边界元法1_275007510
边界元法的基本原理
边界元法的基本原理边界元法是一种用于求解偏微分方程的数值方法，它有很多优点，如精度高、计算速度快、易于实现等。
边界元法的基本原理是将求解区域分成若干个小区域，每个小区域的边界上有一些已知的边界条件，通过求解这些边界条件，可以得到整个区域的解。
边界元法的基本思想是将偏微分方程的解表示为某些基函数的线性组合，然后通过边界条件求解系数。
这里的基函数是指在整个求解区域内都有定义的函数，通常是基于极限定理或格林公式得到的。
由于基函数在整个求解区域内都有定义，所以在边界上的边界条件可以直接应用到基函数上，从而得到系数。
在边界元法中，通常使用的基函数是调和函数，即满足拉普拉斯方程的函数。
调和函数具有很好的性质，比如在整个求解区域内都有定义、在边界上等于常数等。
因此，使用调和函数作为基函数可以大大简化计算过程，并且保证了解的精度。
边界元法的求解过程可以分为两个步骤：首先是建立基函数的系数矩阵，然后是求解系数矩阵中的未知量。
建立系数矩阵的过程中，需要计算每个基函数在每个边界上的取值，以及每个基函数在整个求解区域内的积分值。
这些计算通常使用数值积分的方法进行，比如高斯积分、牛顿-科茨公式等。
求解系数矩阵中的未知量可以通过矩阵运算解出，通常使用高斯消元法或LU分解法等。
边界元法的应用范围非常广泛，可以用于求解各种偏微分方程，如拉普拉斯方程、泊松方程、亥姆霍兹方程等。
此外，边界元法还可以用于求解力学问题、电动力学问题等。
由于边界元法具有很好的精度和计算速度，所以在实际应用中得到了广泛的应用。
总之，边界元法是一种非常重要的数值方法，它的基本原理是将求解区域分成若干个小区域，利用边界条件求解系数，最终得到整个区域的解。
边界元法具有很多优点，如精度高、计算速度快、易于实现等，因此在科学计算和工程应用中得到了广泛的应用。
边界元法-详解
边界元法-详解边界元法（boundary element method）目录• 1 什么是边界元法• 2 边界元法的特点• 3 边界元法的发展• 4 相关条目什么是边界元法边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。
所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。
但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。
边界元法的特点边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的方法。
又称边界积分方程-边界元法。
它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。
它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。
又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。
特别是对于边界变量变化梯度较大的问题，如应力集中问题，或边界变量出现奇异性的裂纹问题，边界元法被公认为比有限元法更加精确高效。
由于边界元法所利用的微分算子基本解能自动满足无限远处的条件，因而边界元法特别便于处理无限域以及半无限域问题。
边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。
对一般的非线性问题，由于在方程中会出现域内积分项，从而部分抵消了边界元法只要离散边界的优点。
边界元法的发展经过近40年的研究和发展，边界元法已经成为一种精确高效的工程数值分析方法。
在数学方面，不仅在一定程度上克服了由于积分奇异性造成的困难，同时又对收敛性、误差分析以及各种不同的边界元法形式进行了统一的数学分析，为边界元法的可行性和可靠性提供了理论基础。
边界元法 数值方法
边界元法数值方法边界元法是一种数值方法，它利用一系列准确的基本计算步骤来解决复杂的非线性问题，可以获得非常精确的结果。
边界元法的最大优点是它可以简化复杂的问题，并且数值计算精度高，在科学研究、工程设计、信息处理等多个领域得到了广泛应用。
边界元法是一种数值方法，用于解决多项式方程组、相对论、流体力学与热力学等物理方程。
它利用较为精确的基本计算步骤，获得较为精确的数值结果。
边界元法的计算方法主要有两类：Finite Difference法和Finite Element法，它们都建立在分区概念的基础上，应用于计算复杂的非线性问题。
首先，Finite Difference法是将物理空间划分为离散的若干区域，在每一区域上考虑若干个变量，然后利用有限差分方法进行数值计算，得到解析解、步进解或数值解。
优点是运算较快，但精度受网格节点限制，而且对于比较复杂的物理模型的求解，难以得到满意的精度。
其次，Finite Element是根据物理问题的性质，将物理空间分为若干节点，每个节点都有一些变量，然后用元模型的形式表示物理场，也就是说，它根据物理问题的特点，建立出对应的数值模型，然后用有限元法进行数值求解，得到精确的解析解或数值解，优点是精度高，适用于各种复杂的物理模型；缺点是计算复杂，运算时间长。
