高等数学课件第六版(下册)

5、多元函数的连续性
定义 设n 元函数 f (P ) 的定义域为点集 D , P0 是其
P P0
内点或边界点且P0 D ， 如果 lim f ( P ) f ( P0 ) 则 称n 元函数 f (P ) 在点P0 处连续.
设 P0 是函数 f (P ) 的定义域的内点或边界 P 点，如果 f (P ) 在点P0 处不连续，则称 0 是函 数 f (P ) 的间断点.
z Fx ， x Fz
Fy z . y Fz
F ( x, y, z ) 0 3. G( x, y, z ) 0
当F ( x, y, z ), G ( x, y, z )满足 : (1)在点P( x0 , y0 , z0 )的某邻域内, 对各变量有连续偏导, (2)F(x0 , y0 , z0 ) 0, G ( x0 , y0 , z0 ) 0; ( F , G) (3)偏导组成的行列式J |P 0; ( y, z )
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 x 0 x 此极限为函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处对 x 的
偏导数，记为
z f ， ，z x x x x 0 x x x 0 y y y y
2、多元函数概念
定义 设 D 是平面上的一个点集， 如果对于每个 点 P ( x . y ) D ，变量 z 按照一定的法则总有确定 的值和它对应，则称 z 是变量 x, y 的二元函数，记 为 z f ( x , y ) （或记为 z f (P ) ）.
类似地可定义三元及三元以上函数．
导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v ， x u x v x z z u z v . y u y v y
12、全微分形式不变性
无论 z是自变量 u、v的函数或中间变量 u、v 的函数，它的全微分形式是一样的.
z z dz du dv . u v
y y0 y y0
如果函数 z f ( x , y )在区域 D 内任一点 ( x , y )处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是 x、 y 的函数，它就称为函数 z f ( x , y )对 自变量 x的偏导数，
z f 记作 ， ， z x 或 f x ( x , y ). x x
当F ( x, y, u , v), G ( x, y, u , v)满足 : (1)在点P ( x0 , y0 , u0 , v0 )的某邻域内, 对各变量有连续偏导, (2)F(x0 , y0 , u0 , v0 ) 0, G ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0; ( F , G) (3)偏导组成的行列式J |P 0; (u , v)
0 0
x x0 或 y y0
f x ( x 0 , y0 ) .
y 同理可定义函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 的偏导数， 为
f ( x 0 , y0 y ) f ( x 0 , y0 ) lim y 0 y z f 记为 ， ， z y x x0 或 f y ( x 0 , y 0 ) . y y0 y x x 0 y x x 0
15、方向导数
定义 函数的增量 f ( x x , y y ) f ( x , y ) 与 PP 两点间的距离 ( x )2 ( y )2 之比值， 当 P 沿着 l 趋于 P 时，如果此比的极限存 在， 则称这极限为函数在点P 沿方向 l 的方向导数．
多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续 函数可导
函数可微 偏导数连续
( 如果u ( x , y ) 及v ( x , y ) 都在点 x , y )
具有对x 和y 的偏导数，且函数 z f ( u, v ) 在对应 点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x , y ), ( x , y )]在对应点( x , y ) 的两个偏
(２)
曲面的切平面与法线
: F ( x , y , z ) 0.
切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
法线方程为
x x0 y y0 z z0 . Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
纯偏导
z 2 z z 2 z f xy ( x , y ), f yx ( x , y ). y x xy x y yx
混合偏导
定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数.
９、全微分概念
如果函数z f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全增量 z f ( x x , y y ) f ( x , y ) 可以表示为 z Ax By o( ) ，其中 A,B 不依赖于 x , y 而仅与 x, y 有关， ( x )2 ( y )2 ， 则称函数z f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分， Ax By 称为函数z f ( x , y ) 在点 x , y ) 的 ( 全微分，记为dz ，即 dz = Ax By .
n 当 n 2 时， 元函数统称为多元函数.
