2018年北京市西城区高三一模文科数学试题及参考答案

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2018年高三最新北京市西城区2018年抽样测试高三数学

北京市西城区2018年抽样测试高三数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．设全集为R ，若集合}50|{},1|{<≤=≥=x x N x x M ，则N ( )等于A ．}5|{≥x xB ．}10|{<≤x xC ．}5|>x xD ．}51|{<≤x x2．函数1)62sin(3)(--=πx x f 的最小值和最小正周期分别是A ．π,13--B ．π,13+-C ．π,3-D ．π2,13--3．函数)0(12>+=x x y 的反函数是 A ．)0(12>-=x x y B ．)0(12>--=x x yC ．)1(12>-=x x yD ．)1(12>--=x x y3．等差数列6427531,4,}{a a a a a a a a n ++=+++则中=A ．3B ．4C ．5D ．64．设命题p ：若001:;11,<⇔<<>ab bq b a b a 则. 给出下列四个复合命题：①p 或q ；②p 且q ；③ p ；④q 其中真命题的个数有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．函数])5,2[)(1(log )(21∈-=x x x f 的最大值与最小值之和是A ．－2B ．－1C ．0D ．26．已知直线21,l l 与平面α. 则下列结论正确的是 A ．若A l l =⊂αα 21,，则21,l l 为异面直线. B ．若α//,//121l l l ，则α//2l . C ．若,,121α⊥⊥l l l 则.//2αlD ．若,,21αα⊥⊥l l ，则21//l l .7．直线02=-y x 与圆9)1()2(:22=++-y x C 交于A ，B 两点，则△ABC （C 为圆心）的面积等于A ．52B ．32C ．34D ．548．某人上午7:00乘汽车以匀速1υ千米/时（30≤1υ≤100）从A 地出发到距300公里的B地，在B 地不作停留，然后骑摩托车以匀速2υ千米/时（4≤2υ≤20）从B 地出发到距50公里的C 地，计划在当天16:00至21:00到达C 地。

2018年高三一模数学试卷及答案(文科)

2018年高三数学一模试卷（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}320A x N x =∈->，{}24B x x =≤，则AB =（）A ．{}21x x -≤< B ．{}2x x ≤ C ．{}22x x -≤≤ D ．{}0,1 2.设i 是虚数单位，若复数()21ia a R i+∈-是纯虚数，则a =（） A ．1- B ．1 C ．2- D ．23.已知[],0,2x y ∈，则事件“1x y +≤”发生的概率为（） A ．116 B ．18 C ．1516 D ．784.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．122π+ B ．12π+ C. 1π+ D ．2π+ 5.已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数2x =， 1.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A ．0.6 1.1y x =+B ．3 4.5y x =- C.2 5.5y x =-+D ．0.4 3.3y x =-+6.已知2AB =，1CD =，且223AB CD -=AB 和CD 的夹角为（） A ．30 B ．60 C.120 D ．1507.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点(0A ，.若线段FA 与抛物线C 相交于点M ，则MF =（）A ．43 B 23D 8.设x ，y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则目标函数23z x y =-的最小值是（）A ．7-B ．6- C.5- D ．3- 9.已知函数()2sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调递减区间为（） A ．()372,288k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．()32,288k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C.()37,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦10.已知双曲线C 的中心在原点O ，焦点()F -，点A 为左支上一点，满足OA OF =，且4AF =，则双曲线C 的方程为（）A ．221164x y -= B ．2213616x y -= C.221416x y -= D ．2211636x y -= 11.在锐角ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()()()sin sin sin a b A B c b C -+=-，若a =22b c +的取值范围是（）A ．(]3,6B ．()3,5 C.(]5,6 D ．[]5,612.已知函数()x e f x x=，若关于x 的方程()()2223f x a a f x +=有且仅有4个不等实根，则实数a 的取值范围为（）A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()0,e D ．()0,+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.sin 47sin17cos30cos17-的值等于．14.执行如图所示的程序框图，若输入1S =，1k =，则输出的S 为．15.若一圆锥的体积与一球的体积相等，且圆锥底面半径与球的半径相等，则圆锥侧面积与球的表面积之比为．16.若1b a >>且3log 6log 11a b b a +=，则321a b +-的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()13122n n S a a n N *=-∈，且11a -，22a ，37a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()92log n n b a n N *=∈，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18. 如图，在梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=，2CD =，1AD AB ==，四边形BDEF 为正方形，且平面BDEF ⊥平面ABCD .（1）求证：DF CE ⊥；（2）若AC 与BD 相交于点O ，那么在棱AE 上是否存在点G ，使得平面//OBG 平面EFC ？并说明理由.19. 某学校的特长班有50名学生，其中有体育生20名，艺术生30名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于50次/分到75次/分之间.现将数据分成五组，第一组[)50,55，第二组[)55,60，…，第五章[]70,75，按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为:4:10a.（1）求a 的值，并求这50名同学心率的平均值；（2）因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名，该学生是体育生的概率为0.8，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关？说明你的理由.参考数据：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20. 已知直线:l y kx m =+与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于A ，P 两点，与x 轴，y轴分别相交于点N ，M ，且，PM MN =，点Q 是点P 关于x 轴的对称点，QM 的延长线交椭圆于点B ，过点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为1A ，1B .（1）若椭圆C 的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点312D ⎛⎫⎪⎝⎭，在椭圆C 上，求椭圆C 的方程；（2）当12k =时，若点N 平方线段11A B ，求椭圆C 的离心率. 21. 已知函数()xf x xe =.