边界元法是在有限差分和有限元法的基础上提出的。
它是一种特殊的有限元法，它结合了有限差分方法简单且速度快的优点以及有限元法准确及适用性强的优点，并且提出了若干更复杂的计算步骤，提高了计算的准确性。
边界元法应用的领域十分广泛，如在热力学、流体力学和化学反应等复杂的物理系统中，边界元法可以得到较为精准的数值解。
它还可以用于研究和设计结构力学系统，此时可以获得结构力学系统的非线性行为等特性。
此外，边界元法还应用于信息处理、金融分析等领域，可以获得较为精准的解析结果。
显然，边界元法的最大优点在于可以将复杂的问题进行简化，以较快的速度得到较高精度的解析结果，在科学研究、工程设计、信息处理等多个领域有着广泛的应用。
边界元法
表 量曲E面外(外r)其 n它，电且荷为产已生知的量电。位(5移.9矢)式量把在边曲界面面上上的的法未向分知
电荷之间的关系以及与其它已知电荷之间的关系联系在
一起。
(先r)用的边分界 布，元再法取解积T＝分l方的程(5式.8()5式.9计)，算求区得域面V'电内荷的密场度。
如果考查区内只有带电导体而无其它电荷分布，应去
( yi ( yi ( yi ( yi
y j ) yi y j )2
y j ) yi y j )2
, ,
x
i
a cos
i
0.5
N
,
yi
a sin
i
0.5 ,
N
(5.13)
(5.12)式的这 8 个线性代数方程是齐次的，必有一个方程是不独
立的。我们还差一个方程。把(5.10)式在 r=0 处作相似的离散处
r V ' S'
得：T (r )
1
4
V'
(r') dV '
R
1
4
S'
(r' )n'
R R3
1 R
(r' )
n'
dS'
(6)
当r V '时T 1的这个公式在电动力学教科书中都能找到。(6) 式 场就(r是)与与边泊界松上方的程场对应(r的')及格林(函r'数) 联积系分在形一式起解。。它把区域内的
T (r)
1
4
V '
泰勒展开边界元法
泰勒展开边界元法摘要：一、泰勒展开简介1.泰勒展开的定义2.泰勒级数的重要性质二、边界元法简介1.边界元法的定义2.边界元法的基本原理3.边界元法与其他数值方法的比较三、泰勒展开边界元法1.泰勒展开边界元法的定义2.泰勒展开边界元法的基本原理3.泰勒展开边界元法的应用领域4.泰勒展开边界元法的优点与局限性正文：泰勒展开边界元法是一种将泰勒展开应用于边界元法的数值计算方法。
泰勒展开是一种用多项式逼近函数的方法，通过将函数展开成一系列项的级数，可以近似表示函数。
边界元法是一种求解偏微分方程的数值方法，它将问题转化为求解边界上的积分方程。
将泰勒展开应用于边界元法，可以提高计算效率和精度。
泰勒展开的定义是：给定一个函数f(x)，如果存在一个正整数n 和一个正数R，使得对于x 的所有值，有|f(x) - f(x0)| < R，其中x0 是x 的一个展开点，那么f(x) 可以写成一个关于x0 的泰勒级数：f(x) = f(x0) + f"(x0)(x - x0) + ...+ R^n f^(n)(x0)/n!(x - x0)^n。
泰勒级数的重要性质是，当展开点x0 与x 接近时，泰勒级数的值可以很好地近似函数f(x)。
边界元法是一种求解偏微分方程的数值方法，其基本原理是将偏微分方程转化为边界上的积分方程。
通过求解这些积分方程，可以得到问题的解。
与其他数值方法相比，边界元法具有较高的精度和计算效率，尤其适用于复杂几何和材料特性问题。
泰勒展开边界元法是将泰勒展开应用于边界元法的一种数值计算方法。
泰勒展开边界元法的基本原理是将边界元法中的边界积分方程用泰勒级数展开来近似。
这样，原本复杂的积分方程可以简化为容易求解的多项式方程。
泰勒展开边界元法可以应用于各种边界值问题，如热传导、电磁场计算等。
泰勒展开边界元法具有以下优点：1.提高计算效率：通过泰勒展开，可以将复杂的边界积分方程简化为多项式方程，降低计算难度。
泰勒展开边界元法
泰勒展开边界元法泰勒展开边界元法（Taylor expansion boundary element method）是一种数值计算方法，用于求解边界值问题。
它结合了泰勒展开和边界元法的优点，能够高效地解决各种物理问题。
1. 泰勒展开泰勒展开是一种将函数在某点附近进行多项式逼近的方法。
对于一个光滑的函数f(x)，在某点x=a处进行泰勒展开，可以得到：%5E2+…)其中，f’(a)表示函数f(x)在点x=a处的一阶导数，f’’(a)表示二阶导数，以此类推。
2. 边界元法边界元法是一种求解偏微分方程边界值问题的数值方法。
它将偏微分方程转化为积分方程，并通过对边界上的积分进行离散化来求解。
对于一个二维边界值问题，我们可以将边界划分为若干个小区域，每个小区域上有一个未知函数值。
边界元法的关键是通过边界条件和积分方程建立未知函数值之间的关系，然后用离散化的方法求解这个关系。
3. 泰勒展开边界元法泰勒展开边界元法是将泰勒展开和边界元法相结合的一种数值计算方法。
