合肥工业大学电动力学第三章静磁场
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电动力学三一(矢势及其微分方程)
15 8
2a2
(z2 a2
)2
取A的旋度，得
B
A z
30Ia 2z
4(z2 a2 )5/ 2
1
O
z
2
2 a
2
45
BZ
1
(
A
)
4( z 2
0I a2 a2)3/2
1
2
z2 a2
15 a2 4(z2 a2
)
3
O
2
z2 a2
2
上式对任意z处的近轴场成立。若求 近原点处的场,z<<a ，可把上式再 对z/a展开，得
]
此式的适用范围是 2Ra sin R2 a2
包括远场 R a
和近轴场 Rsin a
44
我们计算近轴场。这种情况下用柱坐
标(,,z) 较为方便。展开式实际上是
对 2 /(z2 a2 ) 的展开式。 取至3项，有
A
(
,
z)
0Ia 2
4(z2 a2 )5/
2
1
3 2
2(z2 a2
)
B
30 Iz
4a 3
BZ
0I
2a
1
3 4a
(2z2
2 )
46
磁场边值关系可以化为矢势A的边值
关值系关，系对为于非铁磁介质， 矢势的边 n ( A2 A1 ) 0
n
(
1
2
A2
1
1
A1 )
26
上述边值关系式也可以用较简单的形式代替。
在分界面两侧取 一狭长回路，计
算A对此狭长回路
的积分。回路短 边长度趋于零
27
A dl ( A2t A1t )l
电动力学第三章
µI 1 ∂Az =− ∂R 2π R
,
∂Az =0 ∂θ
µI ˆ ∴∇× A = eθ 2π R
习题解答
P132/7
半径为 a 的无限长圆柱导体上有恒定电流 J 均匀分 布于截面上，试解矢势 A 的微分方程，设导体的磁 导率为 µ ，导体外的磁导率为 µ 。
0
解:
ˆ ez
∇ A = −µ J
2 0
2 1 2 1 2 1 f
n i( B − B ) = 0
2 1
非铁磁性物质
磁场的边值关系
矢势的边值关系
n
m2
A
2
Dh 0
A
m1
1
∆l
t
A2 t = A1t
∫ ∫
L
Aidl = ( A − A ) ∆l
2t 1t
L
Aidl = ∫ B • dS → 0 若取∇ • A = 0, 可得A2 n = A1n
2
0 1
=0
2 2
1 ∴− µ Ja + d = c lna + d =0 4 1 ∴d = µ Ja ，c2 lna + d2 = 0 4 1 1 1 ∴A = − µ Jr + µ Ja = µ J ( a − r 4 4 4
2 1 0
2 2 2 1 0 0 0
2
)
1 A == µ J ( a − r 4 即 A = c lnr+d 2
µ I z + z 2 + R2 lim A ( P ) − A ( P0 ) = M →∞ ln 4π z + z 2 + R0 2
−M + µ I M + M 2 + R2 = M →∞ lim ln − ln 2 2 4π M + M + R0 −M +
电动力学 3第三章 静 磁 场
2
1．在稳恒场中有
W
1 2
A
JdV
① 能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。
②
1
A
J
不是能量密度。
2
因为能量分布于磁场中，而不仅仅存
在 中于的电A 是流由分电布流区域J 激内发。的另。外，能量式
③ 导出过程
( f g) ( f ) g f ( g)
B H ( A) H
由此可看到矢势 A 的物理意义是：
矢势 A 沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为
界的任一曲面的磁通量。
dS1
B
而每点的A无直接物理意义。
（b）磁通量只与曲面L的边 界有关，与其具体形状无关
L
dS2
３、矢势的不唯一性
②矢势
A
可确定磁场 B
，但由B并不能唯一地确定A，
这是因为对任意函数 。
(
A
4．A 的边值关系 *
磁场的边值关系
n
(H 2
H1 )
n (B2 B1) 0
n
2
（a） n (B2 B1) 0
n ( A2 A1) 0
1
Δl
A dl L
( A2t
A1t )l
L A dl S B dS 0
A2t A1t
A dl L
( A2t
A1t )l
②
若分界面为球面，当
A Ae e
z
A
11 [
r 1
r
(rA1 )
1
2
r
(rA2 )]
x
y
5．矢量泊松方程解的唯一性定理
定理：给V 定内V稳内恒传电导流电磁流场J由和V边2 A界S上的J
第三章静磁场
ur f
1 r
f z
f z
ur er
fr z
f z r
uur e
1 r
r
rf
1 r
fr
ur ez
电动力学-第三章 静磁场
二，矢势满足的方程及方程的解 （四）矢势的边值关系
一些特殊对称情况下的结果：
电动力学-第三章 静磁场
二，矢势满足的方程及方程的解 （四）矢势的边值关系
电动力学-第三章 静磁场
本章内容
在给定自由电流分布及介质分布的情况下如何求解 稳恒磁场。由于稳恒磁场的基本方程是矢量方程，求 解很难，并不直接求解的稳恒磁场磁感应强度，一般 是通过磁场的矢势来求解。在一定条件下，可以引入 磁标势及磁标势满足的方程来求解。我们先引入静磁 场的矢势，导出矢势满足的微分方程，然后再讨论磁 标势及其微分方程，最后讨论磁多极展开。
r
4
r3
Idl
r
4 r 3
以上形式正是比奥萨法 尔定律的形式。
电动力学-第三章 静磁场
二，矢势满足的方程及方程的解 （四）矢势的边值关系
电动力学-第三章 静磁场
二，矢势满足的方程及方程的解 （四）矢势的边值关系
一些特殊对称情况下的结果：
电动力学-第三章 静磁场
二，矢势满足的方程及方程的解 （四）矢势的边值关系
电动力学-第三章 静磁场
目录
§3.1 矢势及其微分方程 一，稳恒电流磁场的矢势 二，矢势满足的方程及方程的解 三，稳恒电流磁场的能量 四，应用举例
电动力学-第三章 静磁场
一，稳恒电流磁场的矢势 （一）稳恒电流磁场的基本方程
基本方程
边值关系
电动力学-第三章 静磁场
一，稳恒电流磁场的矢势 （二）矢势
2第三章 静磁场
般情况下不能用标势描述。
