二次根式复习课件2
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初三二次根式复习课件
a
b
ab ( a 0 , b 0 )
a 1 a 2 a 3 ....... a n ( a 1 0 ,a 2 0 ,..... a n 0 )
乘法公式的推广：
a 1 a 2 a 3 ........ a n
a
;
a b
(a 0, b 0)
2. 二次根式的性质
1. a ≥0(a≥0)(双重非负性) 2．( a)2 ＝a(a≥0)； 3.
a (a 0) a ＝|a|＝ ； a (a 0)
2
4. ab＝ a· b(a≥0，b≥0)； 5. a a ＝ (a≥0，b>0)． b b
3.二次根式的运算:
①加减法：先化为最简二次根式，然后合并 同类二次根式； ② 乘法和积的算术平方根可互相转化:
作业布置：试卷
如图，实数在数轴上的位置， 化简 ：
a
2
a
b
2
(a b )
2
、
b
（2011山东）实数a在数轴上的位置如图所 示，则 ( a 4 ) ( a 1 1) 化简后为
2 2
0
5
a 10
a＋2 [2011· 州 ] 要使式 子 鄂 有意义， 则 a 的 取值范围 为 a _____．
[2011· 乌兰察布]
x＋1＋(y－2011) ＝0，则 x ＝____.
2
y
y
2x 3
3 2 x 1,
2x y
化简:
最简二次根式应满足的条件:
（1）被开方数中不含有能开得尽的因 数或因式． （2）根号内不含分母. （3）分母上没有根号.
数学八年级下《二次根式》复习课件
a
2
先平方,后开方
想一想：
2.从取值范围来看 2 a≥0 a
a
2
≥0 时， 当a ____
a
2
a
2
a取任何实数
例1、x 取何值时，下列各式在实数范围内 有意义？
x1 1 ; x2
解:（1）由
x 1 0
x 2 0,
得x≥－1且x≠2.
∴当x≥－1且x≠2时，式子 意义.
2 3 11 （2）
解：原式
2
11 2 3 .
2
2
11 12 1.
11 2 3 11 2 3
2
小结一下
求二次根式的值：
先根据题意，列出二次根式, 然后归结为求代数式的值的问题。
?
练习：
1.计算： 1 3 2 （1） 9 45 3 2 ;
1 3
知识巩固
最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式。 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ③分母中不含有二次根式。
30
2.5x
50
2 x( x y ) 2
x2 y2
首页
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知识巩固
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就叫 做同类二次根式 ①化成最简二次根式后
1 -2 3 （2）（ ） - 2 2 - 3 2 8
0
计算：
20 15 2011 （3） 3( 3 ) (1) 5
(4)
( 2 3)(2 2 1)
二次根式的化简求值
先化简，再求值。
(1)2(a 3 )(a 3 ) a(a 6) 6 其中：a 2 1
2
先平方,后开方
想一想：
2.从取值范围来看 2 a≥0 a
a
2
≥0 时， 当a ____
a
2
a
2
a取任何实数
例1、x 取何值时，下列各式在实数范围内 有意义？
x1 1 ; x2
解:（1）由
x 1 0
x 2 0,
得x≥－1且x≠2.
∴当x≥－1且x≠2时，式子 意义.
2 3 11 （2）
解：原式
2
11 2 3 .
2
2
11 12 1.
11 2 3 11 2 3
2
小结一下
求二次根式的值：
先根据题意，列出二次根式, 然后归结为求代数式的值的问题。
?
练习：
1.计算： 1 3 2 （1） 9 45 3 2 ;
1 3
知识巩固
最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式。 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ③分母中不含有二次根式。
30
2.5x
50
2 x( x y ) 2
x2 y2
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知识巩固
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就叫 做同类二次根式 ①化成最简二次根式后
1 -2 3 （2）（ ） - 2 2 - 3 2 8
0
计算：
20 15 2011 （3） 3( 3 ) (1) 5
(4)
( 2 3)(2 2 1)
二次根式的化简求值
先化简，再求值。
(1)2(a 3 )(a 3 ) a(a 6) 6 其中：a 2 1
2019-2020人教版八年级数学下册第十六章二次根式章末复习课件(共59张)
相关题 4 当 t 取何值时,
35t-3-5 的值最小？最小值是多少？
3
3
解：∵ 5t－3≥0，∴当5t－3＝0，即 t＝5 时，
最小值是－5.