它的基本思想是，在边界上选取一些点作为插值点，并利用泰勒展开将插值点附近的函数值与导数之间建立关系。
具体来说，对于一个二维问题，我们可以在边界上选取一些点作为插值点，然后利用泰勒展开将这些插值点附近的函数值与导数进行逼近。
通过对逼近方程进行离散化处理，我们可以得到一个线性方程组，进而求解出未知函数值。
泰勒展开边界元法的优点在于它既考虑了局部信息（通过泰勒展开），又考虑了整体信息（通过边界元法）。
因此，在处理某些复杂问题时，它比传统的方法更有效。
4. 应用领域泰勒展开边界元法广泛应用于各个领域的物理问题求解中，其中包括但不限于以下几个方面：4.1 电磁学泰勒展开边界元法在电磁学中的应用非常广泛。
例如，在求解电场分布、介质中的电磁波传播等问题时，可以使用该方法。
4.2 流体力学在流体力学中，泰勒展开边界元法可以用于求解流体的速度场、压力场等问题。
它能够较好地处理复杂的流动现象，如湍流、多相流等。
边界元法的基本原理
边界元法的基本原理1边界元法的概念边界元法（Boundary Element Method，BEM）是一种基于边界数值的解决外型边界值问题的数值分析方法，又称为边界元分析，是一类新型数值分析技术。
它由Boundary Element Method Research Group提出，被认为是积分几何方法（Integral Equation Method）的有限元分析方法，是基于数值几何的积分方程数值解法之一。
2基本原理边界元法的基本原理是指将物理过程抽象为具有一定几何形状的边界，对其的描述由一维的边界（边界缘）扩展为一系列的元构成的边界（边界元）。
边界元与体元的求解过程同理，即：为求解区域的问题，基于假设的准则，将整个区域划分为若干边界元，再分别为各边界元建立方程，得出每个边界元的应力值，通过约束条件，此时仍不能求解出空间（多边界）中的应力分布，通过边界元连续性条件，即建立边界元之间的线性组合关系，从而结合约束条件，求出空间中物体的应力分布，从而求解出最终的分析结果。
3主要特点边界元法最大的优点是求解简单，信息的输入相对较少，对计算机的内存及数据处理的要求也比较低。
虽然该法并不能提供完整的矢量场的分布，但具有节约时间及内存的优点。
另外，该方法可以方便地将边界源信息与上游的有限元分析结果联系起来，来实现同一复杂结构的分析及求解。
4应用范围另外，边界元法还具有一定的普适性，因此已经拥有了很广阔的应用范围，例如：大型结构的失稳分析，力学系统振动和热传导的非线性分析，连接模块的分析及设计，力学水力的长期波动及动态流场分析，固态与流态的界面分析，柔性结构的振动分析，以及其他复杂和难以求解的结构力学及流体分析。
总之，边界元法是一种数值有限元分析方法，它以描述几何形状的边界为基础，以建立边界元连续性条件为根据，将空间物体的应力分布求解出来，可以用来解决复杂外形边界值问题，具有计算量少、计算快的特点，目前已被广泛应用于力学水力、热传导及柔性结构振动分析等领域。
泰勒展开边界元法
泰勒展开边界元法1. 引言泰勒展开边界元法（Taylor Expansion Boundary Element Method，TEBEM）是一种用于解决边界值问题的数值计算方法。
它结合了泰勒展开和边界元法两种技术，能够高效、精确地求解各种物理问题的边界条件。
本文将详细介绍泰勒展开边界元法的原理和应用，并探讨其优缺点以及未来发展方向。
2. 泰勒展开原理泰勒展开是一种将一个函数在某个点附近进行多项式逼近的方法。
对于一个在点x0处连续可导的函数f(x)，其在x0附近的泰勒展开式可以表示为：其中，f^(n)(x0)表示函数f(x)在点x0处的n阶导数。
利用泰勒展开，我们可以将一个复杂的函数逼近为多项式形式，从而简化计算和分析。
3. 边界元法原理边界元法是一种求解偏微分方程边值问题的数值计算方法。
它基于格林第二定理，将偏微分方程转化为积分形式，并利用物理量在边界上的边界条件进行求解。
边界元法的基本思想是将求解域分为内部区域和边界两部分，通过在边界上离散化物理量，并利用格林第二定理建立方程组。
通过求解这个方程组，可以得到内部区域的物理量分布。
4. 泰勒展开边界元法原理泰勒展开边界元法将泰勒展开和边界元法相结合，利用泰勒展开将内部区域的物理量在某个点附近进行多项式逼近，然后利用边界元法求解逼近后的方程。
具体而言，泰勒展开边界元法首先利用泰勒展开将内部区域的物理量在某个参考点附近进行多项式逼近。
然后，在该参考点附近进行网格划分，并在每个网格点上离散化物理量。
接下来，根据边界条件建立方程组，并利用格林第二定理和离散化后的物理量进行积分计算。
通过求解这个方程组，可以得到内部区域各点的物理量分布。
5. 泰勒展开边界元法应用泰勒展开边界元法在各个领域都有广泛的应用，如流体力学、电磁学、弹性力学等。
在流体力学中，泰勒展开边界元法可以用于求解空气动力学问题、水波传播问题等。
通过将流体的速度和压力进行多项式逼近，并利用边界条件建立方程组，可以得到流体内部各点的速度和压力分布。
边界元算法的原理及应用
边界元算法的原理及应用引言边界元（Boundary Element）方法是一种基于边界积分方程的数值计算方法，广泛应用于力学和物理学领域中的边界值问题。
