第三章习题解答

1 ∞ W = R (0) = R (τ )τ =0 = Y Y ∫−∞ SY (ω)dω 2π
R (τ) = RX (τ)∗hs (τ)∗hs (− ) τ Y
SY (ω) = SX (ω) Hs (ω)
2
H S (ω ) =
1 串联后系统的传输函数 为 : H S (ω ) = jωL 2 [1 + ] R 1
3.2 若图示系统的输入X (t )为平稳随机过程, 求输出 的功率谱密度.
时域法和频域法 时域法一： 时域法一：定义
RY (τ ) = E[Y (t )Y (t + τ )] = E[{ X (t ) + X (t − T )}{ X (t + τ ) + X (t + τ − T )}]
= E [ X (t ) X ( t + τ ) + X ( t ) X ( t + τ − T ) + X (t − T ) X (t + τ ) + X (t − T ) X (t + τ − T )] = R X (τ ) + R X (τ − T ) + R X (τ + T ) + R X (τ )
R 1Y2 (t1,t2 ) = E[Y (t1)Y2(t2)] Y 1
R 1Y2 (t1,t2) = E[{X(t1)∗h (t1)}{X(t2)∗h2(t2)}] Y 1
= E[ ∫ h1 (λ1 ) X (t1 − λ1 )dλ1 ⋅ ∫ h2 (λ2 ) X (t 2 − λ2 )dλ2 ]
RY1Y2 (t1 , t 2 ) = ∫
∞
−∞ −∞ ∞
∫
∞
RX (t1 − λ1 , t 2 − λ2 )h1 (λ1 )h2 (λ2 )dλ1dλ2
∞ −∞
= ∫ h1 (λ1 )[ ∫ RX (t1 − λ1 , t 2 − λ2 )h2 (λ2 )dλ2 ]dλ1
−∞
= ∫ h1 (λ1 )[ RX (t1 − λ1 , t 2 ) ∗ h2 (t 2 )]dλ1
= ∫ h (λ ){∫ h (λ2)[RX (τ +λ −λ2)*h2(τ +λ −λ2)]dλ2}dλ 1 1 1 1 1 1
−∞ ∞ −∞
= ∫ h (λ ){RX (τ +λ )*h2(τ +λ )*h (τ +λ )}dλ 1 1 1 1 1 1 1
−∞
10
3.6 当传输函数为H (ω ) = [1 + ( jωL )]−1的两个相同网络串 R 联时, 求输入白噪声的功率谱为N 0时的输出平均功率.
∞ −∞ −∞
∫
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∞
RX (t1 −λ ,t2 −λ2)h (λ )h2(λ2)dλ dλ2 1 1 1 1
R 1Y2 (τ ) = RX (τ )∗h2(τ )∗h (− ) Y 1 τ
∞
R1Y2 (t,t +τ) = ∫ Y
∫ =∫ ∫
∞
∞
−∞ −∞ ∞
RX (t −λ ,t +τ −λ2 )h (λ )h2(λ2)dλ dλ2 1 1 1 1 RX (τ +λ −λ2)h (λ )h2 (λ2)dλ dλ2 1 1 1 1
R 1Y2 (t1,t2) = R 1 (t1,t2)∗h2(t2) Y Y
RY1Y2 (t1 , t 2 ) = E[Y1 (t1 )Y2 (t 2 )] = E[Y1 (t1 ) ⋅ ∫ Y1 (t 2 − λ3 )h2 (λ3 )dλ3 ]
−∞ ∞
= ∫ E[Y1 (t1 ) ⋅ Y1 (t 2 − λ3 )]h2 (λ3 )dλ3 = ∫ RY1 (t1 , t 2 − λ3 )h2 (λ3 )dλ3
=∫
∞ −∞ −∞ −∞
∫ ∫
∞
∞
RX (t1 −λ ,t2 −λ2 −λ3)h (λ )h (λ2)h2(λ3)dλ dλ2dλ3 1 1 1 1 1
若 (t)平 ,则 : R 1Y2 (τ ) = RX (τ )∗h (τ)∗h (− )∗h2(τ ) X 稳 有 Y 1 1 τ
R1Y2 (t,t +τ) = R1Y2 (τ) Y Y =∫
h(t) =δ(t) +δ(t −T)
RY (τ ) = R X (τ ) ∗ [δ (τ ) + δ (τ − T )] ∗ [δ (τ ) + δ (τ + T )] = R X (τ ) ∗ [δ (τ ) + δ (τ + T ) + δ (τ − T ) + δ (τ )] = 2 R X (τ ) + R X (τ + T ) + R X (τ − T )
∞ −∞
−∞ −∞
= ∫ h (λ )[∫ RX (τ +λ −λ2 )h2(λ2)dλ2]dλ 1 1 1 1
−∞ ∞
∞
= ∫ h (λ )[RX (τ +λ )∗h2(τ +λ )]dλ 1 1 1 1 1
−∞
7
3.4 随机过程 X (t )作用到脉冲响应为 h1 (t )和h2 (t )的串联系统 . 求用 h1 (t ), h2 (t )和X (t )的自相关函数表示的 Y1 (t )和Y2 (t )的 互相关函数 .