（1）讨论函数()()xg x af x e =+的单调性；（2）若直线2y x =+与曲线()y f x =的交点的横坐标为t ，且[],1t m m ∈+，求整数m 所有可能的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线lsin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x =-.（1）求不等式()1f x ≤的解集A ；（2）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+.试卷答案一、选择题1-5:CBBDC 6-10:CABDC 11、12：CB 二、填空题 13.1214.57416.1 三、解答题 17.解：（1）由13122n n S a a =-，得123n n S a a =-. 由()11112=3,232,n n n n S a a S a a n ---⎧⎪⎨=-≥⎪⎩作差得()132n n a a n -=≥.又11a -，22a ，37a +成等差数列，所以213417a a a =-++，即11112197a a a =-++，解得13a =.所以数列{}n a 是以3为首项、公比为3的等比数列，即3n n a =. （2）由992log 2log 3n n n b a n ===，得11111n n b b n n +=-+，于是11111122311n n T n n n =-+-++-=++. 18.（1）证明：连接EB .∵在梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=，2CD =，1AD AB ==， ∴BD =BC =.∴222BD BC CD +=，∴BC BD ⊥. 又∵平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF 平面ABCD BD =，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面BDEF ，∴BC DF ⊥.又∵正方形BDEF 中，DF EB ⊥且EB ，BC ⊂平面BCE ，EB BC B =，∴DF ⊥平面BCE .又∵CE ⊂平面BCE ，∴DF CE ⊥.（2）解：如图所示，在棱AE 上存在点G ，使得平面//OBG 平面EFC ，且12AG GE =. 证明如下：∵在梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=，2CD =，1AB =，∴//AB DC ，∴12AO AB OC DC ==. 又∵12AG GE =，∴AO AGOC GE=，∴//OG CE .又∵正方形BDEF 中，//EF OB ，且OB ，OG ⊄平面EFC ，EF ，CE ⊂平面EFC ， ∴//OB 平面EFC ，//OG 平面EFC ，又∵OBOG O =，且OB ，OG ⊂平面OBG ，∴平面//OBG 平面EFC.19.解（1）因为第二组数据的频率为0.03250.16⨯=，故第二组的频数为0.16508⨯=，由已知得，前三组频数之比为:4:10a ，所以第一组的频数为2a ，第三组的频数为20，第四组的频数为16，第五组的数为4.所以2502016842a =----=，解得1a =. 这50名同学心率的平均值为282016452.557.562.567.572.5=63.75050505050⨯+⨯+⨯+⨯+⨯. （2）由（1）知，第一组和第二组的学生（即心率小于60次/分的学生）共10名，从而体育生有100.8=8⨯名，故列联表补充如下.所以()22508282128.3337.87910402030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关.20.解：（1）由题意得22222,191,4,b ab a bc ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩∴223,4,b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）当12k =时，由12y x m =+，得()0,M m ，()2,0N m -. ∵PM MN =，∴()2,2P m m ，()2,2Q m m -， ∴直线QM 的方程为32y x m =-+. 设()11,A x y ，由22221,21,y x m x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2222222104a b x a mx a m b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， ∴2122424a mx m a b -+=+，∴()221222344m a b x a b +=-+；设()22,B x y ，由22223,21,y x m x y a b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()22222229304a b x a mx a m b ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， ∴222212294a mx m a b +=+，∴()2222223494m a b x a b +=-+.∵点N 平方线段11A B ，∴124x x m +=-，∴()()222222222342344494m a b m a b m a ba b++--=-++，∴2234a b =，∴13x m =-，112y m =-，代入椭圆方程得22217m b b =<，符合题意. ∵222a b c =+，∴2a c =，∴12c e a ==.21.解：（1）由题意，知()()xxxg x af x e axe e =+=+，∴()()'1xg x ax a e =++.①若0a =时，()'x g x e =，()'0g x >在R 上恒成立，所以函数()g x 在R 上单调递增；②若0a >时，当1a x a+>-时，()'0g x >，函数()g x 单调递增，当1a x a+<-时，()'0g x <，函数()g x 单调递减； ③若0a <时，当1a x a+>-时，()'0g x <，函数()g x 单调递减；当1a x a+<-时，()'0g x >，函数()g x 单调递增.综上，若0a =时，()g x 在R 上单调递增；若0a >时，函数()g x 在1,a a +⎛⎫-∞-⎪⎝⎭内单调递减，在区间1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内单调递增；当0a <时，函数()g x 在区间1,a a +⎛⎫-∞-⎪⎝⎭内单调递增，在区间1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内单调递减. （2）由题可知，原命题等价于方程2xxe x =+在[],1x m m ∈+上有解，由于0x e >，所以0x =不是方程的解，所以原方程等价于210xe x --=，令()21x r x e x=--，因为()'220xr x e x=+>对于()(),00,x ∈-∞+∞恒成立，所以()r x 在(),0-∞和()0,+∞内单调递增. 又()130r e =-<，()2220r e =->，()311303r e -=-<，()2120r e -=>，所以直线2y x =+与曲线()y f x =的交点仅有两个，且两交点的横坐标分别在区间[]1,2和[]3,2--内，所以整数m 的所有值为3-，1.22.解：（1）因为2222cos sin 1y θθ+=+=，所以曲线C 的普通方程为2213x y +=；sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，展开得sin cos 3ρθρθ-=，即3y x -=，因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=.（2）设),sin P θθ，则点P 到直线l的距离为2d ==≤ 当且仅当sin 13πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()1126k k Z πθπ=+∈时等号成立，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因此点P 到直线l23.（1）解：由211x -≤，得1211x -≤-≤，即1x ≤，解得11x -≤≤，所以[]11A =-，.（2）证明：（解法一）()()()222222221111m n mn m n m n m n +-+=+--=---. 因为,m n A ∈，所以11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤，所以()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+. 又10mn +≥，故1m n mn +≤+.（解法二）因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，而()()()1110m n mn m n +-+=--≤()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+.。

