专题：空间向量点坐标求法
高二数学空间向量运算的坐标表示
一、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2 , a3 ),b (b1 , b2 , b3 )则
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a (a1 , a2 , a3 ),( R) ;
F A1 B1 E D1 C1
D
C
A
B
练习三：
如图：直三棱柱ABC A1 B1C1 , 底面ABC 中， CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M、 N分别为A1B1、AA1的中点， 1)求BN的长； 2)求 cos BA1 , CB1 的值； 3)求证：A1B C1M。
（3）当cos a , b 0 时，a b 。 思考：当 0 cos a , b 1 及 1 cos a , b 0时， 的夹角在什么范围内？
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) a (2 , 3 , 3) , b (1, 0 , 0) ;
解：设正方体的棱长为1，如图建
C1
z
D1 A1
F1 E1 B1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
3 B(1,1, 0) , E1 1, ,1 , 4
C
D
O
B
y
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4
A
x
1 3 BE1 1, ,1 (1,1, 0) 0 , ,1 , 4 4
（1）线段 AB 的中点坐标和长度； 解：设 M ( x , y , z ) 是 AB 的中点，则
空间向量等分点坐标公式
空间向量等分点坐标公式在数学中，空间向量是一个具有大小和方向的量。
它可以用三维坐标系中的一个点来表示，该点被称为向量的起点。
我们可以通过向量的坐标来表示其位置。
在三维空间中，一个向量可以用三个实数表示，也就是三个坐标。
假设我们有一个空间向量v，它的起点在原点(0,0,0)。
我们可以用(x,y,z)来表示这个向量的终点的坐标。
这些坐标(x,y,z)实际上是向量的分量，它们表示了向量在x轴、y轴和z轴上的投影。
下面我们来介绍一些计算空间向量等分点坐标的公式。
1.向量加法公式：如果有两个向量v1和v2，它们的起点都在原点(0,0,0)，那么它们的终点坐标分别为(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)。
那么这两个向量的和v=v1+v2的终点坐标为(x1+x2,y1+y2,z1+z2)。
换句话说，向量和的坐标等于两个向量的对应坐标相加。
2.向量数乘公式：如果有一个向量v，其终点坐标为(x,y,z)，并且有一个实数a。
那么向量av的终点坐标为(ax,ay,az)。
也就是说，向量数乘后的终点坐标等于原向量的每个分量乘以实数a。
3.向量平均值公式：如果有n个向量v1, v2, ..., vn，它们的起点都在原点(0,0,0)，以及它们的终点坐标分别为(x1,y1,z1), (x2,y2,z2), ..., (xn,yn,zn)。
那么这n个向量的平均向量v的终点坐标为((x1+x2+...+xn)/n,(y1+y2+...+yn)/n, (z1+z2+...+zn)/n)。
也就是说，向量的平均值的终点坐标等于每个向量的对应坐标求和后再除以向量的个数。
4.等分点坐标公式：如果有两个向量v1和v2，它们的起点都在原点(0,0,0)，以及它们的终点坐标分别为(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)。
我们希望在这两个向量之间等分出n个点。
那么每个等分点的坐标可以通过以下公式来计算：x=x1+(x2-x1)*i/ny=y1+(y2-y1)*i/nz=z1+(z2-z1)*i/n其中，i表示第i个等分点的索引，i取值范围为[1,n-1]，表示第一个到倒数第二个等分点。
空间立体几何坐标法向量法求线面交点坐标-概述说明以及解释
空间立体几何坐标法向量法求线面交点坐标-概述说明以及解释1.引言1.1 概述空间立体几何是数学中的一个重要分支，它研究三维空间中的几何结构和性质。
在空间立体几何中，线和面是两个基本的几何元素，线面交点坐标的求解是一个常见且重要的问题。
本文主要介绍了两种方法来求解线面交点的坐标：坐标法和向量法。
通过这两种方法，可以方便地求解线面交点的坐标，进而解决一些实际问题。
通过本文的学习，读者将能够掌握空间立体几何中线面交点坐标的求解方法，为进一步深入学习和应用空间几何提供了基础。
同时，本文还将探讨线面交点坐标的应用和展望，展示其在现实生活中的重要性和价值。
1.2 文章结构:本文主要分为引言、正文和结论三部分。
引言部分将从概述、文章结构和目的三个方面介绍本文的主要内容和研究背景。
正文部分将分为三个小节，首先是关于空间立体几何概念的介绍，接着是详细讨论如何利用坐标法求解线面交点坐标的方法，最后则是向量法求解线面交点坐标的具体过程。
结论部分将总结本文的主要观点和研究成果，探讨该方法的应用前景，并进行最终的结语。
1.3 目的:本文旨在介绍如何利用空间立体几何中的坐标法和向量法来求解线面交点坐标的方法。
通过深入讨论这两种方法的原理和步骤，我们希望读者能够更加深入地理解空间几何中的相关概念，并能够灵活运用这些方法解决实际问题。
通过掌握线面交点坐标求解的技巧，读者能够提升空间几何解题的效率和准确性，同时也能够为进一步学习和研究提供一定的参考和指导。
希望本文能够为读者提供一定的启发和帮助，让大家在空间几何学习中取得更好的成绩和收获。
2.正文2.1 空间立体几何概念空间立体几何是几何学中研究三维空间中图形与几何体的一门学科，是平面几何的延伸和拓展。
在空间立体几何中，我们不再局限于研究平面上的图形，而是考虑到三维空间中的物体和结构。
在空间立体几何中，我们研究的主要对象包括点、线、面和体。
点是空间中的一个位置，用于确定空间中的一个具体位置；线是由无数个点按照一定规律连成的直线段；面是由无数个点和线按照一定规律组成的平面图形；而体则是由无数个面组成的一个三维实体。
空间向量运算的坐标公式解读
例 1、 （1）求向量 a ( x, y, z ) 的模 | a
|
（2）求两个非零向量 a ( x1 , y1 , z1 ) ，
b ( x2 , y2 , z2 ) 的夹角的余弦值
（3） 、 已 知 向 量 a (2, 3,5) ， b (3, 1, z) ， 且
一、空间直角坐标系
单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基
向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基
底，常用 i , j , k 来表示. z 空间直角坐标系：在空间选定一点
O和一个单位正交基底 i别以i、j、k的正方向建立三条数 轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这 样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz
练习 3、已知 a
( x, 2, 2) ，b (2, 3,5) ，且 a 与 b
的夹角为钝角，求
x 的取值范围；
练习 4、已知 a (sin a,cos a, tan a) ，
b (cos a,sin a,cot a) 且 a b ，则且 角a＝
例2：设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB
练习2 如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 取D点为原点 建立空间直角坐标系， N、M、P、Q分别是AC、DD1、 CC1、A1B1的中点， 写出下列向量的坐标.
D1 z C1 B1 M D A N B Q P
AM __________ ____
A1
NB1 ______________
空间向量运算的坐标公式
空间向量的基本定理：
任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组x、y、z， 使得：
空间向量的直角坐标及其运算
∴ AP AB ， AP AD，又 AB AD A ， AP 平面 ABCD，
∴ AP 是平面 ABCD的法向量； 解：（2） AB 22 12 42 21 ， AD 42 22 02 2 5 ，
∴ SABC
1 2
AB
AC
sin
A
101 。 2
7、在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E, F 分别是 DD1、DB 中点，G 在棱CD 上，
CG
1 4
CD
，
H
是
C1G
的中点；
（1）求证： EF B1C ；（2）求 EF 与C1G 所成的角的余弦；（3）求 FH 的长。
解：如图以 D 为原点建立直角坐标系 D xyz ，
（3）证明线面平行：若直线的方向向量与平面的一个法向量垂直，则这直线与该平面平行；
（4）证明面面平行：若两个不重合平面的法向量平行，则这两个平面就互相平行。 11、用向量求异面直线所成角：
找出两条异面直线各自的一个方向向量，计算这两个向量的夹角 ，则 （或 的补角）
即为两条异面直线所成的角。
设 a、b 是异面直线， d1 是直线 a 的一个方向向量， d2 是直线b 的一个方向向量，异面
一、基本概念：
1、空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 i, j,k
表示；
（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底 i, j,k ，以点O 为原点，分别以 i, j,k 的方向
为正方向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴；我们称建立了一个空间 直角坐标系 O xyz ，点O 叫原点，向量 i, j, k 都叫单位向量；通过每两个坐标轴的平
空间向量的直角坐标运算
空间向量的直角坐标运算一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●掌握空间向量的坐标表示、坐标运算、夹角公式、距离公式。
●能通过坐标运算判断向量的共线与垂直。
● 理解直线的方向向量与平面的法向量，会求平面的法向量。
重点难点：●重点：掌握空间向量的坐标运算，能通过坐标运算判断向量的共线与垂直。
● 难点：向量坐标的确定以及夹角公式，距离公式的应用。
学习策略：● 空间向量的直角坐标运算和平面向量的直角坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。
● 对于垂直问题，一般是利用0a b a b ⊥⇔=进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明。
二、学习与应用空间向量的基本定理（一）共线向量定理：空间任意两个向量a、b (b ≠0)，a //b 的充要条件是（二）共面向量定理（平面向量的基本定理）：两个向量a 、b 不共线，向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是*推论：P 、A 、B 、C 四点共面的充要条件：对空间任意一点O ，有OP =（三）空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在 的有序实数组{,,}x y z ，使p = 。
“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？ 详细内容请参看网校资源ID ：#tbjx7#281331若三个向量a、b、c不共面，我们把{,,}a b c叫做空间的一个，,,a b c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个。
知识点一：空间直角坐标系及空间向量的坐标表示（一）单位正交基底若空间的一个基底的三个基向量，且长为，这个基底叫单位正交基底，常用{,,}i j k表示。
空间向量的坐标运算
【高考导航】高考对本节的要求：理解右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体顶点的坐标；掌握空间向量的坐标运算法则；掌握空间两点间距离公式；会根据坐标，判断两个向量共线或垂直；会运用中点坐标公式解决有关问题.此节内容高考必考，而且是以解答题的形式出现.例如2003全国新课程卷12分；2003上海春季高考题12分；2002全国新课程卷12分.【学法点拨】本节内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O 和一个单位正交基底｛i ，j ，k ｝建立坐标系，对于O 点的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，直线的坐标表示简化，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变.如向量的数量积a ²b =|a |²|b |cos<a ，b >在二维、三维都是这样定义的，不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为λ，对于中点公式要熟记.同时了解空间定比分点公式以及重心坐标公式.总之对于本节的学习要结合平面向量的有关知识，加强练习巩固.【基础知识必备】 一、必记知识精选 1.空间直角坐标系在空间选定一点O 和一个单位正交基底｛i ，j ，k ｝（i ，j ，k 按右手系排列）建立坐标系，坐标轴正方向与i ，j ，k 方向相同.空间一点P 的坐标的确定可以按如下方法：过P 分别作三个坐标平面的平行平面（或垂直平面），分别与坐标轴交于A 、B 、C 三点，|x|=O A ，|y|=O B ，|z|=O C ，当与i 方向相同时，x ＞0，反之x ＜0.同理确定y 、z.点P 的坐标与坐标相同.2.向量的直角坐标运算设a =(a 1，a 2，a 3)，b =（b 1，b 2，b 3），则 a +b =(a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3)， a -b =(a 1-b 1，a 2-b 2，a 3-b 3)， a ²b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3a ∥b ⇔a 1=λb 1，a 2=λb 2，a 3=λb 3(λ∈R ).或11b a =22b a =33b a a ⊥b ⇔a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0 3.夹角和距离公式 (1)夹角公式设a =(a 1，a 2，a 3)，b =(b 1，b 2，b 3) 则cos<a ，b >=332221232221332211b b b a a a b a b a b a ++∙++++（2）距离公式设A （x 1，y 1，z 1），B （x 2，y 2，z 2），则 ||=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.（3）定比分点公式设A （x 1，y 1，z 1），B （x 2，y 2，z 2），则 若M 分AB 为定比λ（λ≠-1），则M 的坐标为 x=λλ++121x x ，y=λλ++121y y ，z=λλ++121z z ，特别地，当λ=1即M 为中点时得中点坐标公式： x=221x x +，y=221y y +，z=221zz +. 