高等数学课件第六版(下册)

( x , y ) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 .


P0
（2）区域 连通的开集称为区域或开区域．
（3）n维空间
设 n 为取定的一个自然数，我们称 n 元数组 ( x1 , x2 ,, xn ) 的全体为 n 维空间，而每个 n 元 数组( x1 , x 2 ,, x n ) 称为 n 维空间中的一个点， 数 x i 称为该点的第i 个坐标.
x x0 y y0
lim f ( x , y ) A
说明：
（1）定义中 P P0 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x , y );
x x0 y y0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
4、极限的运算
设 P P0 时， ( P ) A, f ( P ) B , 则 f (1). f ( P ) g( P ) A B; ( 2). f ( P ) g( P ) A B; ( 3). f ( P ) g( P ) A B ( B 0).
6、多元连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上 至少取得它的最大值和最小值各一次．
（2）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在 D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介 于这两值之间的任何值至少一次．
7、偏导数概念
定义 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ，
2、多元函数概念
定义 设 D 是平面上的一个点集， 如果对于每个 点 P ( x . y ) D ，变量 z 按照一定的法则总有确定 的值和它对应，则称 z 是变量 x, y 的二元函数，记 为 z f ( x , y ) （或记为 z f (P ) ）.
类似地可定义三元及三元以上函数．
n 当 n 2 时， 元函数统称为多元函数.
3、多元函数的极限
定义 1 设 函 数 z f ( x, y) 的 定 义 域 为 D , P0 ( x 0 , y 0 ) 是其内点或边界点，A 为一个常 数。 如果当动点在 P(x,y)在 D 内沿任意路径趋于 点 P0 ( x0 , y0 ) 时，函数 f ( x, y ) 总无限趋于常数 A,则称 A 为函数 z f ( x , y ) 当x x 0 ， y y 0 时的极限，记为 （或 f ( x , y ) A ( 0) 这里 | PP0 | ）.
15、方向导数
定义 函数的增量 f ( x x , y y ) f ( x , y ) 与 PP 两点间的距离 ( x )2 ( y )2 之比值， 当 P 沿着 l 趋于 P 时，如果此比的极限存 在， 则称这极限为函数在点P 沿方向 l 的方向导数．
z Fx ， x Fz
Fy z . y Fz
F ( x, y, z ) 0 3. G( x, y, z ) 0
当F ( x, y, z ), G ( x, y, z )满足 : (1)在点P( x0 , y0 , z0 )的某邻域内, 对各变量有连续偏导, (2)F(x0 , y0 , z0 ) 0, G ( x0 , y0 , z0 ) 0; ( F , G) (3)偏导组成的行列式J |P 0; ( y, z )
5、多元函数的连续性
定义 设n 元函数 f (P ) 的定义域为点集 D , P0 是其
P P0
内点或边界点且P0 D ， 如果 lim f ( P ) f ( P0 ) 则 称n 元函数 f (P ) 在点P0 处连续.
设 P0 是函数 f (P ) 的定义域的内点或边界 P 点，如果 f (P ) 在点P0 处不连续，则称 0 是函 数 f (P ) 的间断点.
纯偏导
z 2 z z 2 z f xy ( x , y ), f yx ( x , y ). y x xy x y yx
混合偏导
定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数.
９、全微分概念
如果函数z f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全增量 z f ( x x , y y ) f ( x , y ) 可以表示为 z Ax By o( ) ，其中 A,B 不依赖于 x , y 而仅与 x, y 有关， ( x )2 ( y )2 ， 则称函数z f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分， Ax By 称为函数z f ( x , y ) 在点 x , y ) 的 ( 全微分，记为dz ，即 dz = Ax By .
同理可以定义函数 z f ( x , y )对自变量 y 的偏
z f 导数，记作 ， ， z y 或 f y ( x , y ). y y
８、高阶偏导数
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
z 2 z z 2 z 2 f yy ( x , y ), 2 f xx ( x , y ), x x x y y y
多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续 函数可导
函数可微 偏导数连续
( 如果u ( x , y ) 及v ( x , y ) 都在点 x , y )
具有对x 和y 的偏导数，且函数 z f ( u, v ) 在对应 点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x , y ), ( x , y )]在对应点( x , y ) 的两个偏
14、微分法在几何上的应用
(1) 空间曲线的切线与法平面
: x ( t ), y ( t ), z ( t ).
x x 0 y y0 z z 0 . 切线方程为 ( t 0 ) ( t 0 ) ( t ) ( t0 )( y y0 ) ( t0 )( z z0 ) 0.
导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v ， x u x v x z z u z v . y u y v y
12、全微分形式不变性
无论 z是自变量 u、v的函数或中间变量 u、v 的函数，它的全微分形式是一样的.
z z dz du dv . u v
13、隐函数的求导法则
(1) F ( x , y ) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且 F ( x 0 , y0 ) 0 ， F y ( x0 , y0 ) 0 ，则方程 F ( x , y ) 0 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数 y f ( x ) ，它满足条件 y0 f ( x0 ) ，并 有
dy Fx . dx Fy
隐函数的求导公式
( 2) F ( x , y , z ) 0
隐函数存在定理 2 设函数F ( x , y , z ) 在点P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ， Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 ，则方程F ( x , y , z ) 0 在点 P ( x0 , y0 , z 0 ) 的某一邻域内恒能唯一确 定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z f ( x , y ) ，它满足条件z0 f ( x0 , y0 ) ， 并有
第九章
多元函数微分法及其应用
习题课
一、主要内容
平面点集 和区域
极 限 运 算 多元连续函数 的性质 多元函数概念
多元函数 的极限
多元函数 连续的概念
方向导数
复合函数 求导法则
全微分形式 的不变性
全微分 概念
全微分 的应用 高阶偏导数
偏导数 概念
隐函数 求导法则
微分法在 几何上的应用
多元函数的极值
y y0 y y0
如果函数 z f ( x , y )在区域 D 内任一点 ( x , y )处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是 x、 y 的函数，它就称为函数 z f ( x , y )对 自变量 x的偏导数，
z f 记作 ， ， z x 或 f x ( x , y ). x x
0 0
x x0 或 y y0
f x ( x 0 , y0 ) .
y 同理可定义函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 的偏导数， 为
f ( x 0 , y0 y ) f ( x 0 , y0 ) lim y 0 y z f 记为 ， ， z y x x0 或 f y ( x 0 , y 0 ) . y y0 y x x 0 y x x 0
当F ( x, y, u , v), G ( x, y, u , v)满足 : (1)在点P ( x0 , y0 , u0 , v0 )的某邻域内, 对各变量有连续偏导, (2)F(x0 , y0 , u0 , v0 ) 0, G ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0; ( F , G) (3)偏导组成的行列式J |P 0; (u , v)
则 : 原方程组在点P的某一邻域内可唯一确定具有连续导数 dy dz 的函数y y ( x), z z ( x). 和 可由对方程组 dx dx F ( x, y ( x), z ( x)) 0 两边对x求导得到. G( x, y( x), z ( x)) 0
4
F ( x , y , u, v ) 0 G ( x , y , u, v ) 0