本文将介绍边界元算法的原理及其在工程实际中的几个常见应用。
原理边界元算法采用边界上的节点来近似描述问题的解，通过求解边界积分方程得到问题的数值解。
其核心思想是将问题的边界分割成一系列小区域，然后利用边界上的节点表示问题的解，并将问题转化为边界节点的线性方程组求解问题。
边界元方法的求解过程可以简化为以下几个步骤： 1. 将问题的边界分割成若干小区域； 2. 建立边界上的节点，在每个节点处设置待求解的未知量； 3. 将问题转化为边界节点的线性方程组； 4. 求解线性方程组，得到问题的数值解。
应用领域边界元方法由于其高效、准确的特点，在多个领域中得到广泛应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 结构力学分析在结构力学中，边界元方法可以用于求解弹性、塑性和断裂等问题。
通过将结构表面分割成小区域，并在节点上离散问题的解，可以得到结构的应力、位移等重要力学参数的数值解。
边界元方法在结构力学分析中的应用具有一定的优势，可以避免传统有限元方法中的网格生成和求解过程中的不适定性问题。
2. 空气动力学分析边界元方法在空气动力学分析中广泛应用于求解流体的速度场和压力场等问题。
通过将问题的边界离散化，并在边界节点上求解流体的边界条件，可以得到流体的相关参数的数值解。
边界元方法在空气动力学分析中的应用具有高精度和高效率的特点，并且适用于包含复杂流动现象的问题。
3. 地下水流动模拟边界元方法在地下水流动模拟中被广泛采用。
通过将地下水流动问题的边界分割成小区域，并在边界节点上求解边界条件，可以得到地下水的流速、水位等重要参数的数值解。
边界元方法在地下水流动模拟中的应用具有高度的灵活性和准确性，并且在模拟复杂地下水流动现象时具有一定的优势。
优缺点边界元方法相比传统的有限元方法具有以下优点： - 不需要进行体网格划分，避免了生成和处理大规模网格的复杂过程； - 精度高，适用于复杂边界的问题； - 计算效率高，减少了计算和存储的成本。
边界元法
∂φ (
−
q )φ *dΓ
−
(φ − φ ) ∂φ * dΓ
Ω
Γ2 ∂n
Γ1
∂n
（2.3a）
上式中最后一项是用边界 Γ1 上的条件加权得到的。对上式中的关于区域 Ω 内的积分项，进
行两次分部积分运算后，得到
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (∇2φ * )φ ds = φ ∂φ * dΓ − ∂φ φ *dΓ + φ ∂φ * dΓ − qφ *dΓ
边界元法有直接法和间接法两种。直接法通常是用格林恒等式或加权残值理论来表述， 采用的变量物理意义明确，并能通过边界积分方程数值离散后直接求解，是边界元法的主要 方法。间接法则是利用位势理论来推导公式，使用的变量物理意义不太清楚。当然，间接法 仍有它的可取优点。
本章将介绍这两种方法的主要思想和实现过程。
ε →0 Γε ∂n
ε →0 Γε ∂n 4πε
ε →0 Γε ∂n 4π
（2.10a）
∫ ∫ lim
ε →0
φ ∂ ( 1 )dΓ = − lim
Γε ∂ε 4πε
ε →0
Γε
φ
1 4πε
2
dΓ
=
−
θi 4π
ui
（2.10b）
上式中利用了 d Γ = ε 2 dθ ，θi 表示鼓起部分球面对点 i 所张的立体角。当 ε → 0 时，部分 球面收缩于点 i 时，边界 Γ′ 趋向于原来的 Γ 。对于二维问题，可以类似地进行处理。
最后，（2.9）可以表示为
∫ ∫ ciφi =
∂φ φ *dΓ − Γ ∂n
φ ∂φ * dΓ Γ ∂n
（2.11）
并且
ci
=
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
边界元算法
边界元算法边界元算法是一种数值计算的方法，可以用于求解随机界面问题。
边界元算法常见于水力学、声学、电磁学、弹性力学、热力学等领域，并且由于其优异的数值稳定性，现已广泛应用于科学和工程领域。
边界元算法的基本思想是将要求解的问题的边界离散化为一系列节点，在每个节点上估计问题的解。
借助于有限界面模型，可以将问题转化为近似求解。
边界元算法的核心是将问题的非局部边界条件近似为一个局部问题，并对离散化后的问题进行求解。
边界元算法的求解过程系统地分为两个部分，第一部分是预处理（或称构造），第二部分是求解。
预处理过程中，需要给定边界的离散化方式，为节点分配坐标和边界数据，以及计算问题的基本解。
可以通过Green函数的求解来得到问题的基本解。
在求解过程中，首先需要计算边界条件的矩阵和向量。
矩阵的行和列对应于离散化后的边界节点，每个元素表示两个节点之间的基本解系数。
由于基本解在物理分析中具有复杂的数学表达式，因此需要借助于Green函数的计算。
向量由边界上的原始数据组成。
然后，需要利用矩阵和向量，解出问题的解。
使用矩阵的逆运算得到每个节点的解，然后将解的结果进行传递计算，得到整个问题的解。
1. 精确度高：由于使用矩阵的逆运算，边界元算法的解非常准确。