由中点公式，可得以A （x 1，y 1，z 1），B （x 2，y 2，z 2），C （x 3，y 3，z 3）为顶点的三角形重心公式：x=3321x x x ++，y=3321y y y ++，z=3321zz z ++.4.两个概念(1)向量垂直于平面，若表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，称a 垂直于α，记作a ⊥α.(2)法向量，如果a ⊥α，称向量a 是α的法向量. 二、重点难点突破本节重点是空间右手直角坐标系，向量的坐标运算，夹角公式和距离公式.建立右手直角坐标系要以题中已知条件为依托，让尽可能多的点，尽可能多的线落在轴上或者是坐标平面上，简化运算过程.空间向量坐标运算要抓住空间向量的坐标表示这一根本去突破.即向量a 在空间用惟一的有序数组a =(x ，y ，z)来表示.对于夹角公式.两点间距离公式要多练习.本节的难点是向量坐标的确定及夹角公式和两点间距离公式的应用.要理解两点间距离公式类似于平面上两点间的距离公式.可直接套用，两公式都与坐标原点的选取无关.三、易错点和易忽略点导析1.本节课涉及到几何量的代数运算，夹角公式和两点间距离公式的应用.易出现计算不准确而导致结论错误.2.易忽略向量坐标的表达形式a =（x ，y ，z ），在实际解题中有很多同学忽略了“=”，与点坐标(x ，y ，z)混淆.【综合应用创新思维点拨】 一、学科内综合思维点拨【例1】 已知空间三点A （-2，0，2），B （-1，1，2），C （-3，0，4）.设a =AB ，b =AC ，（1）求a 和b 的夹角θ；（2）若向量k a +b 与k a -2b 互相垂直，求k 的值.思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.解：∵A(-2，0，2)，B （-1，1，2），C(-3，0，4)，a =AB ，b =AC ， ∴a =(1，1，0)，b =（-1，0，2）. (1)cos θ=||||b a b a ∙∙=52001⨯++--1010，∴a 和b 的夹角为π-arccos1010.(2)∵k a +b =k （1，1，0）+（-1，0，2）＝（k-1，k ，2）， k a -2b =（k+2，k ，-4），且(k a +b )⊥（k a -2b ），∴（k-1，k ，2）²（k+2，k ，-4）=(k-1)(k+2)+k 2-8=2k 2+k-10=0. 则k=-25或k=2. 点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做.(k a +b )(k a -2b )=k 2a 2-k a ²b -2b 2=2k 2+k-10=0， 解得k=-25，或k=2. 【例2】 如图9-6-1，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是D 1D 、BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG=41CD ，H 是C 1G 的中点.应用空间向量的办法解决下列问题：(1)求证：EF ⊥B 1C ；(2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值； (3)求FH 的长.思维入门指导：本题主要利用空间向量的基础知识，证明异面直线垂直，求异面直线所成的角及线段的长度.解：如图9-6-1，建立空间直角坐标系O 一xyz ，D 为坐标原点O ，由已知得E(0，0，21)，F(21，21，0)，C(0，1，0)，C 1(0，1，1)，B 1(1，1，1)，G(0，43，0). (1)则EF =(21，21，-21)，C B 1=(-1，0，-1). ∴EF ²C B 1=(21，21，-21)²(-1，0，-1) =21³(-1)+21³0+(-21)³(-1)=0. ∴EF ⊥C B 1.即EF ⊥B 1C. (2)G C 1=(0，-41，-1)，则|G C 1|=417. 又|EF |=23，且EF ²G C 1=83， ∴cos<EF ，G C 11=1751. (3)∵H 是C 1G 的中点，由中点坐标公式知H(0，87，21).又F(21，21，0)， ∴FH=||=222)021()2187()210(-+-+-=841. 点拨：通过向量，把几何问题转化为代数计算，是数学中化归思想的具体体现，而且在解立体几何题中，由于向量的引入，避免了一些繁难的推理论证，用定量计算代替定性分析，从而降低了难度.二、应用思维点拨【例3】 已知a 、b 、c 为正数，且a+b+c=1，求证：113+a +113+b +113+c ≤43.思维入门指导：本题考查|a |²|b |≥a ²b 的应用，解题时要先根据题设条件构造向量a ，b .然后结合数量积性质进行运算.证明：设m =(113+a ，113+b ，113+c )，n =(1，1，1)， 则|m |=4，|n |=3. ∵m ²n ≤|m |²|n |，∴m ²n =113+a +113+b +113+c ≤|m |²|n |=43. 当1131+a =1131+b =1131+c 时，即a=b=c=31时，取“=”号.点拨：若m =(x ，y ，z)，n =(a ，b ，c)，则由m ²n ≤|m |²|n |，得(ax+by+cz)2≤(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2).此式又称为柯西不等式(n=3).三、创新思维点拨【例4】 如图9-6-2，已知矩形ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，∠PDA 为θ，能否确定θ，使直线MN 是直线AB 与PC 的公垂线?若能确定，求出θ的值；若不能确定，说明理由.思维入门指导：对于判断型问题，解题的策略一般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，这是一种最常用也是最基本的方法.解：以点A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz.设|AD|=2a ，|AB|=2b ，∠PDA=θ.则A(0，0，0)、B(0，2b ，0)、C(2a ，2b ，0)、D(2a ，0，0)、P(0，0，2atan θ)、M(0，b ，0)、N(a ，b ，atan θ).∴AB =(0，2b ，0)，PC =(2a ，2b ，-2atan θ)，MN =(a ，0，atan θ). ∵AB ²MN =(0，2b ，0)²(a，0，atan θ)=0， ∴AB ⊥MN .即AB ⊥MN.若MN⊥P C ，则MN ²PC =(a ，0，atan θ)²(2a，2b ，-2atan θ)=2a 2-2a 2tan 2θ=0.∴tan 2θ=1，而θ是锐角. ∴tan θ=1，θ＝45°.即当θ=45°时，直线MN 是直线AB 与PC 的公垂线.点拨：对于条件开放型问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决.向量、空间坐标系的建立，让人耳目一新，回味无穷.四、高考思维点拨【例5】（2003，全国，12分）如图9-6-3，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1、A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.(1)求A 1B 与平面ABD 所成角的大小(结果用反三角函数表示)； (2)求点A 1到平面AED 的距离.(学习了第7节后再做此问.) 思维入门指导：本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.借助向量和坐标系解立体几何问题的步骤是：①建立适当的空间直角坐标系(或仿射坐标系)；②确定关键点的坐标；③写出相关向量；④运用向量公式进行计算.解：(1)连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 上的射影，即∠A 1BG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 如图9-6-3所示建立坐标系，坐标原点为C ，设CA=2a.则A （2a ，0，0），B （0，2a ，0），D （0，0，1），A 1（2a ，0，2），E （a ，a ，1），G(32a ，32a ，31). ∴GE =(3a ，3a ，32)，BD =(0，-2a ，1). ∵²=-32a 2+32=0. 解得a=1.∴1BA ＝（2，-2，2），BG ＝(32，-34，31). ∴cos∠A 11=213132314∙=37.A 1B 与平面ABD 所成角是arccos37. （2）由（1）有A （2，0，0），A 1（2，0，2），E （1，1，1），D （D ，0，1），AE ²ED =(-1，1，1)²(-1，-1，0)=0，1AA ²ED =(0，0，2)²(-1，-1，0)=0，∴ED⊥平面AA 1E. 又ED ⊂平面AED ，∴平面AED ⊥平面AA 1E. 又面AED∩面AA 1E=AE ，∴点A 在平面AED 上的射影K 在AE 上. 设AK =λAE ，则K A 1=A A 1+=(-λ，λ，λ-2). 由K A 1²AE =0，即λ+λ+λ-2=0，解得λ=32. ∴K A 1=(-32，32，-34). ∴|A 1|=362. 故A 1到平面AED 的距离为362. 点拨：由上述例题可以看出，利用向量知识解决几何问题的基本思路是：根据题意巧构向量或把题中有关线段看作向量，利用向量中的有关公式列出方程求解.思路清晰，方法简捷规范.五、经典类型题思维点拨 【例6】 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 和BC 的中点，如图9-6-4，试问在棱BB 1上是否存在点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1？若存在，指出点M 的位置；若不存在，说明理由.思维入门指导：数学“开放性问题”主要具有“非完备性、不确定性、发散性和探究性”等特征.“开放性问题”的题意新颖，解法多样，立体几何“开放性问题”特别能培养学生的发散思维能力和空间想象能力.近年来，这类问题已成为高考命题的热点.解：以D 点为坐标原点，建立如图9-6-4所示的空间右手直角坐标系D －xyz ，因为棱长等于1，所以D 1(0，0，1)，E(1，21，0)，F(21，1，0)，B 1(1，1，1). 设点M 在棱BB 1上，可设M 点的坐标为(1，1，λ)(0≤λ≤1)， 则M D 1=(1，1，λ-1)，1EB =(0，21，1)，1FB =(21，0，1). 由于D 1M ⊥平面EFB 1的充要条件为D 1M⊥FB 1，且D 1M ⊥EB 1， 即M D 1²1EB =(1，1，λ-1)²(0，21，1)=21+λ-1=0，M D 1²1FB =(1，1，λ-1)²(21，0，1)=21+λ-1=0，得λ=21. 而21∈[0，1]，因此存在点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1，且M 是棱BB 1的中点. 点拨：用代数的方法研究解决几何问题，自然离不开运算.但在运算过程，中要注意概念的灵活应用.六、探究性学习点拨【例7】 在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，所有棱的长度都是2，M 是BC 边的中点，问：在侧棱CC 1上是否存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所成的角等于45°？思维入门指导：立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势.解：以A 点为原点，建立如图9-6-5所示的空间右手直角坐标系A －xyz. 因为所有棱长都等于2，所以A （0，0，0），C （0，2，0），B （3，1，0），B 1(3，1，2)，M(23，23，0). 点N 在侧棱CC 1上，可设N （0，2，m ）（0≤m ≤2），则1AB =(3，1，2)，MN =(-23，21，m)， 于是|1AB |=22，||=12+m ，1AB ²=2m-1.如果异面直线AB 1和MN 所成的角等于45°，那么向量1AB 和的夹角是45°或135°，而cos<1AB ，MN 1122122+∙-m m ，所以122122+∙-m m =±22. 解得m=-43，这与0≤m≤2矛盾. 即在侧棱CC 1上不存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所成的角等于45°.点拨：通过以上例子可以看出，在解决一些立体几何探索性问题时，利用空间向量，能够避免繁琐的“找”、“作”、“证”，只须通过定量计算，就可解决问题，降低了思维难度，易于把握，体现了空间向量在解题中的巨大作用.A 卷：教材跟踪练习题 （60分 45分钟）一、选择题（每小题5分，共30分）1.设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），则△ABC 的重心G 的坐标为（ ） A.(34，34，0) B.(34，0，34) C.(34，34，1) D.(34，34，2) 2.若向量a =(1，λ，2)，b =(2，-1，2)a ，b 夹角的余弦值为98，则λ的值为（ ） A.2 B.-2 C.-2或552 D.2或-552 3.已知两个非零向量a =（a 1，a 2，a 3），b =（b 1，b 2，b 3），它们平行的充要条件是（ ）A.a ：|a |=b ：|b |B.a 1²b 1=a 2²b 2=a 3²b 3C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0D.存在非零实数k ，使a =k b 4.在下列各结论中，不正确的是（ ）A.两非零向量a =(x 1，y 1，z 1)和b =(x 2，y 2，z 2)垂直的充要条件为x 1²x 2+y 1²y 2+z 1²z 2=0B.若向量a =(x 1，y 1，z 1)和b =(x 2，y 2，z 2)则 a ²b ≤))((222222212121z y x z y x ++++C.已知a ，b 是两个非零向量，则<a ，b >=arccos22ba b a ∙∙D.a²b =0是a =0或b =0的充要条件5.已知向量a =（2，4，x ），b =（2，y ，2），若|a |=6，a ⊥b ，则x+y 的值是（ ） A.-3或1 B.3或-1 C.-3 D.16.下列各组向量共面的是（ ）A.a =(1，2，3)，b =(3，0，2)，c =(4，2，5)B.a =(1，0，0)，b =(0，1，0)，c =(0，0，1)C.a =(1，1，0)，b =(1，0，1)，c =(0，1，1)D.a =(1，1，1)，b =(1，1，0)，c =(1，0，1) 二、填空题（每小题4分，共16分）7.若点P （x 、y 、z ）到A （1，0，1）、B （2，1，0）两点的距离相等，则x 、y 、z 满足的关系式是__________________.8.已知a +b =(2，-8，5)，a -b =（-8，16，-3），则a ²b =__________.9.已知a =(1，2，3)，b =（1，0，1），c =a -2b ，d =m a -b ，若c ∥d ，则m=______ . 10.与a =(1，1，0)共线的单位向量为____________ . 三、解答题（每小题7分，共14分）11.已知△ABC 的顶点A （1，1，1），B （2，2，2），C （3，2，4），试求△ABC 的面积. 12.设向量a =(3，5，-4)，b =(2，1，8)，确定λ、μ的值，使λa +μb 与z 轴垂直.B 卷：综合应用创新练习题 （90分 90分钟）一、学科内综合题(10分)1.