3 5t－3－5 的值最小，
第十六章 二次根式
专题三 二次根式的混合运算
【要点指导】 进行二次根式的混合运算时, (1)先将二次根式进行适当的化简；(2)二次
第十六章 二次根式
专题五 二次根式的化简
【要点指导】
灵活应用二次根式的性质和公式：( a)2=a(a≥0), a2 =|a|, a·b =
a· b (a≥0, b≥0),
ab=
a b
(a≥0, b>0), 可以将复杂的二次根式进
行化简, 从而帮助我们解决问题.
第十六章 二次根式
例 7 实数 a, b 在数轴上对应点的位置如图 16-Z-1 所示, 则
第十六章 二次根式
(2)比较 5+ 13与 7+ 11的大小
分析 先求出两个式子的平方, 再比较这两个式子的平方的大小.
解：( 5+ 13)2=18+2 65, ( 7+ 11)2=18+2 77. ∵65<77,∴ 65< 77,∴18+2 65<18+2 77, 即( 5+ 13)2<( 7+ 11)2. 又∵ 5+ 13>0, 7+ 11>0, ∴ 5+ 13< 7+ 11.
a ≥0（ a≥0 ）
a =a（ a≥0 ）
a2
=|a|=
a(a≥0)， －a(a＜0)
当a≥0时，( a)2= a2
二次根式及其性质课件
1 •下列式子一定是二次根式的是( C )
知1－练
2 •(中考·武汉)若代数式 C
•则x的取值范围是( )
在实数范围内有意义，
•A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2
知识点 2 二次根式的性质
知2－导
做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ____, 4 9 _____; 4 _____, 4 _____;
•
的根指数为2，所以
是二次根式．
• (7)是．理由：因为|x|≥0，且 根式．
的根指数为2，所以
是二次
总结
知1－讲
二次根式是在初始的外在情势上定义的，不能从化 简结果上判断，如 是二次根式. 像 （a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式 的式子，不能称为二次根式.
知1－讲
• 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意 义？
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式． 其中a为整式或分式，a叫做被开方式． 特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
知1－讲
导引： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根
式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知3－练
1 (中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是( A )
2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( D )
1. 当a≥0时， 2. 当a≥0时， •3.
完成教材P43,习题T1-T4
谢谢！
知2－讲
知识点
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法
二次根式复习课件
第 21 章 二 次 根 式 单元复习
知识结构
三个概念
二次根式 最简二次根式 同类二次根式 1、 ab = a ⋅ b (a ≥ 0, b ≥ 0 )
二 次
两个公式
a = 2、 b
(
a b
a )
2
( a ≥ 0, b ≥ 0 )
= a
a ≥ 0 （ ａ ≥ 0）
三个性质
a
四种运算
2
=
a
= {
a ,a ≥ 0 − a ,a < 0
．
（ 2） 9 ）
4 5 ÷3
1 3 × 5 2
2
2 3
（ 3） ）
1 3 +
+
2
1 2 +1
1 3 −1
2． 若 x=
3 −1 ， y= 3 +1
3 +1 ，求 3 −1
x 2 + y 2 + 2 的值．
能力提升
1． 阅 读 下 面 一 道 题 的 解 答 过 程 ， 判 断 是 否 正 确 ， 如 若 不 正 确 ， 请 写 出 正 ． 确的解答过程．
A = 60 +80 B
2
2
= 10000
=100
b设a、b为实数,且|√2 -a|+ √ b-2 =0 为实数,
拓展1 拓展1
∴ （1）求a -2 2a+2+b 的值. a = 2，b = 2
2 2
解： ) 2 − a ≥ 0, b − 2 ≥ 0 (1 而 2 −a + b−2 = 0
∴ 2 −a = 0 ， −2= 0 b ∴a = 2，b = 2
P
B
知识结构
三个概念
二次根式 最简二次根式 同类二次根式 1、 ab = a ⋅ b (a ≥ 0, b ≥ 0 )
二 次
两个公式
a = 2、 b
(
a b
a )
2
( a ≥ 0, b ≥ 0 )
= a
a ≥ 0 （ ａ ≥ 0）
三个性质
a
四种运算
2
=
a
= {
a ,a ≥ 0 − a ,a < 0
．
（ 2） 9 ）
4 5 ÷3
1 3 × 5 2
2
2 3