2. 计算速度快：求解过程中的计算量小于有限元方法和其他数值方法，因此计算速度快。
3. 求解范围广：边界元算法的应用领域非常广泛，并且适用于几乎所有需要求解边界问题的领域。
4. 数值稳定性好：边界元算法具有很好的数值稳定性，能够在计算过程中保持较高的精度。
5. 可扩展性：可以很容易地扩展边界元算法的模型，以便解决更复杂的问题。
尽管边界元算法在求解一些科学和工程领域的问题时具有很高的精确度和可靠性，但它也有以下缺点：1. 构造过程需要较高的精度：如果预处理过程中的精度较低，会导致求解的误差增加。
2. 局限性：边界元算法通常适用于自由边界和接触边界的问题，对于固定边界和体积约束问题使用不多。
边界元法
∫Ω (∇ 2φ * )φ ds = −φi
（2.7）
从而（2.3b）式可写成
∫ ∫ ∫ ∫ φi +
φ ∂φ * dΓ + Γ1 ∂n
φ ∂φ * dΓ = Γ2 ∂n
∂φ φ *dΓ + Γ1 ∂n
qφ *dΓ
Γ2
（2.8a）
或者
∫ ∫ φi =
∂φ φ *dΓ − Γ ∂n
φ ∂φ * dΓ Γ ∂n
边界元法的研究在经过对弹性力学和塑性力学问题的初步尝试后，没有能够得到满意的 计算结果。边界积分方程和从有限元法借鉴来的边界离散技术两者不是一试就灵的。较为完 整的、可以实际应用的边界元法是 20 世纪 70 年代才建立起来的。先后解决了边界积分方程 中含有的奇异积分的精度问题，对于不带奇异性的积分，只要用普通的高斯数值积分法就可 以获得足够的精确度，从而使边界元法固有的精度得以显露出来。20 世纪 80 年代可称是边 界元法蓬勃发展和丰收年代。
程，方程中全部的量均为边界上的物理量。
§3 间接边界元法
在边界解法中，最简单的一种解法即为间接法。这种方法简单而且适用，对于许多实际 问题能够给出较好的结果。但直接法与之比较，则更为一般，应用范围更加广泛。
边界元方法及其应用研究
边界元方法及其应用研究边界元方法是一种数值计算方法，用于求解边界值问题。
它的基本思想是将问题域分割成有限数量的小区域，然后通过求解这些小区域的边界条件，来近似求解整个问题域的解。
边界元方法具有很好的应用前景，在数值计算、结构力学、电磁场计算等领域有着广泛的应用。
一、边界元方法的基本原理边界元方法是基于边界积分方程的数值计算方法。
在使用边界元方法时，我们首先将问题域分成两个区域：内区域和外区域。
内区域是包含待求解问题的区域，而外区域则是内区域的补集。
然后，我们可以根据物理问题的特征和边界条件，建立相应的边界积分方程。
通过求解这个边界积分方程，就可以得到问题域内各个点的解。
边界元方法的求解过程相对简单，计算效率较高。
二、边界元方法的优点1. 边界元方法只需在边界上离散节点，而无需在整个问题域内离散节点。
这使得边界元方法在处理大规模问题时具有较高的计算效率。
2. 边界元方法是一种直接法，不需要进行网格剖分。
相比于有限元方法，边界元方法的处理过程更简单，计算量更小。
3. 边界元方法对于解释边界条件变化比较剧烈或边界条件在区域内不能满足的问题具有优势。
由于边界元方法直接基于边界积分方程求解，因此可以较好地处理边界条件的不连续性。
三、边界元方法的应用领域1. 结构力学：边界元方法在结构力学领域有着广泛的应用。
通过将结构体分解为边界和内部两个区域，边界元方法可以计算结构体的位移、应力和变形等参数，进而用于分析和设计结构体。
2. 电磁场计算：边界元方法可以用于求解静电场、电磁场等问题。
通过求解边界上的边界积分方程，可以得到电荷分布、电势分布等参数，并进一步分析电磁场的特性。
3. 流体力学：边界元方法可以应用于求解流体力学问题。
通过求解流体问题的边界条件，可以得到流体的速度场、压力场等参数，用于分析和预测流体运动的特性。
总结：边界元方法是一种有效的数值计算方法，在各个领域有着广泛的应用。
它的基本原理是建立边界积分方程，通过求解这个方程来近似求解整个问题域的解。
边界元方法
边界元方法
边界元方法（BEM）是一种数学模型，用于解决关于边界的偏微分方程。
它也称为边界积分方程方法或格林函数方法。
BEM是一种数值方法，与有限元法（FEM）和有限差分法（FDM）相似。
然而，BEM解决的问题集中在边界上，而不是整个领域中的方程。
BEM在工程学，物理学，力学和流体力学等领域中得到广泛应用。
BEM采用边界上的一组方程组成的系统，即边界积分方程（BIE）。
这些方程描述了偏微分方程的解决生效边界上的变化。
边界上的每个点的解取决于周围点的解。
BEM计算边界上的每个点的解，并将边界点连接成网格，生成整个边界上的解决方案。
BEM的优势在于处理具有无限域问题的能力。
它可以在边界上解决偏微分方程，而不需要在整个域中解决它。
这使得它可以解决具有复杂边界和奇异点的问题，这些问题在其他方法中难以处理。
BEM还是一种高精度方法，可以在不需要大量计算机内存的情况下很容易地实现。
尽管BEM具有许多优点，但也存在一些缺点。
它的计算时间通常比FEM和FDM长。
此外，它通常需要较高的数学背景和计算机科学知识，以建立和实现模型。
另外，由于其在解决问题时聚焦于边界，因此仍需要其他方法来解决内部域的问题。