但由于 B 0 ,所以B可以表为另一矢量场的旋度，即 A称为磁场的矢势。 (P277 附录 I.17) 2. 矢势A的物理意义 为了看出矢势A的意义，我们考察上式的积分形式。把B对任 一个以回路L为边界的曲面S积分，得
B A
B dS A dS
证明：在所有的可以描述磁场的矢势中，必存在
一个矢势A，满足 A 0 证：设有一个A，满足 B A ，但
A u 0 我们另取一个矢势 A A 显然 A’可以描述磁场，即 B A 现在 A A 2 u 2
因而不能引入标势。 如果想引入磁标势，所研究的磁场必须与保守
场相似，即在求解区域内
H dl 0,
L
2. 引入磁标势的前提条件 对于求解区域内的任何闭合回路，都有
H dl 0,
L
3. 实际问题的处理 (1) 空间中没有自由电流，全空间均可以引入磁标
势描述磁场。 (2) 空间中有自由电流， 则挖去电流及电流线所 围着的一个曲面 S ，在 剩下的空间中可以引入
静电场： D 0 E P 静磁场： B 0 H 0 M 与ρp = -∇⋅P 相对应
D 自由电荷
B 0
不存在自由磁荷。∇⋅B 为自由磁荷密度。
m (0 M ) 0 M
这就是（束缚）磁荷密度。
3. 与静电场的对比 电场
1
m1 n
2
m2 n
m1 m 2 注意该式与 n M1 M 2 的异同。 n n
例 证明μ→∞的磁性物质表面为等磁势面。
解 以角标1代表磁性物质，2代表真空，由磁场边 界条件
但由于 B 0 ,所以B可以表为另一矢量场的旋度，即 A称为磁场的矢势。 (P277 附录 I.17) 2. 矢势A的物理意义 为了看出矢势A的意义，我们考察上式的积分形式。把B对任 一个以回路L为边界的曲面S积分，得
B A
B dS A dS
证明：在所有的可以描述磁场的矢势中，必存在
一个矢势A，满足 A 0 证：设有一个A，满足 B A ，但
A u 0 我们另取一个矢势 A A 显然 A’可以描述磁场，即 B A 现在 A A 2 u 2
因而不能引入标势。 如果想引入磁标势，所研究的磁场必须与保守
场相似，即在求解区域内
H dl 0,
L
2. 引入磁标势的前提条件 对于求解区域内的任何闭合回路，都有
H dl 0,
L
3. 实际问题的处理 (1) 空间中没有自由电流，全空间均可以引入磁标
势描述磁场。 (2) 空间中有自由电流， 则挖去电流及电流线所 围着的一个曲面 S ，在 剩下的空间中可以引入
静电场： D 0 E P 静磁场： B 0 H 0 M 与ρp = -∇⋅P 相对应
D 自由电荷
B 0
不存在自由磁荷。∇⋅B 为自由磁荷密度。
m (0 M ) 0 M
这就是（束缚）磁荷密度。
3. 与静电场的对比 电场
1
m1 n
2
m2 n
m1 m 2 注意该式与 n M1 M 2 的异同。 n n
例 证明μ→∞的磁性物质表面为等磁势面。
解 以角标1代表磁性物质，2代表真空，由磁场边 界条件
第三章 静磁场
若电流分布为体分布 ， 。
二、磁偶极子的场与标势
由磁偶极子的势 可计算出磁偶极子的场，
（其中， ， ）
由于
所以
如果定义 为磁偶极子的磁标势。
则 ，
总之，一个小范围内的电流分布在远处产生的磁场的最初级近似为磁偶极近似，
矢势的最初级近似 。
磁场的最初级近似 。
三、小区域电流在外场中的能量
1、电流分布 在外场中的相互作用能
当研究介质中的磁场时，必须考虑介质的磁化对场的影响。自由电流产生磁场，磁场作用于介质产生磁化电流，又激发磁场，场再作用于介质……也必须象静电学问题一样，求解反映场与介质相互作用的微分方程（在一定边界条件下求解）。
我们先引入静磁场的矢势，导出矢势满足的微分方程，然后再讨论磁标势及其微分方程，最后讨论磁多极展开。
球内磁场是
铁球内外的 和 。 线总是闭合的，而 线则不然。 线从右半球面的正磁荷发出，止于左半球的负磁荷。在铁球内部， 和 反向，说明磁铁内部的 和 是有很大的差异。
代表磁铁内的总宏观磁场，即在物理小体积内对微观磁场的平均值，而 仅为一辅助场量。
静电场
静磁场
无旋场
无源场
（由此，历史上人们错误地认为 与 相对应）
2、矢势的一级近似
恒定电流可以分成许多闭合电流管，我们就一个电流管计算上式。若线圈电流为 ，则有
由于 为线圈上各点的坐标，因此 （ 表示对带撇的变量微分）。利用全微分绕闭合回路的线积分等于零，得
因此
则
其中 ，是电流体系的磁偶极矩。电流分布是一个小线圈，则 ， 是线圈的面积矢量， ， 为线圈法线方向单位向量， 与电流方向满足右手螺旋关系。
若考虑外场变化的情况，设外场是由另一带有电流 的线圈 产生。
二、磁偶极子的场与标势
由磁偶极子的势 可计算出磁偶极子的场，
（其中， ， ）
由于
所以
如果定义 为磁偶极子的磁标势。
则 ，
总之，一个小范围内的电流分布在远处产生的磁场的最初级近似为磁偶极近似，
矢势的最初级近似 。
磁场的最初级近似 。
三、小区域电流在外场中的能量
1、电流分布 在外场中的相互作用能
当研究介质中的磁场时，必须考虑介质的磁化对场的影响。自由电流产生磁场，磁场作用于介质产生磁化电流，又激发磁场，场再作用于介质……也必须象静电学问题一样，求解反映场与介质相互作用的微分方程（在一定边界条件下求解）。
我们先引入静磁场的矢势，导出矢势满足的微分方程，然后再讨论磁标势及其微分方程，最后讨论磁多极展开。
球内磁场是
铁球内外的 和 。 线总是闭合的，而 线则不然。 线从右半球面的正磁荷发出，止于左半球的负磁荷。在铁球内部， 和 反向，说明磁铁内部的 和 是有很大的差异。
代表磁铁内的总宏观磁场，即在物理小体积内对微观磁场的平均值，而 仅为一辅助场量。
静电场
静磁场
无旋场
无源场
（由此，历史上人们错误地认为 与 相对应）
2、矢势的一级近似
恒定电流可以分成许多闭合电流管，我们就一个电流管计算上式。若线圈电流为 ，则有
由于 为线圈上各点的坐标，因此 （ 表示对带撇的变量微分）。利用全微分绕闭合回路的线积分等于零，得
因此
则
其中 ，是电流体系的磁偶极矩。电流分布是一个小线圈，则 ， 是线圈的面积矢量， ， 为线圈法线方向单位向量， 与电流方向满足右手螺旋关系。
若考虑外场变化的情况，设外场是由另一带有电流 的线圈 产生。
电动力学习题解答3
第三章 静磁场1. 试用A 表示一个沿z 方向的均匀恒定磁场0B ，写出A 的两种不同表示式，证明二者之差为无旋场。
