大学物理8-2 电容和电容器

8 – 2 电容和电容器 例1
第八章 静电场中的导体和电介质
平行平板电容器的极板是边长为 l 的正方
形，两板之间的距离 d 应取多大才行. 解
1mm .如两极板的电势差
4
为 100 V ，要使极板上储存 10
4
C 的电荷,边长 l
C
0S
d
q 10 6 C F 10 F U 100
q 0S C q /U E (d d ) d d
8 – 2 电容和电容器 2
第八章 静电场中的导体和电介质
球形电容器的电容 球形电容器是由半径分别为 R1和 R2 的两同心金 属球壳所组成． 设内球带正电（ q ），外球带负电（ q ）．
4 π 0r ( R1 r R2 ) R dr q U E dl l 4 π 0 R r 2 q 1 1 ( ) 4 π 0 R1 R2
由（１）可知
R2 U E dr
1
dr R2 ln R 2π r 2π 0 r R1 0 r q R2 真空圆柱形 C 2π 0 r l ln r C0 U 电容器电容 R1 C R2 单位长度电容 2π 0 r ln
4 0 Eb Q 1 1 2 2 r (d r )
得击穿电压
1 1 U b 2 Eb r d r 86.3kV 1 1 2 2 r (d r )
8 – 2 电容和电容器
第八章 静电场中的导体和电介质
由于上述结果是在忽略球形电极因静电感 应而引起的电荷重新分布，以及把球形电 极上的电荷看成集中在，所得的结果是近似的。但即 使如此，也已大体可以看出实际的情况。 球形电极的半径与击穿电压的关系
＋
R2
＋
＋

＋
R1
＋
＋ ＋
若在两球面间充满相对电容率为 r 的电介质时，则电 容器的电容为 4 0 r R1 R2

*P
＋
r

C rC
R2 R1
孤立导体球电容
R2 ,
C 4π 0 R1
8 – 2 电容和电容器 3 圆柱形电容器
第八章 静电场中的导体和电介质
, ( RA r RB ) （2）E 2π 0 r R dr q RB （3） U ln R 2 π r 2 π 0l RA 0
B A
（1）设两导体圆柱面单位长度上 分别带电
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l RB
-+ - + RA -+ R B -+
l
q RB （4）电容 C 2 π 0l ln U RA
解 设两金属线的电荷线密度为
R ,
求单位长度的电容 .
R 的平行长直导线中心间距为 d ，
2R
o
U
R
8 – 2 电容和电容器
第八章 静电场中的导体和电介质
*例5 为了防止电极间的空气被击穿,通常避免采用尖
端电极，而采用球形电极。然而，若两球形电极间存在 高电压的情况下，球形电极间的空气也还是会被击穿的。 如下图所示，有两个半径均为r=2cm 的球形电极放在击 穿场强 Eb 30 kV cm 的空气中，两球的中心距离为 d=10cm 。试粗略估算在上述条件下，两球形电极间的击 穿电压大约是多少？
q2
U 2C2
1 1 1 C C1 C2
特点：电荷相等，即
C1 U1
q1 q2 q

U U1 U 2
q q 1 U1 U 2 1 1 1 1 C U U1 U 2 C q q1 U1 q2 U 2 C1 C2
8 – 2 电容和电容器
第八章 静电场中的导体和电介质
C q /U q S 特点：电压相等，即
0
q2