3、多元函数的极限
定义 1 设 函 数 z f ( x, y) 的 定 义 域 为 D , P0 ( x 0 , y 0 ) 是其内点或边界点，A 为一个常 数。 如果当动点在 P(x,y)在 D 内沿任意路径趋于 点 P0 ( x0 , y0 ) 时，函数 f ( x, y ) 总无限趋于常数 A,则称 A 为函数 z f ( x , y ) 当x x 0 ， y y 0 时的极限，记为 （或 f ( x , y ) A ( 0) 这里 | PP0 | ）.
同理可以定义函数 z f ( x , y )对自变量 y 的偏
z f 导数，记作 ， ， z y 或 f y ( x , y ). y y
８、高阶偏导数
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
z 2 z z 2 z 2 f yy ( x , y ), 2 f xx ( x , y ), x x x y y y
13、隐函数的求导法则
(1) F ( x , y ) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且 F ( x 0 , y0 ) 0 ， F y ( x0 , y0 ) 0 ，则方程 F ( x , y ) 0 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数 y f ( x ) ，它满足条件 y0 f ( x0 ) ，并 有
14、微分法在几何上的应用
(1) 空间曲线的切线与法平面
: x ( t ), y ( t ), z ( t ).
x x 0 y y0 z z 0 . 切线方程为 ( t 0 ) ( t 0 ) ( t 0 )
法平面方程为
( t0 )( x x0 ) ( t0 )( y y0 ) ( t0 )( z z0 ) 0.
第九章
多元函数微分法及其应用
习题课
一、主要内容
平面点集 和区域
极 限 运 算 多元连续函数 的性质 多元Fra Baidu bibliotek数概念
多元函数 的极限
多元函数 连续的概念
方向导数
复合函数 求导法则
全微分形式 的不变性
全微分 概念
全微分 的应用 高阶偏导数
偏导数 概念
隐函数 求导法则
微分法在 几何上的应用
多元函数的极值
6、多元连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上 至少取得它的最大值和最小值各一次．
（2）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在 D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介 于这两值之间的任何值至少一次．
7、偏导数概念
定义 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ，
则 : 原方程组在点P的某一邻域内可唯一确定具有连续导数 u v u v 的函数u u ( x, y ), v v( x, y ). , , , 可由对方程组 x x y y F ( x, y, u ( x, y ), v( x, y )) 0 两边分别对x和y求偏导得到. G ( x, y, u ( x, y ), v( x, y )) 0
x x0 y y0
lim f ( x , y ) A
说明：
（1）定义中 P P0 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x , y );
x x0 y y0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
4、极限的运算
设 P P0 时， ( P ) A, f ( P ) B , 则 f (1). f ( P ) g( P ) A B; ( 2). f ( P ) g( P ) A B; ( 3). f ( P ) g( P ) A B ( B 0).
1、区域
（1）邻域
设 P0 ( x 0 , y0 )是 xoy平面上的一个点， 是某 一正数，与点 P0 ( x 0 , y0 )距离小于 的点 P ( x , y ) 的全体，称为点 P0 的 邻域，记为U ( P0 , ) ，
U ( P0 , ) P | PP0 |
则 : 原方程组在点P的某一邻域内可唯一确定具有连续导数 dy dz 的函数y y ( x), z z ( x). 和 可由对方程组 dx dx F ( x, y ( x), z ( x)) 0 两边对x求导得到. G( x, y( x), z ( x)) 0
4
F ( x , y , u, v ) 0 G ( x , y , u, v ) 0
( x , y ) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 .


P0
（2）区域 连通的开集称为区域或开区域．
（3）n维空间
设 n 为取定的一个自然数，我们称 n 元数组 ( x1 , x2 ,, xn ) 的全体为 n 维空间，而每个 n 元 数组( x1 , x 2 ,, x n ) 称为 n 维空间中的一个点， 数 x i 称为该点的第i 个坐标.
dy Fx . dx Fy
隐函数的求导公式
( 2) F ( x , y , z ) 0
隐函数存在定理 2 设函数F ( x , y , z ) 在点P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ， Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 ，则方程F ( x , y , z ) 0 在点 P ( x0 , y0 , z 0 ) 的某一邻域内恒能唯一确 定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z f ( x , y ) ，它满足条件z0 f ( x0 , y0 ) ， 并有