2018届北京市西城区高三一模文科数学试题及答案

北京市西城区高三一模试卷数学（文科） 4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集{|02}U x x =<<，集合1{|0}A x x =<≤，则集合U A =ð（）（A ）(0,1) （B ）(0,1] （C ）(1,2) （D ）[1,2)2．已知平面向量(2,1)=-a ，(1,3)=b ，那么|a +b |等于（）（A ）5 （B（C（D ）133．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为（）（A（B ）2 （C（D4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（A ）2正(主)视图俯视图侧(左)视图（B ）43（C ）4 （D ）56．设0a >，且1a ≠，则“函数log a y x =在(0,)+∞上是减函数”是“函数3(2)y a x =-在R 上是增函数”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *∈N 年后，5．下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（）（A）()sin =f x x （B ）()sin 2=f x x （C）()cos =f x x（D ）()cos 2=f x x盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）78. 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（）（A ） 4个（B ）6个（C ）10个（D ）14个第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．设复数1ii 2ix y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______．10．若抛物线2:2C y px =的焦点在直线20x y +-=上，则p =_____；C的准线方程为_____．BADC. P11．已知函数3, 0,()1, 0,1≤+⎧⎪=⎨>⎪+⎩x x f x x x 若0()2=f x ，则实数0=x ______；函数()f x 的最大值为_____．12．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为______．13．若不等式组1,0,26,ax y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是__________.14．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，2BC =，P 为线段AD （含端点）上一个动点. 设AP xAD = ，PB PC y ⋅=，记()=y f x ，则(1)=f ____；函数()f x 的值域为_________.A BD CP三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知222+=+.b c a bc（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cos=B2b=，求a的值.16．（本小题满分13分）某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b，c的值；（Ⅱ）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不．是次品的概率；（Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了()*∈n n N 个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样．．．．．．．．．所得的结果相同，求n 的最小值.17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是矩形，2AD AB =，SA SD =，SA AB ⊥， N 是棱AD 的中点.（Ⅰ）求证：//AB 平面SCD ；（Ⅱ）求证：SN ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）在棱SC 上是否存在一点P ，使得平面⊥PBD 平面ABCD ?若存在，求出SP PC的值；若不存在，说明理由.18．（本小题满分13分）已知函数()ln a f x x x=-，其中a ∈R ．（Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y W a b a b+=>>：的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆W 的方程.（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 与W 相交于,A B 两点，记AOB ∆面积的最大值为k S ，证明：12S S =.20．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，1()n a n n*=∈N . 从数列{}n a 中选出(3)k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列1111,,,2358为{}n a 的一个4项子列.（Ⅰ）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等比数列；（Ⅱ）如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差d 满足104d -<<；（Ⅲ）如果{}n c 为数列{}n a 的一个6项子列，且{}n c 为等比数列，证明：1234566332c c c c c c +++++≤.北京市西城区高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科） 4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．B 3．D 4．C5．D 6．A 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．25- 10．4 2=-x 11．1- 3 12．256 13． (3,5) 14．1 4[,4]5注：第10、11、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为 222b c a bc +=+，所以2221cos 22b c a A bc +-==， ………………4分又因为 (0,π)∈A ，所以π3A =. ……………… 6分（Ⅱ）解：因为 cos 3=B ，(0,π)∈B ，所以sin 3B ==， ………………8分由正弦定理sin sin =a bA B， ………………11分得sin 3sin ==b Aa B. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：0.15a =，30b =，0.3=c . ……………… 3分（Ⅱ）解：设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件A . ……………… 4分由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个，所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为100604()2005+==P A . …………… 8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为60:100:403:5:2=.……………… 10分所以按分层抽样法，购买灯泡数 35210()*=++=∈n k k k k k N ，所以n 的最小值为10． (13)分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是矩形，所以//AB CD ， ……………… 1分又因为 AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ，所以//AB 平面SCD . (3)分（Ⅱ）证明：因为 , , AB SA AB AD SA AD A ⊥⊥= ，所以⊥AB 平面SAD ， ……………… 5分又因为 SN ⊂平面SAD ，所以AB SN⊥. ……………… 6分因为 SA SD =，且N 为AD 中点，所以 SN AD ⊥. 又因为 AB AD A = ，所以SN ⊥平面ABCD . ……………… 8分（Ⅲ）解：如图，连接BD 交NC 于点F ，在平面SNC 中过F 作//FP SN交SC 于点P ，连接PB ，PD . 因为 SN ⊥平面ABCD ，所以 FP ⊥平面ABCD .又因为 FP ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABCD . 在矩形ABCD 中，因为//ND BC ，所以12NF ND FC BC ==. 在SNC ∆中，因为//FP SN ，所以12NF SP FC PC ==. 则在棱SC 上存在点P ，使得平面⊥PBD 平面ABCD ，此时12SP PC =. ……… 14分 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由2()ln f x x x=-，得212()f x x x '=+， ……………… 2分所以 (1)3f '=，又因为 (1)2f =-，所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为350x y --=. (4)分（Ⅱ）解：由 ()2f x x >-+，得ln 2a x x x->-+，即2ln 2a x x x x <+-. ……………… 6分设函数2()ln 2g x x x x x =+-，则()ln 21g x x x '=+-， ……………… 8分因为(1,)x ∈+∞，所以ln 0x >，210x ->，所以当(1,)x ∈+∞时，()ln 210g x x x '=+->， (10)分故函数()g x 在(1,)x ∈+∞上单调递增，所以当(1,)x ∈+∞时，()(1)1g x g >=-. ……………… 11分因为对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+成立，所以对于任意(1,)x ∈+∞，都有()a g x <成立. 所以1a -≤. ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得椭圆W 的半焦距1c =，右焦点(1,0)F ，上顶点(0,)M b ，…… 1分所以直线MF 的斜率为0101-==--MF b k ，解得1b =， ……………… 3分由 222a b c =+，得22a =，所以椭圆W 的方程为2212x y +=. ……………… 5分（Ⅱ）证明：设直线l 的方程为y kx m =+，其中1k =或2，11(,)A x y ，22(,)B x y .… 6分由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=， ……………… 7分所以 2216880k m ∆=-+>，（*）由韦达定理，得122412km x x k -+=+,21222212m x x k-=+. ……………… 8分所以||AB ==…… 9分因为原点O到直线y kx m=+的距离d =， ……………… 10分所以1||2AOB S AB d ∆=⋅= ……………… 11分当1k =时，因为AOB S ∆=所以当232m =时，AOB S ∆的最大值12S =，验证知（*）成立； ……………… 12分当2k =时，因为AOB S ∆=所以当292m =时，AOB S ∆的最大值22S =；验证知（*）成立. 所以12S S =. ……………… 14分注：本题中对于任意给定的k ，AOB ∆.20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一. 如3项子列：12，14，18. ……………… 2分（Ⅱ）证明：由题意，知1234510b b b b b >>>>>≥，所以210d b b =-<. ……………… 4分因为 514b b d =+，151,0b b >≤，所以 514011d b b =->-=-，解得 14d >-. 所以104d -<<. ……………… 7分（Ⅲ）证明：由题意，设{}n c 的公比为q ，则 23451234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++. 因为{}n c 为{}n a 的一个6项子列，所以q为正有理数，且1q <，111()c a a*=∈N ≤. ……………… 8分设 (,Kq K L L*=∈N ，且,K L 互质，2L ≥）.当1K =时，因为 112q L =≤，所以 23451234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++2345111111()()()()22222+++++≤，所以1234566332c c c c c c +++++≤. ……………… 10分当1K ≠时，因为 556151==⨯K c c q a L是{}n a 中的项，且,K L 互质，所以 5*()a K M M =⨯∈N ，所以 23451234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++543223*********()M K K L K L K L KL L=+++++.因为 2L ≥，*,K M ∈N ，所以 234512345611111631()()()()2222232c c c c c c ++++++++++=≤. 综上，1234566332c c c c c c +++++≤. ……………… 13分。

北京市西城区高三一模文科数学试卷.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作北京市西城区2016届高三一模文科数学试卷一、单选题1.设集合，集合，则（）A． B．C． D．【知识点】集合的运算【试题解析】所以。

故答案为：B【答案】B2.设命题p：，则p为（）A． B．C． D．【知识点】全称量词与存在性量词【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题，p为：。

故答案为：A【答案】A3.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A． B．C． D．【知识点】函数的奇偶性【试题解析】因为奇函数乘以奇函数为偶函数，y=x是奇函数，故是偶函数。

故答案为：B【答案】B4.下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m的可能取值集合为（）A． B． C． D．【知识点】样本的数据特征茎叶图【试题解析】由题知：所以m可以取：0，1，2．故答案为：C【答案】C5.在平面直角坐标系中，向量＝(1，2)，＝(2，m)，若O，A，B三点能构成三角形，则（）A． B． C． D．【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】若O，A，B三点能构成三角形，则O，A，B三点不共线。

若O，A，B三点共线，有：-m=4，m=-4．故要使O，A，B三点不共线，则。

故答案为：B【答案】B6.执行如图所示的程序框图，若输入的分别为0，1，则输出的（）A．4 B．16 C．27 D．36【知识点】算法和程序框图【试题解析】A=0，S=1，k=1，A=1，S=1，否；k=3，A=4，S=4，否；k=5，A=9，S=36，是，则输出的36。

故答案为：D【答案】D7.设函数，则“”是“函数在上存在零点”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【知识点】零点与方程【试题解析】因为所以若，则函数在上存在零点；反过来，若函数在上存在零点，则则故不一定。