设空间两个不同的单位向量a =(x 1，y 1，0)，b =(x 2，y 2，0)与向量c =(1，1，1)的夹角都等于4. (1)求x 1+y 1和x 1y 1的值；(2)求<a ，b >的大小(其中0＜<a ，b >＜π). 二、应用题（10分）2.已知F 1=i +2j +3k ，F 2=-2i +3j -k ，F 3=3i -4j +5k ，若F 1，F 2，F 3共同作用于同一物体上，使物体从点M 1（1，-2，1）移到点M 2(3，1，2)，求物体合力做的功.三、创新题（60分）（一）教材变型题（10分）3.（P 42习题9.6第9题变型）在正方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AB 1、B 1B 的中点，求直线AM 与CN 所成角.（二）一题多解（15分）4.已知三角形三顶点(1，-2，-3)，B （-1，-1，-1），C （0，0，-5）.试证明它是直角三角形.（三）一题多变(15分) 5.如图9-6-6，矩形ABCD 中，AB=1，BC=a ，PA ⊥平面ABCD ，问BC 边上是否存在Q 点，使PQ ⊥，说明理由.(1)一变：问当Q 点惟一，且cos<，>=1010时，求点P 的位置. （四）新解法题(1O 分)6.如图9-6-7所示，在长方体O ABC —O 1A 1B 1C 1中，O A=2，AB=3，AA 1=2，E 是BC 的中点.（1）求直线A O 1与B 1E 所成角的大小； （2）作O 1D ⊥A C 于D ，求点O 1到点D 的距离. （五）新情境题（10分）7.O 1、G 、H 分别为△ABC 的外心、重心、垂心，且不重合.试证明O 1、G 、H 三点共线，且O 1G ：GH=1：2.四、高考题(10分)8.(2003，全国新课程)如图9-6-8，已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB=1，AA 1=2，点E 为CC 1的中点，点F 为BD 1的中点(注：正四棱柱即底面为正方形的长方体).(1)求证：EF 为BD 1与CC 1的公垂线； (2)求点D 1到面BDE 的距离. 加试题：竞赛趣味题（10分）（第八届加拿大数学奥林匹克竞赛题）已知四边形ABCD 中，四个角∠ABC 、∠BCD 、∠CDA 、∠DAB 都是直角.求证：四边形ABCD 必是矩形.【课外阅读】平面法向量的进一步研究在试验（修订）教材第二册（下B ）给出了这样一个概念：如果a ⊥α，那么向量a 叫做平面α的法向量.课本仅给出了这个概念，在其例题、课后练习、习题中均未涉及对此概念的进一步研究，但是利用平面的法向量（或法单位向量）解有关立体几何中空间的角和距离等问题时，将更能体现出教材（下B ）的特点.下面就有关的问题作一些探讨.1.如何利用空间坐标求法向量及法单位向量【例1】 已知三点A （2，3，-3）、B （4，5，-2）、C （6，8，0）.求与平面ABC 垂直的一个法向量和法单位向量.解：假设n 是与平面ABC 垂直的某一个向量，设此向量为n =（x ，y ，1），则n ⊥AB 且n ⊥AC ，因为AB =（2，2，1），AC =（4，5，3），故由n ⊥AB 及n ⊥AC 分别得2x+2y+1=0及4x+5y+3=0，解之有x=21，y=-1，故n =(21，-1，1)即为平面ABC 的一个法向量，又|n |=23，故所求一个法单位向量n 0=||n n =32(21，-1，1)=(31，-32，32).点拨：为了求n 这个未知向量，按理应当设n =(x ′，y ′，z ′)，但是因为相差一个常数因子并不影响其与平面ABC 的垂直性，在z ′≠0的条件下，由n =(x ′，y ′，z ′)=z ′(''z x ，''z y ，1)，令''z x =x ，''z y =y ，于是可设n =(x ，y ，1)，同理也可设n =(1，y ，z)或(x ，1，z)，这样做可以减少一个待定的未知数.2.利用平面的法向量求线面角如图9-6-9，AB 为平面α的斜线，n 为平面α的法向量，如果与n 之间所成的角ϕ为锐角，则斜线AB 与平面α之间所成的角θ=2π-ϕ.【例2】 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中（如图9-6-19），M 、N 分别是棱B 1C 1、AD 的中点，求直线AD 与平面BMD 1N 所成角的余弦值.解：不妨假定正方体棱长为1.以D 为原点，以DA 、DC 、1DD 方向分别作为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，则D （0，0，0）、A(1，O ，0)、D 1（0，0，1）、N(21，0，0)、M(21，1，1)、B(1，1，0)，N D 1=(21，0，-1)，NB =(21，1，0).设n =（x ，y ，1）是垂直于平面BMD 1N 的法向量，由例1的方法可求得x=2，y=-1.∴n =(2，-1，1).又DA =(1，0，0)，则DA ²n =2，|DA |=1，|n |=6. ∴以ϕ表示DA 与n 所成之角，则 cos ϕ||||n DA ∙=62=36. 以θ表示DA 与平面BMD 1N 所成之角，则cos θ=p 2cos 1-=961-=33. 点拨：为了避免向量n 中双重符号选取的麻烦，对于平面α的斜线向量l 与法向量n 之间的锐角ϕ可由cos ϕ=||||||n l n l ∙∙来确定.3.利用平面的法向量求二面角如图9-6-11，设用θ表示欲求的二面角α-l -β的值，又设n 1、n 2分别是平面α及β的法向量，这两个法向量的方向应该是这样配备的：当α或β半平面绕着其棱l 转动到与另一半平面重合时，这两个向量的方向应当一致，在满足这些条件之下，我们有cos θ=||||2121n n n n ∙.【例3】 如图9-6-12，ABCD 是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，又SA ⊥平面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=21，求面SCD 与面SAB 所成二面角的正切值. 解：建立如图9-6-12所示的空间直角坐标系A 一xyz ，有A(0，0，0)、D(21，0，0)、C(1，1，0)、S(0，0，1)，则=(21，0，0)是平面SAB 的法向量.设面SCD 的法向量n =(1，λ，μ)，由例1的方法可求得λ=-21，μ=21.∴n =(1，-21，21). 如以θ表示欲求二面角的值，则cos θ=cos<，n .因²n =(21，0，0)²(1，-21，21)=21，||=21， |n |=22)21()21(1+-+=23， ∴cos θ=232121∙=32，sin θ=31.∴tan θ=21=22. 4.利用平面的法向量求点到面的距离求点P 到平面M 的距离d ，可以在平面M 上任取一点A ，则AP 在M 的法单位向量n 0上的射影长就是所求的距离：d=|²n 0|=||||n n AP ∙(n 为平面M 的一个法向量). 【例4】 如图9-6-13，已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离.解：建立如图9-6-13所示的空间直角坐标系C 一xyz ，则E(2，4，0)、F(4，2，0)、G(0，0，2)、B(0，4，0).设平面EFG 的法向量n =(λ，μ，1)，由例1方法可求得λ=μ=31.∴n =(31，31，1)，|n |=311.因为E 是平面EFG 上一点，故所求距离d=||||n n ∙=311)1,31,31()0,0,2(∙-=11112.点拨：直线到与它平行的平面的距离，或两个平行平面间的距离都可转化为点到平面的距离来求.5.利用平面的法向量求两异面直线a 与b 的距离先设法找出直线a 与b 的公垂线上的单位向量n 0，然后在a 、b 上分别各取一点A 及B ，则d=|²n 0|=||||n n AB ∙(n 为与直线a 、b 都垂直的一个向量). 【例5】 如图9-6-14，已知正方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求BC 1与DB 1的距离.解：建立如图9-6-14所示的空间直角坐标系D —xyz ，则D （0，0，0）、B （1，1.0）、C 1（0，1，1）、B 1（1，1，1），1BC =（-1，0，1），1DB =（1，1，1）.设n =（λ，μ，1）是同时与BC 1、DB 1垂直的向量，则由n ²1BC =(λ，μ，1)²(-1，0，1)=-λ+1=0及n ²1DB =(λ，μ，1)²(1，1，1)=λ+μ+1=0，∴λ=1，μ=-2.∴n =(1，-2，1)，|n |=6.∴d=||1n n BB ∙=6)1,2,1()1,0,0(-∙=66.点拨：n 是与异面直线都垂直的向量，实际上我们也可把n 看作是经过异面直线a 、b中的一条直线且平行于另一条直线的平面的一个法向量.参考答案A 卷一、1.D 点拨：根据三角形重心坐标公式可解得答案.2.C 点拨：由题知95422∙++-λλ=98⇒λ=-2或λ=552. 3.D 点拨：由共线向量定线易知.4.D 点拨：a ²b ＝0⇔a ⊥b ，而不是a =0或b =0.5.A 点拨：由题知⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0244361642x y x ⇒⎩⎨⎧-==3,4y x 或⎩⎨⎧=-=.1,4y x6.A 点拨：由共面向量基本定理可得.二、7.2x+2y-2z-3=0 点拨：由|PA |=|PB |，利用空间两点距离公式化简可得. 8.-59 点拨：⎩⎨⎧--=--=∙)3,16,8()5,8,2(b a b a ⇒⎩⎨⎧-=-=)4,12,5()1,4,3(b a ⇒a ²b =-59.9.m=21点拨：∵c =(-1，2，1)，d =(m-1，2m ，3m-1)， 又∵c ∥d ，∴11--m =m 22=131-m ⇒m=21.10.(22，22，0)或(-22，-22，0) 点拨：∵a =(1，1，0)=2(22，-22，0)，∴e =(22，22，0)或e =(-22，-22，0). 三、11.解：∵A(1，1，1)，B(2，2，2)，C(3，2，4)，∴AB =(1，1，1)，AC =(2，1，3).∴|AB |=3，|AC |=14，AB ²AC =(1，1，1)²(2，1，3)=6. ∴||||AC AB ∙=1436∙=426则sinA=A 2cos 1-=71.∴S △ABC =21|AB|²|AC|²sinA=21²3²14²71=26. 即△ABC 的面积为26. 点拨：可以自己尝试用向量表示三角形面积公式.12.解：由(λa +μb )²(0，0，1)=（3λ+2μ，5λ+μ，-4λ+8μ）²（0，O ，1）=-4λ+8μ=0知，只要λ、μ满足-4λ+8μ=0即可使λa +μb 与z 轴垂直.B 卷一、1.解：(1)∵|a |=|b |=1，∴x 21+y 21=1，∴x 22=y 22=1.又∵a 与c 的夹角为4π， ∴a ²c =|a ||c |cos 4π=22222111++=26. 又∵a ²c =x 1+y 1， ∴x 1+y 1=26. 另外x 21+y 21=(x 1+y 1)2-2x 1y 1=1，∴2x 1y 1=(26)2-1=21.∴x 1y 1=41. (2)cos<a ，b >=||||b a ba ∙=x 1x 2+y 1y 2， 由(1)知，x 1+y 1=26，x 1y 1=41.∴x 1，y 1是方程x 2-26x+41=0的解. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,426,42611y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=.426,42611y x同理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,426,42622y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=.426,42622y x∵a ≠b ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+==,426,4261221y x y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==-==.426,4261221y x y x∴cos<a ，b >=426+²426-+426+²426-=41+41=21.∵0≤<a ，b >≤π.∴<a ，b >=3π.二、2.解：W =F ²s =(F 1+F 2+F 3)²21M M =14.三、(一)3.解：如答图9-6-1所示，把D 点视作坐标原点，以、、1DD 方向为正方向，建立空间直角坐标系D 一xyz ，则A(1，0，0)，M （1，21，21），C （0，1，0），N(1，1，21).∴AM =(0，21，21)，CN =(1，0，21).∴AM ²CN =41，|AM |=22，|CN |=25. ∴设直线AM 与CN 所成的角为α，则cos α=252241∙=101.∴α=arccos1010.故AM 与CN 所成的角为arccos 1010. (二)4.证法一：||=222)13()12()11(+-++-++=414++=9=3， ||=222)51()1()1(+-+-+-=1611++=32， |AC |=22)53()2(1+-+-+=441++=3. ∴||+||2=9+9=18=||2. ∴三角形ABC 是直角三角形.证法二：∵AB =(-1，-1，-1)-(1，-2，-3)=(-2，1，2)， =(0，0，-5)-(-1，-2，-3)=(-1，2，-2)，∴²=(-2)³(-1)+1³2+2³(-2)=2+2-4=0. ∴AB ⊥AC .∴三角形ABC 是直角三角形.(三)5.解：如答图9-6-2所示，建立空间直角坐标系A 一xyz ，设P （0，0，z ），D （0，a ，0），Q （1，y ，0），则=(1，y ，-z)，=(-1，a-y ，0)，且⊥. ∴PQ ²QD -1+y(a-y)=0⇒y 2-ay+1=0.∴△=a 2-4.当a ＞2时，△＞0，存在两个符合条件的Q 点； 当a ＝2时，△＝0，存在惟一一个符合条件的Q 点； 当a ＜2时，△＜0，不存在符合条件的Q 点. (1)当Q 点惟一时，由5题知，a=2，y=1.∴B(1，0，0)，BP =(-1，0，z)，QD =(-1，1，0).∴cos<BP ，QD ||||QD BP ∙=2112∙+z =1010. ∴z=2.即P 在距A 点2个单位处. (四)6.老解法(纯几何解法)；用平移找到两条异面直线所成角，然后放到三角形中去求角.第(2)问用等积法求距离.新解法（向量法）：(1)如答图9-6-3所示，以O 为原点，分别以、、1OO 为O x 轴、O y 轴、O z 的正方向建立空间直角坐标系O 一xyz ，∵||=2，|=3，|A A 1|=2，E 为BC 的中点，∴A （2，0，0），O 1（0，0，2），B 1（2，3，2），E （1，3，0）. 则1AO =(-2，0，2)，E B 1=(-1，0，-2). ∴cos<1AO ，E B 1>=-1010. 则<1AO ，E B 1>=π-arccos1010. 所以直线A O 1与B 1E 所成角为arccos1010. (2)连结O D ，∵O 1D ⊥AC ，∴O D ⊥AC.设D （x ，y ，0）.由⎪⎩⎪⎨⎧=+=∙2221||||||0OA AD OD O ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=+-4)2(0322222y x y x y x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==1312,1318y x 或⎩⎨⎧==00y x (舍去) ∴点D 的坐标为(1318，1312，0). 