解：0B 是沿 z 方向的均匀恒定磁场，即 z B e B 00=，由矢势定义B A =⨯∇得0//=∂∂-∂∂z A y A y z ；0//=∂∂-∂∂x A z A z x ；0//B y A x A x y =∂∂-∂∂三个方程组成的方程组有无数多解，如：○10==z y A A ，)(0x f y B A x +-= 即：x x f y B e A )]([0+-=； ○20==z x A A ，)(0y g x B A y += 即：y y g x B e A )]([0+= 解○1与解○2之差为y x y g x B x f y B e e A )]([)]([00+-+-=∆ 则 0)//()/()/()(=∂∂-∂∂+∂∂+∂-∂=∆⨯∇z x y y x x y y A x A z A z A e e e A 这说明两者之差是无旋场2. 均匀无穷长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数为n ，电流强度I ，试用唯一性定理求管内外磁感应强度B 。
解：根据题意，取螺线管的中轴线为 z 轴。
本题给定了空间中的电流分布，故可由⎰⨯='430dV r rJ B πμ 求解磁场分布，又 J 只分布于导线上，所以⎰⨯=304r Id r l B πμ1)螺线管内部：由于螺线管是无限长理想螺线管，所以其内部磁场是均匀强磁场，故只须求出其中轴 线上的磁感应强度，即可知道管内磁场。
由其无限长的特性，不z y x z a a e e e r ''sin 'cos ---=φφ， y x ad ad d e e l 'cos ''sin 'φφφφ+-= )''sin 'cos ()'cos ''sin '(z y x y x z a a ad ad d e e e e e r l ---⨯+-=⨯φφφφφφz y x d a d az d az e e e '''sin '''cos '2φφφφφ+--=取''~'dz z z +的一小段，此段上分布有电流'nIdz⎰++--=∴2/32220)'()'''sin '''cos '('4z a d a d az d az nIdz z y x e e e B φφφφφπμ ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-=+=+=z z I n a z a z d nI nI z a dz a d e e 02/3202/3222200])/'(1[)/'(2)'(''4μμφπμπ2)螺线管外部：由于螺线管无限长，不妨就在过原点而垂直于轴线的平面上任取一点)0,,(φρP 为场点，其中a >ρ。
电动力学 第三章 静磁场
→
n = ez
→
1 R ∇′ = R R3
(d)
→
将式(d)代入式(c)得 将式(d)代入式(c)得: (d)代入式(c)
∫
J
→
x
V
( r ′) dV ′ R ( r ′) d V ′（ R
→ →
→
ρ ∇ ϕ =− ε 电位 ϕ 的解：
2
y
∫ ∫
J
→
y
V
I） ϕ ( r ) = ）
→
1 4πε
∫
ρ ( r ′) d V ′
R
→
V
J
z
z
V
( r ′) dV ′ R
→ →
将式(I) 代入式(g)， 的矢量形式： 将式 代入式 ，得矢势的矢量形式： 的矢量形式
例2. 教材P.80 求载流圆环的矢势和磁感应强度。 教材 求载流圆环的矢势和磁感应强度。 圆环
载流为I 半径为a 载流为I、半径为a的圆
→ →
电流位于xy平面， 电流位于xy平面，将圆 xy平面 电流称为磁偶极子，其 电流称为磁偶极子， 磁偶极子 磁矩 m ：
→
n
m
m = I π a n = IS n
→
→
∫
V
J ( r ′) dV ′ R
→ →
→
磁感应强度为
→
µ J (r ′) µ B = ∇ × A= 4π ∇ × ∫V R dV ′ = 4π
1→ → ∫V ∇ × [ R J (r ′)]dV ′
→
µ = 4π
1 → → µ ∫V (∇ R ) × J (r ′)dV ′ = 4π
→ → →
µ0I µ0I l 2 l ） Az ≈ ln( ) = ln( ) （e） 4π r 2π r
n = ez
→
1 R ∇′ = R R3
(d)
→
将式(d)代入式(c)得 将式(d)代入式(c)得: (d)代入式(c)
∫
J
→
x
V
( r ′) dV ′ R ( r ′) d V ′（ R
→ →
→
ρ ∇ ϕ =− ε 电位 ϕ 的解：
2
y
∫ ∫
J
→
y
V
I） ϕ ( r ) = ）
→
1 4πε
∫
ρ ( r ′) d V ′
R
→
V
J
z
z
V
( r ′) dV ′ R
→ →
将式(I) 代入式(g)， 的矢量形式： 将式 代入式 ，得矢势的矢量形式： 的矢量形式
例2. 教材P.80 求载流圆环的矢势和磁感应强度。 教材 求载流圆环的矢势和磁感应强度。 圆环
载流为I 半径为a 载流为I、半径为a的圆
→ →
电流位于xy平面， 电流位于xy平面，将圆 xy平面 电流称为磁偶极子，其 电流称为磁偶极子， 磁偶极子 磁矩 m ：
→
n
m
m = I π a n = IS n
→
→
∫
V
J ( r ′) dV ′ R
→ →
→
磁感应强度为
→
µ J (r ′) µ B = ∇ × A= 4π ∇ × ∫V R dV ′ = 4π
1→ → ∫V ∇ × [ R J (r ′)]dV ′
→
µ = 4π
1 → → µ ∫V (∇ R ) × J (r ′)dV ′ = 4π
→ → →
µ0I µ0I l 2 l ） Az ≈ ln( ) = ln( ) （e） 4π r 2π r
《电动力学(第三版)》静磁场chapter3_5
0 H0 x H0R cos
1
H0R cos
b R2
cos
2 R cos
边值关系式在球面R=R0上, 有
H1t H2t ,
B1n B2n 0
用磁标势表出边值关系为
1 2 ,
1 0
R
R R0
H0R0
b R02
aR0,
H0
2b R03
0
a 3H0 ,
b H0R03
2
2
释迈斯纳效应.