2018年高三最新北京市西城区2018年抽样测试高三数学试卷(文科)02018 精品

北京市西城区2018年抽样测试高三数学试卷（文科）参考公式：三角函数的和差化积公式正棱台、圆台的侧面积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+l c c S )(21+'=台侧 2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=-其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示 2cos2cos2cos cos βαβαβα-+=+斜高或母线长. 2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=-球体的体积公式：334R V π=球一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列各函数中，（）是R 上的偶函数A ．x x y 22-=B ．x y 2=C ．x y 2cos =D ． 1||1-=x y2．设全集为实数集R ，集合A=∈<x x x ,1log |{2R }，集合B=∈<-x x x ,1|2||{R }，则 B A 等于（）A ．}1|{≤x xB ．}10|{≤<x xC ．}21|{<≤x xD ．}3|{≥x x3．抛物线2ax y =的准线方程为1-=y ，则实数a 的值是（）A ．41 B ．21 C ．41-D ．－21 4．5．设,4||0πα<<则下列不等式中一定成立的是（）A ．ααsin 2sin >B ．ααcos 2cos <C ．ααtg tg >2D ．ααctg ctg <25．若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比为（）A ．2:2B ．2:3C ．2:5D ．2:36．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 1（5-，0），点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为（0，2），则双曲线的方程是（）A ．1422=-y xB ． 1422=-y xC ．13222=-y xD ．12322=-y x7．函数)(x f 的部分图象如下图所示，则)(x f 的解析式可以是（）A ．x x x f sin )(+=B ．xxx f cos )(=C ．x x x f cos )(=D ．)23()2()(ππ-⋅-⋅=x x x x f8．某航空公司经营A 、B 、C 、D 这四个城市之间的客运业务. 它的部分机票价格如下：A —B 为2000元；A —C 为1600元；A —D 为2500元；B —C 为1200元；C —D 为900元. 若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B —D 的机票价格为（）（注：计算时视A 、B 、C 、D 四城市位于同一平面内） A ．1000元 B ．1200元 C ．1400元 D ．1500元二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 9．设∈z C ，且i z i -=⋅2，则复数z 等于；||i z +等于 .10．正四棱锥S —ABCD 的底面边长为2，高为2，则异面直线AB 与SC 所成角的大小是 .11．从3名男同学1名女同学中选出3人，分别担任班长、体委、宣委职务，其中女同学不能担任体委职务，那么不同的任职方案共有种（用数字作答）. 12．已知)(x f 是定义在[－4，0]上的减函数，其图象端点为A （－4，1），B （0，－1），记)(x f 的反函数是)(1x f -，则)1(1-f 的值是；)(x f 的值域是 . 13．如果曲线C 的方程是,23++=x x y 那么曲线C 的对称中点坐标是 .14．下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥MNP 的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本题满分13分）已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为.621,33=⋅=S a S n （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）求).111(lim 21nn S S S +++∞→ .16．（本题满分14分）在△ABC 中，三个内角是A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，其中c =10，且.34c o s c o s ==a b B A （I ）求证：△ABC 是直角三角形；（II ）设圆O 过A 、B 、C 三点，点P 位于劣弧AC 上，∠PAB=60°.求四边形ABCP 的面积.（17．（本题满分14分）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°. BC=CC1=AC=a.（I）求证：BC1⊥平面AB1C；（II）求二面角B—AB1—C的大小；（III）求三棱锥A1—AB1C的体积.18．（本题满分13分）已知O （0，0）、A （3，0）为椭圆的两个焦点，P 为椭圆与y 轴的一个公共点，且|PO|+|PA|=2. （I ）写出椭圆的方程并求出其离心率；（II ）设直线)0(:>=k kx y l 与（I ）中的椭圆交于B 、C 两点. 求△ABC 的面积是,21求k 的值.19．（本题满分12分）某城市2018年末粮食储备量为100万吨，预计此后每年耗用上一年末粮食储备量的5%，并且每年新增粮食储备量均为x万吨.（I）记2018年末的粮食储备量为a1万吨，以后各年末的粮食储备量依次为a2万吨，a3万吨，…. 写出a1，a2，a3和a n（n∈N）的表达式；（II）当x=6时，是否可以保证该城市的粮食储备量永远不超过120万吨？请加以论证.20．（本题满分14分）设a ≥0，曲线C 的方程为∈+=x ax x y (2R ）.P 是曲线C 上横坐标为1的点，Q 是曲线C 的顶点. （I ）若直线PQ 的斜率是2时，求实数a 的值；（II ）设直线l 经过点P 且与曲线C 有且只有一个公共点，记直线l 交x 轴于点)0,(0x .证明：.121000=≤<x x 或高三数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1.C 2.B 3.A 4.B 5.C 6.A 7.C 8.D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．10;21i --（第一个空2分，第二个空3分）10．60°（5分） 11．18（5分） 12．－4；}11|{≤≤-y y （第一个空2分，第二个空3分） 13．（－2，1）（5分） 14．①、③（多答、少答、错答均不给分）三、解答题：本大题共6小题，共80分.其它解法，请仿此给分. 15．（本题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差是d ，依题意得，.1222336211=⎪⎩⎪⎨⎧⨯+=+d a d a解得⎩⎨⎧==.2,21d a ………………5分∴数列{}n a 的通项公式为.2)1(1n d n a a n =-+=…………7分（Ⅱ）解：∵n a n 2=，∴).1(2)(1+=+=n n a a n S n n …………9分 ∵)1(132121111121+++⨯+⨯=+++n n S S S n =.111)111()3121()3121()2111(+-=+-++-++-+-n n n∴.1)111(lim )111(lim 21=+-=+++∞→∞→n S S S n n n ……13分16．（本题满分14分）（Ⅰ）证明：根据正弦定理得，.sin sin cos cos AB BA =…………2分整理为，sinAcosA=sinBcosB ，即sin2A=sin2B.∵sin2A －sin2B=0， ∴2cos(A+B)·sin(A －B)=0. ∵A+B=π－C ， ∴cosC·sin(A －B)=0.…………5分.,0πππ<-<-<<B A C ∴.0,2=-=B A C 或π…………7分,34=a b ∴舍去A=B. ∴2π=C . 故△ABC 是直角三角形.………………8分（Ⅱ）解：由（1）可得：a =6，b=8. 在Rt △ACB 中，.54cos ,53sin =∠==∠CAB AB BC CAB ∴)60sin(sin CAB PAC ∠-︒=∠=CAB CAB ∠⋅︒-∠⋅︒sin 60cos cos 60sin =).334(10153215423-=⨯-⨯…………11分连结PB ，在Rt △APB 中，AP=AB ·cos ∠PAB=5， ∴四边形ABCP 的面积PAC AC AP ab S S S PAC ACB ABCP ∠⋅⋅+=+=∆∆sin 2121四边形 =24+)334(1018521-⨯⨯⨯ =18+38.………………14分17．（本题满分14分）（1）证明：∵ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴CC 1⊥平面ABC ， ∴AC ⊥CC 1. ∵AC ⊥BC ， ∴AC ⊥平面B 1BCC 1. ∴BC 1⊥AC.∵BC=CC 1， ∴四边形B 1BCC 1是正方形， ∴BC 1⊥B 1C.∴BC 1⊥平面AB 1C.………………5分（Ⅱ）解：设BC 1∩B 1C=O ，作OP ⊥AB 1于点P ，连结BP.∵BO ⊥AC ，且BO ⊥B 1 C ，∴BO ⊥平面AB 1C.∴OP 是BP 在平面AB 1C 上的射影.根据三垂线定理得，AB 1⊥BP.∴∠OPB 是二面角B —AB 1—C 的平面角.…………8分∵△OPB 1~△ACB 1， ∴,11AB OB AC OP = ∴.6611a AB AC OB OP =⋅= 在Rt △POB 中，3==∠OP OB OPB tg ， ∴二面角B —AB 1—C 的大小为60°…………10分（Ⅲ）解：∵B 1C 1⊥平面ACC 1A 1，.6123131*********a a a C B S V V AC A C AA B C AB A ==⋅==∆--…………14分 18．（本题满分13分）（Ⅰ）解：由图可知，椭圆的中心为线段OA 的中点.∵|PO|+|PA|=2， ∴该椭圆的长轴长2a =2.…………2分∴a =1， .21,2322=-==c a b c ∴椭圆方程为.14)23(22=+-y x …………5分 ∴其离心率为.23==a c e …………6分（Ⅱ）解：将y=k x 代入14)23(22=+-y x ，消去x ，整理为.0413)14(22=--+y k y k…………8分设),(),,(2211y x C y x B ，则21221214)(23||||21y y y y y y OA S ABC -+=-⋅=∆=.21411322=++⋅kk k …………11分注意到k>0，解得.22=k …………13分19．（本题满分12分）（Ⅰ）解：a 1=100，a 2=0.95×100+x ，a 3=0.95a 2+x =0.952×100+0.95x +x .…………3分对于n>2，有a n =0.95a n －1+x =0.952×a n －2+(1+0.95)x =… ∴x x a a n n n n n 05.095.0110095.0)95.095.01(95.011211-----+⋅=++++= =.95.0)20100(201-⋅-+n x x …………6分（Ⅱ）解：[解法1] 当x =6时，.95.0201201-⋅-=n n a.120]95.020120[lim lim 1=⋅-=-∞→∞→n n n n a …………9分并且数列{}n a 的逐项增加，可以任意靠近120.因此，可以保证该城市的粮食储备量永远不超过120万吨.…………12分[解法2] 当x =6时，.95.0201201-⋅-=n n a.12095.0201200.195.00,01,11<⋅-=≤≤<≥-∴∈--n n n a n N n 因此，可以保证该城市的粮食储备量永远不超过120万吨.…………12分20．（本题满分14分）（Ⅰ）解：容易得到P （1，1+a ），).4,2(2a a Q -- 依题意得，.2.221412==+++=a a a a k PQ 解得…………4分（Ⅱ）证明：①当直线l 的斜率不存在时，其方程为1=x ，直线l 与曲线C 有且只有一个公共点),1,1(a +合适题意，此时10=x .…………6分②当直l 的斜率存在时，设其方程为),1()1(-=+-x k a y代入.0)1()(,22=--+-++=a k x k a x ax x y 整理为依题意，得.0)1(4)(2=----=∆a k k a 即.2,0)2(4)(4)(22a k k a k a k a +=∴=+-=+-+-……9分直线l 方程为：).1)(2()1(-+=+-x a a y 令y=0，得.2112)1(0aa a x +=+++-=…………11分 ∵,0≥a ∴212100≤+=<a x ，当且仅当a =0时，.210=x 综上，.121000=≤<x x 或………………14分。