（ 3） ）
1 3 +
+
2
1 2 +1
1 3 −1
2． 若 x=
3 −1 ， y= 3 +1
3 +1 ，求 3 −1
x 2 + y 2 + 2 的值．
能力提升
1． 阅 读 下 面 一 道 题 的 解 答 过 程 ， 判 断 是 否 正 确 ， 如 若 不 正 确 ， 请 写 出 正 ． 确的解答过程．
A = 60 +80 B
2
2
= 10000
=100
b设a、b为实数,且|√2 -a|+ √ b-2 =0 为实数,
拓展1 拓展1
∴ （1）求a -2 2a+2+b 的值. a = 2，b = 2
2 2
解： ) 2 − a ≥ 0, b − 2 ≥ 0 (1 而 2 −a + b−2 = 0
∴ 2 −a = 0 ， −2= 0 b ∴a = 2，b = 2
P
B
最新人教版八年级数学下册第16章二次根式全套课件PPT(完美版)
A≥0且B≠0.
A 1有意义的条件：
B
巩固练习
2. x取何值时,下列二次根式有意义?
（1） x 1
x≥1
（4） 1 x x>0
（2） 3x
x≤0
（5） x3
x≥0
（3） 4x2
x为全体实数
（6） 1 x2 x≠0
(7)
x 1 x3
(
x
2)0
(8)
x 2 （9） x2 1
x
∴当x=1时， x2 2x 1 在实数范围内有意义. (2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为任何实数， x2 2x 3 在实数范围内都无意义.
归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项 进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
探究新知
归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的定义识别二次根式
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
（1） 14 ； （2）81； （3） - 0.8 ；（4）-3x (x 0)
（1） 32
是
（2） -12 不是
（3）3 8
（4）4 a2
不是
不是
（5） - m (m 0) 是
（8） - x2 1
不是
（6） 2a 1 不是
（9）4 2
是
（7） a2 2a 3
是
1
2024年中考数学复习课件---第2讲+数的开方与二次根式
+
+
+…+
+
=
+ + +
+ +
−
.
4
5
6
第2讲
数的开方与二次根式— 真题试做
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命题点 3 二次根式的估值（遵义6年1考）
7.(2022·遵义5题4分)估计 的值在( C )
A.2和3之间
（2）找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数,如4和9
（3）对以上两个整数开方，如 = , =3
（4）确定这个二次根式的值在两个整数开方后所得的
之间,如2< <3
（1）先确定 在哪两个整数（或小数）之间，如3< <
确定与
最接
近的整
数
（2）取这两个连续整数（或小数）的平均数，如
与非负
数的性
质
平方根
ห้องสมุดไป่ตู้
算数平方根
立方根
概念
a＞0
性
质 a=0
a＜0
相反
互为①______数
（两个）
0
没有
正数（一个）
正数（一个）
0
0
没有
②_________
负数（一个）
非 负 数 的 性 质 ：（1）常见的非负数有 （ ≥ ），| a |，
（2）若几个非负数的和为, 则这几个非负数同时为,
+
=3.5
（3）将平均数进行平方,并与 a比较,确定与 最接近的整数,
如. �� = . , < . , 所以 < . ,所以与
《二次根式(第2课时)》PPT课件 北师大版八年级数学
探究新知 素养考点 1
二次根式的加减乘除计算
例1 计算:
（1）3 2 2 3
（2） 12 3 - 5
（4） 13 3
13 - 3
（5）
12 -
1 3
3
（3）
2
5 1
（6） 8 18
2
解：(1)原式= 3 2 2 3 6 6
(2)原式= 12 3-5 36 - 5 =6-5=1
总结：只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二 次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘 （ a b k a b k（a 0,b 0,k 0) ）
巩固练习
变式训练
1.计算
12
1 2
的结果是 ( C )
A. 10 B.4
C. 6 D.2
2.下面计算结果正确的是( B )
33 5
=___5___
（6）（ 15+ 20） 5 =___3_+_2_
课堂检测
基础巩固题
4. 计算：
（1） 18- 1 2
（2） 18 + 32- 1 50
3
5
解：（1）原式= 9 2- 1 =3 2- 2 = 5 2
2
22
（2）原式= 9 2 + 16 2- 1 25 2 = 3 2 +4 2- 1 5 2
探究新知
素养考点 1 简单的二次根式的乘法运算
例1 计算:
（1） 3 5 ;
（2） 1 27 .