E (d d )
U1 U 2 U
q q1 q2
d d
U 2C2
q q1 q2 C C1 C2 U U1 U 2
8 – 2 电容和电容器 ２ 电容器的串联
第八章 静电场中的导体和电介质
q1
＋
8 – 2 电容和电容器 1 平板电容器
第八章 静电场中的导体和电介质
（1）设两导体板分别带电
q
d
S
+ + + + + +
（2）两带电平板间的电场强度
q E 0 0S
（3）两带电平板间的电势差
qd U Ed 0S
（4）平板电容器电容
q
q
-
q S C 0 U d
1
8 – 2 电容和电容器
第八章 静电场中的导体和电介质
按点电荷来估算，球形电极表面附近的电场强度大小为
1 1 Es [ 2 ] 2 4 0 r (d r )
得
Q
1 1 U12 ( ) 2 0 r d r
E s Eb U 12 U b
此时
Q
由于电极表面附近的电场强度最大，故
讨论
1 1 当r=1cm 时 U b 2 Eb r d r 54kV 1 1 2 2 r (d r )
当r=0.5cm 时
U b 28.5kV
8 – 2 电容和电容器 三 １
第八章 静电场中的导体和电介质
电容器的串联和并联 电容器的并联 ＋
q1 C
U1
1
C C1 C2
l R1
8 – 2 电容和电容器
*例4 两半径为
第八章 静电场中的导体和电介质
且d
E E E E 2π 0 x 2π 0 (d x) d R d R P 1 1 U Edx ( x d x )dx x 2π 0 R R x dx d R d E ln ln E π 0 R π 0 R d 单位长度的电容 C π 0 ln d
2
2 1
E
q
er
＋
R2
＋
＋

＋
R1
＋
＋ ＋
*P
＋
r

8 – 2 电容和电容器 球形电容器的电容
第八章 静电场中的导体和电介质
q 1 1 U ( ) 4 π 0 R1 R2
4 0 R1R2 q 1 1 q C q [ ( )] 4 0 R1 R2 U R2 R1
8 – 2 电容和电容器
第八章 静电场中的导体和电介质
解：设想球形电极A和B各带+Q和-Q的的电荷，若忽略电 极间的静电感应导致的电荷重新分，看成是电荷均匀分 布在球形电极的表面上，并把球形表面上的电荷视为集 中于球心。基于以上考虑，电极A表面的电势为
Q Q V1 ( ) 4 0 r d r Q Q 同理，电极B表面的电势 V2 ( ) 4 0 r d r 两电极间的电势差 U V V 1 ( Q Q ) 12 1 2 2 0 r d r 1
S l
l Cd
2
0
10.6m
8 – 2 电容和电容器
第八章 静电场中的导体和电介质
例8-2 平板电容器的极板面积为S，二极板距离为d。 使电容器充电后断开电源，二极板间的电势差用静电计测 量，如图（a）所示。现将厚度为 的金属平板平行插入 二极板之间，则静电计的指针张角变小，如图（b）所示。 试解释上述现象，并求出插入金属平板后电容器的电容。
r
R2
R1

8 – 2 电容和电容器
第八章 静电场中的导体和电介质
r
R2
R1

解:
1 E dS l
S
0
E 2 π 0 r r
( R1 r R2 )
8 – 2 电容和电容器
第八章 静电场中的导体和电介质
r
R2
R1

( R1 r R2 ) E 2π 0 r r
8 – 2 电容和电容器 解
第八章 静电场中的导体和电介质
由于静电平衡时金属平板内部场强等于零，所以两 极板之间的电势差 B U E dl E (d d )
A
比原来的电势差 U Ed 降低了，所以指针张角变小。 设两极板所带电量的绝对值为q，则插入金属平板后， 电容器的电容
8 – 2 电容和电容器 一 孤立导体的电容
第八章 静电场中的导体和电介质
定义：
q C V
单位
1F 1C/V
1μF 10 F 12 1pF 10 F
q
6
例如 孤立的导体球的电容
q C V
地球
q 4 π 0 R q 4 π 0 R
6
R
4
RE 6.4 10 m, CE 7 10 F
8 – 2 电容和电容器
第八章 静电场中的导体和电介质
二 电容器 电容器电容的定义：
q q C VA VB U
Q
Q
U AB
AB
E dl
VB
VA
电容的大小仅与导体的形状、相对位置、其间的 电介质有关. 与所带电荷量无关. 电容器电容的计算 步骤
1）设两极板分别带电 q ； 2）求 E ； 3）求 U ；4）求 C .
特
2π 0lRA 0 S d RB RA RA , C d d
平行板电 容器电容
8 – 2 电容和电容器
第八章 静电场中的导体和电介质
例3 常用的圆柱形电容器，是由半径为 R1 的长 直圆柱导体和同轴的半径为 R2 的薄导体圆筒组成， 并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 r 的 电介质.设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 和 . 求此圆柱形电容器的电容．