2ωL 1− ( ) + j R R
2
ωL
解法一
12
3.6 当传输函数为H (ω ) = [1 + ( jωL )]−1的两个相同网络串 R 联时, 求输入白噪声的功率谱为N 0时的输出平均功率.
HS (ω) =
2ωL 1−( ) + j R R
1
ωL 2
1
1 H S (ω ) = = ωL 2 2 2ωL 2 ωL 2 2 [1 − ( ) ] + ( ) [1 + ( ) ] R R R
R 1Y2 (t1,t2) = RX (t1,t2)∗h (t1)∗h (t2)∗h2(t2) Y 1 1
=∫
∞ −∞ −∞ −∞
∫ ∫
∞
∞
RX (t1 −λ ,t2 −λ2 −λ3)h (λ )h (λ2)h2(λ3)dλ dλ2dλ3 1 1 1 1 1
9
R 1Y2 (t1,t2) = RX (t1,t2 )∗h (t1)∗h (t2)∗h2(t2) Y 1 1
1 W= 2π
∞
1 ∞ W= ∫−∞ SY (ω)dω 2π
N0 N0 ∫−∞ ωL 2 2 dω = π [1 + ( ) ] R
∫
∞
0
1 dω ωL 2 2 [1 + ( ) ] R
dx x 1 b ∫ (a2 +b2x2)2 = 2a2(a2 +b2x2) + 2a3b arctan( a x) +C
−∞ −∞
∞
∞
R1 (t1,t2) = RX (t1,t2)∗h (t1)∗h (t2) Y 1 1 =∫
∞ −∞ −∞
∫
∞
RX (t1 −λ ,t2 −λ2)h (λ )h (λ2)dλ dλ2 1 1 1 1 1
8
3.4 随机过程 X (t )作用到脉冲响应为 h1 (t )和h2 (t )的串联系统 . 求用 h1 (t ), h2 (t )和X (t )的自相关函数表示的 Y1 (t )和Y2 (t )的 互相关函数 .
14
3.6 当传输函数为H (ω ) = [1 + ( jωL )]−1的两个相同网络串 R 联时, 求输入白噪声的功率谱为N 0时的输出平均功率.
dx x 1 b ∫ (a2 +b2x2)2 = 2a2(a2 +b2x2) + 2a3b arctan( a x) +C
W=
N0
π
∫
∞
0
L α= R
SY (ω) = 2SX (ω)[1+cos(ω )] T
3
3.2 若图示系统的输入X (t )为平稳随机过程, 求输出 的功率谱密度.
频域法
SY (ω) = SX (ω) H(ω)
2
Y(s) H(s) = =1+e−sT h(t) =δ(t) +δ(t −T) X(s) − jωT H(−ω) =1+ejωT H(ω) =1+e
R (0) = Y
N0∆ωe
π
Hs (0)
2
2
1 HS (ω) = ωL 2 2 [1+( ) ] R
2
∆ e =∫ ω
∞
0
Hs (ω) dω Hs (0)
−∞
∞
R1Y2 (t1,t2) = RX (t1,t2)∗h2(t2)∗h (t1) Y 1 =∫
∞ −∞ −∞
∫
∞
RX (t1 −λ ,t2 −λ2)h (λ )h2(λ2)dλ dλ2 1 1 1 1
6
R1Y2 (t1,t2) = RX (t1,t2)∗h(t1)∗h(t2) Y =∫
若X (t )平稳, 则有 :
−∞ −∞ ∞ ∞
= E[ ∫ =∫
∞
∞
−∞ −∞
∫
∞
X (t1 − λ1 ) X (t 2 − λ2 )h1 (λ1 )h2 (λ2 )dλ1dλ2 ]
5
−∞ −∞
∫
∞
E[ X (t1 − λ1 ) X (t 2 − λ2 )] ⋅ h1 (λ1 )h2 (λ2 )dλ1dλ2
3.3 冲激响应为 h1 (t )和h2 (t )的两个系统并联 , 求用 h1 (t ), h2 (t )和X (t )的自相关函数表 示的 Y1 (t ), Y2 (t )的互相关函数 .