2018年北京西城区高三上学期期末考试数学试题(文)

北京市西城区2018年第一学期期末试卷高三数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B =（）（A ）1(0,)2（B ）1(,1)2 （C ）1(,1)(0,)2-∞- （D ）1(,1)(,1)2-∞-2．复数5i 2i=+（）（A ）12i +（B ）12i -+ （C ）12i -- （D ）12i -3．执行如图所示的程序框图，则输出S=（）（A ）2（B ）6（C ）15（D ）314．函数1()ln f x x x=-的零点个数为（）（A ）0（B ）1 （C ）2 （D ）35．已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（）A ．53B ．3C ．54D ．2 6．考察下列函数：①()sin f x x x =-；②2()32f x x =--；③2()2x f x x =-；④()ln 2cos f x x x =- 其中有三个零点的函数是A ． ①②B ． ②③C ． ③④D ． ①④7．已知α∈(2π,π)，sin α=35,则tan(4πα+)等于 A. －17 B. 17C. 7D.－7 8．如图是某几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半径为1的半圆，侧视图是直角三角形，则该几何体的体积是A ．3π BC ．D第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知向量(1,3)=a，(,21)m m =-b ．若向量a 与b 共线，则实数m =______．10．平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点．若在平行四边形ABCD 内部随机取一点M ，则点M 取自△ABE 内部的概率为______．11．双曲线2213645x y -=的渐近线方程为______；离心率为______．12．若函数2log ,0,()(),0x x f x g x x >⎧=⎨<⎩是奇函数，则(8)g -=______．13．已知函数π()sin()6f x x =+，其中π[,]3x a ∈-．当2a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______． 14．设函数2()65f x x x =-+，集合{(,)|()()0A a b f a f b =+≤，且()()0}f a f b -≥．在直角坐标系aOb 中，集合A 所表示的区域的面积为______．正视图俯视图侧视图三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos2cos 0B B +=．（Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若b=5a c +=，求△ABC 的面积．16．（本小题满分13分）为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间．将数据分成以下5组：第1组[4550)，，第2组[5055)，，第3组[5560)，，第4组[6065)，，第5组[6570]，，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检．（Ⅰ）求每组抽取的学生人数；（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．17．（本小题满分14分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，BC AC ⊥，21===CC BC AC ，M ，N 分别为AC ，11C B 的中点．（Ⅰ）求线段MN 的长；（Ⅱ）求证：MN // 平面11A ABB ；（Ⅲ）线段1CC 上是否存在点Q ，使⊥B A 1平面MNQ ？说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数2()x f x x b=+，其中b ∈R ．（Ⅰ）若1x =-是)(x f 的一个极值点，求b 的值；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间．19．（本小题满分14分）如图，A ，B 是椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的两个顶点．||AB =直线AB 的斜率为12-．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 平行于AB ，与,x y 轴分别交于点,M N ，与椭圆相交于,C D ．证明：△OCM 的面积等于△ODN 的面积．20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ija (,1,2,3,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-．记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()n ni j i j l A r A c A ===+∑∑．（Ⅰ）对如下数表(4,4)A S ∈，求()l A 的值；（Ⅱ）证明：存在(,)A S n n ∈，使得()24l A n k =-，其中0,1,2,,k n =；（Ⅲ）给定n 为奇数，对于所有的(,)A S n n ∈，证明：()0l A ≠．。

西城区2018届高三数学(文)试题及答案(word版)