3
解: (1) 3 5 15 ;
(2) 1 27 1 27 9 3 .
3
3
探究新知
想一想 下边的式子如何运算？
2 3 5
《二次根式》参考课件2
a
2
2
先平方, a 先平方,后开方 a取任何实数
2
2.从取值范围来看,
( a)
2
3.从运算结果来看: 3.从运算结果来看: 从运算结果来看
( a ) =a
a
2
=∣ a ∣ =
(a≥ a (a≥ 0) -a (a≤0)
归纳
s 2 形如 形如5，a , a + b, ab, , x , 3 , a (a≥ 0) t 的式子， 本运算符号（ 的式子，它们都是用基 本运算符号（基本 运算包括加、减、乘、 除、乘方和开方） 乘方和开方） 运算包括加、 接起来的式子， 把数和表示数的字母连 接起来的式子， 我们称这样的式子为 代数式 . 我们称这样的式子为
(1) x − 1 x ≥1 (2) − 3 x x ≤ 0
(3) 4 x
2
x为 体 数( 4 ) 全 实
1 x
1 x2
x >0
(5) x
3
x ≥0
(6)
x ≠0
1.若 1.若
3 =0， a −2 + 2b−7 =0，则 a +2b =_____。 =_____。
2.已知a.b为实数， 2.已知a.b为实数，且满足 已知a.b为实数
a ≥0
双重非负性) ( 双重非负性) 5.既可表示开方运算 也可表示运算的结果 既可表示开方运算,也可表示运算的结果 既可表示开方运算 也可表示运算的结果.
判断
1.下列各式是二次根式吗 下列各式是二次根式吗? 下列各式是二次根式吗
(4) - m (m≤0), b (6) b a +1 ,
2
(1) 32 , (2) 6, (3) b (5) (7)
2
2
先平方, a 先平方,后开方 a取任何实数
2
2.从取值范围来看,
( a)
2
3.从运算结果来看: 3.从运算结果来看: 从运算结果来看
( a ) =a
a
2
=∣ a ∣ =
(a≥ a (a≥ 0) -a (a≤0)
归纳
s 2 形如 形如5，a , a + b, ab, , x , 3 , a (a≥ 0) t 的式子， 本运算符号（ 的式子，它们都是用基 本运算符号（基本 运算包括加、减、乘、 除、乘方和开方） 乘方和开方） 运算包括加、 接起来的式子， 把数和表示数的字母连 接起来的式子， 我们称这样的式子为 代数式 . 我们称这样的式子为
(1) x − 1 x ≥1 (2) − 3 x x ≤ 0
(3) 4 x
2
x为 体 数( 4 ) 全 实
1 x
1 x2
x >0
(5) x
3
x ≥0
(6)
x ≠0
1.若 1.若
3 =0， a −2 + 2b−7 =0，则 a +2b =_____。 =_____。
2.已知a.b为实数， 2.已知a.b为实数，且满足 已知a.b为实数
a ≥0
双重非负性) ( 双重非负性) 5.既可表示开方运算 也可表示运算的结果 既可表示开方运算,也可表示运算的结果 既可表示开方运算 也可表示运算的结果.