则|O 1|=2222)132()1318(++=132862.(五)7.证明：如答图9-6-4建立直角坐标系O －xy.设A （0，a ），B （-b ，0），C （c ，0），则G(3c b +-，3a).设垂心H （0，λ），则BH =（b ，λ），AC =（c ，-a ）由BH ⊥AC ，∴²=bc-a λ=0，从而λ=abc ， 即H （0，abc ） 又D(2c b +-，0)，E(2c ，2a). 设外心O 1(2c b +-，μ)，E O 1=(2b ，2a，-μ)，AC =(c ，-a)， 由O 1E ⊥AC 知E O 1²AC =2bc -a(2a-μ)=0. ∴μ=a bc a 22-.即O 1(2cb +-，a bc a 22-).于是可得G O 1=(6cb -，a bc a 632+-)，H O 1=(2c b +-，a bc a 232+-)∴O 1=31O 1可知O 1、G 、H 三点共线，且O 1G ：GH=1：2. 四、8.(1)证明：如答图9-6-5所示，建立空间直角坐标系，得B(0，1，0)，D 1(1，0，2)，F(21，21，1)，C 1(0，0，2)，E(0，0，1).∴EF =(21，21，0)，1CC =(0，0， 2)，1BD =(1，-1，2).∴EF ²1CC =0，1BD ²EF =0.即EF ⊥CC 1，EF ⊥BD 1. 故EF 是CC 1与BD 1的公垂线.(2)解：连结ED 1，有V 1DBD E -=V DBE D -1.由(1)知EF ⊥面DBD 1.设D 1到面BDE 的距离为d ，则S△DBE²d=S 1DBD △²EF.∵AA 1=2，AB=1，∴BD=BE=ED=2，EF=22. ∴S 1DBD △=21²2²2=2，S △DBE =21²23²(2)2=23.∴d=23222=332.故点D 1到平面BDE 的距离为332.加试题：证明：如答9-6-6，以A 为原点，分别以AB 、AD 为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，则可设B （a ，0，0），D （0，b ，0），其中a 、b 均不为零.设C （c ，d ，e ），则有=（a ，0，0），=（c-a ，d ，e ），=（-c ，b-d ，-e ），＝（0，b ，0）.∵∠ABC 、∠BCD 、∠CDA 都是直角，∴AB ²BC =a(c-a)=0，BC ²CD =0，CD ²AD =b （b-d ）=0.则e=0.这说明C 在平面ABD 内，即四边形ABCD 是平面四边形.又它的四个角都是直角，故四边形ABCD 是矩形.。
高二数学空间向量的坐标运算知识精讲
高二数学空间向量的坐标运算【本讲主要内容】空间向量的坐标运算空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，空间向量平行，垂直的坐标表示形式。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 空间直角坐标系（1）单位正交基底，空间直角坐标系，右手直角坐标系（2）坐标：在空间直角坐标系O-xyz 中，对空间任一点A ，对应一个向量OA →，于是存在唯一的有序实数组x 、y 、z ，使OA xi yj zk =++，则实数组（x ，y ，z ）叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标。
2. 向量的直角坐标运算设a a a ab b b b ==()()123123，，，，，则a b a b a b a b +=+++()112233，，a b a b a b a b -=---()112233，，a b a b a b a b ⋅=++112233a b a b a b a b R //⇔===∈112233λλλλ，，，或a b a b a b 112233==a b a b a b a b ⊥⇔++=11223303. 夹角和距离公式（1）夹角公式：设a a a ab b b b ==()()123123，，，，，则cos <>=++++⋅++a b a b a b a b a a a b b b ，112233122232122232（2）距离公式：设A x y z B x y z ()()111222，，，，， 则d x x y y z z AB =-+-+-()()()122122122（3）平面的法向量：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a ⊥α。
如果 a ⊥α，那么向量a 叫做平面α的法向量。
【解题方法指导】1. 在证明线线平行时，利用a b a b //⇔=λ即()()a a a b b b 123123，，，，=λλλ，在证明线面平行或面面平行时，需转化为线线平行问题。
3第三讲 空间向量的坐标运算-学生版
第三讲空间向量的坐标运算【基础知识】一、空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j,k},以点O为原点,分别以i, j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i, j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分.二、空间点的坐标表示在空间直角坐标系Oxyz中,i, j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量OA,且点A的位置由向量OA唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA=x i+y j+z k.在单位正交基底{i,j,k}下与向量OA对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A 的竖坐标.三、空间向量的坐标表示在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a.作OA=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=x i+y j+z k.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z).四、空间向量常用结论的坐标表示设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3).1.建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标;2.求出直线的方向向量;3.证明两向量共线;4.说明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上,即表示方向向量的 有向线段不共线,即可得证. 六、证明两直线垂直的步骤:1.根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标;2.根据所求点的坐标求出两直线方向向量的坐标;3.计算两直线方向向量的数量积为0;4.由方向向量垂直得到两直线垂直. 七、求两异面直线夹角的步骤1.求异面直线a ,b 上的方向向量的坐标:a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2);2.利用公式cos<a ,b >= 求解;3.设异面直线a ,b 所成的角为θ,则cos θ=|cos<a ,b >|.【考点讲解】考点一：求点的坐标例1．已知空间点(3,1,4)P --，则点P 关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A ．(3,1,4)--- B ．(3,1,4)-- C ．(3,1,4)-D ．(3,1,4)考点二：求向量的坐标例2．给定空间三个点()1,1,2A ､()3,7,1B -､()5,4,0C . (1)求以向量AB ､AC 为一组邻边的平行四边形的面积S ； (2)求与向量AB ､AC 都垂直的单位向量a .考点三：线性运算的坐标表示例3．已知向量()3,2,5a =-，()1,5,1b =-，则3a b -=（ ） A ．8,11(),14-B ．9,3(),15-C ．10,1(),16-D ．(0,13,2)考点四：数量积运算的坐标表示例4．（多选）已知空间向量()1,1,1a =，()1,0,2b =-，则下列正确的是（ ） A ．()0,1,3a b +=B ．3a =C ．2a b ⋅=D ．a <，4b π→>=考点五：求长度或距离例5．空间两点()1,2,3A 、()2,0,5B 之间的距离为______．考点六：求角度例6．已知()cos ,1,sin a αα=-，()sin ,1,cos b αα=-，则向量a b +与a b -的夹角为（ ） A ．90° B ．60°C ．30°D ．0°考点七：根据平行或垂直求参数的值例7.已知点(2,0,2)A -，(1,1,2)B -，(3,0,4)C -，设a AB =，b AC =． (1)求a ，b 夹角的余弦值．(2)若向量ka b +，2ka b -垂直，求k 的值． (3)若向量a b λ-，a b λ-平行，求λ的值．【课堂练习】1.已知向量(2,1,3),(,2,6)a b x →→=-=-，若a b →→⊥，则实数x 的值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．102.若向量()1,,0a λ=，(2,1,2)b =-且a 与b 的夹角余弦值为23，则实数λ等于（ ） A ．0B ．－43C ．0或－43D ．0或433.平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()11,2,3,1,2,4AC C =-，则点1A 的坐标为（ ） A ．()0,4,7B ．()2,0,1-C ．()2,0,1-D ．()2,0,14. （多选）已知平面{}00P n P P α=⋅=，其中点0P 是平面α内的一定点，n 是平面α的一个法向量，若0P 坐标为()2,3,4，()1,1,1n =，则下列各点中在平面α内的是（ ） A ．()1,3,5B ．()4,3,2C ．()2,3,8-D ．()2,3,8-5. （多选）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,P Q R 分别在111,,AB CC D A 上，并满足111(01)1D R AP CQ a a PB QC RA a===<<-，设1,,AB i AD j AA k ===，设PQR ∆的重心为G ，下列说法正确的是（ ）A ．向量,,i j i j k +-可以构成一组基底B ．当12a =时，111j+333DG i k =-C ．当13a =时，PQ 在平面1ADD ．对任意实数a ，总有0RG DG ⋅=6.已知空间三点A (1，-1，-1)，B (-1，-2，2)，C (2，1，1)，则AB 在AC 上的投影向量的模是______.7.设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a 满足对任意的,,x y a xi y j --的最小值是2，则3a k +的最小值是_________．8.已知空间中三点(),1,2A m -，()3,1,4B -，()1,,1C n -． (1)若A ，B ，C 三点共线，求m n +的值；(2)若AB ，BC 的夹角是钝角，求m n +的取值范围．【课后练习】1.若点(2,5,1)A --，(1,4,2)B ---，(3,3,)C m n +-在同一条直线上，则m n -=（ ） A ．21B ．4C ．-4D ．102.已知直线2,l l l 的方向向量分别为()()1,4,2,2,1,a b m =-=-，若12l l ⊥，则m 等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33.设,x y ∈R ，向量(,1,1),(1,,1),(2,4,2)a x b y c ===-，且,a c b c ⊥∥，则||x y +=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44.已知(1,0,1)a =，(,1,2)b x =，且3a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．60︒B ．120︒C ．30D ．150︒5. （多选）对于非零空间向量a ，b ，c ，现给出下列命题，其中为真命题的是（ ） A ．若0a b ⋅<，则a ，b 的夹角是钝角 B ．若()1,2,3a =，()1,1,1b =--，则a b ⊥ C ．若a b b c ⋅=⋅，则a c =D ．若()1,0,0a =，()0,2,0b =，()0,0,3c =，则a ，b ，c 可以作为空间中的一组基底 6．（多选）已知空间向量()2,1,1a =--，()3,4,5b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()2//a b a + B ．53a b = C ．()56a a b ⊥+D ．a 与b 夹角的余弦值为7．（多选）已知空间中三点()0,1,0A ，()1,2,0B ，()1,3,1C -，则正确的有（ ） A ．AB 与AC 是共线向量 B ．AB 的单位向量是()1,1,0C ．AB 与BC 夹角的余弦值是D ．平面ABC 的一个法向量是()1,1,3-8. 平面α经过点()0,0,2A 且一个法向量()1,1,1n =--，则平面α与x 轴的交点坐标是______．9．已知()1,1,2A -，()1,0,1B -．设D 在直线AB 上，且2AD DB =，设1,,13C λλλ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，若CD AB ⊥，则实数λ=______．10.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：,,i j k 分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x 轴､y 轴､z 轴）正方向的单位向量，若向量n xi yj zk =++，则n 与有序实数组（x ，y ，z ）相对应，称向量n 的斜60°坐标为[x ，y ，z ]，记作[,,]n x y z =. (1)若[]1,2,3a =，[1,1,2]b =-，求a b +的斜60°坐标；(2)在平行六面体11ABCD ABC D -中，AB =AD =2，AA 1=3，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=，如图，以{}1,,AB AD AA 为基底建立“空间斜60°坐标系”.①若1BE EB =，求向量1ED 的斜60坐标； ①若[]2,,0AM t =，且1AM AC ⊥，求AM .。
高中数学选择性必修一课件：空间向量运算的坐标表示
探究 1 求空间某点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点． (1)当向量的始点为原点时，向量的坐标即为终点的坐标．如O→P＝3，32，－2 (其中 O 为原点)，则 P3，32，－2. (2)当向量的始点不为原点时，求终点坐标需将位置向量加上始点坐标．例如， A→P＝3，32，－2，A(2，－1，2)，则 P 的坐标为3＋2，32－1，－2＋2，即 P5，12，0.
