合肥工业大学电动力学第三章静磁场

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二．引入磁标势的条件
显然只能在 H0区域引入，且在引入区域中
任何回路都不能与电流相链环。
语言表述：引入区域为无自由电流分布的单
连通域。
用公式表示 Hdl 0
讨论：
L
L
1）在有电流的区域必须根据情况挖去一部分区域；
2）若空间仅有永久磁铁，则可在全空间引入。
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三．磁标势满足的方程
4VJ(xr3 )rdV
4
V
Idl r r3
毕奥-- 萨伐尔定律
已知电流密度，可从方程直接积分求解磁场，但一般电
流分布与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松
方程。
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4．A的边值关系 *
（a） n(B2B1)0 n(A2A1)0
LA d l(A 2 tA 1 t) l
A dl B dS 0
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（b）磁通量只与曲面L的边界有关，与曲面的具体形状无关
BdS0 S
S1BdS 1S 2BdS 20 dS1
B
(dS2dS1dS)
BdSBdS
S1
S2
L
（c）物理意义
Adl BdS
L
S
dS2
沿
任
一
闭
合
回
路
的
环
量
代A
表 A
通
过
由
该
回
路
为
边
界
的
任
一
曲面的磁通量，而每点A无直接物理意义。
y
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ห้องสมุดไป่ตู้
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5．矢量泊松方程解的唯一性定理
定理：给V 定内V稳内恒传电导流电磁流场J由和 V边2A 界S 上的JA和t 或 边界B t
条件唯一确定。
三．稳恒电流磁场的能量
已知均匀介质
中总能量为
W1
BHdV
2
1．在稳恒场中有
W12A
JdV
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③ 导出过程
( f g ) ( f) g f( g )
1．引入磁标势区域磁场满足的场方程
B BH0H00
0M
f
(H)
不仅可用于均匀各向同性非铁磁介质，而且也可
讨论铁磁介质或非线性介质。
2．引入磁标势 m
H m
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3． m 满足的泊 松 方程
B 0 ( H M ) 0 H 0 M 0
与 2静 H m电 场 2 m2 0 m 0 比 M 较 引 H入 m m0磁2 荷m 密 度0 M M
实际上当建立一个与电荷一起运动的参照系时， 在这个参照系中观测，只有静电场。
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2．矢势的引入及意义
静电场 E0
稳恒电流磁场 HJ
B0 A BA
物理意义：
dS
B
（a）B与 A的关系
S B d S S ( A ) d S L A d l
其中S 为回路L 为边界的任一曲面
L
第三章
静磁场
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§1 矢势及其微分方程
一、稳恒电流磁场的矢势
1．稳恒电流磁场的基本方程
稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不
随时间变化的磁场。
基本方程
H
J
B 0
边值关系
n(H2 H1)
n(B2 B1) 0
本节仅讨论 BH情况，即非铁磁的均匀介质。这
种情况静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。
磁标势
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§2. 磁标势
一．引入磁标势的两个困难
H=J
1．磁场为有旋场，不能在全空间引入标势。
2．在电流不为零区域引入磁标势可能非单值。
原因：静电力作功与路径无关， Edl 0 L
引 一入 般的 不电 为势 零是，单即值静的磁；场而作静功磁与场路径有L 关H，d即l I
使在能引入的区域标势一般也不是单值的。
B H ( A )H
(A H ) A ( H ) V (AH)dV
(A H )A J
S (AH)dS 0
W1
BHdV1
(A H )dV 1
AJdV
2
1
2
2
AJdV
2
① 能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。
②
1
AJ
不是能量密度。
2
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2. 电流 分布在外磁场中的相互作用能 设 Je 为外磁场电流分 布，Ae为外磁场的矢
L
S 0
n
2
1
A2t A1t
A=0
A1n A2n
A1 A2
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（b） n(H 2H 1)
n(
1
特殊情况：2
A211A1)
z
A
y
① 若分界面为柱面，柱坐标系中当 x
AA ez ez
②A 若A 分e 界面 为 球面e ，当
1 A1 1 A2 1 r 2 r
z
A
1 r[11 r(r1 A )12 r(rA 2)] x
３、矢势的不唯一性
()0
A A A A ( ) A B
令 A0可减少矢势的任意性 满足的方程？
库仑规范
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二．矢势满足的方程及方程的解 1．A满足的方程
B B H1 B 1 H ( J A ) 1 [ ( A ) A 2 A 0] J
4n n ． n m ((2B 边H S 2 2 值 B 关H n m 1 11 )系S ) n ˆ0 0 ((M B2M H 可编1))辑ppt m 1(1Sn1m)Sm 2S2(n2m)S16
四．静电场与静磁场方程的比较
静电场
E 0
E
f P 0
P
P
D 0E P
E
2
f
P
(
f
,
D
E )
0
静磁场
H 0
H
m 0
m
0
M
B H
0
(H
m
M
)
2 m
m 0
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静电势与磁标势的差别：
① 静电场可在全空间引入，无限制条件；静磁场要 求在无自由电流分布的单连通域中才能引入。
② 静电场中存在自由电荷，而静磁场无自由磁荷。
因为到目前为止实验上还未真正发现以磁单极形 式存在的自由磁荷。对静磁场人们认为分子电流具 有磁偶极矩，它们由磁荷构成，不能分开。
势；J 为处于外磁场 Be中的电流分布，它激
发的场的矢势为 A。总能量：
W 121 2((AA e JA ee))d(VJ 1 2J e)(d A V Je12A (eAJJ)d)dV V
最可后以一证项明称：为W相i 互作(A 用能Je，)d记V 为W(iA ，eJ)dV
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第三章第二节
2AJ 2A i Ji i1,2,3
( A0)
（1）稳恒电流磁场矢势满足(矢量)泊松方程
（2）与静电场中 2 形式相同
（3）矢势为无源有旋场
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2．矢势的形式解
通过类比 J(x)dV
41V(xr)dV
A4V r
Ai 4VJi(xr)dV
3．B的解
BA4V(J(rx))dV4V1 rJ(x)dV