判断
1.下列各式是二次根式吗 下列各式是二次根式吗? 下列各式是二次根式吗
(4) - m (m≤0), b (6) b a +1 ,
2
(1) 32 , (2) 6, (3) b (5) (7)
人教版八年级二次根式知识点总结课件
B
A≥0且B≠0.
练一练
1.下列各式： 3; 5; a2 ; x 1 x≥1；3 27; x2 2x 1.
一定是二次根式的有
（ B）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.(1)若式子 x 1 在实数范围内有意义，则x的取值 2 范围是_x__≥_1___;
(2)若式子
x
1
2
x 在实数范围内有意义，则x的
人教版八年级二次根式 全章知识点总结课件
一.二次式的概念及有关性质
1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
问题引入
问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫
做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.
总结
利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相 除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的 倒数”进行约分、化简．
1 计算:
(1) 72 ； 6
(2) 48 ； 2 3
(3) 1 1 1； 26
(4)
4
a
1
3
b
a
b
1
(a＞1，b＞0).
导引： (1)直接利用二次根式的除法法则进行计算；(2)(4)要
典例解析
例2 当x是怎样的实数时, x 2在实数范围内有 意义?
解：由x-2≥0，得 x≥2.
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
典例解析
【变式题1】 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内
有意义？
（1） 1 ； x 1
A≥0且B≠0.
练一练
1.下列各式： 3; 5; a2 ; x 1 x≥1；3 27; x2 2x 1.
一定是二次根式的有
（ B）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.(1)若式子 x 1 在实数范围内有意义，则x的取值 2 范围是_x__≥_1___;
(2)若式子
x
1
2
x 在实数范围内有意义，则x的
人教版八年级二次根式 全章知识点总结课件
一.二次式的概念及有关性质
1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
问题引入
问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫
做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.
总结
利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相 除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的 倒数”进行约分、化简．
1 计算:
(1) 72 ； 6
(2) 48 ； 2 3
(3) 1 1 1； 26
(4)
4
a
1
3
b
a
b
1
(a＞1，b＞0).
导引： (1)直接利用二次根式的除法法则进行计算；(2)(4)要
典例解析
例2 当x是怎样的实数时, x 2在实数范围内有 意义?
解：由x-2≥0，得 x≥2.
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
典例解析
【变式题1】 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内
有意义？
（1） 1 ； x 1
15.1 二次根式 - 第1课时课件(共17张PPT)
新知探究
知识点1 二次根式的概念
一起究
1.（1）2，18，（2）非负数m，p+q，t2-1的算术平方根又是怎样表示的？
2.学校要修建一个占地面积为S ㎡的圆形喷水池，它的半径应为多少米？如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a ㎡的环形绿化带，那么所成的大圆的半径应为多少米？
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.
15.1 二次根式第1课时
第十五章 二次根式
学习目标
1.了解二次根式的概念.2.能根据二次根式的意义确定被开方数中字母的取值范围.3.掌握二次根式的双重非负性及其应用.
学习重难点
掌握二次根式的概念.
难点
重点
掌握二次根式的双重非负性及其应用.
复习巩固
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.0只有一个平方根，是0本身.负数没有平方根.正数a的算术平方根是
二次根式特征
1.外貌特征：含有“ ”.2.内在特征：被开方数3.内在特征：a可以是数，也可以是含有字母的式子.
知识点2 二次根式的几个性质
例题解析
例1 化简：
随堂练习
C
A
A
3.下列计算正确的是（ ）.
拓展提升
D
3.做一个面积为300 cm3的长方形镜框，使它长与宽的比为3：2.镜框的宽应为多少厘米？
归纳小结
二次根式
定义
性质
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
知识点1 二次根式的概念
一起究
1.（1）2，18，（2）非负数m，p+q，t2-1的算术平方根又是怎样表示的？
2.学校要修建一个占地面积为S ㎡的圆形喷水池，它的半径应为多少米？如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a ㎡的环形绿化带，那么所成的大圆的半径应为多少米？
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.