超导体电磁性质方程
描述超导体现象的超导体电磁性质方程为
J s
E
t
Js B
nse2 me
J
n
E
J Jn Js
两个方程的系数应该一致，因为：
t
(
Js)
1
B t
1
E
Js t
1E
0
Js t
1E
为任意标量场
欲与伦敦第一方程自洽, 应该取：1 , 0
第三章 静磁场
§3.5 超导体的电磁性质
内容概要
1. 超导的基本电磁现象 2. 超导体的电磁性质方程
1 超导体的基本电磁现象 R/ 0.15
1911年，昂纳斯发现超导现象. 0.10
超导电性：电阻率为零，电导
率为无穷大
0.05
0 4.00 4.10
4.20
4.30
T/K 4.40
开始出现超导电性的温度称为临界温度TC. 在TC 以上, 物体处于正常态,在TC以下为超导态.
n ns nn
超导电子是结成库珀对的电子(L. N. Cooper,1957). 库珀电子对具有相反的动量，总动量为零. 库珀对形成必须借助晶格振动(声子),形成引力而关联.
电动力学 第3章 静电场和稳恒磁场1
导体球上感应电荷为
Q1 d Q1 4 0
R R1
小结：利用分离变量法求电势：1）写出各个区域的 拉氏方程；2）根据对称性写出对应的解； 3）边界 条件
3.4
电像法
静电镜像法是求解静电场的一种特殊的方法，它适 用于点电荷的边值问题，而且边界条件具有较好的 对称性情况。 一、点电荷密度的 函数表示 1、一个点电荷可以用一个 函数来表示，定义如下：
1 2 ）
R R1
R3
2
R2
R1 1
1
R
0，2） 2
R R2
1
R R3
1 3） 1 0 R
R R3
2 , 2 0 R
R R2
R R3
1 2 2 2 Q R d R R R d 0 R R 2
1 1 1 W dV D dV dV D dS 2 2 2 W
1 2
1 1 r , , D 2 , S r 2 r r
1 dV 2
注意：w
不代表能量密度。能量密度遍布于 电场内，而不仅仅是电荷分布的区域内，即电场 1 w ED 能量密度为 2
blm m l r , , alm r l 1 P cos cos m l r m l
l
dlm m l clm r l 1 P cos sin m l r m l
l
式中 alm , blm , clm , dlm 为任意常数，在具体问题中 由边界条件定出。
第三章 3.1静电场 静电场特点
第三章静磁场
物理与电子工程学院 张福恒
电动力学
第三章 静磁场
(1)
展开式第二项：
0 ( x x)J ( x) A dV 3 V 4 R 同样，我们将体电流看成许多电流管来分析，有：
0 A 4
(1)
0 0 I R V ( R x)J ( x)dV 4 R dI l dl( R x) 4 Ren ( 1 源自 A2 1 A1 ) J s
5
2
1
物理与电子工程学院 张福恒
电动力学
第三章 静磁场
4.静磁场的能量 1 空间磁场能量为： Wm H BdV 2 下面我们用电流和磁矢势来表示上式。将电流和磁矢势与H和B
的关系带入有：
Wm
1 1 H B d V H AdV 2 2 1 1 A H dV A H dV 2 2 1 1 A H ds A JdV 2 s 2 1 A JdV 2 V
A A(1) A(2)
式中：
A
(0)
J ( x) 1 dV J ( x)dV 0 V V 4 0 R 4 0 R 1
以上为零的原因是根据恒定电流的连续性，将体电流看成许多 电流管。即展开式第一项为零，说明经典理论中不存在磁荷。
14
3-3-3 磁偶极矩在外场中的能量 仿静电场，电流在外磁场中的相互作用能为：
W Ae JdV
V
式中Ae为外磁场矢量势。由此可得：位于原点的磁偶极矩在外 场中的相互作用能：
W m B (0)
18
物理与电子工程学院 张福恒
因此，我们得到对应于磁场法向分量的磁标势法向偏导数
电动力学-第3章-静磁场
第一节 静磁场的矢势及其微分方程 (8) 矢势 A 的微分方程： ∇2 Ar = −µ Jr
（1）稳恒电流静磁场矢势 A 满足 (矢量) 泊松方程；
（2）与静电场中电势方程 ∇ 2ϕ = − ρ 形式相同； ε
（3）矢势为无源有旋场。
矢势 A 的每个直角分量 Ai 满足泊松方程：
∇2 Ai = −µ Ji , (i = 1,2,3)
dz ↑I z
∫ ∫ 的垂直距离为R，电流元 Idz 到
的距离为：r =
利用
Ar(
xr)
=
µ 4π
RJr2( x+r′)zd2V r
′
=
µ 4π
P点
oR P
I
dlr r
（I
d
lr替代
JrdV
′）
∫ ⇒
Az
=
µI 4π
∞ −∞
dz R2 + z2
积分是发散的!!!