北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2018.1 第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A B =（A ）{|13}x x -<<（B ）{|10}x x -<< （C ）{|02}x x <<（D ）{|23}x x << 2．在复平面内，复数2i 1i -对应的点的坐标为（A ）(1,1) （B ）(1,1)- （C ）(1,1)-- （D ）(1,1)-3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）1y x =-+ （B ）2(1)y x =- （C ）sin y x = （D ）12y x =4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）2（B ）6（C ）30（D ）2705．若122log log 2a b +=，则有（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）4a b = （D ）4b a =6．一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去．．的几何体是（A ）三棱锥（B ）三棱柱（C ）四棱锥（D ）四棱柱7．函数()sin()f x x ϕ=+的图象记为曲线C ．则“(0)(π)f f =”是“曲线C 关于直线π2x =对称”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8．已知A ，B 是函数2x y =的图象上的相异两点．若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（A ）(,1)-∞-（B ）(,2)-∞- （C ）(,3)-∞- （D ）(,4)-∞-第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．若函数()()f x x x b =+是偶函数，则实数b =____．10．已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点是(2,0)F ，其渐近线方程为3y x =±，该双曲线的方程是____．11．向量,a b 在正方形格中的位置如图所示．如果小正方形格的边长为1，那么⋅=a b ____．12．在△ABC 中，3a =，3C 2π∠=，△ABC 的面积为334，则b =____；c =____． 13．已知点(,)M x y 的坐标满足条件10,10,10.x x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥设O 为原点，则OM 的最小值是____．14．已知函数2,2,()1, 3.x x x c f x c x x ⎧+-⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤若0c =，则()f x 的值域是____；若()f x 的值域是1[,2]4-，则实数c 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数2π()2sin cos(2)3f x x x =-+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当π[0,]2x ∈时，1()2f x -≥．16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是公比为13的等比数列，且26a +是1a 和3a 的等差中项．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项之积为n T ，求n T 的最大值．17．（本小题满分13分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A ，B 两类（评定标准见表1）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为1A 的学生中有40%是男生，等级为2A 的学生中有一半是女生．等级为1A 和2A 的学生统称为A 类学生，等级为1B 和2B 的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图2所示的频率分布直方图．表1 图2（Ⅰ）已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A 类学生的人数；（Ⅱ）某5人得分分别为45,50,55,75,85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B 类学生”的概率；（Ⅲ）在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%，B 类女生占女生总数的比例为1k ，B 类男生占男生总数的比例为2k ．判断1k 与2k 的大小．（只需写出结论）类别得分()x B 1B 8090x ≤≤ 2B 7080x <≤ A 1A 5070x <≤ 2A2050x <≤18．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，1AA AC =.过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F . （Ⅰ）求证：1A C ⊥平面1ABC ；（Ⅱ）求证：1//A A EF ；（Ⅲ）记四棱锥11B AA EF -的体积为1V ，三棱柱111ABC A B C -的体积为V .若116V V =，求BF BC 的值.19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过(2,0)A ，(0,1)B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设点Q 在椭圆C 上．试问直线40x y +-=上是否存在点P ，使得四边形PAQB 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）已知函数2()ln 2f x x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的0(1,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为(2)(1)f f -；（Ⅲ）比较(1.01)f 与 2.01-的大小，并加以证明．北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2018.1 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．B 3．D 4．C5．C 6．B 7．C 8．B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．0 10．2213y x -= 11．4 12．1；13 13．22 14．1[,)4-+∞；1[,1]2注：第12，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()2sin cos(2)3f x x x =-+ ππ1cos2(cos2cossin 2sin )33x x x =--⋅-⋅ [ 4分] 33sin 2cos 2122x x =-+[ 5分] π3sin(2)13x =-+， [ 7分] 所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ==． [ 8分] （Ⅱ）因为 π2x ≤≤0，所以 ππ2π2333x --≤≤． [10分] 所以 ππ3sin(2)sin()332x --=-≥， [12分] 所以 1()2f x -≥． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 26a +是1a 和3a 的等差中项，所以 2132(6)a a a +=+． [ 2分]因为数列{}n a 是公比为13的等比数列，所以 1112(6)39a a a +=+， [ 4分] 解得 127a =． [ 6分]所以 1411()3n n n a a q --=⋅=． [ 8分] （Ⅱ）令1n a ≥，即41()13n -≥，得4n ≤， [10分] 故正项数列{}n a 的前3项大于1，第4项等于1，以后各项均小于1． [11分]所以当3n =，或4n =时，n T 取得最大值， [12分]n T 的最大值为 34123729T T a a a ==⋅⋅=．[13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意得，样本中B 类学生所占比例为(0.020.04)1060%+⨯=， [ 2分]所以A 类学生所占比例为40%． [ 3分]因为全市高中学生共20万人，所以在该项测评中被评为A 类学生的人数约为8万人． [ 4分]（Ⅱ）由表1得，在5人（记为,,,,a b c d e ）中，B 类学生有2人（不妨设为,b d ）．将他们按要求分成两组，分组的方法数为10种． [ 6分]依次为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),ab cde ac bde ad bce ae bcd bc ade bd ace be acd cd abe(,),(,)ce abd de abc ． [ 8分] 所以“甲、乙两组各有一名B 类学生”的概率为63105=． [10分] （Ⅲ）12k k <． [13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 AB ⊥平面11AA C C ，所以 1A C AB ⊥． [ 2分]在三棱柱111ABC A B C -中，因为 1AA AC =，所以四边形11AA C C 为菱形，所以 11A C AC ⊥． [ 3分]所以 1A C ⊥平面1ABC ． [ 5分]（Ⅱ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为 11//A A B B ，1A A ⊄平面11BB C C ， [ 6分]所以 1//A A 平面11BB C C ． [ 8分]因为平面1AA EF 平面11BB C C EF =，所以 1//A A EF ． [10分]（Ⅲ）记三棱锥1B ABF -的体积为2V ，三棱柱11ABF A B E -的体积为3V .因为三棱锥1B ABF -与三棱柱11ABF A B E -同底等高，所以2313V V =， [11分] 所以1233213V V V V =-=. 因为 116V V =，所以 3131624V V =⨯=. [12分] 因为三棱柱11ABF A B E -与三棱柱111ABC A B C -等高，所以 △ABF 与△ABC 的面积之比为14， [13分] 所以14BF BC =． [14分] 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得，2a =，1b =． [ 2分]所以椭圆C 的方程为2214x y +=． [ 3分] 设椭圆C 的半焦距为c ，则 223c a b =-=， [ 4分]所以椭圆C 的离心率32c e a ==． [ 5分]（Ⅱ）由已知，设(,4)P t t -，00(,)Q x y ． [ 6分]若PAQB 是平行四边形，则 PA PB PQ += ， [ 8分]所以 00(2,4)(,3)(,4)t t t t x t y t --+--=--+，整理得 002, 3x t y t =-=-． [10分]将上式代入 220044x y +=，得 22(2)4(3)4t t -+-=， [11分]整理得 2528360t t -+=，解得 185t =，或2t =． [13分] 此时 182(,)55P ，或(2,2)P ．经检验，符合四边形PAQB 是平行四边形，所以存在 182(,)55P ，或(2,2)P 满足题意． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数2()ln 2f x x x x =-的定义域是(0,)+∞，导函数为()2ln 2f x x x x '=+-． [ 1分]所以(1)1f '=-，又(1)2f =-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =--． [ 3分]（Ⅱ）由已知(2)(1)4ln 22f f -=-． [ 4分]所以只需证明方程 2ln 24ln 22x x x +-=-在区间(1,2)有唯一解．即方程 2ln 4ln 20x x x +-=在区间(1,2)有唯一解． [ 5分] 设函数 ()2ln 4ln 2g x x x x =+-， [ 6分]则 ()2ln 3g x x '=+．当 (1,2)x ∈时，()0g x '>，故()g x 在区间(1,2)单调递增． [ 7分]又 (1)14ln 20g =-<，(2)20g =>，所以存在唯一的0(1,2)x ∈，使得0()0g x =． [ 8分]综上，存在唯一的0(1,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为(2)(1)f f -． [ 9分]（Ⅲ）(1.01) 2.01f >-．证明如下： [10分]首先证明：当1x >时，()1f x x >--．设 2()()(1)ln 1h x f x x x x x =---=-+， [11分] 则 ()2ln 1h x x x x '=+-．当 1x >时，10x ->，2ln 0x x >，所以 ()0h x '>，故()h x 在(1,)+∞单调递增， [12分] 所以 1x >时，有()(1)0h x h >=，即当 1x >时，有()1f x x >--．所以 (1.01) 1.011 2.01f >--=-． [13分]。

2018北京市西城区高三一模数学(文科)