15.1 二次根式第1课时
第十五章 二次根式
学习目标
1.了解二次根式的概念.2.能根据二次根式的意义确定被开方数中字母的取值范围.3.掌握二次根式的双重非负性及其应用.
学习重难点
掌握二次根式的概念.
难点
重点
掌握二次根式的双重非负性及其应用.
复习巩固
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.0只有一个平方根，是0本身.负数没有平方根.正数a的算术平方根是
二次根式特征
1.外貌特征：含有“ ”.2.内在特征：被开方数3.内在特征：a可以是数，也可以是含有字母的式子.
知识点2 二次根式的几个性质
例题解析
例1 化简：
随堂练习
C
A
A
3.下列计算正确的是（ ）.
拓展提升
D
3.做一个面积为300 cm3的长方形镜框，使它长与宽的比为3：2.镜框的宽应为多少厘米？
归纳小结
二次根式
定义
性质
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
二次根式复习课PPT课件
2成立的条件是32232???xx1?x0?a0?aaa?20?a23?x???????002aaaaaa1二次根式中的取值范围是1?xx与的区别2a2a1式子表达的意义不同2a的取值范围不同请你来化简2232???aa????4177???????4411417417?????34417417???1417417?2417417???5417417???6本领3
A
D HQ
③ ①EG F
②
B
P
C
h
55
小结
畅 所 欲 言
1、这节课复习了哪些数学知识？ 2、你还有什么收获？
h
56
h
57
h
58
h
20
( a )2 与 a 2 的区别
(1)式子表达的意义不同 (2)a 的取值范围不同
h
21
请你来化简
( 2a)2 (a3)2
h
22
本领3: 会正确应用性质3、4
（1） 174174
（2） 17 17
44
（3） 1 7 4 1 7 4（4）
17 4
17 4
（5）174174 （6）174174
h
31
做一做:
学校决定在一块长为 54 米，宽为 6
米的长方形空地上种植草皮，问：
⑴ 铺满这块空地,需要购买多少平方米的 草皮? ⑵ 草坪的长是宽的多少倍?
⑶ 为了保护草坪,用篱笆把四周围起来,
要做到合理用料,至少需要篱笆多少米?
h
32
例3、计算：
（1）
32 0.52 1 3
1 8
48;
解：原式 4 2 1 2 2 3 1 2 4 3 234
（A） x 2 1
A
D HQ
③ ①EG F
②
B
P
C
h
55
小结
畅 所 欲 言
1、这节课复习了哪些数学知识？ 2、你还有什么收获？
h
56
h
57
h
58
h
20
( a )2 与 a 2 的区别
(1)式子表达的意义不同 (2)a 的取值范围不同
h
21
请你来化简
( 2a)2 (a3)2
h
22
本领3: 会正确应用性质3、4
（1） 174174
（2） 17 17
44
（3） 1 7 4 1 7 4（4）
17 4
17 4
（5）174174 （6）174174
h
31
做一做:
学校决定在一块长为 54 米，宽为 6
米的长方形空地上种植草皮，问：
⑴ 铺满这块空地,需要购买多少平方米的 草皮? ⑵ 草坪的长是宽的多少倍?
⑶ 为了保护草坪,用篱笆把四周围起来,
要做到合理用料,至少需要篱笆多少米?
h
32
例3、计算：
（1）
32 0.52 1 3
1 8
48;
解：原式 4 2 1 2 2 3 1 2 4 3 234
（A） x 2 1
《二次根式》PPT课件 (共31张PPT)
练习：
x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1
x 1 (2) 3x
x0
(3) 4 x
2 x为全体实数
(5) x
3
x0
1 a< 2
1 (4) x
x0
1 (7) 1 2a
1 (6) x0 2 x 3 x (8) | x | 4
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2 2
x=5，y=11
(2 x - y)
2011
=- 1
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1、（ a） ＝a （a 0）
2
2、（ a ）＝|a| =
2
a (a>0) 0 (a=0)
-a (a＜0)
( a ) 与 a 有区别吗?