取 P0 (R0, 0, 0) 点为矢势的参考点，计算 P 和 P0 两点间
∫
∇
1 r
×
Jr ( xr′)dV
′
=
(∇
µ 4π
∫
1r Jrrr×=3 rr−drV3
) ′
对于线电流情形，设 I 为导线上的电流强度，作代换
JdV→Idl，得：
Br
=
µ 4π
∫
Idlr × rr r3
这就是毕奥－萨伐尔定律给出的结果。
第一节 静磁场的矢势及其微分方程 (14)
讨论：
∫L Ar ⋅ dlr = ( A2t − A1t )∆l ∫L Ar ⋅ dlr = ∫SBr ⋅ dSr → 0
第一节 静磁场的矢势及其微分方程 (3)
《电动力学》讲义第03章静磁场
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 2 2 3 3 4 4 4 5 6 6 7 7 7 8 8 9 9
2
静磁标势 2.1 磁标势的引入 . . . . . . . . . 2.2 关于环量积分的讨论 . . . . . . 2.3 引入磁标势的条件 . . . . . . . 2.4 铁磁介质的磁标势方程 . . . . . 2.5 磁标势公式与静电场公式的对比 2.6 例一 . . . . . . . . . . . . . . 2.7 几种特殊的电磁介质 . . . . . . 2.8 小结 . . . . . . . . . . . . . . 磁多极矩 3.1 磁矢势的多极展开 . . . . . . . 3.2 磁零极矩形成矢势为零 . . . . . 3.3 磁偶极矩矢势的计算 . . . . . . 3.4 电流线圈的磁偶极矩 . . . . . . 3.5 磁偶极矩产生的磁场以及磁标势 3.6 电流分布在外磁场中的能量 . . 3.7 磁偶极子在外磁场中的有效势能 3.8 有效势能与相互作用能 . . . . . 3.9 小结 . . . . . . . . . . . . . .
1 r 1 r2
↔ϕ∝
1 r
II E ∝ 1 ↔ ϕ ∝ ln r r
不存在无限长的导线
↔ A ∝ ln r
r ln R 0
µI 2π
ez 中，当r → ∞时A → ∞
由∇ × A = B 与∇ × B = µ0 J 方程的相似性：安培环路定理
θ 两个常用公式：∇ × ( e )=0 r
(螺 线 管 、 长 导 线)、(均 匀 磁场、均匀电流)
第三章 静磁场
μ0 M ↔ P ϕm ↔ ϕ μ0 ↔ ε 0
形式对应： H ↔ E
B↔D
差别：1）静电场可在全空间引入标势，无限制条件； 静磁场只能在无自由电流分布的单连通域引入标势。 2）静电场中存在自由电荷； 静磁场中没有以磁单极形式存在的自由磁荷。
Copyright by Beilei Xu
END
S
三、磁标势法中静磁场与静电场方程的对比
静电场：
⎧∇ × E = 0 ⎪ ⎪∇ ⋅ E = ρ f + ρ P ⎪ ε0 ⎪ ⎪D = ε 0 E + P ⎨ ⎪ ρ P = −∇ ⋅ P ⎪ ⎪ E = −∇ϕ ⎪ 2 ρf ρ f + ρP =− ⎪∇ ϕ = − ε ε0 ⎩
静磁场： ⎧∇ × H = 0 ⎪ ⎪∇ ⋅ H = ρ m ⎪ μ0 ⎪ ⎪ B = μ0 H + μ0 M ⎨ ⎪ ρ m = − μ0∇ ⋅ M ⎪ ⎪ H = −∇ϕm ⎪ 2 ρ ∇ ϕm = − m ⎪ μ0 ⎩
ϕ m 满足的泊松方程： ∇ 2ϕm = − ρ m 2．
μ0
∇ ⋅ B = ∇ ⋅ μ0 ( H + M )＝0 ⇒ ∇ ⋅ H＝ − ∇ ⋅∇ϕ m＝ − ∇ 2ϕ m ∇ ⋅ H＝ − ∇ ⋅ M
( ρ M = − μ 0∇ ⋅ M )
⇒ ∇ 2ϕ m = ∇ ⋅ M = −
ρm μ0
ρ 静电势 ∇ 2ϕ = − ε 类比： 极化电荷 ρ P = −∇ ⋅ P
静磁场的基本特点
场方程：
⎧ ∂B ∇ × E＝－ ⎪ ∂t ⎪ ∂D ⎪ ∇× H = J + ⎨ ∂t ⎪ ⎪∇ ⋅ D = ρ ⎪ ⎩∇ ⋅ B = 0
→
⎧∇ × H = J ⎪ ⎨ ⎪∇ ⋅ B = 0 ⎩
形式对应： H ↔ E
B↔D