尽管如此，BEM仍然是对于边界问题进行可靠求解的强有力工具。
它在流体力学，电气工程和机械工程等领域中都有广泛的应用。
通过计算出任意形状的物体及其边界上的问题，BEM可以帮助工程师和科学家更好地理解它们的特性，开发更好的产品和方案，并对物理环境中的过程和现象进行精确的测试和测量。
边界元方法简介
边界元方法简介早在1905年，Fredholm就对积分方程的分类作了研究，并首先将其应用于弹性力学问题.随后，许多人对积分方程的性质作了严格的数学探讨，但是到2 0世纪4 0年代末，积分方程求解边值问题的研究仍只能处理一些特殊的问题如第一边值问题。
在2 0世纪6 0年代，一些学者对积分方程尤其是奇异积分方程的理论作了更为深入的研究，从而为进一步应用边界元法开辟了道路。
后来，高速大型计算机的出现及其硬件的迅猛发展使离散求解积分方程成为可能，但当时由于有限元法的出现并迅速发展，加上其广泛的适应能力，使人们的注意力大部分集中在它的身上。
随着有限元法逐渐成熟，其缺点也显现出来，人们开始寻找一种能够弥补其不足的新方法，目光又转向了边界元法，并逐步将有限元法中发展起来的一些离散技巧运用于边界积分方程，从而使边界元法脱颖而出，成为工程分析中的一种新的有效工具。
虽然边界元方法的研究引起人们注意的时间并不长，但是它的理论基础即积分方程的研究却可以追溯到1 9世纪初，当时仅从理论上对各类问题推导出解的积分方程，并没有涉及到数值计算。
例如在1929年，Kellogg利用Fredholm积分方程解决了位势问题，Fredholm积分方程是由以单层位势和双层位势为代表的调和位势发展而来的，并且由它又进一步发展成为所谓的间接边界元方法。
2 0世纪5 0年代，前苏联的米赫林和穆什海里什维里的工作为积分方程在工程上的应用开辟了道路。
6 0年代初，积分方程作为数值计算方法开始应用于实际问题，并逐步发展成为各种边界元方法。
虽然各种边界元方法都有一个共同的出发点，但是它们也可以分成下列互不相同又彼此紧密联系的三大类:第一类为边界元方法的直接表达式。
在此类表达式中，积分方程内出现的未知元是真实的物理变量。
正因为如此比如弹性问题中，解这种积分方程就可直接得出系统边界上的全部张力和位移，而物体内部的张力和位移则可通过数值积分由边界值推算出来。
边界元法及其在物探工作中的应用
边界元法及其在物探工作中的应用
边界元法是一种用于计算物理场及其偏导的有效工具，它可以应用于实际的工程问题中。
在物探中，该方法可以用于模拟物理过程，探测和估算物质的分布。
边界元法是根据局部形式方程，将问题分解为很多小的元素，从而近似地求解出物理场的分布特性，而不需要精确解决整个物理场的完整形式方程。
该方法提供准确性和快速性，是一种有用的工具。
在物探领域，该方法常被用于模拟物理过程，估算物质的分布特性。
例如，边界元法可用于计算物质在岩石中的吸收特性，地质形态的变化等。
通过边界元法，可以模拟岩石中物质的分布，推导出岩石的有效缝隙结构和表面性质，这些信息可以帮助理解吸附过程及其对岩石性质的影响。
此外，边界元法还可用于确定物理场的时空分布特性，探测物理过程中局部物质的聚集特性，建立物理场模型，以及推导边界条件。
边界元法可用于计算非结构体、多相流体系统中的流动特性，估算不同熔融物质在岩石中的分布特性，以及计算岩石的有效缝隙结构和表面性质等。
这些信息有助于进一步开展物探相关的研究和技术应用。
总之，边界元法是一种物理场及其偏导的高效工具，在物探领域中应用广泛，可用于模拟物理过程，估算物质的分布特性，推导物理场的时空分布特性，探测局部物质的聚集特性等。
声波边界元法
声波边界元法
（1）边界元法：用于模拟声辐射或声散射，其与有限元法在连续体域划分单元的思想不同，只是在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件，具有单元个数少、数据准备简单的优势；
（2）无限元法：几何上趋于无穷的单元，是一种特殊的有限元，也是对有限元求解无界域问题上的有效补充，并可实现与有限元间的无缝连接；
（3）声波吸收层法：试图在边界外建立一个薄层，使声波在该层内快速衰减；
（4）无反射边界法：是把无限剩余的计算域中声波，用其在边界上的未知解及其导数的关系式表示。
声波是机械波，其传播过程是能量的传播过程。
传播时引起周围介质质点振动，振动质点又引起其他周围质点的振动，这样振动就在介质中传播开来。
根据振源不同，可将声分为机械声和气动声，前者指机械振动产生的声，后者指流体流动或物体在流体中运动引起流体振动产生的声，如风中的电线杆，因此气动声是研究声和流动流体的相互作用。
矩量法 边界元法
矩量法边界元法
矩量法和边界元法是计算机科学和应用数学中常用的两种数值
分析方法。
矩量法主要用于求解电场、磁场、声场等场问题，而边界元法主要用于求解弹性力学、流体力学、电磁学、声学等领域的边界问题。
矩量法是一种直接求解场量的方法，将求解区域分为若干个小区域，利用每个小区域的场量和边界条件求解整个区域的场量。
