运筹学第4章单纯形法的对偶问题

另外，用大于等于0的两个决策变量之差来代替无非负限制的决策变 量也是求解含有无非负限制的决策变量的线性规划问题的一种方法。
原线性规划问题为：
min f 3x1 9x2 4x3
s.t. x1 2x2 3x3 180, 2x1 3x2 x3 60, 5x1 3x2 240, x1 , x2 0, x3无非负限制
min
f
440
y1
100
y2
200
y
' 3
200
y
'' 3
s.t.
2 y1
6 y2
5
y
' 3
5
y
'' 3
3,
3 y1
4 y2
3
y
' 3
3
y
'' 3
4,
6 y1
y2
y
' 3
y
'' 3
6,
y1,
y2 ,
y
' 3
,
y
'' 3
0,
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§1 线性规划的对偶问题
这里
பைடு நூலகம்
y
' 3
,
y
'' 3
和
y1, y2 一样都是不同的决策变量，为了表示这两个
4 对偶问题的约束条件的系数矩阵A是原问题约束矩阵的转置 AT。
设
a11 a12 ... a1n
A= ... ... ... ...
am1 am2 ... amn
则
AT
a11
a21
am1
a1n a2n amn
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4
§1 线性规划的对偶问题
如果我们用矩阵形式来表示，则有原问题：
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§1 线性规划的对偶问题
首先在写对偶问题之前，我们先把第二个约束条件两边乘以-1得
2x1 3x2 x3 60
然后按照上面的规则，我们可以得到其对偶问题为
max z 180 y1 60 y2 240 y3;
y1 2 y2 5 y3 3
s.t.
2 y1 3y2 3y3 9
x1 x2 300
2x1 x2 400
x2 250
x1, x2 0
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§1 线性规划的对偶问题
现在我们从另一个角度来考虑这个问题。假如有另外一个工厂要求租用该厂的设备A、B、 c，那么该厂的厂长应该如何来确定合理的租金呢？
设 y1, y2, y3 分别为设备A、B、c的每台时的 租金。为了叙述方便，这里把租金定义为扣 除 利成 润5本0后元的，利即润。y1作 2为y出2 租5，0者否来则说就，不生出产租单还位是用产于品生所产需各产设品备以的获台利时5各0元总；租同金样不生应产低一于单原位
4,
6 y1
y2
(
y
' 3
y
'' 3
)
6,
y1,
y2 ,
y
' 3
,
y
'' 3
0,
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§1 线性规划的对偶问题
进一步，我们可以令y3
y
' 3
y
'' 3
，这时当
y
' 3
y
'' 3
时，y
0，当
y
' 3
y
'' 3
时， y3 0 。这也就是说，尽管
y
' 3
,
y
'' 3
0,
但 y3 的取值可以为正，可以为0，
目标函数：min f 300 y1 400 y2 250 y3
约束条件： y1 2 y2 50 y1 y2 y3 100 y1, y2 , y3 0
这样从两个不同的角度来考虑同一个工厂的最大利润（最小租金）的问题，所建立起来 的两个线性模型就是一对对偶问题，其中一个叫做原问题，而另外一个叫对偶问题。
对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束
条件取严格等式；反之，如果约束条件取严格不等
式，则其对应的对偶变量一定为零，也即
y2 -400 ② 1 -2M250 2M150 1
y3 -250
0 1 -250
0
0
0
1
-400 -250
0
0
2
0
-1
1
-350 -250
-50 0
s1
0 -1 0
M
s2
0 0 -1
250
a1
-M 1 0
-M
b
50 50/2 100 100/1 -50M-25000
-M -250 0
-1/2 0
1/2 -1 75 250 -75 -250
max z cx,
Ax b,
x 0
其中A是 矩阵m×n，该问题有m个约束条件n个变量， x x1, x2, , xn, T
c (c1, c2 ,..., cn ).