差别：1）静电场可在全空间引入标势，无限制条件； 静磁场只能在无自由电流分布的单连通域引入标势。 2）静电场中存在自由电荷； 静磁场中没有以磁单极形式存在的自由磁荷。
Copyright by Beilei Xu
END
S
三、磁标势法中静磁场与静电场方程的对比
静电场：
⎧∇ × E = 0 ⎪ ⎪∇ ⋅ E = ρ f + ρ P ⎪ ε0 ⎪ ⎪D = ε 0 E + P ⎨ ⎪ ρ P = −∇ ⋅ P ⎪ ⎪ E = −∇ϕ ⎪ 2 ρf ρ f + ρP =− ⎪∇ ϕ = − ε ε0 ⎩
静磁场： ⎧∇ × H = 0 ⎪ ⎪∇ ⋅ H = ρ m ⎪ μ0 ⎪ ⎪ B = μ0 H + μ0 M ⎨ ⎪ ρ m = − μ0∇ ⋅ M ⎪ ⎪ H = −∇ϕm ⎪ 2 ρ ∇ ϕm = − m ⎪ μ0 ⎩
ϕ m 满足的泊松方程： ∇ 2ϕm = − ρ m 2．
μ0
∇ ⋅ B = ∇ ⋅ μ0 ( H + M )＝0 ⇒ ∇ ⋅ H＝ − ∇ ⋅∇ϕ m＝ − ∇ 2ϕ m ∇ ⋅ H＝ − ∇ ⋅ M
( ρ M = − μ 0∇ ⋅ M )
⇒ ∇ 2ϕ m = ∇ ⋅ M = −
ρm μ0
ρ 静电势 ∇ 2ϕ = − ε 类比： 极化电荷 ρ P = −∇ ⋅ P
静磁场的基本特点
场方程：
⎧ ∂B ∇ × E＝－ ⎪ ∂t ⎪ ∂D ⎪ ∇× H = J + ⎨ ∂t ⎪ ⎪∇ ⋅ D = ρ ⎪ ⎩∇ ⋅ B = 0
→
⎧∇ × H = J ⎪ ⎨ ⎪∇ ⋅ B = 0 ⎩
第三章静磁场
３ 、矢势的不唯一性
A A
A A () A B
令 A 0 可减少矢势的任意性 满足的方程？
二．矢势满足的方程及方程的解
1． A满足的方程
B H
B 1
B
H
1
J
(
J e )dV
1 2
)dV
(A
Je
1 2
( A J )dV
Ae J )dV
最后一项称为相互作用能，记为
可以证明： Wi
( A J e )dV
Wi，
( Ae
J )dV
第三章第二节
磁标势
§2. 磁标势
一．引入磁标势的两个困难
和边界
,
条件唯一确定。
三．稳恒电流磁场的能量
已知均匀介质
中总能量为
1．在稳恒场中有
W
W
1
2
1
B HdV
A JdV
2
① 能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。
②
1
A
J
不是能量密度。
2
③ 导出过程
( f g) ( f ) g f ( g)
H = J
1．磁场为有旋场，不能在全空间引入标势。
2．在电流为零区域引入磁标势可能非单值。
原因：静电力作功与路径无关，
E dl 0
L
引入的电势是单值的；而静磁场 H dl 一
般不为零，即静磁场作功与路径有L 关，即使
在能引入的区域标势一般也不是单值的。
静磁场.
A1(r)
1 r
r
(r
A1 r
)
J
aຫໍສະໝຸດ r A1 J r2 b; r 2
A1
J 4
r2
b ln
r
c;
考虑：
A1 r0 ;
b 0;
A1
J 4
r2
c;
当r>a时：
2
A2
(r)
1 r
r
(r
A1 r
)
0;
r A2 d; r
(A
H)dS
考虑场分布：
A 1; r
H
1 r2
;
S r2;
(AH)dS 0
S
r
计算场磁能的表示式：
W
V
1 2
A
JdV
设V中有电流分布J和Je， 则总能量：
WA
1 2
(A Ae ) (J J e )dV
V
其相互作用能：
Wi
WA
1 2
)
Q0a2 12 r2
sin
e
;
B1
A1
1 r sin
(sin A1)er
1 r
r
(rA1 )e
Q0 6 a
(cos er
sin e )
Q0 6 a
ez
Q0 6 a
B2
A2
Q0a2 6 r3
cos er
第三章静磁场Staticmagneticfield
A2n A1n
( A 0) (6)
（5）、（6）两式合A算2 S，得A1到S
(7)
A
即在两介质分界面上，矢势
4、静磁场的能量
W
是1 连B续 H的d。V 2V
磁场的总能量为
在静磁场中，能够用矢势 A和电流 表j 示总能量，即
B H ( A) H
(i 1,2,3)
这是大家熟知的Pisson's equation.