边界元法则是一种间接求解场量的方法，将求解区域分为内部区域和边界，将内部区域看成连续介质，在边界上采取适当的边界条件，由此可以求解整个区域的场量。
矩量法和边界元法在数值计算方面都有优点和不足之处。
矩量法的优点是计算简单，适用于解决规则几何形状的问题，而边界元法则可解决任意形状的问题，但计算量较大。
矩量法在求解电磁问题时存在逼近误差，边界元法则在求解声学问题时需要考虑介质的耗散和衰减。
因此，在实际应用中需要根据具体问题的特点选择合适的数值方法。
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Zheng Xiaoping 2014
1. 引言
1.5 参考资料
郑小平：《边界元方法》PPT课件. 姚振汉：边界元法，高等教育出版社，2010. 杜庆华等：边界积分方程边界元法， 高等教育出版社，1989. 稽醒等： 边界元进展及通用程序，同济大学出版社，1997. Aliabadi MH. The Boundary Element Method, Vol. 2, Applications in Solids and Structures. Wiley, NY, USA, 2002.
对于椭圆问题，边界积分方程被公认为是达到了数学 形式的最高境界。
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1. 引言
1.2 边界积分方程发展过程
间接边界积分方程方法：求解的边界未知量并不是 原问题未知场变量的边界值，而是为求解而引进的辅 助变量，例如对于位势问题引进的单层势和双层势。 间接边界积分方程方法的早期工作： 位势问题：A. M. O. Smith & J. Pierce (1958), J. L. Hess (1962), M. A. Jaswon (1963), G. T. Symm (1963), M. A. Jaswon & A. R. Ponter (1963。 弹性力学问题：M. A. Jaswon (1963), C. E. Massonet (1965), E. R. A. Oliveira (1968), G. Rieder (1968), R. Butterfield & P. K. Bannerjee(1970等。
1. 引言
1.1 边界元方法概述
边界元法： 首先将对应的数学物理问题转化为边界积分方程 形式，然后采用边界单元离散和分片插值技术将 边界离散为边界单元，将边界积分方程离散为代 数方程组，再采用数值方法求解得到原问题边界 积分方程的数值解。它是求解工程与科学问题的 常用数值分析方法之一。
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1. 引言
1.3 边界元法的发展历史
关于边界元法的国际组织和会议：
Brebbia：1979起，每年组织召开一次国际边界元法学术 会议，至今已经召开了约30多 次；成立了国际 边界元学会ISBE；1984年创办“Engineering Analysis with Boundary Element”，（SCI）； Aliabadi：1999 年创办的边界元技术国际会议BeTeQ， 从2001 年第2 届开始改为每年1 次。 此外，还有国际边界元法协会IABEM，最初中心在美国 ，后来移到了欧洲大陆。1994 年它成为国际理论与应用 力学联合会的关联学会。该协会至今每两年召开一次边 界元法的国际学术会议。
1. 引言
1.1 边界元方法概述
适用范围：固体力学问题、流体力学、热传导、 声场，以及电磁场等其它物理领域 （经济学）。 边界元法的特点： 优点：降维，高精度； 缺点：系数矩阵非对称、满阵。 关于数值方法的评价问题… 边界元法的地位…
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1. 引言
1.2 边界积分方程发展过程
1.5 参考资料
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1. 引言
1.1 边界元方法概述
关于固体力学… 关于计算固体力学… 弹性力学的三种提法： 微分提法求解析解（差分方法） 变分提法李兹法等有限元法 积分提法边界元法（Boundary Element Method）
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1828 ，Green 就对位势问题提出了三个Green 等式； 1864， Maxwell 对桁架提出了一个功互等定理； 1872 ，Betti 将其推广为弹性力学的功互等定理； 1885， Somigliana提出了弹性力学解的积分表示式； 1903， Fredholm奠基积分方程理论； 1953， Muskhelishivili “数学弹性理论的若干基本问题”； 1957 ，Mikhlin “微分方程与积分方程的近似解”； 1965 ， Mikhlin “多维奇异积分和积分方程” 1926 ，Trefftz 提出了的一种边界解法，即Trefftz 法。
