函数的概念及性质

函数的概念及性质

概览：概念，表示方法，图象和性质

1. 概念

函数的定义：传统定义（初中的），近代定义。自变量，对应法则，定义域，值域〖两域都是集合，回答时要正确表示。〗

对应法则f 是函数的核心，是对自变量的“操作”，如)(x f 是对x 进行“操作”，而)(2x f 是对2x 进行“操作”，)2(f 是对2进行“操作”

函数的三要素，或两要素：定义域、对应法则

判定两个函数是否相同。〖定义域和值域分别相同的两个函数不一定是同一函数，例x y x y 2,==；又如])1,0[(,2∈==x x y x y 定义域都取〗

区间 定义，名称，符号，几何（数轴）表示

映射 定义，符号，与函数的异同

2. 函数的表示方法

列表法，图象法，解析法

分段函数 定义域、值域、最值

求函数解析式的常用方法：配凑，换元，待定系数，函数方程（消去法）

3. 函数的图象

作图的步骤：定义域，列表，描点，连线〖注意抓住特征点，如边界点，与两轴的交点等；边界点注意空心/实心〗

带有绝对值符号的函数 定义域，分段脱去绝对值，作图

4. 函数的性质

求定义域 分式，偶次根式，对数的真数和底数，复合函数，实际问题中的实际意义。

求值域 由定义域和对应法则决定，故应先考虑定义域。方法：观察分析，例 函数211)(x

x f +=；配方；换元；判别式；单调性；数形结合（图象）；基本不等式；反求法（反函数法）等。

单调性

对于定义域内的某个区间而言。 单调区间若不含端点，则必须写成开区间，若含端点，则写成闭区间，通常写成开区间也可。 一个函数可能有多个独立的单调区间，应用逗号相隔回答，不用并集，而函数的两域都是整体性的集合，若有必要则要用并集回答。 图象特征：从左到右升/降。

证明步骤：设值，作差，定号，作答。

判断函数单调性的有关规律。 如增加增得增，减加减得减；注意：增乘增未必增，减乘减未必减（还要看各自的函数值是否同正或同负）

奇偶性

必要前提：定义域关于原点对称，即对定义域中的任何x ，-x 也必在定义域中。例 2x y =在定义域()+∞∞-,上是偶函数，而在定义域[-1，2]上却无奇偶性（非奇非偶函数）。

奇偶性与单调性的对比：单调性是函数在某区间上的“局部”性质，奇偶性则是函数在（关于原点对称的）定义域上的“整体”性质。

判断函数奇偶性的有关规律（注意与单调性的有关规律相区别，并注意定义域前提）：两个偶函数的和差积商仍为偶；两个奇函数的和差为奇，积商为偶；奇乘偶为奇。

在x=0处有定义的奇函数。既奇又偶函数，只有定义域关于原点对称的函数0)(=x f 。 判断奇偶性的等价形式：0)()(=-±x f x f ；或)0)((1)

()(≠±=-x f x f x f 。 奇/偶函数图象的对称性（注意区分中心对称、轴对称）。

奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数的则相反。例

23,x y x y ==

5. 复合函数 )]([);(),(x g f y x g u u f y ===叫做x 的复合函数，u 叫做中间变量。两原函数分别叫外层函数、内层函数。

复函的单调性规律：内/外层函数的单调性同则增，异则减。

奇偶性规律（注意定义域前提）：奇奇得奇；奇偶、偶偶都得偶。〖易错，不宜死记。建议具体仍从定义推理〗例

《现》题选

● 33页 函数D x x f y ∈=),(的图象与直线2=x 的交点个数为？【0或1。透彻理解函

数的定义】

● )(),(t f y x f y ==表示同一函数。)1(),(+==x f y x f y 可能是同一函数，例 当

f 是常数函数时。〖图象左移一个单位后与原来重合，还可举例x y π2sin =，周期为1，可由诱导公式证得此)1()(+=x f x f ，是相同函数〗

● 求函数的定义域

已知)(x f 的定义域为[0，1]，求)1(2+x f 的定义域。

已知)(x f 的定义域为),(b a ，且2>-a b ，求)13()13()(+--=x f x f x g 的定义域。 已知)1(+x f 的定义域为[0，3]，求)(x f 的定义域。

已知)2(2-x f 的定义域为[-3，2]，求)(x f 的定义域。

已知)12(+x f 的定义域为[1，2]，求)12(-x f 的定义域。

已知)1(2-x f 的定义域为[-2，1]，求)32(-x f 的定义域。

已知半径为R 的圆内接等腰梯形ABCD ，下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长y 和腰长x 之间的函数关系式。（要有定义域）

● 求函数的值域

[)5,1,642∈+-=x x x y ；245x x y -+=；12-+=x x y ；12--=x x y ；4

522++=

x x y ；1342++=x x y ；5438222+-+-=x x x x y ；21-++=x x y 。 ● 对于每个数x ，设422,14)(+-=+=+=x y x y x y x f 和是三个函数值中的最小者，

求)(x f 的最大值。

● 已知求,112x x x f -=⎪⎭

⎫ ⎝⎛)(x f 的解析式。 ● 已知)(x f 满足0,3)1

()(2>=+x x x f x f ，求)(x f 。

● 设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ，且图象在y 轴上的截距1，被x 轴截得的

线段长为22，求)(x f 的解析式。

● 设)(x f 是R 上的函数，且满足1)0(=f ，并且对任意实数

)12()()(,+--=-y x y x f y x f y x 有，求)(x f 的解析式。

函数的单调性

● 求证：x x x f 4)(+

=在区间(]2,0上是减函数。 ● 作函数9696)(22++++-=

x x x x x f 的图象，并指出单调区间。 ● 求函数6)(2-+=

x x x f 的单调区间。 ● 已知R x x f x f ∈-=),4()(，当2>x 时，)(x f 为增函数，设

)2(),4(),1(-===f c f b f a ，试确定c b a ,,的大小。

● 已知函数)(x f 对任意实数)()()(,y x f y f x f y x +=+有，且当0>x 时，

32

)1(,0)(-=

1) 求证)(x f 是R 上的减函数；

2) 求)(x f 在[-3，3]上的最值。

● 设)(x f 是定义在()+∞,0上的函数，且满足条件：

1) )()()(y f x f xy f +=； 2）1)2(=f ； 3）在()+∞,0上是增函数。

若2)3()(≤-+x f x f ，求x 的取值范围。

函数的奇偶性

● 判断函数的奇偶性

;11)(22x x x f -+-=

;11)1()(x x x x f -+⋅-= ;3342

-+-=x x y a x a x y --+=（R a ∈）.

设奇函数)(x f 在),0(+∞上为增函数，且0)1(=f ，解不等式

0)()(<--x x f x f 。 已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=,sin )(为奇函数，求a 。