【解析】 a⊥b⇔λ2＋1－2＝0，解得 λ＝±1.
故 λ＝1 是 a⊥b 的充分不必要条件．
(3)在空间直角坐标系中，若向量 a＝(－2，1，3)，b＝(1，－1，1)，c＝
1，－12，－32，则它们之间的关系是( A )
A．a⊥b 且 a∥c
B．a⊥b 且 a⊥c
C．a∥b 且 a⊥c
D．a∥b 且 a∥c
要点 3 设 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P→1P2＝O→P2－ O→P1＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
于是|P→1P2|＝ P→1P2·P→1P2 ＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2. P1P2＝|P→1P2|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2. 这就是_____空_间__两_点__间_的__距_离__公_式________．
题型三 夹角和距离的计算
例 4 在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是 D1D，BD 的 中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝14CD，H 为 C1G 的中点，应用空间向量方法求解 下列问题．
(1)求证：EF⊥B1C； (2)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值； (3)求 FH 的长．
要点 2 当 b≠0 时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝ a·a＝ a12＋a22＋a32； cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝ a12＋aa12b21＋＋aa322b2b＋12a＋3bb322＋b32.
高中数学3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的坐标表示1数学
3．1.4 空间向量的坐标表示[对应学生用书P56]空间向量的坐标表示在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系(如图)，在x轴，y轴，z 轴上分别取三个单位向量i，j，k.AD.问题1：用i，j，k表示AC，1AD＝j＋k.提示：AC＝i＋j，1AC＝x i＋y j＋z k，则x，y，z为多少？与点C1的坐标有什么关系？问题2：若1AC＝i＋j＋k，提示：∵1∴x＝1，y＝1，z＝1，(x，y，z)＝(1,1,1)与C1的坐标相同．在空间直角坐标系O－xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i、j、k 作为基向量．对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使a＝x i＋y j＋z k，有序实数组(x，y，z)叫做向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作a＝(x，y，z).空间向量的坐标运算这三个力为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 000 3 N.问题1：若以F1，F2，F3的方向分别为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？提示：F＝(3 000,2 000,2 0003)．问题2：巨石受到的合力有多大？提示：|F|＝5 000 N.1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R.2．空间向量平行的坐标表示为a∥b(a≠0)⇔b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R)．3．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．1．确定空间向量的坐标的方法：(1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两端点的坐标．(2)通过向量间的坐标运算求得新向量的坐标．2．空间向量的坐标运算：(1)向量的加减等于对应坐标的加减，其结果仍是向量．(2)向量与实数相乘等于实数与其坐标分别相乘，其结果仍是向量．[对应学生用书P57] 空间向量的坐标表示[例1] AB 、PC 的中点，并且PA ＝AB ＝1.求向量MN 的坐标．[思路点拨] 以AB 、AD 、AP 为单位正交基底建立空间直角坐标系，用AB 、AD 、AP 表示MN ，得其坐标．[精解详析]∵PA ＝AB ＝AD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， ∴AB 、AD 、AP 是两两垂直的单位向量．设AB ＝e 1，AD ＝e 2，AP ＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A －xyz .法一：∵MN ＝MA ＋AP ＋PN ＝－12AB ＋AP ＋12PC ＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AC ) ＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AB ＋AD ) ＝12AP ＋12AD ＝12e 2＋12e 3， ∴MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12. 法二： 如图所示，连结AC 、BD 交于点O .则O 为AC 、BD 的中点．∴MO ＝12BC ＝12AD ，ON ＝12AP ，∴MN ＝MO ＋ON ＝12AD ＋12AP ＝12e 2＋12e 3， ∴MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12. [一点通] 用坐标表示空间向量的解题方法与步骤：1.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E ，F 分别为BB 1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出1DB ，DE ，DF 的坐标．解：设x 、y 、z 轴的单位向量分别为e 1，e 2，e 3，其方向与各轴上的正方向相同，则1DB ＝DA ＋AB ＋1BB＝2e 1＋2e 2＋2e 3，∴1DB ＝(2,2,2)．∵DE ＝DA ＋AB ＋BE ＝2e 1＋2e 2＋e 3，∴DE ＝(2,2,1)．又∵DF ＝e 2，∴DF ＝(0,1,0)．2.在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO 、1A B 的坐标．解：(1)∵DO ＝－OD ＝－(1OO ＋1O D )＝－[1OO ＋12(＋)] ＝－1OO －12－12. 又|1OO |＝4，||＝4，||＝2，∴DO ＝(－2，－1，－4)．(2)∵1A B ＝－1OA ＝－(＋1AA )＝－－1AA .又||＝2，||＝4，|1AA |＝4，∴1A B ＝(－4,2，－4)．3．已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标是(2,3，－1)，求p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标．解：由已知p ＝2a ＋3b －c ，设p ＝x a ＋y (a ＋b )＋z (a ＋b ＋c )＝(x ＋y ＋z )a ＋(y ＋z )b ＋z c .由向量分解的惟一性，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋z ＝2，y ＋z ＝3，z ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，z ＝－1. ∴p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标为(－1,4，－1). 空间向量的坐标运算[例2] 已知a 求：a ＋b ，a －b,3a ＋2b .[思路点拨] 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似．[精解详析] a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1＋(－1)，－2＋4)＝(2，－2,2)．a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)．3a ＋2b ＝3(2，－1，－2)＋2(0，－1,4)＝(6，－3，－6)＋(0，－2,8)＝(6，－5,2)．[一点通] 空间向量的加、减、数乘运算是今后利用向量知识解决立体几何知识的基础，必须熟练掌握，并且能够灵活应用．4．已知a ＝(1，－2,4)，b ＝(1,0,3)，c ＝(0,0,2)．求：(1)a －(b ＋c )；(2)4a －b ＋2c .解：(1)∵b ＋c ＝(1,0,5)，∴a －(b ＋c )＝(1，－2,4)－(1,0,5)＝(0，－2，－1)．(2)4a －b ＋2c ＝(4，－8,16)－(1,0,3)＋(0,0,4)＝(3，－8,17)．5．已知O 为原点，A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为：A (2，－4,1)，B (3，2,0)，C (－2,1,4)，D (6,3,2)，求满足下列条件的点P 的坐标．(1)＝2(AB －AC )；(2)AP ＝AB －DC .解：(1)AB －AC ＝＝(3,2,0)－(－2,1,4)＝(5,1，－4)，∴＝2(5,1，－4)＝(10,2，－8)，∴点P 的坐标为(10,2，－8)．(2)设P (x ，y ，z )，则AP ＝(x －2，y ＋4，z －1)，又AB ＝(1,6，－1)，DC ＝(－8，－2,2)，∴AB －DC ＝(9,8，－3)，∴(x －2，y ＋4，z －1)＝(9,8，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝9，y ＋4＝8，z －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝11，y ＝4，z ＝－2.所以点P 的坐标为(11,4，－2). 空间向量的平行[例3] ，－1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)，求证：四边形ABCD 是一个梯形．[思路点拨] 证明AB ∥且AD 不平行BC ，或证AB ∥且|AB |≠||即可．[精解详析] ∵AB ＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)， ∴－24＝3－6＝－36， ∴AB 与共线，即AB ∥CD ，又∵AD ＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，BC ＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，∴0－2≠－4－1≠1－2，∴AD 与BC 不平行．∴四边形ABCD 为梯形．[一点通]利用空间向量的坐标运算证明线线平行时，应该遵循的步骤是：(1)建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标；(2)写出相应向量的坐标；(3)证明两个向量平行；(4)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一向量所在的直线上，从而证得线线平行．6．设a ＝(1,2，－1)，b ＝(－2,3,2)．若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k 的值．解：∵k a ＋b ＝(k,2k ，－k )＋(－2,3,2)＝(k －2,2k ＋3,2－k )，a －3b ＝(1,2，－1)－(－6,9,6)＝(7，－7，－7)．∵(k a ＋b )∥(a －3b )，∴k －27＝2k ＋3－7＝2－k－7，∴k ＝－13. 7.如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2PA 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q 、R分别是棱O 1B 1、AE 的中点．求证：PQ ∥RS .证明：如图，建立空间直角坐标系，则A (3,0,0)，B (0,4,0)，O 1(0,0,2)，A 1(3,0,2)，B 1(0,4,2)．∵PA ＝2PA 1，SB 1＝2BS ，Q 、R 分别是棱O 1B 1、AE 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，43，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S ⎝⎛⎭⎪⎫0，4，23. 于是PQ ＝⎝⎛⎭⎪⎫－3，2，23＝.∴PQ ∥. ∵R ∉PQ ，∴PQ ∥RS .1．运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标；(3)写出向量的坐标；(4)结合公式进行论证、计算；(5)转化为几何结论．2．用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．[对应课时跟踪训练(二十一)]1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝________.解析：b ＝a －(a －b )＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．答案：(2，－4,2)2．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1,3)，其中a ＝4i ＋2j ，b ＝2j ＋3k ，c ＝3k －j ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为________．解析：由题意知点A 对应向量为2a ＋b ＋3c ＝2(4i ＋2j )＋(2j ＋3k )＋3(3k －j )＝8i ＋3j ＋12k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(8,3,12)．答案：(8,3,12)3．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,0，λ)，若a 、b 、c 三个向量共面，则实数λ＝________.解析：由a 、b 、c 共面可得c ＝x a ＋y b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7＝2x －y ，0＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y ，解得λ＝10.答案：104．已知a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a ∥b ，则x ＝_______________， y ＝________.解析：∵a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，又∵a ∥b ，显然y ≠0，∴2x 1＝1－2y ＝39， ∴x ＝16，y ＝－32. 答案：16 －325．已知点A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点，且AC ＝13AB ，则C 点坐标为________．解析：设C 点坐标(x ，y ，z )，则AC ＝(x －4，y －1，z －3)．∵AB ＝(－2，－6，－2)，∴13AB ＝13(－2，－6，－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－2，－23， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －4＝－23，y －1＝－2，z －3＝－23.解得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝103，y ＝－1，z ＝73.答案：(103，－1，73) 6．