对偶问题： min f bT y
AT y cT
y0
b (b1, b2 ,..., bm, )T
其中AT是A的转置，bT是b的转置, cT 是c的转置, y= ( y1, y2 ,..., ym )T
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§1 线性规划的对偶问题
下面来阐述如何写出一个线性规划问题的对偶问题。为了 便于阐述，我们不妨以下面的线性规划为例，写出它的对偶 问题。
max z 3x1 4x2 6x3
s.t. 2x1 3x2 6x3 440, 6x1 4x2 x3 100, 5x1 3x2 x3 200, x1, x2 , x3 0
-f 的最大值为-27500，即目标函数f的最小值为f=27500元。
从上面可知租金：A设备为50元，B设备为0元，c设备为50元。这样把工 厂的所有设备出租可共得租金27500元。对出租者来说这租金是出租者愿意出 租设备的最小费用，因为这是目 标函数的最小值。
通过比较，我们发现：对偶问题的最优解即最佳租金恰好等于原问题各种 设备的对偶价格，这在道理上也能讲得通。 对于两个有对偶关系的线性规划 的问题，我们只要求得了其中一个最优解，就可以从这个问题的对偶价格而 求得其对偶问题的最优解，知道其中一个最优值也就找到了其对偶问题的最 优值，因为这两个最优值相等。
决策变量都来源于原问题的第三个约束条件，记为
y
' 3
,
y
'' 3
。
因为在该对偶问题中
y '3和
y
'' 3
的系数只相差一个符号，我们可以把
上面的对偶问题化为：
min
f
440
y1
100
y2
200
(
y
' 3
y
'' 3
)
s.t.
2 y1
6
y2
5(
y
' 3
y
'' 3
)
3,
3 y1
4
y2
3(
y
' 3
y
'' 3
)
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§1 线性规划的对偶问题
如果我们把求目标函数最大值的线性规划问题看成原问题，则把求目标函数最小值的线 性规划问题看成对偶问题。下面来研究这两个问题在数学模型上的关系。
1 求目标函数最大值的线性规划问题中有n 个变量 m个约束条件，它的约束条件都是小于 等于不等式。而其对偶则是求目标函数为最小值的线性规划问题，有m个变量n个约束条件， 其约束条件都为大于等于不等式。
第4章 单纯形法的对偶问题
• §1 线性规划的对偶问题 • §2 对偶规划的基本性质 • §3 对偶单纯形法
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§1 线性规划的对偶问题
每一个线性规划问题，都存在每一个与它密切相关的线性规划的问题，我们称其为原问题， 另一个为对偶问题。
例题1 某工厂在计划期内安排Ⅰ、Ⅱ两种产品，生产单位产品所需设备A、B、c台时如表所示
把上述数据填入单纯形表计算。
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§1 线性规划的对偶问题
迭代 变量
1
2
3
基变量
cb
a1
-M
y3
-250
zj
cj zj
y2
-400
y3
-250
zj
cj zj
y1
-300
y3
-250
zj
cj zj
y1 -300 1 1 -M-250
M-50
1/2 1/2 -325 25 1 0 -300 0
当原线性规划问题的第i个约束条件取等号时，则其对偶问题的 i个决策变量没有非
负限制。
x xi
如果当原线性规划问题中的第 i个决策变量
x
' i
x
'' i
进行替换，这里 x'i 0，x''i
i 没有非负限制时，我们也可以用
0 ，用类似的方法知道其对偶问题中第
i个
约束条件取等号。
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§1 线性规划的对偶问题
5x1 3x2 x3 200 5x1 3x2 x3 200
显然，这两个约束条件与原来第三个约束条件是等价的，我们再把其 中的
5x1 3x2 x3 200 两边都乘以-1，得
5x1 3x2 x3 200
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§1 线性规划的对偶问题
通过上面的一些变换，我们得到了一个和原线性规划等价的线性规划 问题：
– （2）如原问题有可行解且目标函数值无界（或具有无界解），则 其对偶问题无可行解；反之对偶问题有可行解且目标函数值无界， 则其原问题无可行解（注意：此性质的逆不成立，当对偶问题无可 行解时，其原问题或具有无界解或无可行解，反之亦然）。
– （3）若原问题有可行解而其对偶问题无可行解，则原问题目标函 数值无界；反之对偶问题有可行解而其原问题无可行解，则对偶问 题的目标函数值无界。
