定积分在物理学中的应用

数学与计算科学学院

学年论文

题目定积分在物理学中的应用

姓名邓花蝶

学号 1209403047

专业年级 2012级数学与应用数学

指导教师耿平

2015年 9 月 1 日

定积分在物理学中的应用

——求刚体的转动惯量

摘要

众所周知，物理学是一门综合性极高的学科，我们在学习的过程常都

会将课堂理论知识和实践活动有机的结合在一起，然而，在物理学中，我

们通常都会遇到很多难题，比如解积分困难等。因此当前我们在对物理学

的学习中，就要将定积分应用到其中。定积分是高等数学的重要组成部分，

在物理学中也有广泛的应用。微元法是将物理问题抽象成定积分非常实用

的方法。本文主要利用＂微元法＂的思想求物理学中几种常见均匀刚体的

转动惯量。

关键词

定积分；物理应用；微元法; 转动惯量；均匀刚体

The application of definite integral in physics

——For the moment of inertia of rigid body

Abstract

As we all know, physics is a comprehensive high discipline, in the learning process We will usually make the classroom theoretical knowledge and practical activity of organic

unifies in together, however, in physics, we often encounter some problems, such as the difficulty of solving integral. So in physics learning, we should apply definite integral to it. The integral is an important part of higher mathematics, they are widely used in

physics. The differential method is a practical method that physical problems are abstracted

integral.In this paper, using the ideas of "micro element method" to solve inertia of several

common uniform rigid body in physics.

Key words

Integral; physics application; differential method ；rotational inertia ；uniform rigid body

1 引言

物理学中应用定积分法去解决实际问题是非常广泛而重要的，运用“数学微元” 的思想抽象成定积分去求解物理学相关的问题，是大学物理学教学的重难点， 不易被学生理解和掌握。大学物理学中，刚体绕定轴转动的转动惯量要用到定 积分去解决问题。转动惯量是刚体力学中一个较为重要的物理量。刚体对转轴z 的转动惯量

2

2z i i

I m R R dm =

=

∑⎰

对形状规则的常见均匀刚体，在计算中往往需要记忆它们的转动惯量表达式。 同时，这些刚体在形式上又有联系，它们的转动惯量表达式是否也有联系呢？ 如果答案是肯定的，那么我们只需记忆一两个转动惯量表达式，就可以在应用 中很方便地推出其他相关刚体的转动惯量。

2 几种常见的均匀刚体的转动惯量 2.1 圆环的转动惯量

例2.1：设有一个半径为R 质量为m 的均匀圆环，（1）求圆环对通过中心与其垂直的转动惯量；（2）求圆环对直径所在轴的转动惯量.

解：（1）如图1所示，在圆环上任取一质元，其质量为dm dl λ=（λ为线密度，2m

R

λπ=

）,dl 为圆弧元， 图1 该质元对中心垂直轴Z 的元转动惯量22dJ R dm R dl λ== ，圆环对该轴的转动惯量为

22320

2R

J dJ R dl R mR πλλπ=

===⎰⎰

（2）如图2所示，将圆环分成无数个质点，设质点到Z 轴的 距离为a,质点质量为dm,其中θ

θπ

==sin ,2md a R dm 所以该圆环的转动惯量为220

J a dm π

=⎰

图2

πθθπ==⎰

2

2

2

2sin 22

md mR R

2.2 圆盘的转动惯量

例2.2： 设有一个半径为R 质量为m 的均匀圆盘，

（1）求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量；（2）求圆盘对直径所在轴的转动惯量。解：（1）整个圆盘对轴的转动惯量可看 成许多半径不同的同心圆环对轴的转动 惯量之和，圆盘质量面密度为2

m

R σπ=

. 图3 在圆盘上取一半径为x ，宽度为dx 的细圆环，如图3所示，其圆面积

2ds rdr π=,故该圆环的质量2dm ds r dr σπσ==，它对中心垂直轴Z

的元转动惯量为232dJ r dm r dr σπ==，整个圆环的转动惯量为

3

420

11

222

R

J dJ r dr R mR πσσπ=

==

=⎰⎰（2）如图4所示,整个圆盘对轴的转动惯量可看

成许多平行y 轴的细条对轴的转动

惯量之和，圆盘质量面密度为2

m

R

σπ= .对应于 [x,x+dx]的平行y 轴的细条，细条质量为2y dx σ，

关于y 轴的元转动惯量为 图

4

222dJ yx dx x σσ== ，

故圆盘对y 轴的转动惯量为