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA ＝AD ＝1，试建立适当的坐标系并写出向量MN ，DC 的坐标．解：如图，因为PA ＝AD ＝AB ＝1，且PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，所以可设AD ＝e 1，AB ＝e 2，AP ＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A xyz .因为DC ＝AB ＝e 2， MN ＝MA ＋AP ＋PN ＝MA ＋AP ＋12PC＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AD ＋DC ) ＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3＋e 1＋e 2)＝12e 1＋12e 3. 所以MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，DC ＝(0,1,0)． 7．已知A 、B 、C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)、(－2,2,3)．求点P 的坐标，使：(1)＝12(AB －AC )； (2)AP ＝12(AB －AC )．解：AB ＝(2,6，－3)，AC ＝(－4,3,1)．(1)＝12(6,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2， 则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2. (2)设P 为(x ，y ，z )，则AP ＝(x －2，y ＋1，z －2) ＝12(AB －AC )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2， ∴x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，0. 8. 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，点P 是线段BD 1上一动点，E 是BC 的中点，当点P 在什么位置时，PE ∥A 1B?解：以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A 1(4,0,3)，B (4,4,0)，C (0,4,0)，D 1(0，0,3)．∵E 为BC 的中点，∴E (2,4,0)．∴1A B ＝(4,4,0)－(4,0,3)＝(0,4，－3)，1BD ＝(0,0,3)－(4,4,0)＝(－4，－4,3)， EB ＝(4,4,0)－(2,4,0)＝(2,0,0)．设BP ＝λ1BD ，则EP ＝EB ＋BP ＝EB ＋λ1BD . ∵EB ＝(2,0,0)，λ1BD ＝(－4λ，－4λ，3λ)， ∴EP ＝(2－4λ，－4λ，3λ)．由PE ∥A 1B ，得EP ∥1A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2－4λ＝0，－4λ4＝3λ－3. ∴λ＝12. 此时点P 为BD 1的中点．故当点P 为BD 1的中点时，PE ∥A 1B .。
点线距离空间向量求法
点线距离空间向量求法设点A坐标（x1，y1）直线方程：ax+by+c=0A到直线的距离=|ax1+by1+c|÷√（a²+b²）直线Ax+By+C=0 坐标（Xo，Yo）那么这点到这直线的距离就为：公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
先在空间直线上任意取一个点B（x2，y2，z2)作出AB的向量（x2-x1，y2-y1，z2-z1)直线的方向向量为（m，n，p)算出方向向量和AB向量所在平面的法向量。
计算出法向量的模：S1=根号下（a平方+b平方+c平方）计算出原直线方向向量的摸S2=根号下（m平方+n平方+p平方）空间中点到直线的距离D=S1/S2点到直线距离是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度。
证：根据定义，点P(x₀,y₀)到直线l：Ax+By+C=0的距离是点P到直线l的垂线段的长。
设点P到直线的垂线为l'，垂足为Q，则l'的斜率为B/A则l'的解析式为y-y₀=(B/A)(x-x₀)把l和l'联立得l与l'的交点Q的坐标为((B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2), (A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2))由两点间距离公式得PQ^2=[(B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2+[(A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2=[(-A^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)]^2+[(-ABx₀-B^2y₀-BC)/(A^2+B^2)]^2=[A(-By₀-C-Ax₀)/(A^2+B^2)]^2+[B(-Ax₀-C-By₀)/(A^2+B^2)]^2=A^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2+B^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2=(A^2+B^2)(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2=(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)所以PQ=|Ax₀+By₀+C|/√(A^2+B^2)，公式得证。
空间直角坐标系空间向量及其运算
【名师说“法”】
空间共线向量定理、共面向量定理的应用
三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面
P→A＝λP→B
M→P＝xM→A＋yM→B
对空间任一点 O，O→P＝ 对空间任一点 O，O→P＝O→M＋
O→A＋tA→B
xM→A＋yM→B
三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面
[解析] 因为 α⊥β，所以两个平面的法向量也垂直，因此 (－1,3,4)·(x,1，－2)＝0，即 x＝－5.
[答案] －5
5．已知空间三点 A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则A→B
与C→A的夹角 θ 的大小是________．
[解析] 由题意知A→B＝(－2，－1,3)，C→A＝(－1,3，－2)，故
[答案] C
角度二 利用数量积求长度 2．如图，在 60°的二面角 α、l、 β 的棱 上有两点 A，B，点 C，D 分别在 α，β 内， 且 AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝AB＝1，则 CD 的长度为 ______________．
2
O→M)＝12(O→B＋O→C－O→A)＝12(b＋c－a)．
[答案]
12(b＋c－a)
3．如图所示，已知空间四边形 OABC，其
对角线为 OB、AC，M、N 分别为 OA、BC 的中
点，点 G 在线段 MN 上，且M→G＝2G→N，若O→G＝
x
→ OA
＋
y
→ OB
＋
z
→ OC
，
则
x，y，z
的值分别为
平行于同一个__平__面____的向量
0
a＝b a的相反向 量为－a
a∥b
空间向量的坐标运算
g3.1064空间向量的坐标运算一．知识回顾：（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令=(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b =，则),,(332211b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a ++=⋅∥)(,,332211R b a b a b a ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔ 0332211=++⇔⊥b a b a b a222321a a a ++==(=⋅=)232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a ba b a ++⋅++++=⋅⋅>=< ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥a 那么向量叫做平面α的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α||n ②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）. ③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.AB二．基础训练：1． 已知(cos ,1,sin ),(sin ,1,cos )a b θθθθ==，则向量a b +与a b -的夹角是 （） ()A90 ()B60 ()C30 ()D 02．已知(1,1,),(2,,)a t t t b t t =--=，则||a b -的最小值是 （ ）()A 5()B 5 ()C 5()D 1153．已知ABCD 为平行四边形，且(4,1,3),(2,5,1),(3,7,5)A B C --，则点D 的坐标为_____.4．设向量(1,3,2),(4,6,2),(3,12,)a b c t =-=-=-，若c ma nb =+，则t = ，m n += 。
高中数学教(学)案第6讲：空间向量的坐标运算
题目 第九章(B)直线、平面、简单几何体空间向量的坐标运算高考要求要使学生理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、点乘的坐标表示以及两点间的距离、夹角公式通过解题，会应用空间向量的坐标运算解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题 知识点归纳1空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 3．空间向量的直角坐标运算律： （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则21||a a a a =⋅=+21||b b b b =⋅=+5．夹角公式：21cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+． 6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB ==或,A B d =题型讲解例1 已知AB =（2，2，1），AC =（4，5，3），求平面ABC 的单位法向量 解：设面ABC 的法向量(,,)n x y z =，则n ⊥且n ⊥，即n ·=0，且n ·=0，即2x +2y +z=0且4x +5y +3z=0，解得1,2,x z y z ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴n =z （21，－1，1），单位法向量0||n n n ==±（31，－32，32） 点评：一般情况下求法向量用待定系数法由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把n 的某个坐标设为1，再求另两个坐标平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解例2 已知A （3，2，1）、B （1，0，4），求： （1）线段AB 的中点坐标和长度；（2）到A 、B 两点距离相等的点P （x ，y ，z ）的坐标满足的条件 解：（1）设P （x ，y ，z ）是AB 的中点，则OP =21（OA +OB ）=21［（3，2，1）+（1，0，4）］=（2，1，25），∴点P 的坐标是（2，1，25），d AB =222)14()20()31(-+-+-=17 （2）设点P （x ，y ，z ）到A 、B 的距离相等，则222)1()2()3(-+-+-z y x =222)4()1(-++-z y x化简得4x +4y －6z +3=0（线段AB 的中垂面方程，其法向量的坐标就是方程中x,y,z 的系数），即为P 的坐标应满足的条件点评：空间两点P 1（x 1，y 1，z 1）、P 2（x 2，y 2，z 2）的中点为（221x x +，221y y +，221z z +），且|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-例3 棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面P AC ？解：以D 为原点建立如图所示的坐标系，设存在点P （0，0，z ），AP =（－a ，0，z ）， AC =（－a ，a ，0），1DB =（a ，a ，a ）， ∵B 1D ⊥面P AC ，∴1DB ·AP =0，1DB ·AC =0∴－a 2+az =0∴z =a ，即点P 与D 1重合∴点P 与D 1重合时，DB 1⊥面P AC例 4 在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，AC =2，BC =13，SB =29（1）求证：SC ⊥BC ；（2）求SC 与AB 所成角的余弦值解法一：如图，取A 为原点，AB 、AS 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系，则有AC =2，BC =13，SB =29， 得B （0，17，0）、S （0，0，23）、C （21713，174，0）， ∴SC =（21713，174，－23），CB =（－21713，1713，0） （1）∵SC ·CB =0，∴SC ⊥BC （2）设SC 与AB 所成的角为α，∵AB =（0，17，0），SC ·AB =4，|SC || AB |=417，∴cos α=1717，即为所求 解法二：（1）∵SA ⊥面ABC ，AC ⊥BC ，AC 是斜线SC 在平面ABC 内的射影，∴SC ⊥B C （2）如图，过点C 作CD ∥AB ，过点A 作AD ∥BC 交CD 于点D ，连结SD 、SC ，则∠SCD 为异面直线SC 与AB 所成的角∵四边形ABCD 是平行四边形，CD =17，SA =23，SD =22AD SA +=1312+=5，∴在△SDC 中，由余弦定理得cos ∠SCD =1717，即为所求 点评：本题（1）采用的是“定量”与“定性”两种证法题（2）的解法一应用向量的数量积直接计算，避免了作辅助线、平移转化的麻烦，但需建立恰当的坐标系；解法二虽然避免了建系，但要选点、平移、作辅助线、解三角形例5 如图，直棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点 （1）求BN 的长；（2）求cos 〈1BA ，1CB 〉的值；（3）求证：A 1B ⊥C 1M（1）解：如图建立坐标系，依题意得B （0，1，0），N （1，0，1）， ∴｜BN ｜=222)01()10()01(-+-+-=3（2）解：A 1（1，0，2），B （0，1，0），C （0，0，0），B 1（0，1，2）， ∴1BA =（1，－1，2），1CB =（0，1，2）， ∴1BA ·1CB =3，｜1BA ｜=6，｜1CB ｜=5 ∴cos 〈1BA ，1CB 〉=1111||||BA CB BA CB ⋅=1030（3）证明：∵C 1（0，0，2），M （21，21，2）， ∴1A B =（－1，1，－2），1C M =（21，21，0），∴1A B ·1C M =0，∴A 1B ⊥C 1M例6 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点 （1）证明AD ⊥D 1F ； （2）求AE 与D 1F 所成的角； （3）证明面AED ⊥面A 1D 1F 解：取D 为原点，DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，取正方体棱长为2， 则A （2，0，0）、A 1（2，0，2）、 D 1（0，0，2）、E （2，2，1）、F （0，1，0）（1）∵DA ·1D F =（2，0，0）·（0，1，－2）=0，∴AD ⊥D 1F （2）∵AE ·1D F =（0，2，1）·（0，1，－2）=0，∴AE ⊥D 1F ，即AE 与D 1F 成90°角（3）∵DE ·1D F =（2，2，1）·（0，1，－2）=0，∴DE ⊥D 1F ∵AE ⊥D 1F ，∴D 1F ⊥面AE D ∵D 1F 面A 1D 1F ，∴面AED ⊥面A 1D 1F点评：①通过建立空间直角坐标系，点用三维坐标表示，向量用坐标表示，进行向量的运算，轻而易举地解决立体几何问题，不需要添加辅助线一个需要经过严密推理论证的问题就这样被简单机械的运算代替了②本题是高考题，标准答案的解法较为复杂，而运用代数向量求解则轻而易举，充分显示出代数化方法研究几何图形的优越性，这应作为立体几何复习的一个重点去掌握通过坐标法计算数量积去证垂直，求夹角、距离，是高考的重点例7 如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底边长为a,侧棱长为2a建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角分析：（1）所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算，（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量与直线所成的角，然后再求之 解：（1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a,0） A 1（0，0，2a),C 1（-23a,a 2,2a) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ，于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1则有13(,0,0)MC =-(0,,0)AB a =，1(0,02)AA a =， ∴10MC AB ⋅=，110MC AA ⋅=，所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1因此，AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角13(,2)22a AC a a =-，(0,2)2aAM a =， ∴2194a AC AM ⋅=,而|13||3,||2AC a AM a ==由cos<1,AC AM >=113||||AC AM AC AM ⋅=,∴ <1,AC AM >=30°解法二： 13(,2)22aAC a a =-， A BCA 1B 1C 1MzyxA BCA 1B 1C 1Mzyx平面ABB 1A 1的一个法向量(1,0,0)n =- ∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角θ的正弦为：1sin cos ,AC n θ=<>=1112||||AC n AC n ⋅=∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°例8 棱长为2的正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，E 、F 分别是C 1C 和D 1A 1的中点，（1）求EF 长度；（2）求<,AB EF >；3）求点A 到EF 的距离分析：一般来说，与长方体的棱或棱上的点有关的问题，建立空间直角坐标系比较方便，适当建立坐标系后，正确地写出相关点的坐标及向量然后进行运算即可得解 解：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴， y 轴，z 轴建立直角坐标系，则A （2，0，0），B （2，2，0）， E （0，2，1），F （1，0，2） 由此可得：AB =（0，2，0），EF =（1，-2，1）FA =（1，0，-2），|AB |=2，|FA |=5，AB EF ⋅= - 4, FA EF ⋅=1-2=-1， 所以（1）||EF =6 （2）c os<,AB EF >=||||AB EFAB EF ⋅=-36,所以<,AB EF >=π-arcc os 36 (3)FA 在EF 上的射影的数量FA c os<,FA FE >=||FA FE FE ⋅=61∴ A 到EF 的距离21||(6FA -= 点评：点到直线的距离的向量求法，就是先求出该点与直线上某点连线在直线上的射影，再用勾股定理求对应的距离例9 平面ABCD ⊥平面ABEF ，ABCD 是正方形，ABEF 是矩形，且,21a AD AF ==G 是EF 的中点，（1）求证平面AGC ⊥平面BGC ；（2）求GB 与平面AGC 所成角正弦值； （3）求二面角B —AC —G 的大小解：如图，以A 为原点建立直角坐标系， 则A （0，0，0），B （0，2a ，0），C （0，2a ，2a ）， G （a ，a ，0），F （a ，0，0）（1）证明：(,,0),(0,2,2)AG a a AC a a ==，(,,0),(0,0,2)BG a a BC a =-=，设平面AGC 的法向量为111(,,1)n x y =， 设平面BGC 的法向量为222(1,,)n y z =，∴120n n ⋅= 即 12n n ⊥ ∴平面AGC ⊥平面BGC ； （2）由⑴知平面AGC 的法向量为1(1,1,1)n =-(,,0),(0,0,2)BG a a BC a =-=，∴||sin ||||2BG n BG n a θ⋅===⋅⋅（3）因1(1,1,1)n =-是平面AGC 的法向量，又AF ⊥平面ABCD ， 平面ABCD 的法向量(,0,0)AF a =， 得11|||cos |||||3n AF n AF θ⋅===⋅∴二面角B —AC —G 的大小为求平面法向量的另一种方法：由 A （0，0，0），B （0，2a ，0），C （0，2a ，2a ）， G （a ，a ，0），F （a ，0，0） 设平面AGC 的方程为：11110A x B y C z D +++=则11111111111111111111100000000,002200A B C D D A a B a C D A B A C B D A aB aC D B C +++==⎧⎧⎪⎪+++=⇒+=⇒==-=⎨⎨⎪⎪+++=+=⎩⎩ ∴平面AGC 的法向量为11111(,,)(1,1,1)n A B C A ==- 设平面BGC 的方程为：22220A x B y C z D +++=则222222222222222222222220200200220220,0000A aBCD aB D A aB aC D aB aC D B A C aA aB C D aA aB D +++=+=⎧⎧⎪⎪+++=⇒++=⇒==⎨⎨⎪⎪+++=++=⎩⎩∴平面BGC 的法向量为12222(,,)(1,1,0)n A B C A ==点评：①平面平行于哪一个轴，其法向量的对应坐标就是0；②平面经过原点时平面方程中的常数项等于0； ③平面法向量的两种求法的区别 小结：1运用空间向量的坐标运算解决几何问题时，首先要恰当建立空间直角坐标系，计算出相关点的坐标，进而写出向量的坐标，再结合公式进行论证、计算，最后转化为几何结论2本节知识是代数化方法研究几何问题的基础，向量运算分为向量法与坐标法两类，以通过向量运算推理，去研究几何元素的位置关系为重点利用两个向量（非零）垂直⇔数量积为零，可证明空间直线垂直；利用数量积可计算两异面直线的夹角，可求线段的长度；运用共面向量定理可证点共面、线面平行等；利用向量的射影、平面的法向量，可求点面距、线面角、异面直线的距离等 学生练习1若a =（2x ，1，3），b =（1，－2y ，9），如果a 与b 为共线向量，则 A x =1，y =1 B x =21，y =－21 C x =61，y =－23 D x =－61，y =23解析：∵a =（2x ，1，3）与b =（1，－2y ，9）共线，故有12x=y 21-=93 ∴x =61，y =－23应选C 答案：C 2在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ）A3 B2 C1 D0 解析：P 关于x 轴的对称点为P 1（x ，－y ，－z ），关于yOz 平面的对称点为P 2（－x ，y ，z ），关于y 轴的对称点为P 3（－x ，y ，－z ）故①②③错误 答案：C3已知向量a =（1，1，0），b =（－1，0，2），且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 值是A1B51C53 D57 解析：k a +b =k （1，1，0）＋（－1，0，2）=（k －1，k ，2），2a －b =2（1，1，0）－（－1，0，2）=（3，2，－2）∵两向量垂直，∴3（k －1）＋2k －2×2=0∴k =57答案：D 4设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为A （41，41，41） B （43，43，43）C （31，31，31）D （32，32，32） 解析：∵OG =43 1OG = 43（OA +1AG ）=43OA + 43·32［21（AB +AC ）］=43OA +41［（OB －OA ）+（OC －OA ）］=41OA + 41OB + 41OC ，而OG =x OA +y OB +z OC ，∴x =41，y =41，z =41答案：A5在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成的角为Aarccos23 Barccos1010 Carccos53 Darccos 52 解：建立坐标系，把D 点视作原点O ，分别沿DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，则A （1，0，0），M （1，21，1），C （0，1，0），N （1，1，21） ∴AM =（1，21，1）－（1，0，0）=（0，21，1），CN =（1，1，21）－（0，1，0）=（1，0，21）故AM ·CN =0×1+21×0+1×21=21，|AM |=2221)21(0++= 25，|CN |=222)21(01++=25∴cos α=||||AM CNAM CN ⋅=252521⋅=52∴α=arccos 52答案：D 6已知空间三点A （1，1，1）、B （－1，0，4）、C （2，－2，3），则AB 与CA 的夹角θ的大小是_________解析：AB =（－2，－1，3），CA =（－1，3，－2）， cos 〈AB ，CA 〉=1414)2(33)1()1()2(⋅-⨯+⨯-+-⨯-=147-=－21， ∴θ=〈AB ，CA 〉=120° 答案：120°7已知点A （1，2，1）、B （－1，3，4）、D （1，1，1），若AP =2PB ，则|PD |的值是__________解析：设点P （x ，y ，z ），则由AP =2PB ，得（x －1，y －2，z －1）=2（－1－x ，3－y ，4－z ），即1,3122,8262,,3182,3,x x x y y y z z z ⎧=-⎪-=--⎧⎪⎪⎪-=-=⎨⎨⎪⎪-=-⎩=⎪⎪⎩解得则|PD |=222)13()138()131(-+-+--=377答案： 3778设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，求a 的值解：PA =（－1，－3，2），PB =（6，－1，4） 根据共面向量定理，设PC =x PA +y PB （x 、y ∈R ），则（2a －1，a +1，2）=x （－1，－3，2）+y （6，－1，4）=（－x +6y ，－3x －y ，2x +4y ），∴⎪⎩⎪⎨⎧+=--=++-=-.422,31,612y x y x a y x a 解得x =－7，y =4，a =16 另法：先求出三点确定的平面方程，然后代入求a 的值9已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，P 、Q 分别是BC 、CD 上的动点，且|PQ |=2，建立坐标系，把D 点视作原点O ，分别沿DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，（1）确定P 、Q 的位置，使得B 1Q ⊥D 1P ；（2）当B 1Q ⊥D 1P 时，求二面角C 1—PQ —A 的大小解：（1）设BP =t ，则CQ =2)2(2t --，DQ =2－2)2(2t --∴B 1（2，0，2），D 1（0，2，2），P （2，t ，0），Q （2－2)2(2t --，2，0）， ∴1QB =（2)2(2t --，－2，2），1PD =（－2，2－t ，2） ∵B 1Q ⊥D 1P 等价于1QB ·1PD =0， 即－22)2(2t --－2（2－t ）+2×2=0， 整理得2)2(2t --=t ，解得t =1此时，P 、Q 分别是棱BC 、CD 的中点，即P 、Q 分别是棱BC 、CD 的中点时，B 1Q ⊥D 1P ；（2）二面角C 1—PQ —A 的大小是π－arctan2210已知三角形的顶点是A （1，－1，1），B （2，1，－1），C （－1，－1，－2）试求这个三角形的面积解：S ABC ∆=21|AB ||AC |sin α，其中α是AB 与AC 这两条边的夹角 则S ABC ∆=21|AB ||AC |α2cos 1- =21|AB ||AC |2)||||ABAC =21在本题中，AB =（2，1，－1）－（1，－1，1）=（1，2，－2），AC =（－1，－1，－2）－（1，－1，1）=（－2，0，－3），∴|AB |2=12+22+（－2）2=9， |AC |2=（－2）2+02+（－3）2=13，AB ·AC =1·（－2）+2·0+（－2）·（－3）=－2+6=4， ∴S ABC ∆=2124139-⨯=210111证明正三棱柱的两个侧面的异面对角线互相垂直的充要条件是它的底面边长与侧棱长的比为2∶1证明：如图，以正三棱柱的顶点O 为原点，棱OC 、OB 为y 轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱底面边长与棱长分别为2a 、b ，则A （3a ，a ，b ）、B （0，0，b ）、C （0，2a ，0）因为异面对角线OA ⊥BC ⇔·BC =0⇔（3a ，a ，b ）·（0，2a ，－b ）=2a 2－b 2=0⇔b =2a ，即2a ∶b =2∶1，所以OA ⊥BC 的充要条件是它的底面边长与侧棱长的比为2∶112如图，ABCD 是边长为a 的菱形，且∠BAD =60°，△P AD为正三角形，且面P AD ⊥面ABCD（1）求cos 〈，〉的值；（2）若E 为AB 的中点，F 为PD 的中点，求||的值；（3）求二面角P —BC —D 的大小 解：（1）选取AD 中点O 为原点，OB 、AD 、OP 所在直线A分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，－2a，0），B （23a ，0，0），P （0，0，23a ），D （0，2a，0） ∴AB =（23a ，2a ，0），PD =（0，2a，－23a ），则cos 〈AB ，PD 〉=||||AB PDAB PD⋅00()a a +⨯+⨯41（2）∵E 、F 分别为AB 、PD 的中点， ∴E （43 a ，－4a ，0），F （0，4a ，43a ） 则|EF=410a （3）∵面P AD ⊥面ABCD ，PO ⊥AD ，∴PO ⊥面ABCD∵BO ⊥AD ，AD ∥BC ，∴BO ⊥BC 连结PB ，则PB ⊥BC ，∴∠PBO 为二面角P —BC —D 的平面角 在Rt △PBO 中，PO =23a ，BO =23a ， ∴tan ∠PBO =BO PO =a a2323=1则∠PBO =45°故二面角P —BC —D 的大小为45° 课前后备注。
空间向量之立体几何建系和求点坐标(共24张PPT)
xOy面内D yOz面内E zOx面内F
坐标形式 (x,y,0)
(0,y,z)
(x,0,z)
基础知识：
2、空间中在底面投影为特殊位置的点：
如果 A' x1, y1, z 在底面的投影为 A x2, y2,0 ，那么x1 x2, y1 y2
（即点与投影点的横纵坐标相同） 由这条规律出发，在写空间中的点坐标时，可看一下在底面的
建系方法2练习2 练2.如图，已知四棱锥P ABCD的底面是菱形，对角线AC, BD交于点O, OA 4,OB 3,OP 4,且OP 平面ABCD,点M为PC的三等分点（靠近P）, 建立适当的直角坐标系并求各点坐标。
找“墙角”
14
建系方法2练习3
练3.如图，在等腰梯形ABCD中，AB // CD, AD DC CB 1, ABC 60,CF 平面ABCD,且CF 1,建立适当的直角坐标系 并确定各点坐标。
找“墙角”
建系方法2练习5
真题（辽宁卷）如图,AB 是圆的直径,PA 垂 直圆所在的平面,C 是圆上的点.
