2018年北京市西城区高三一模文科数学试题及参考答案

2018年北京市西城区高三一模文科数学试题及参考答案

西城区高三统一测试

数学（文科） 2018.4

第Ⅰ卷（选择题 共

40分）

一、

选择题：本大题共

8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的 四个选项中，选

出符合题目要求的一项．

1．若集合{|320}A x x =∈+>R ，2

{|230}B x x x =∈-->R ，则A

B =

（A ）{|1}x x ∈<-R （B ）2{|1}3

x x ∈-<<-R （C ）2{|3}3

x x ∈-<R

2．若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a = （A ）7

（B ）7-

（C ）1

（D ）1-

7．已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO AB AC λμ−−→

−−→

−−→

=+，

其中λ，μ∈R ，则λμ

= （A ）2- （B ）1

2

- （C

）（D

8．如图，在长方体11

1

1

ABCD A B C D -中，

12

AA AB ==，

1

BC =，点P 在侧面1

1

A AB

B 上．满足到

直线1

AA 和CD

的距离相等的点P

（A ）不存在

（B ）恰有1个

（C ）恰有2个

（D ）有无数个

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．函数1()ln f x x =的定义域是____．

10．已知x ，y 满足条件

1,1,10, x y x y x +⎧⎪

-⎨⎪+⎩

≤≤≥则2z x y =+的最小值为

____．

11．已知抛物线2

8y

x

=-的焦点与双曲线

2

221(0)x y a a

-=>的

一个焦点重合，则a =____； 双曲线的渐近线方程是____．

12．在△ABC 中，7b =，5c =，3B 2π∠=，则a =____．

13．能够说明“存在不相等的正数a ，b ，

使得a b ab +=”是真命题的一组a ，b 的值为____．

14．某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排

球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班

18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是____．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）

设等差数列{}n

a 的公差不为0，2

1

a

，且2

a ，3

a ，

6

a 成等比数列．

（Ⅰ）求{}n

a 的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}n

a 的前n 项和为n

S ，求使35

n

S

成立的

n

的最小值．

16．（本小题满分13分）

函数π()2cos cos()3f x x x m =⋅-+的部分图象如图所示． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）求0

x 的值．

17．（本小题满分13分）

某企业2017年招聘员工，其中A 、B 、C 、D 、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：

（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；

（Ⅱ）从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性

和1名女性，求这2人均被录用的概率； （Ⅲ）表中A 、B 、C 、D 、E 各岗位的男性、女

性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论） 18．（本小题满分14分）

如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，

O 为DE 的中点，AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE

折起到△1

A DE 的位置，使得平面1

A DE ⊥平面BCED ，F 为

1A C

的中点，如图2．

（Ⅰ）求证：//EF 平面1

A BD ； （Ⅱ）求证：平面1

A O

B ⊥平面1

A OC ；

（Ⅲ）线段OC 上是否存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ？

说明理由．

图1 图2

19．（本小题满分14分）

已知椭圆2

2

2

2

:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率为，以椭圆C 的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设A 是椭圆C 的右顶点，点B 在x 轴上．若椭

圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，求点B 横坐标的取值范围．

20．（本小题满分13分）

已知函数()e (ln )x

f x a x =⋅+，其中a ∈R ．

（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线e x

y =-垂

直，求a 的值；

（Ⅱ）记()f x 的导函数为()g x ．当(0,ln 2)a ∈时，证明：

()

g x 存在极小值点0

x ，且0

()0f x <．

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数学（文科）参考答案及评分标准

2018.4

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．D 2．B 3．C 4．A