2 原问题的目标函数中的变量系数为对偶问题中的约束条件的右边常数项，并且原问题的 目标函数中的第i个变量的系数就等于对偶问题中的第i个约束条件的右边常数项。
3 原问题的约束条件的右边常数项为对偶问题的目标函数中的变量的系数。并且原问题的 第i个约束条件的右边常数项就等于对偶问题的目标函数中的第i个变量的系数。
设备 A
1
设备 B
2
设备 C
0
资源限量
1
300 台时
1
400 台时
1
250 台时
该工厂每生产一单位产品 可获利50元，每生产一单位产品Ⅱ可获利100元，问工厂应分别 生产多少 产品和Ⅱ产品，才能使工厂获利最多？
解：设x1为产品 的计划产量，x2 为产品Ⅱ的计划产量，则有
目标函数： 约束条件：
Max z=50 x1 + 100 x2
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§1 线性规划的对偶问题
这是一个求最大值的线性规划问题，为了写出它的对偶问题，我们不 妨把它的约束条件都变换成取小于等于号的不等式。显然第一个约束条件 已符合要求，不要做任何变动，而第二个约束条件，我们只要两边都乘以 -1，使不等号方向改变即可，得
6x1 4x2 x3 100
这样第二个约束条件也就符合要求。对于第三个约束条件，我们可以 用小于等于和大于等于两个约束条件来替代它。即有
max z 3x1 4x2 6x3
s.t. 2x1 3x2 6x3 440,
6x1 4x2 x3 100, 5x1 3x2 x3 200 5x1 3x2 x3 200 x1, x2 , x3 0
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§1 线性规划的对偶问题
这个求最大值的线性规划问题的约束条件都取小于等于号，我们马 上可以写出其对偶问题：
产品所需各设备的台时的总租金也不应当低于原利润100元， 即 y1 y2 y3 100 ，否则这 些设备台时就不出租，还是用于生产 产品以获利100元。但对于租用者来说，他要求在满足 上述要求的前提下，也就是在出租者愿意出租的前提下尽量要求全部设备台时的总租金越低 越好，即min 300 y1 400 y2 250 y3 ，这样我们得到了该问题的数学模型：
3y1 y2 4
y2 , y3 0, y1没有非负限制
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§2 对偶规划的基本性质
对偶规划的基本性质
• 1．对称性。即对偶问题的对偶是原问题。
• 2．弱对偶性。即对于原问题和对偶问题的可行解Xˆ ，Yˆ
都有cXˆ bTYˆ。
由弱对偶性，可得出以下推论：
– （1）原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的 下界；反之对偶问题任一可行解的目标函数值是其原问题目标函数 值的上界。
现在我们用单纯形法求对偶问题的解。
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§1 线性规划的对偶问题
加上剩余变量 s1, s2 和人工变量 a1 ，把此问题化成标准型如下：
max f 300y1 400y2 250y3 Ma1
y1 2 y2 s1 a1 50 y1 y2 y3 s2 100 y1, y2 , y3, s1, s2 , a1 0
可以为负，即 y3 没有非负限制。
这样我们把原规划的对偶问题化为
min f 440 y1 100 y2 200 y3
s.t. 2 y1 6 y2 5y3 3,
3y1 4 y2 3y3 4,
6 y1 y2 y3 6,
y1, y2 0, y3 没有非负限制。
对照原线性规划问题，我们可以知道：
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§2 对偶规划的基本性质
3．最优性。如果 Xˆ是原问题的可行解，Yˆ 是对偶问题 的可行解，并且cXˆ bTYˆ，则 Xˆ 和 Yˆ分别为原问题和 对偶问题的最优解。
4．强对偶性。即若原问题及其对偶问题都有可行解，
则两者都有最优解，且它们的最优解的目标函数都 相等。
5．互补松弛性。在线性规划问题的最优解中，如果
-1 0
1
-1
50 250
-50 -250
1/2
25
25 1/ 2
-1/2 75
75
1/ 2
-75
-28750
-M+75
1 -1 -50 -M+50
50 50 -27500
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§1 线性规划的对偶问题
由上表，最优解： y1 =50， y2 0, y3 50, s1 0, s2 0, a1 0