(1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC； (2)若 AB＝2，AC＝1，PA＝1，求证：二面
角 C－PB－A 的余弦值.
造“墙角”
建系方法3例题
三、利用面面垂直关系构建空间直角坐标系（转化为墙角模型） 例3.在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．点P、H分别是线段VC、AD的 中点．试建立空间直角坐标系并写出P、V、A、B、C、D的坐标.
互相垂直，EF // BD, ED BD, AD 2, EF ED 1, 试建立合适的 空间直角坐标系并确定各点的坐标
第一章 空间向量运算的坐标表示
问题 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公 式吗？
提示 如图，建立空间直角坐标系Oxyz，
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， P—1→P2＝O→P2－O→P1＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，
于是|P—1→P2|＝
—→ —→ P1P2·P1P2
(2)求证：CF⊥平面BDE.
证明 因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相
互垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD.
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz.
则 C(0,0,0)，A(
2， 2，0)，B(0， 2，0)，D(
2，0,0)，E(0,0,1)，F
22，
22，1.
所以C→F＝
x1－6＝3， 所以y1＋4＝－2，
z1－5＝5，
x1＝9， 解得y1＝－6，
z1＝10，
所以点C的坐标为(9，－6,10).
②求C→A·B→C； 解 因为C→A＝(－7,1，－7)，B→C＝(3，－2,5)， 所以C→A·B→C＝－21－2－35＝－58.
③若点 P 在 AC 上，且A→P＝12P→C，求点 P 的坐标.
且GH∥BD1，
所以m－－112＝－n1＝－112， 解得 m＝1，n＝12. 所以点 H 的坐标为1，12，0，
所以点H为线段AB的中点.
反思感悟 (1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直 的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的 充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解. (2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐 标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.
空间向量点坐标求法
△AB1D1的重心G，建立适当空间直角坐标系并写
出下列点的坐标。
(1) A1 、 B1 、A、 D1；
(2) G;
射影法
z D
C
（1）A1 (2, -2, 0 ) 、 B1 (2, 2, 0 ) 、A
B
A(2,0, 2 3 )、 D1 (0, -2, 0 )
(2) G 4, 0, 2 3
3 3
A1
a
求空间直角坐标下 点的坐标的方法
广西玉林高中
1
例 在 平 行 六 面 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， 底 面 ABCD是矩形，AB=4, AD=2, 平行六面体高为 2 3 ，
a
顶点 D在底面 A1B1C1D1的 射影 O是 C1D1中 点，设 △AB1D1的重心G，建立适当空间直角坐标系并写 出下列点的坐标。
点C0到达平面外C点的位置。若 求二面角A – BD –C的大小。 60°
a
解析：如图A(1, 0, 0) B(0, 1, 0)∵ CB ⊥ DB
∴ 可设 C（x, 1, z )（ z >0)
z
∵
，
x
解得 x= ，z = ∴ C（ ,1,
y
B
11
)
如图，四面体ABCD中，CA=BC=CD= BD=2，
公式法
D1 O
C1
x
y
6
例 在 平 行 六 面 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， 底 面
ABCD是矩形，AB=4,AD=2,平行六面体高为 2 3 ，
a
顶点 D在底面 A1B1C1D1的 射影 O是 C1D1中 点，设
△AB1D1的重心G，建立适当空间直角坐标系并写
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学教材中引入了空间向量坐标运 算这一内容，使得在解决立体几何平行、 垂直、夹角、距离等问题时更加程序化， 只需代入公式进行代数运算即可，这里常 常需要首先建立空间直角坐标系，求出所 需点的坐标。
求空间直角坐标下点的坐标的方法
广西高考数学卷中立体几何大题都是 同时能用几何法与向量法这两种方法解 题的，在用向量法方面，找点坐标的难 度在逐年增大，很多学生因为求不出点 坐标又不会用几何法解题而丢分．
A1 x
B
O C1 y B1
例 在 平 行 六 面 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， 底 面
ABCD 是 矩 形 ， AB=4,AD=2, 平 行 六 面 体2高3 为 ，顶点D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中点. (4)若N为DD1上点，且ON⊥ DD1写出N坐标。
解: (4)∵D1, N, D 三点共线，可设D1NDD1
得 y= , z=
（II） arcsin
y ∴ S（1, , )
，
例2 如图，一张平行四边形的硬纸ABC0D中 ，AD=BD=1,AB=2 .沿它的对角线BD折起，
使点C0到达平面外C点的位置。若 求二面角A – BD –C的大小。 60°
解析：如图A(1, 0, 0) B(0, 1, 0)∵ CB ⊥ DB
一、投影法
将空间点P分别投影到 x轴、 y轴、z 轴 所得投影点为A(a,0,0) ,B(0,b,0),C(0,0,c)则点 P坐标为(a,b,c) 。
二、公式法 利用线段的中点坐标公式、定比分点坐
标公式、三角形的重心坐标公式、距离公式 、夹角公式等求出点的坐标。
三、向量法 利用向量相等、垂直等运算求出点坐标 。
例1. (2011广西高考题)如图，四棱锥S－ABCD中
，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形
,AB=BC=2，CD=SD=1.
（I）证明： SD⊥平面SAB ；
（II）求AB与平面SBC所成的角的大小
z
解析：（I）设S（x, y, z )(x >0, y >0, z >0)
由
x
得
又∵ 解得
△AB1D1的重心G，建立适当空间直角坐标系并写
Hale Waihona Puke 出下列点的坐标。z(3) B;
向量法
D
C
(3)设B ( x, y, z ), 则
A
B 1 B x 2 , y 2 , z ,D 1 D 0 , 2 , 2 3
又∵ B1B D1D , 比较得 x2,y4,z23
D1
∴点B坐标为 2,4,23
求空间直角坐标下点的坐标的方法
为解决求点坐标难的问题，现将在空 间直角坐标系中求点坐标的方法整理总结 ，以求能突破在空间直角坐标系中求点坐 标难的问题。如何写出或求出空间直角坐 标系下点的坐标？
例 在 平 行 六 面 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， 底 面 ABCD 是 矩 形 ， AB=4, AD=2, 平 行 六 面 体 高2 为3
B
A(2,0, 2 3 )、 D1 (0, -2, 0 )
D1 O
C1
y
(2) G 4, 0, 2 3
3 3
A1
公式法
x
B1
例 在 平 行 六 面 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， 底 面
ABCD 是 矩 形 ， AB=4,AD=2, 平 行 六 面 体2高3 为
，顶点D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中点，设
，顶点D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中点，设 △AB1D1的重心G，建立适当空间直角坐标系并写 出下列点的坐标。
(1) A1 、 B1 、A、 D1；
(2) G;
(3) B;
D A
C B
(4)若N为DD1上点，且 ON⊥ DD1写出N坐标。
D1 O
C1
A1
B1
例 在 平 行 六 面 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， 底 面
∴ 可设 C（x, 1, z )（ z >0)
z
∵
，
x
y
B
解得 x= ，z = ∴ C（ ,1, )
如图，四面体ABCD中，CA=BC=CD= BD=2
， AB=AD= ，试在 BC 上找一点E，使点E到平
面ACD的距离为2 .
z
O是 BD中点，
AO⊥平面SAB
.
O
E
y
x
如图，四面体ABCD中，CA=BC=CD=BD= 2
：
即
x
O.
E
y
E
到平面
的距离
=
解得 x= ，y=
∴ E（ , ,1 ) 故E为BC中点
如图，已知AB ⊥ɑ, BC ɑ, CD⊥BC, CD与平
面ɑ成30 °角， AB=BC= CD=2.
（1）求线段AD的长；
z
（2）求二面角D-AC-B的正弦值。 分析：建系如图，设D(x,y,z),
B(0,0,0),A(0,0,2),C(0,2,0)
ABCD 是 矩 形 ， AB=4,AD=2, 平 行 六 面 体 高 为
，顶2 点3 D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中点，设
△AB1D1的重心G，建立适当空间直角坐标系并写
出下列点的坐标。
(1) A1 、 B1 、A、 D1；
(2) G;
投影法
z D
C
（1）A1 (2, -2, 0 ) 、 B1 (2, 2, 0 ) 、A
由CD⊥BC(y轴) ,知 y=2
x
y
又由CD=2，且CD与平面ɑ成30 °角
得x=﹣CDcos 30 °=﹣ , z=CDsin30 °=1 ∴ D（﹣ , 2, 1 )
即 D 1 N 0 ,2 ,2 3 0 ,2 ,2 3 ,
z D
O O 1 N D 1 N D 0 , 2 2 , 2 3 A
N 0 ,2 2 ,23
N
C B
∵ ONDD1 0
041120,
1
4
故
N
0,
3 2
,
3 2
向量法
D1 A1
x
O C1 y B1
求空间直角坐标下点的坐标的方法:
， AB=AD=2 ，试在 BC 上找一点E，使点E到平
面ACD的距离为 .
z
解析一 ：
E
O
x
E
y
d=
=
即
=
解得 x= ，y= ∴ E（ , ,1 ) 故E为BC中点
如图，四面体ABCD中，CA=BC=CD= 2，
AB=AD= 2 ，试在 BC 上找一点E，使点E到平面
z
ACD的距离为 .
解析二 平面ACD的平面方程为