2
2
( a) 与 a
1:从运算顺序来看,
2
2
a
a
2
2
先开方,后平方
先平方,后开方
2.从取值范围来看, 2 a≥0 a
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。 ③多个条件组合时，应用不等式组求解
二次根式的双重非负性
a 吵0, a 0.
二次根式的性质
八年级数学下册教学课件《二次根式》(第2课时)
探究新知 知识点 1
2
a
（a≥0)
性质
16.1 二次根式
（1）什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫 做a的平方根. a的平方根是 a
（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算
术平方根. 用 aa (a≥0)表示.
探究新知
16.1 二次根式
（1）填空：
( 4)2 ( 4 ),
(
1 3
)2
(
1 3
),
( 2 )2 ( 2 ) ( 0)2 ( 0 )
（2）通过（1）的计算，你能确定( a )²（a≥0）的
化简结果吗？说说你的理由.
探究新知
16.1 二次根式
4 是4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 4 是一个平方等于4的非负数，因此有( 4 )²=4.
探究新知
16.1 二次根式
【讨论】（1）在 a2 a(a 0) 中，可否去掉“a≥0”？ 如果去掉“a≥0”,结论将会发生怎样的变化？ （2）第二小题中的 （-5）2 能否直接使用性质 a2 a(a 0)
进行化简？
探究新知
16.1 二次根式
方法点拨
计算 a2 一般有两个步骤: ①去根号及被开方数的指数,写成绝对值的形
基础巩固题
16.1 二次根式
1.化简 （-2）2 的结果是（ C ）
A．﹣2
B．±2
C．2
2. 当1<x<3时，(x 3)2 的值为（ D ）
x3
D．4
A.3
B.-3
C.1 D.-1
3.在下列各式中，不是代数式的是（ B ）
第16章《 二次根式》单元复习课件
同类二次根式的定义： 几个二次根式化成最简二次 根式以后，如果被开方数相同， 这几个二次根式叫做同类二次 根式.
⑴ 同类二次根式的判断，一般首先需 要把所需判断的二次根式化成最简二次根 式，再观察被开方数是否相同.若相同， 则是同类二次根式，否则不是.
⑵ 几个二次根式是不是同类二次根式， 只与被开方数和根指数有关，而与根号外 的因式或因数无关.
⑶ 只有同类二次根式才可以合并，不 是同类二次根式的不能合并. ⑷ 合并同类二次根式时，将同类二次 根式的系数相加减，根指数与被开方数 （式）保持不变.
二次根式加减运算的一般步骤
⑴ 将每个二次根式化为最简二次根式； ⑵ 找出其中同类二次根式； ⑶ 合并同类二次根式. 1、在运算过程中要注意，根号外的因 式就是这个二次根式的系数，如果系数 是带分数，还要化成假分数. 2、二次根式化为最简二次根式后，被 开方数不同的二次根式不能合并，但是 绝不能丢弃，它们也是结果的一部分.
( )
求下列各式的值：
4 2 ⑴ ( 300)² ⑵ 3 9 ⑶ (－ 2.7)² ⑷ (－2 5)²
⑴ 可直接运用性质 1 ，⑵ ⑶ ⑷ 先利用积的乘方性质 (ab)² ＝ a² b²进行 变形，然后再计算.
( )
解： ⑴ ( 300)² ＝300
⑵
( ) ( )
3 4 9
2
＝3² ×
4 9
2
1.从形式上看，二次根式必须含有 9 ＝3 “ ”如： ，等号左边是二 次根式，右边不是二次根式.
a (a≥o)的式子叫做二次根 形如＿＿ 式。在二次根式 a中，字母 a 必须满 a≥0 足＿＿＿，即被开方数必须是非负数 .
2. 被开方数 a 可以是一个数，也可 以是一个含有字母的式子，但前提是 a≥0.