由此可见，矢势 A
和标势
在静场时满足同一形
式的方程，对此静电势的解。
(x) 1 (x) dV
40 V r
可得到矢量的特解：
A(x)
4
V
j(x) dV r
由此即得
B
A
4
(
V
1) r
j (x)dV
4 V
j (x) r3
r
dV
作变换 jd ，I即dl 得
B
Idl
r
4 L r 3
这确实是毕奥——萨伐 尔定律。
j
B
于电流和磁场互相制约的问题，那么必须解微分方程 的边值问题。
3、矢势边值关系
在两介质 分界面上nnˆˆ， ((磁BH2场2B的H1)边1) 0值关f 系为
I 4
R02
ln
R
2
1 4 1 4
R02 R2 M2 R02 R2 M2
I ln R02 I ln R0 I ln R 4 R2 2 R 2 R0
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第三章
静磁场
可编辑ppt
1
§1 矢势及其微分方程
一、稳恒电流磁场的矢势
1．稳恒电流磁场的基本方程
稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不
随时间变化的磁场。
基本方程
H
J
B 0
边值关系
n(H2 H1)
n(B2 B1) 0
本节仅讨论 BH情况，即非铁磁的均匀介质。这
种情况静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。
y
可编辑ppt
8
5．矢量泊松方程解的唯一性定理
定理：给V 定内V稳内恒传电导流电磁流场J由和 V边2A 界S 上的JA和t 或 边界B t
条件唯一确定。
三．稳恒电流磁场的能量
已知均匀介质
中总能量为
W1
BHdV
2
1．在稳恒场中有
W12A
JdV
可编辑ppt
9
③ 导出过程
( f g ) ( f) g f( g )
1．引入磁标势区域磁场满足的场方程
B BH0H00
0M
f
(H)
不仅可用于均匀各向同性非铁磁介质，而且也可
讨论铁磁介质或非线性介质。
2．引入磁标势 m
H m
可编辑ppt
15
3． m 满足的泊 松 方程
B 0 ( H M ) 0 H 0 M 0
与 2静 H m电 场 2 m2 0 m 0 比 M 较 引 H入 m m0磁2 荷m 密 度0 M M
可编辑ppt
3
（b）磁通量只与曲面L的边界有关，与曲面的具体形状无关
BdS0 S
S1BdS 1S 2BdS 20 dS1
B
(dS2dS1dS)
BdSBdS
S1
S2
L
（c）物理意义
Adl BdS
L
S
dS2
沿
任
一
闭
合
回
路
的
环
量
代A
表 A
通
过
由
该
回
路
为
边
界
的
任
一
曲面的磁通量，而每点A无直接物理意义。
2AJ 2A i Ji i1,2,3
( A0)
（1）稳恒电流磁场矢势满足(矢量)泊松方程
（2）与静电场中 2 形式相同
（3）矢势为无源有旋场
可编辑ppt
5
2．矢势的形式解
通过类比 J(x)dV
41V(xr)dV
A4V r
Ai 4VJi(xr)dV
3．B的解
BA4V(J(rx))dV4V1 rJ(x)dV
B H ( A )H
(A H ) A ( H ) V (AH)dV
(A H )A J
S (AH)dS 0
W1
BHdV1
(A H )dV 1
AJdV
2
1
2
2
AJdV
2
① 能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。
②
1
AJ
不是能量密度。
2
可编辑ppt
10
2. 电流 分布在外磁场中的相互作用能 设 Je 为外磁场电流分 布，Ae为外磁场的矢
E
2
Байду номын сангаас
f
P
(
f
,
D
E )
0
静磁场
H 0
H
m 0
m
0
M
B H
0
(H
m
M
)
2 m
m 0
可编辑ppt
17
静电势与磁标势的差别：
① 静电场可在全空间引入，无限制条件；静磁场要 求在无自由电流分布的单连通域中才能引入。
② 静电场中存在自由电荷，而静磁场无自由磁荷。
因为到目前为止实验上还未真正发现以磁单极形 式存在的自由磁荷。对静磁场人们认为分子电流具 有磁偶极矩，它们由磁荷构成，不能分开。
L
S 0
n
2
1
A2t A1t
A=0
A1n A2n
A1 A2
可编辑ppt
7
（b） n(H 2H 1)
n(
1
特殊情况：2
A211A1)
z
A
y
① 若分界面为柱面，柱坐标系中当 x
AA ez ez
②A 若A 分e 界面 为 球面e ，当
1 A1 1 A2 1 r 2 r
z
A
1 r[11 r(r1 A )12 r(rA 2)] x
4n n ． n m ((2B 边H S 2 2 值 B 关H n m 1 11 )系S ) n ˆ0 0 ((M B2M H 可编1))辑ppt m 1(1Sn1m)Sm 2S2(n2m)S16
四．静电场与静磁场方程的比较
静电场
E 0
E
f P 0
P
P
D 0E P
３、矢势的不唯一性
()0
A A A A ( ) A B
令 A0可减少矢势的任意性 满足的方程？
库仑规范
可编辑ppt
4
二．矢势满足的方程及方程的解 1．A满足的方程
B B H1 B 1 H ( J A ) 1 [ ( A ) A 2 A 0] J
磁标势
可编辑ppt
12
§2. 磁标势
一．引入磁标势的两个困难
H=J
1．磁场为有旋场，不能在全空间引入标势。
2．在电流不为零区域引入磁标势可能非单值。
原因：静电力作功与路径无关， Edl 0 L
引 一入 般的 不电 为势 零是，单即值静的磁；场而作静功磁与场路径有L 关H，d即l I
使在能引入的区域标势一般也不是单值的。
4VJ(xr3 )rdV
4
V
Idl r r3
毕奥-- 萨伐尔定律
已知电流密度，可从方程直接积分求解磁场，但一般电
流分布与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松
方程。
可编辑ppt
6
4．A的边值关系 *
（a） n(B2B1)0 n(A2A1)0
LA d l(A 2 tA 1 t) l
A dl B dS 0
可编辑ppt
13
二．引入磁标势的条件
显然只能在 H0区域引入，且在引入区域中
任何回路都不能与电流相链环。
语言表述：引入区域为无自由电流分布的单
连通域。
用公式表示 Hdl 0
讨论：
L
L
1）在有电流的区域必须根据情况挖去一部分区域；
2）若空间仅有永久磁铁，则可在全空间引入。
可编辑ppt
14
三．磁标势满足的方程
实际上当建立一个与电荷一起运动的参照系时， 在这个参照系中观测，只有静电场。
可编辑ppt
2
2．矢势的引入及意义
静电场 E0
稳恒电流磁场 HJ
B0 A BA
物理意义：
dS
B
（a）B与 A的关系
S B d S S ( A ) d S L A d l
其中S 为回路L 为边界的任一曲面
L
势；J 为处于外磁场 Be中的电流分布，它激
发的场的矢势为 A。总能量：
W 121 2((AA e JA ee))d(VJ 1 2J e)(d A V Je12A (eAJJ)d)dV V