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1. 引言
1.3 边界元法的发展历史
声学问题：M. B. Friedman & R. Shaw (1962), R. P. Banaugh & W. Goldsmith (1963) 等。 弹性动力学问题：R. P. Banaugh (1964), Y. Niwa & S. Kobayashi 等 (1971) 等。 边界元法：直接边界积分方程方法，直接求解原问 题未知场变量的边界值。
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1. 引言
1.4 我国边界元法研究概况
我国的边界元法研究起步于70 年代末，清华大学杜 庆华先生在推动我国的边界元法研究方面起了重要 作用。 1985 年开始每3 年举行一次全国工程中边界元法学 术会议。1997 年开始由杜庆华和日本境界要素法研 究会的田中正隆(M. Tanaka)和小林昭一(S.Kobayashi) 发起，每3 年举行两次中日边界元法学术会议。 1986 年杜庆华在清华大学组织召开了一次边界元法 的国际会议；2002 年，姚振汉和Aliabadi 联合主持 了第3 届国际边界元技术学术会议(BeTeQ 2002)。 清华大学有限元、边界元方法研究的学术地位…
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1. 引言
1.3 边界元法的发展历史
边界元法（直接边界积分方程方法）的早期工作：
1963 ，Jaswon 将边界积分方程直接法用于位势问题； 1967 ，Rizzo 在Quarterly Applied Mathematics 发表了弹 性静力学问题直接法边界元积分方程方法的论 文； 1968， Cruse，Rizzo 就发表了弹性动力学问题直接法边 界积分方程方法的文章； 1975 ，Cruse，Rizzo主编的“边界积分方程方法：在应 用力学中的计算应用”； 1977，Jaswon，Symm 专著“位势理论和弹性力学中的 积分方程方法”；
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边界元法 1. 引言 2. 位势问题的边界元法 3. 弹性力学问题的边界积分方程 4. 弹性力学问题的边界元法 5. 几种特殊的边界积分方程 6. 边界元法的最新进展及评述
Zheng Xiaoping 方法概述 1.2 边界积分方程发展过程 1.3 边界元法的发展历史 1.4 我国边界元法研究概况
边界元方法
Boundary Element Method
清华大学工程力学系 郑小平
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联系方式
郑小平…… 地址：蒙民伟综合科技楼619室 电话: 62796187(O) 手机: 13683245499(M) 邮件: zhengxp@ 学生介绍情况（了解力学基础）…… 课代表…… 我对《高等计算固体力学》课程的看法……
Bannerjee PK, Butterfield R. Boundary Element Methods in Engineering
Science. McGraw Hill, UK, 1981. Brebbia CA. The Boundary Element Method for Engineers. Pentech Press, London, Uk, and Halstead Press, NY, USA, 1978. 前修课程：弹性力学 Zheng Xiaoping 2014
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1. 引言
1.4 我国边界元法研究概况
专著：
1989，杜庆华等，“边界积分方程边界元法”， 高等教育出版社； 1997，嵇醒等，“边界元法进展及通用程序”，同济大学出版社； 1991，祝家麟，“椭圆边值问题的边界元分析”，科学出版社； 1993，余德浩，“自然边界元法的数学理论”，科学出版社； 2005，申光宪，“多极边界元法和轧制工程”，科学出版社； 2010，姚振汉：边界元法，高等教育出版社。
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1. 引言
1.3 边界元法的发展历史
边界元法（直接边界积分方程方法）的早期工作：
1977，Brebbia, Dominguez, Banerjee 和Butterfield 在英国 Southampton 大学首次商定采用“边界元法”名 称； 1978，Brebbia 出版了他的第一本专著 “工程师用边界 元法”； 1981，Banerjee & R. Butterfield “工程科学中的边界元 法”； 2002，Wrobel 和Aliabadi 出版了一部近年影响较大的专 著。第1 卷在热－流体和声学方面的应用；第2 卷是在固体和结构方面的应用。