西城区高三统一测试数学（文科） 2018.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．若集合{|320}A x x =∈+>R ，2{|230}Bx x x =∈-->R ，则AB =（A ）{|1}x x ∈<-R（B ）2{|1}3x x ∈-<<-R（C ）2{|3}3x x ∈-<<R（D ）{|3}x x ∈>R2．若复数(i)(34i)a++的实部与虚部相等，则实数a =（A ）7 （B ）7- （C ）1 （D ）1-3．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）54．若函数2,0,()3(),0xx f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则1()2f -=（A）3-（B3（C ）29-（D ）295．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（A）（B2（C）6+（D）6+6．已知二次函数2()f x a x b x c=++．则“0a<”是“()0f x <恒成立”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．已知O 是正方形A B C D 的中心．若D OA B A Cλμ−−→−−→−−→=+，其中λ，μ∈R，则λμ=（A ）2-（B ）12-（C ）-（D8．如图，在长方体1111A B C DA B C D -中，12A A AB ==，1B C =，点P在侧面11A A B B 上．满足到直线1A A 和C D的距离相等的点P （A ）不存在（B ）恰有1个（C ）恰有2个（D ）有无数个第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数1()ln f x x=的定义域是____．10．已知x ，y 满足条件 1,1,10,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≤≥则2zx y=+的最小值为____．11．已知抛物线28yx=-的焦点与双曲线2221(0)x ya a-=>的一个焦点重合，则a=____；双曲线的渐近线方程是____．12．在△A B C 中，7b =，5c =，3B 2π∠=，则a=____．13．能够说明“存在不相等的正数a ，b ，使得a b ab+=”是真命题的一组a ，b 的值为____．14．某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）设等差数列{}n a 的公差不为0，21a =，且2a ，3a ，6a 成等比数列．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求使35n S >成立的n 的最小值．16．（本小题满分13分）函数π()2co s co s()3f x x x m=⋅-+的部分图象如图所示．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）求0x 的值．17．（本小题满分13分）某企业2017年招聘员工，其中A 、B 、C 、D 、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，求这2人均被录用的概率；（Ⅲ）表中A 、B 、C 、D 、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）18．（本小题满分14分）如图1，在△A B C 中，D ，E 分别为A B ，A C 的中点，O 为D E 的中点，A BA C ==，4B C =．将△A D E 沿D E 折起到△1A D E 的位置，使得平面1A D E⊥平面B C E D ，F 为1A C的中点，如图2．（Ⅰ）求证：//E F平面1A B D ；（Ⅱ）求证：平面1A O B ⊥平面1A O C ；（Ⅲ）线段O C 上是否存在点G ，使得O C ⊥平面E F G ？说明理由．图1 图219．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>2，以椭圆C 的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设A 是椭圆C 的右顶点，点B 在x 轴上．若椭圆C 上存在点P ，使得90A P B∠=，求点B 横坐标的取值范围．20．（本小题满分13分）已知函数()e (ln )xf x a x =⋅+，其中a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()yf x =在1x =处的切线与直线ex y=-垂直，求a 的值；（Ⅱ）记()g x存在极小值点0x，且0()0a∈时，证明：()g x．当(0,ln2)f x的导函数为()f x<．西城区高三统一测试数学（文科）参考答案及评分标准2018.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．B 3．C 4．A 5．D 6．B 7．A 8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．(0,1)(1,)+∞ 10．5- 110x±=12．3 13．3,32（答案不唯一） 14．22注：第11题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，0d ≠．因为2a ，3a ，6a 成等比数列，所以2326a a a =⋅． [ 2分]即2(1)14d d+=+， [ 4分]解得 2d =，或0d =（舍去）． [ 6分]所以 {}n a 的通项公式为2(2)23n a a n d n =+-=-． [ 8分]（Ⅱ）因为23n a n =-，所以2121()()222n n n n a a n a a S nn-++===-． [10分]依题意有 2235n n ->，解得 7n >． [12分]使35nS >成立的n 的最小值为8． [13分]解：（Ⅰ）依题意，有2π()13f =-， [ 2分]所以 2ππ2co s co s133m ⋅+=-，解得 12m=-． [ 4分]（Ⅱ）因为π1()2co s co s()32f x x x =⋅--112c o s (c o s in )222x x x =⋅+-[ 6分]21co s co s 2x x x =+-1in 2c o s 222x x=+ [ 9分]πsin (2)6x =+． [10分]所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==． [11分]所以 02ππ7π326x =+=． [13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为 5334671000+=，被该企业录用的人数为 264169433+=．所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P=．[ 3分]（Ⅱ）记应聘E 岗位的男性为1M ，2M ，3M ，被录用者为1M ，2M ；应聘E 岗位的女性为1F ，2F ，3F ，被录用者为1F ，2F ． [ 4分] 从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，共9种情况，即：111213212223313233,,,,,,,,M F M F M F M F M F M F M F M F M F ．[ 7分]这2人均被录用的情况有4种，即：11122122,,,M F M F M F M F ． [ 8分] 记“从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，这2人均被录用”为事件K ，则4()9P K =． [10分]（Ⅲ）这四种岗位是：B 、C 、D 、E ． [13分]解：（Ⅰ）取线段1A B 的中点H ，连接H D ，H F ． [ 1分] 因为在△A B C 中，D ，E 分别为A B ，A C 的中点，所以 //D EB C，12D EB C=．因为 H ，F 分别为1A B ，1A C 的中点，所以 //H F B C ，12H F B C=，所以 //H FD E，H FD E=，所以四边形D E F H 为平行四边形， [ 3分] 所以 //E F H D ． [ 4分] 因为 E F ⊄平面1A B D ， H D ⊂平面1A B D ，所以 //E F 平面1A B D ． [ 5分] （Ⅱ）因为在△A B C 中，D ，E 分别为A B ，A C 的中点，所以 AD AE =．所以11A D A E=，又O 为D E 的中点，所以 1A OD E⊥． [ 6分]因为平面1A D E ⊥平面B C E D ，且1A O⊂平面1A D E ，所以 1A O ⊥平面B C E D ， [ 7分]所以 1C OA O⊥． [ 8分]在△O B C 中，4B C =，易知 O B O C ==所以 C O B O⊥，所以 C O⊥平面1A O B ， [ 9分]所以平面1A O B ⊥平面1A O C ． [10分]（Ⅲ）线段O C 上不存在点G ，使得O C ⊥平面E F G ． [11分]否则，假设线段O C 上存在点G ，使得O C ⊥平面E F G ，连接 G E ，G F ，则必有 O C G F⊥，且O CG E⊥．在 R t△1A O C 中，由F 为1A C 的中点，O CG F⊥，得G为O C 的中点． [12分]在 △E O C 中，因为 O C G E⊥，所以 E OE C=，这显然与 1E O =，E C =矛盾！所以线段O C 上不存在点G ，使得O C⊥平面E F G ． [14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得2c a =a b=222a b c=+． [ 3分]解得2a =，b=．所以椭圆C 的方程为22142xy+=． [ 5分] （Ⅱ）“椭圆C 上存在点P ，使得90A P B∠=”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点P ，使得P A P B −−→−−→⋅=成立”． [ 6分]依题意，(2,0)A ．设(,0)B t ，(,)P m n ，则2224m n+=， [ 7分]且 (2,)(,)0m n t m n --⋅--=，即 2(2)()0m t m n --+=． [ 9分]将2242m n-=代入上式，得 2(2)()24m m t m ---+=． [10分]因为 22m -<<，所以 22m t m +-+=，即22m t =+．[12分] 所以 2222t -<+<，解得20t -<<，所以点B 横坐标的取值范围是(2,0)-． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）11()e (ln )e e (ln )x x xf x a x a x xx'=⋅++⋅=⋅++． [ 2分]依题意，有(1)e (1)ef a '=⋅+=， [ 3分]第 11 页共 11 页解得 0a =． [ 4分]（Ⅱ）由（Ⅰ）得 1()e (ln )xg x a x x=⋅++，所以 2211121()e (ln )e ()e (ln )xxxg x a x a x xxxxx'=⋅+++⋅-=⋅+-+． [ 6分]因为 e 0x>，所以()g x '与221ln axxx+-+同号．设221()ln h x a xxx=+-+， [ 7分]则 223322(1)1()x x x h x xx-+-+'==．所以对任意(0,)x ∈+∞，有()0h x '>，故()h x 在(0,)+∞单调递增． [ 8分] 因为(0,ln 2)a ∈，所以 (1)10h a =+>，11()ln22h a =+<，故存在01(,1)2x ∈，使得0()0h x =． [10分]()g x 与()g x '在区间1(,1)上的情况如下：所以()g x 在区间01(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增．所以若(0,ln 2)a ∈，存在01(,1)2x ∈，使得0x 是()g x 的极小值点． [11分] 令0()0h x =，得0212ln x a x x -+=，所以00212()e(ln )ex x x f x a x x -=⋅+=⋅<． [13分]。