最可后以一证项明称：为W相i 互作(A 用能Je，)d记V 为W(iA ，eJ)dV
可编辑ppt
11
第三章第二节
静磁场
可编辑ppt
1
§1 矢势及其微分方程
一、稳恒电流磁场的矢势
1．稳恒电流磁场的基本方程
稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不
随时间变化的磁场。
基本方程
H
J
B 0
边值关系
n(H2 H1)
n(B2 B1) 0
本节仅讨论 BH情况，即非铁磁的均匀介质。这
种情况静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。
y
可编辑ppt
8
5．矢量泊松方程解的唯一性定理
定理：给V 定内V稳内恒传电导流电磁流场J由和 V边2A 界S 上的JA和t 或 边界B t
条件唯一确定。
三．稳恒电流磁场的能量
已知均匀介质
中总能量为
W1
BHdV
2
1．在稳恒场中有
W12A
JdV
可编辑ppt
9
③ 导出过程
( f g ) ( f) g f( g )
1．引入磁标势区域磁场满足的场方程
B BH0H00
0M
f
(H)
不仅可用于均匀各向同性非铁磁介质，而且也可
讨论铁磁介质或非线性介质。
2．引入磁标势 m
H m
可编辑ppt
15
3． m 满足的泊 松 方程
B 0 ( H M ) 0 H 0 M 0
与 2静 H m电 场 2 m2 0 m 0 比 M 较 引 H入 m m0磁2 荷m 密 度0 M M
可编辑ppt
3
（b）磁通量只与曲面L的边界有关，与曲面的具体形状无关
BdS0 S
S1BdS 1S 2BdS 20 dS1
B
(dS2dS1dS)
BdSBdS
S1
S2
L
（c）物理意义
Adl BdS
L
S
dS2
沿
任
一
闭
合
回
路
的
环
量
代A
表 A
通
过
由
该
回
路
为
边
界
的
任
一
曲面的磁通量，而每点A无直接物理意义。
2AJ 2A i Ji i1,2,3
( A0)
（1）稳恒电流磁场矢势满足(矢量)泊松方程
（2）与静电场中 2 形式相同
（3）矢势为无源有旋场
可编辑ppt
5
2．矢势的形式解
通过类比 J(x)dV
41V(xr)dV
A4V r
Ai 4VJi(xr)dV
3．B的解
BA4V(J(rx))dV4V1 rJ(x)dV
B H ( A )H
(A H ) A ( H ) V (AH)dV
(A H )A J
S (AH)dS 0
W1
BHdV1
(A H )dV 1
AJdV
2
1
2
2
AJdV
2
① 能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。
②
1
AJ
不是能量密度。
2
可编辑ppt
10
2. 电流 分布在外磁场中的相互作用能 设 Je 为外磁场电流分 布，Ae为外磁场的矢
E
2
Байду номын сангаас
f
P
(
f
,
D
E )
0
静磁场
H 0
H
m 0
m
0
M
B H
0
(H
m
M
)
2 m
m 0
可编辑ppt
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静电势与磁标势的差别：
① 静电场可在全空间引入，无限制条件；静磁场要 求在无自由电流分布的单连通域中才能引入。
② 静电场中存在自由电荷，而静磁场无自由磁荷。
因为到目前为止实验上还未真正发现以磁单极形 式存在的自由磁荷。对静磁场人们认为分子电流具 有磁偶极矩，它们由磁荷构成，不能分开。
L
S 0
n
2
1
A2t A1t
A=0
A1n A2n
A1 A2
可编辑ppt
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（b） n(H 2H 1)
n(
1
特殊情况：2
A211A1)
z
A
y
① 若分界面为柱面，柱坐标系中当 x
AA ez ez
②A 若A 分e 界面 为 球面e ，当
1 A1 1 A2 1 r 2 r
z
A
1 r[11 r(r1 A )12 r(rA 2)] x
4n n ． n m ((2B 边H S 2 2 值 B 关H n m 1 11 )系S ) n ˆ0 0 ((M B2M H 可编1))辑ppt m 1(1Sn1m)Sm 2S2(n2m)S16
四．静电场与静磁场方程的比较
静电场
E 0
E
f P 0
P
P
D 0E P
３、矢势的不唯一性
()0
A A A A ( ) A B
令 A0可减少矢势的任意性 满足的方程？
库仑规范
可编辑ppt
4
二．矢势满足的方程及方程的解 1．A满足的方程
B B H1 B 1 H ( J A ) 1 [ ( A ) A 2 A 0] J
磁标势
可编辑ppt
12
§2. 磁标势
一．引入磁标势的两个困难
H=J
1．磁场为有旋场，不能在全空间引入标势。
2．在电流不为零区域引入磁标势可能非单值。
原因：静电力作功与路径无关， Edl 0 L
引 一入 般的 不电 为势 零是，单即值静的磁；场而作静功磁与场路径有L 关H，d即l I
使在能引入的区域标势一般也不是单值的。
4VJ(xr3 )rdV
4
V
Idl r r3
毕奥-- 萨伐尔定律
已知电流密度，可从方程直接积分求解磁场，但一般电
流分布与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松
方程。
可编辑ppt
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4．A的边值关系 *
（a） n(B2B1)0 n(A2A1)0
LA d l(A 2 tA 1 t) l
A dl B dS 0
可编辑ppt
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二．引入磁标势的条件
显然只能在 H0区域引入，且在引入区域中
任何回路都不能与电流相链环。
语言表述：引入区域为无自由电流分布的单
连通域。
用公式表示 Hdl 0
讨论：
L
L
1）在有电流的区域必须根据情况挖去一部分区域；
2）若空间仅有永久磁铁，则可在全空间引入。
可编辑ppt
14
三．磁标势满足的方程
实际上当建立一个与电荷一起运动的参照系时， 在这个参照系中观测，只有静电场。
可编辑ppt
2
2．矢势的引入及意义
静电场 E0
稳恒电流磁场 HJ
B0 A BA
物理意义：
dS
B
（a）B与 A的关系
S B d S S ( A ) d S L A d l
其中S 为回路L 为边界的任一曲面
L
势；J 为处于外磁场 Be中的电流分布，它激
发的场的矢势为 A。总能量：
W 121 2((AA e JA ee))d(VJ 1 2J e)(d A V Je12A (eAJJ)d)dV V
最可后以一证项明称：为W相i 互作(A 用能Je，)d记V 为W(iA ，eJ)dV
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第三章第二节