题。
• 2．弱对偶性。即对于原问题和对偶问题的可行解Xˆ ，Yˆ
都有cXˆ bTYˆ。
由弱对偶性，可得出以下推论：
– （1）原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的 下界；反之对偶问题任一可行解的目标函数值是其原问题目标函数 值的上界。
可以为负，即 y3 没有非负限制。
这样我们把原规划的对偶问题化为
min f 440 y1 100 y2 200 y3
s.t. 2 y1 6 y2 5y3 3,
3y1 4 y2 3y3 4,
6 y1 y2 y3 6,
y1, y2 0, y3 没有非负限制。
对照原线性规划问题，我们可以知道：
-1 0
1
-1
50 250
-50 -250
1/2
25
25 1/ 2
-1/2 75
75
1/ 2
-75
-28750
-M+75
1 -1 -50 -M+50
50 50 -27500
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§1 线性规划的对偶问题
由上表，最优解： y1 =50， y2 0, y3 50, s1 0, s2 0, a1 0
max z cx,
Ax b,
x 0
其中A是 矩阵m×n，该问题有m个约束条件n个变量， x x1, x2, , xn, T
c (c1, c2 ,..., cn ).
对偶问题： min f bT y
AT y cT
y0
b (b1, b2 ,..., bm, )T
其中AT是A的转置，bT是b的转置, cT 是c的转置, y= ( y1, y2 ,..., ym )T
– （2）如原问题有可行解且目标函数值无界（或具有无界解），则 其对偶问题无可行解；反之对偶问题有可行解且目标函数值无界， 则其原问题无可行解（注意：此性质的逆不成立，当对偶问题无可 行解时，其原问题或具有无界解或无可行解，反之亦然）。
– （3）若原问题有可行解而其对偶问题无可行解，则原问题目标函 数值无界；反之对偶问题有可行解而其原问题无可行解，则对偶问 题的目标函数值无界。
现在我们用单纯形法求对偶问题的解。
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§1 线性规划的对偶问题
加上剩余变量 s1, s2 和人工变量 a1 ，把此问题化成标准型如下：
max f 300y1 400y2 250y3 Ma1
y1 2 y2 s1 a1 50 y1 y2 y3 s2 100 y1, y2 , y3, s1, s2 , a1 0
目标函数：min f 300 y1 400 y2 250 y3