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二次根式有意义的条件: 注意： 被开方数大于或等于零
（2）满足下列两个条件的二次根式， 叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母；
②被开方数中不含能开得尽方的因数 或因式；
（3）几个二次根式化成最简二次根 式后，如果被开方数相同，那么这 几个二次根式叫做同类二次根式。
2.二次根式的性质(1)：
（1） 非负性 ：
二次根式的加减： 类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。
a b (a 0 , b 0) ab
a a (a 0 , b 0) b b
二次根式的混合运算：
原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用， 原来所学的乘法公式（如 (a b)(a b) a 2 b 2 ,
a 0 （ａ 0）
三个性质
a )2 a
a a 2 a {a ,a , 0 0 a
四种运算
加 、减、乘、除
本章知识
1.二次根式的有关概念：
（1）二次根式（2）最简二次根式（3）同类二次根式
（1）形如
a (a 0)
非负数
的 式子叫做二次根式.
（即一个
的算术平方根叫做二次根式）
2
若 a 2 a 则
a 0;
2.二次根式的性质(2)：
(4) ab (a 0,b 0) a b
a a (5) ( a 0 b b b 0)
3.二次根式的运算：
二次根式乘法法则 二次根式除法法则
a=4 a 4 4 a 有意义的条件是______
4.求下列二次根式中字母的取值范围
1 x5 3 x
解：
x 5 0 3 x 0
①
②
解得
5 x 3
说明：二次根式被开方 数大于等于0，所以求二 次根式中字母的取值范 围常转化为不等式(组)
已知y
(a b)2 a 2 2ab b 2 ）仍然适用。
题型1:二次根式有意义的条件 1.当x取何值时，下列二次根式有意义： ①
x3
1 3x
x2 5
3 1 2x
②
3x 2
5 1 x
③
⑤
④ ⑥
⑧
2 x
⑦
x 1
2
2. 当 3.
_____时，
x
≤3 有意义。 x 3
D.
2 3
2.下列与 （题中 A.
ab 4
a b 不是同类二次根式的有:( D )
3
a 0,b 0 ）
B.
b a
1 C. ab
D.
ab
2 2
题型5: 计算
1 (1) 153 5 2
(2) 3 x
6 xy
(3)(3 48 4 27 ) 2 3
1 (4) 12( 75 3 3 48)
2
a 0(a )
(2) a ) (a 0) a
(3) a a
2
a(a 0) 0(a 0) a(a 0)
注：若
a a 则 a 0;
(5)
20 5 1 12 3 5
（6) ( 3 2)( 3 2)( 2 3)
2010
2
（ （ 7 ） ( 3-2 ） × 2+
3）
2010
通过这节课的学习， 谈谈你的收获。
祝你成功！
完成课本 复习题1，2，3
2 x
5 y x 2 5, 则 ____ 2 x
?
题型2:二次根式的非负性的应用
1.已知： x 4 2 x y 0 ,求 解：由题意，得 解得
x y
的值.
x 4 0且2 x y 0
x 4, y 8
x y 4 (8) 4 8 12
复习目标
加深理解二次根式的有关概念；
熟练掌握二次根式有意义的条件； 熟练运用二次根式的化简和加
减、乘除、乘方混合运算；
知识结构
三个概念
二次根式
最简二次根式
同类二次根式
1、 ab a b a 0, b 0
二 次 根 式
两个公式
a 2、 b
(
a b
(a 0, b 0)
2.已知x,y为实数,且
x 1 3( y 2) 0 ,则
2
x y 的值为( D )
D.-1
A.3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B.-3
C.1
题型3:化简
把下列二次根化为最简二次根式
(1) 48
3 (2) 2
3 (5) 24
3 (3) 3 5
(4) 0.4
2
(6) 3a b (a 0,b 0)
变式应用
1.式子
( a 1) a 1 成立的条件是（ D ）
2
A.a 1
2、 化简
B.a 1
C.a 1
D.a 1
1- 3
2
解： 1 - 3
2
1- 3 3 1
题型4:同类二次根式 1.下列与 A.
12
2
是同类二次根式的有:( B )
B.
1 2
C. 27