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2018年北京市西城区高三一模文科数学试题及参考答案西城区高三统一测试数学（文科） 2018.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|320}A x x =∈+>R ，2{|230}B x x x =∈-->R ，则AB =（A ）{|1}x x ∈<-R （B ）2{|1}3x x ∈-<<-R （C ）2{|3}3x x ∈-<<R （D ）{|3}x x ∈>R2．若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a = （A ）7（B ）7-（C ）1（D ）1-7．已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO AB AC λμ−−→−−→−−→=+，其中λ，μ∈R ，则λμ= （A ）2- （B ）12- （C）（D8．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．满足到直线1AA 和CD的距离相等的点P（A ）不存在（B ）恰有1个（C ）恰有2个（D ）有无数个第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数1()ln f x x =的定义域是____．10．已知x ，y 满足条件1,1,10, x y x y x +⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≤≥则2z x y =+的最小值为____．11．已知抛物线28yx=-的焦点与双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点重合，则a =____；双曲线的渐近线方程是____．12．在△ABC 中，7b =，5c =，3B 2π∠=，则a =____．13．能够说明“存在不相等的正数a ，b ，使得a b ab +=”是真命题的一组a ，b 的值为____．14．某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）设等差数列{}na 的公差不为0，21a，且2a ，3a ，6a 成等比数列．（Ⅰ）求{}na 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}na 的前n 项和为nS ，求使35nS成立的n的最小值．16．（本小题满分13分）函数π()2cos cos()3f x x x m =⋅-+的部分图象如图所示．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）求0x 的值．17．（本小题满分13分）某企业2017年招聘员工，其中A 、B 、C 、D 、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，求这2人均被录用的概率；（Ⅲ）表中A 、B 、C 、D 、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论） 18．（本小题满分14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，F 为1A C的中点，如图2．（Ⅰ）求证：//EF 平面1A BD ；（Ⅱ）求证：平面1A OB ⊥平面1A OC ；（Ⅲ）线段OC 上是否存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ？说明理由．图1 图219．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为，以椭圆C 的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设A 是椭圆C 的右顶点，点B 在x 轴上．若椭圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，求点B 横坐标的取值范围．20．（本小题满分13分）已知函数()e (ln )xf x a x =⋅+，其中a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线e xy =-垂直，求a 的值；（Ⅱ）记()f x 的导函数为()g x ．当(0,ln 2)a ∈时，证明：()g x 存在极小值点0x ，且0()0f x <．西城区高三统一测试数学（文科）参考答案及评分标准2018.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．B 3．C 4．A5．D 6．B 7．A 8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．(0,1)(1,)+∞ 10．5-110x ±= 12．313．3,32（答案不唯一） 14．22注：第11题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}na 的公差为d ，0d ≠．因为2a ，3a ，6a 成等比数列，所以2326a a a =⋅． [ 2分]即2(1)14d d+=+，[ 4分]解得2d =，或d =（舍去）．[ 6分]所以{}n a 的通项公式为2(2)23n a a n d n =+-=-． [ 8分]（Ⅱ）因为23n a n =-，所以 2121()()222n n n n a a n a a S n n -++===-．[10分]依题意有 2235n n ->，解得 7n >．[12分]使35nS 成立的n的最小值为8． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意，有2π()13f =-，[ 2分]所以 2ππ2cos cos 133m ⋅+=-，解得12m =-．[ 4分]（Ⅱ）因为π1()2cos cos()32f x x x =⋅--112cos (cos )22x x x =⋅-[ 6分]21cos cos 2x x x =+-12cos22x x =+[ 9分]πsin(2)6x =+．[10分]所以 ()f x 的最小正周期2ππ2T ==． [11分]所以02ππ7π326x =+=．[13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为5334671000+=，被该企业录用的人数为 264169433+=．所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P =． 3分]（Ⅱ）记应聘E 岗位的男性为1M ，2M ，3M ，被录用者为1M ，2M ；应聘E 岗位的女性为1F ，2F ，3F ，被录用者为1F ，2F ．[ 4分]从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，共9种情况，即：111213212223313233,,,,,,,,M F M F M F M F M F M F M F M F M F ．[ 7分]这2人均被录用的情况有4种，即：11122122,,,M F M F M F M F ． [ 8分]记“从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，这2人均被录用”为事件K ，则4()9P K =．[10分]（Ⅲ）这四种岗位是：B 、C 、D 、E ． [13分] 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）取线段1A B 的中点H ，连接HD ，HF ． [ 1分]因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ，12DE BC =．因为 H ，F 分别为1A B ，1A C 的中点，所以 //HF BC ，12HF BC =，所以 //HF DE ，HF DE =，所以四边形DEFH 为平行四边形， [ 3分]所以//EF HD． [ 4分]因为 EF ⊄平面1A BD ， HD ⊂平面1A BD ，所以 //EF 平面1A BD． [ 5分]（Ⅱ）因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 AD AE =．所以11A D A E=，又O 为DE 的中点，所以 1A O DE⊥．[ 6分]因为平面1A DE ⊥平面BCED ，且1A O ⊂平面1A DE ，所以 1A O ⊥平面BCED ， [ 7分]所以1CO A O⊥． [ 8分]在△OBC 中，4BC =，易知 OB OC ==所以 CO BO ⊥，所以 CO ⊥平面1A OB， [ 9分] 所以平面1A OB ⊥平面1A OC．[10分]（Ⅲ）线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG． [11分]否则，假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ，连接 GE ，GF ，则必有 OC GF ⊥，且OC GE ⊥．在 Rt △1A OC 中，由F 为1A C 的中点，OC GF ⊥，得 G 为OC 的中点． [12分]在 △EOC 中，因为OC GE⊥，所以 EO EC =，这显然与1EO =，EC 矛盾！所以线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ． [14分] 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得c a =ab =222ab c =+．[ 3分]解得2a =，b 所以椭圆C的方程为22142x y +=．[ 5分]（Ⅱ）“椭圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点P，使得0PA PB −−→−−→⋅=成立”． [ 6分]依题意，(2,0)A ．设(,0)B t ，(,)P m n ，则2224m n +=，[ 7分]且 (2,)(,)0m n t m n --⋅--=，即2(2)()0m t m n --+=．[ 9分]将 2242m n -=代入上式，得2(2)()24m m t m ---+=．[10分]因为 22m -<<，所以 202mt m +-+=，即 22m t =+． [12分]所以 2222t -<+<，解得 20t -<<，所以点B 横坐标的取值范围是(2,0)-． [14分] 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）11()e (ln )e e (ln )x x x f x a x a x x x'=⋅++⋅=⋅++． [ 2分]依题意，有 (1)e (1)ef a '=⋅+=，[ 3分]解得a =．[ 4分]（Ⅱ）由（Ⅰ）得 1()e (ln )x g x a x x=⋅++，所以2211121()e (ln )e ()e (ln )x x xg x a x a x x x xx x'=⋅+++⋅-=⋅+-+． [ 6分] 因为e 0x >，所以()g x '与221ln a x x x+-+同号．设221()ln h x a xx x=+-+，[ 7分]则223322(1)1()x x x h x x x -+-+'==．所以对任意(0,)x ∈+∞，有()0h x '>，故()h x 在(0,)+∞单调递增． [ 8分]因为 (0,ln 2)a ∈，所以 (1)10h a =+>，11()ln 022h a =+<，故存在01(,1)2x ∈，使得0()0h x =． [10分]()g x 与()g x '在区间1(,1)上的情况如下：所以 ()g x 在区间01(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增．所以若(0,ln 2)a ∈，存在01(,1)2x ∈，使得0x 是()g x 的极小值点． [11分]令 0()0h x =，得 02012ln x a x x -+=，所以第 18 页共 4 页 000002012()e (ln )e 0x x x f x a x x -=⋅+=⋅<．[13分]。