SY (ω ) = 2 S X (ω ) + S X (ω )[e − jωT + e jωT ] = 2S X (ω )[1 + cos(ωT )]
2
3.2 若图示系统的输入X (t )为平稳随机过程, 求输出 的功率谱密度.
时域法和频域法 时域法二： 时域法二：系统
R (τ) = RX (τ)∗h(τ)∗h(− ) τ Y
∞
R 1Y2 (t1,t2) = R 1 (t1,t2 )∗h2(t2)= ∫− ∞ RY (t1 , t 2 − λ3 ) h2 (λ3 ) dλ3 Y Y
1
R1 (t1,t2) = RX (t1,t2)∗h (t1)∗h (t2) Y 1 1 =∫
∞ −∞ −∞
∫
∞
RX (t1 −λ ,t2 −λ2)h (λ )h (λ2)dλ dλ2 1 1 1 1 1
本题有两种解法
1 ∞ W = R (0) = R (τ)τ =0 = Y Y ∫−∞ SY (ω)dω 2π
低通网络的等效噪声带宽 ∆ ω e =
∫
∞
0
H s (ω ) dω H s (0)
2
N0 N0∆ωe 2 2 R (0) = 2∆ωe Hs (0) = Hs (0) Y 2π π
11
3.6 当传输函数为H (ω ) = [1 + ( jωL )]−1的两个相同网络串 R 联时, 求输入白噪声的功率谱为N 0时的输出平均功率.
∞ −∞ −∞ −∞ ∞
∫ ∫
∞
∞
RX (τ +λ −λ2 −λ3)h (λ )h (λ2)h2(λ3)dλ dλ2dλ3 1 1 1 1 1
∞ ∞ −∞ ∞ −∞
= ∫ h (λ ){∫ h (λ2)[∫ RX (τ +λ −λ2 −λ3)h2(λ3)dλ3]dλ2}dλ 1 1 1 1 1
−∞ ∞
2
N0 SY (ω) = SN (ω) HS (ω) = ωL 2 2 [1+( ) ] R
2
13
3.6 当传输函数为H (ω ) = [1 + ( jωL )]−1的两个相同网络串 R 联时, 求输入白噪声的功率谱为N 0时的输出平均功率.
N0 SY (ω) = ωL 2 2 [1+( ) ] R
R (τ) = 2RX (τ) + RX (τ −T) + RX (τ +T) Y
1
3.2 若图示系统的输入X (t )为平稳随机过程, 求输出 的功率谱密度.
时域法和频域法 时域法一： 时域法一：定义
R (τ) = 2RX (τ) + RX (τ −T) + RX (τ +T) Y
SY (ω ) = FT [ RY (τ )] = FT [2 RX (τ ) + RX (τ − T ) + RX (τ + T )]
1 dω ωL 2 2 [1 + ( ) ] R
W=
N0
π
∫
∞
0
[ +α2ω2]2 1
dω
N0 N0R W= = 4 α 4L
1 ∞ W= [ arctan(αω )]0 π 2α N0 1 π = ⋅ ⋅ π 2α 2
15
N0
3.6 当传输函数为H (ω ) = [1 + ( jωL )]−1的两个相同网络串 R 联时, 求输入白噪声的功率谱为N 0时的输出平均功率.
H (ω ) = (1 + e − jωT )(1 + e jωT )
2
= 1 + e jωT + e − jωT + 1 = 2 + 2 cos(ωT )
SY (ω) = 2SX (ω)[1+cos(ω )] T
4
3.3 冲激响应为 h1 (t )和h2 (t )的两个系统并联 , 求用 h1 (t ), h2 (t )和X (t )的自相关函数表示的 Y1 (t )和 Y2 (t )的互相关函数 .