2017-2018学年高二下学期期末考试试卷 数学文科 (含答案)

沈阳二中2018——2018学年度下学期期末考试高二（17届）数学(文)试题说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷 （60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域为（ ）A ),31(+∞- B )1,31(- C )31,31(- D )31,(--∞ 2.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则=θ2tan （ ） A34 B 43 C 34- D 43- 3.在ABC ∆中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AC AB AN μλ+=,则μλ+的值为（ ） A21 B 31 C 41D 1 4.已知0>a ，函数ax x x f -=3)(在),1[+∞是单调增函数，则a 的最大值是（ ）A 0B 1C 2D 35若实数,a b 满足12a b+=，则ab 的最小值是（ ）AB 2CD 46. 已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ． 32C ． 48D ． 647. 函数ln ||cosxy x =的图象大致是（ ）A B C D8.某货轮在A处看灯塔S在北偏东30︒方向，它向正北方向航行24海里到达B处，看灯塔S在北偏东75︒方向，则此时货轮看到灯塔S的距离为_________海里A 312B C 3100 D 21009. .已知),0(πθ∈，则θθ22cos9sin1+=y的最小值为( )A 6B 10C 12D 1610.在斜三角形ABC中，CBA coscos2sin-=且tan tan1B C⋅=则角A的值为（）A4πB3πC2πD34π11.若函数2()log(5)(01)af x x ax a a=-+>≠且满足对任意的12,x x，当122ax x<≤时，21()()0f x f x-<，则实数a的取值范围为（）A(-∞B )+∞C [1D (112.设函数xaxxxf ln12)(2++-=有两个极值点21,xx，且21xx<，则)(2xf的取值范围是（）A )42ln21,0(+B )42ln21,(--∞ C ),42ln21(+∞-D)0,42ln21(-第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设变量x,y满足约束条件342y xx yx≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y=-的最大值为________14.若将函数)42sin()(π+=xxf的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y轴对称，则ϕ的最小正值是_______15. 已知A B C∆的外接圆圆心为O，满足nm+=且234=+nm，6,34==,则=⋅_____________16已知函数⎩⎨⎧>-≤-=2,)2(2,2)(2x x x x x f .函数),2()(x f b x g --=其中R b ∈，若函数)()(x g x f y -=恰有4个零点，则b 的取值范围是___________三、 解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题10分）设x x x x f cos sin 32cos 6)(2-=.(Ⅰ)求)(x f 的最小正周期; (Ⅱ)求单调递增区间;18. （本小题12分）已知函数()x f x a =的图象过点(1,12),且点2(1,)n a n n- (n ∈N *)在函数()xf x a =的图象上.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)令112n n n b a a +=-,若数列{}n b 的前n 项和为n S ,求证:5n S <19. （本小题12分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈(1)当2a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程; (2)求函数()f x 的极值. 20. （本小题12分）如图：梯形ABCD 中，AB//CD ，BC=6，22tan -=∠ABC （1）若4π=∠ACD ，求AC 的长；（2）若BD=9，求BCD ∆的面积；ABC D21. （本小题12分） 已知函数f (x )=x a x -2log 2，过定点A (21,21)的直线与函数f (x )的图象交于两点B 、C ，且．=+ （1）求a 的值；（2）若n S =n nn f n f n f ),1()2()1(-+⋯++∈N *，且n ≥2，求n S ．（3）已知数列{}n a 满足：123a =，na 1=(S n +1)(S n +1+1)，其中n ∈N *．T n 为数列{a n }的前n 项和，若)1(1+<+n n S T λ对一切n ∈N *都成立，试求λ的取值范围．22. （本小题12分） 已知函数f(x)＝xe x 1ln +，(e ＝2.71828…是自然对数的底数)。

(1)求f(x)的单调区间；(2)设g(x)＝)(x f x '，其中)(x f '为f(x)的导函数．证明：对任意x>0，g(x)<1＋e －2.沈阳二中2018——2018学年度下学期期末考试高二（17届）数学(文)试题答案一． 选择题：1. B 2 C 3 A 4 D 5 C 6 D 7 C 8 B 9 D 10.A 11 D 12.D二．填空题： 13. 8 14. 83π 15 36 16. 247<<b 三．解答题： 17.解:(Ⅰ)(1cos 2)()62)326x f x x x π+==++,故f (x )的最小正周期π=T ,由 522226k x k πππππ+≤+≤+ 得f (x )的单调递增区间为 511[,]()1212k k k Z ππππ++∈ 18. (1)∵函数f (x )=a x的图象过点(1,12),∴a =12,f (x )=(12)x .又点(n -1,a n n 2)(n ∈N *)在函数f (x )=a x的图象上,从而a n n 2=12n －1,即a n =n 22n －1.(2)证明:由b n =n ＋22-n 22=2n ＋12得,(3)S n =32+522++2n ＋12n ,则12S n =322+523++2n －12n +2n ＋12n ＋1, 两式相减得:12S n =32+2(122+123++12n )-2n ＋12n ＋1,11212211])21(1[4122321+-+---+=n n n n s ∴S n =5-2n ＋52n ,0252>+nn∴S n <5 19. 函数()f x 的定义域为(0,)+∞,()1'=-a f x x. (Ⅰ)当2=a 时,()2ln =-f x x x ,2()1(0)'=->f x x x,(1)1,(1)1'∴==-f f ,()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ,即20+-=x y .(Ⅱ)由()1,0-'=-=>a x a f x x x x可知: ①当0≤a 时,()0'>f x ,函数()f x 为(0,)+∞上的增函数,函数()f x 无极值; ②当0>a 时,由()0'=f x ,解得=x a ;(0,)∈x a 时,()0'<f x ,(,)∈+∞x a 时,()0'>f x()∴f x 在=x a 处取得极小值,且极小值为()ln =-f a a a a ,无极大值.综上:当0≤a 时,函数()f x 无极值当0>a 时,函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ,无极大值20.（1）Q tan ABC ABC ∠=-∴∠为钝角，且1sin 33ABC ABC ∠=∠=- //,4AB CD BAC ACD π∴∠=∠=Q ,在ABC ∆中，,8sin sin BC AC AC BAC ABC==∠∠;(2)//,AB CD ABC BCD π∴∠+∠=Q ,1cos cos 3BCD ABC ∠=-∠=,sin sin BCD ABC ∴∠=∠=,在BCD ∆中，213681cos 326CD BCD CD +-∠==⨯⨯,24450,9CD CD CD ∴--=∴=,169sin 2BCD S BCD ∆=⨯⨯⨯∠=21. 1）证明：∵0=+AC AB ∴A 是BC 的中点．设A (x ,y )，B (x 1,y 1)，C (x 2,y 2),由21(x 1+x 2)=21，得x 1+x 2=1，则x 1=1-x 2或x 2=1-x 1． （2分） 而21=21(y 1+y 2)=21[f (x 1)+f (x 2)]=21( log 2222112log 2x a x x a x -+-) =21(1+log 222211log x a x x a x -+-)，∴log 2=2211x a x x a x -⋅-0，因此λ＞21，即λ的取值范围是（,21+∞）．22. (1)得f ′(x )＝1x e x(1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)， 令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0. 又e x >0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (2)证明：因为g (x )＝xf ′(x )．所以g (x )＝1e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)．由(2)h (x )＝1－x －x ln x ，求导得h ′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －lne －2)，所以当x∈(0，e－2)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减．所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)≤h(e－2)＝1＋e－2.又当x∈(0，＋∞)时，0<1e x<1，所以当x∈(0，＋∞)时，1e x h(x)<1＋e－2，即g(x)<1＋e－2. 综上所述结论成立．。