专题：空间向量点坐标求法

例1. (2011广西高考题)如图，四棱锥S－ABCD中
，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形
,AB=BC=2，CD=SD=1.
（I）证明： SD⊥平面SAB ；
（II）求AB与平面SBC所成的角的大小
z
解析：（I）设S（x, y, z )(x >0, y >0, z >0)
由
x
得
又∵ 解得
一、投影法
将空间点P分别投影到 x轴、 y轴、z 轴 所得投影点为A(a,0,0) ,B(0,b,0),C(0,0,c)则点 P坐标为(a,b,c) 。
二、公式法 利用线段的中点坐标公式、定比分点坐
标公式、三角形的重心坐标公式、距离公式 、夹角公式等求出点的坐标。
三、向量法 利用向量相等、垂直等运算求出点坐标 。
求空间直角坐标下点的坐标的方法
高中数学教材中引入了空间向量坐标运 算这一内容，使得在解决立体几何平行、 垂直、夹角、距离等问题时更加程序化， 只需代入公式进行代数运算即可，这里常 常需要首先建立空间直角坐标系，求出所 需点的坐标。
求空间直角坐标下点的坐标的方法
广西高考数学卷中立体几何大题都是 同时能用几何法与向量法这两种方法解 题的，在用向量法方面，找点坐标的难 度在逐年增大，很多学生因为求不出点 坐标又不会用几何法解题而丢分．
，顶点D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中点，设 △AB1D1的重心G，建立适当空间直角坐标系并写 出下列点的坐标。
(1) A1 、 B1 、A、 D1；
(2) G;
(3) B;
D A
C B
(4)若N为DD1上点，且 ON⊥ DD1写出N坐标。
D1 O
C1
A1
B1
例 在 平 行 六 面 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， 底 面
， AB=AD=2 ，试在 BC 上找一点E，使点E到平
面ACD的距离为 .
z
解析一 ：
E
O
x
E
y
d=
=
即
=
解得 x= ，y= ∴ E（ , ,1 ) 故E为BC中点
如图，四面体ABCD中，CA=BC=CD= 2，
AB=AD= 2 ，试在 BC 上找一点E，使点E到平面
z
ACD的距离为 .
解析二 平面ACD的平面方程为
ABCD 是 矩 形 ， AB=4,AD=2, 平 行 六 面 体 高 为
，顶2 点3 D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中点，设
△AB1D1的重心G，建立适当空间直角坐标系并写
出下列点的坐标。
(1) A1 、 B1 、A、 D1；
(2) G;
投影法
z D
C
（1）A1 (2, -2, 0 ) 、 B1 (2, 2, 0 ) 、A
求空间直角坐标下点的坐标的方法
为解决求点坐标难的问题，现将在空 间直角坐标系中求点坐标的方法整理总结 ，以求能突破在空间直角坐标系中求点坐 标难的问题。如何写出或求出空间直角坐 标系下点的坐标？
例 在 平 行 六 面 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， 底 面 ABCD 是 矩 形 ， AB=4, AD=2, 平 行 六 面 体 高2 为3
由CD⊥BC(y轴) ,知 y=2
x
y
又由CD=2，且CD与平面ɑ成30 °角
得x=﹣CDcos 30 °=﹣ , z=CDsin30 °=1 ∴ D（﹣ , 2, 1 )
即 D 1 N 0 ,2 ,2 3 0 ,2 ,2 3 ,
z D
O O 1 N D 1 N D 0 , 2 2 , 2 3 A
N 0 ,2 2 ,23
N
C B
∵ ONDD1 0
041120,
1
4
故
N
0,
3 2
,
3 2
ห้องสมุดไป่ตู้
向量法
D1 A1
x
O C1 y B1
求空间直角坐标下点的坐标的方法:
∴ 可设 C（x, 1, z )（ z >0)
z
∵
，
x
y
B
解得 x= ，z = ∴ C（ ,1, )
如图，四面体ABCD中，CA=BC=CD= BD=2
， AB=AD= ，试在 BC 上找一点E，使点E到平
面ACD的距离为2 .
z
O是 BD中点，
AO⊥平面SAB
.
O
E
y
x
如图，四面体ABCD中，CA=BC=CD=BD= 2
△AB1D1的重心G，建立适当空间直角坐标系并写
出下列点的坐标。
z
(3) B;
向量法
D
C
(3)设B ( x, y, z ), 则
A
B 1 B x 2 , y 2 , z ,D 1 D 0 , 2 , 2 3
又∵ B1B D1D , 比较得 x2,y4,z23
D1
∴点B坐标为 2,4,23
A1 x
B
O C1 y B1
例 在 平 行 六 面 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， 底 面
ABCD 是 矩 形 ， AB=4,AD=2, 平 行 六 面 体2高3 为 ，顶点D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中点. (4)若N为DD1上点，且ON⊥ DD1写出N坐标。
解: (4)∵D1, N, D 三点共线，可设D1NDD1
：
即
x
O.
E
y
E
到平面
的距离
=
解得 x= ，y=
∴ E（ , ,1 ) 故E为BC中点
如图，已知AB ⊥ɑ, BC ɑ, CD⊥BC, CD与平
面ɑ成30 °角， AB=BC= CD=2.
（1）求线段AD的长；
z
（2）求二面角D-AC-B的正弦值。 分析：建系如图，设D(x,y,z),
B(0,0,0),A(0,0,2),C(0,2,0)
B
A(2,0, 2 3 )、 D1 (0, -2, 0 )
D1 O
C1
y
(2) G 4, 0, 2 3
3 3
A1
公式法
x
B1
例 在 平 行 六 面 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， 底 面
ABCD 是 矩 形 ， AB=4,AD=2, 平 行 六 面 体2高3 为
，顶点D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中点，设
得 y= , z=
（II） arcsin
y ∴ S（1, , )
，
例2 如图，一张平行四边形的硬纸ABC0D中 ，AD=BD=1,AB=2 .沿它的对角线BD折起，
使点C0到达平面外C点的位置。若 求二面角A – BD –C的大小。 60°
解析：如图A(1, 0, 0) B(0, 1, 0)∵ CB ⊥ DB