自动控制基本知识根轨迹法

G(s)H(s)= K s ( s 1)
• 确定实轴上的根轨迹
正实轴 实轴上原点与-1点之间 -1点左边
• 在实轴外任取一点 s1位于（-1， 0）的垂直平分线
• 用模条件确定系数K的值
根轨迹上点 ( 0.5 j 0) 所对应的 K 值 K = 0.5 0.5 1 = 0.25 根轨迹上点 ( 0.5 ± j 0.5)
m
1 j ( 2 k 1)π
= K * n me n m
j =1
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即得渐近线的坐标与夹角。
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规则6： 根轨迹的分离点、汇合点与分离角
定义一：两条或两条以上根轨迹分支在 s平面上（通常为 实轴）的交点称为根轨迹的 分离点或汇合点 ；
定义二：分离角定义为进入分离点的切线方向与离开分 离点切线方向之间的夹角。
2
图4-2 系统的根轨迹
K
0 0.1 0.25 0.5 1 …… ∞
S
0 -0.113 -0.5 -0.5+j0.5 -0.5+j0.87 …… -0.5+j∞
1
S
-1 -0.887 -0.5 -0.5-j0.5 -0.5-j0.87 …… -0.5-j∞
2
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3
n
(s p j ) = 0
j =1
根轨迹的终点则是指根轨迹增益K*
s = p j , j = 1,2L n
∞的根轨迹点。
1n
m
* (s p j ) (s zi ) = 0
K j =1
i =1
令
s= 1 q
11
1
1
1
K * ( q p1 )( q p2 )L( pqn ) ( zq1 )(
等式两端同时乘以qn，可得
闭系环即特可征以方画程出的下阶半数s 平n,也面就的是根分轨支迹数部与分 闭环极点的
n
m
*
j =1
i =1
数n，则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远处(的零
点)。
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证明：
n
m
(s p j) K * (s z ) =i 0
j =1
i =1
根轨迹的起点是指根轨迹增益K*=0的根轨迹点
根轨迹是指开环系统某个参数由0变化到∞，闭环特征根在s平面上 移动的轨迹。
（1）系统为结构稳定系统。无论K为何值，其特征根始终位于复 平面的左半平面。
（2）当0<K<0.25时，二阶系统的两个特征根为位于左半面的两个
，
实根，系统处于过阻尼状态。当K>0.25时，两个特征根为位
于左半面的一对共轭复根，系统处于欠阻尼状态。当K=0.25
i =1
i =1 i k
m
pi )
j =1
( zk z j )
θ3
jω
S1 P34
设S1在根轨迹上，则
j k P2
θ2
φ1
z1
θ1
P1 0
σ
φ1－（θ1＋θ 2＋θ 3＋θ 4）＝± (2k 1)π
θ4
3＝ 1－（ 1＋ 2＋ 4）m (2k 1) P4
出射角＝∑[各开环零点指向该极点的矢量的方向角] －∑[其它各开环极点指向本极点的矢量的方向角]＋反向
1
*
当K* ∞时，上式化为 q n m (1 z1 q)(1 z 2 q) L (1
1
1
zq2 )L( z mq) = 0
z m q) = 0
这仍为n次方程，有n个根存在，即
q = 0 （n - m重）
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11 1
, ,L, z1 z 2
zm
s = （n - m重）
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基于根轨迹的分离点或汇合点实质上都是特征方程式的 重根。设
G(s) H (s) = K N (s) = 1 D(s)
闭环系统特征方程： F ( s ) = D ( s )＋ K * N （ s）＝ 0
F ( s ) = D ( s )＋ K * N （ s）＝ 0 F ( s ) = D ( s )＋ K * N （ s）＝ 0
点个数之和为奇数时
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jω P4
P3
si
z1
P2
P1 0
σ
P5
实轴上根轨迹
m
n
arg(s zi )
arg(s pj ) = (2k 1)π
i =1
j =1
12
法则5: 根轨迹的渐近线：渐近线与实轴交点的坐 标和渐近线(参数趋于无穷)与实轴正方向
的夹角分别为
证明：
an 1 =
p j）
j =1
同除分子 G(s) H (s) =
K*
nm
s (an－1 bm 1 )s n
s
= m 1＋L
sn
K* m (an－1 bm 1 )s n
m1
由根轨迹方程
s n m (a n－1 bm 1 )s n m 1＝－K *
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s n m（1 an－1 bm 1 ）= K * s
当需要确定根轨迹上各点的K*值时，才使用幅 值条件。
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例：系统的开环传递函数为
G ( s ) H ( s ) = K * ( s z1 ) s ( s p 2 )( s p 3 )
α2
用角条件判断s1是否属于根轨迹
P2
jω
L3 S1
arg(s1 z1 ) [args1 arg(s1 p2 ) arg(s1 p3 )] = (2k 1)πL1
D ( s ) N （ s ）－ D ( s ) N （ s ）＝ 0 确定分离点 合点的方法
l条根轨迹进入并离开分离点时的分离角为：
(2k 1)π / l k = 0, 1, 2, L, l 1
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例4-3 已知单位反馈控制系统，试求系统根轨迹 的分离点。
(s
n
zj )
( s pi ) = (2k 1)π
=i 1 | s pi |
j =1
=j 1 | s z j|
i =1
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在绘制根轨迹时，只需要使用相角条件即可 （因为根轨迹是K*从0到∞，根位置的变化过 程，只要满足角条件，s必在根轨迹上，而对应的 什么K*值并不重要）。
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k = 0 , ± 1, ± 2 L
模条件 角条件
5
将根轨迹方程写成零迹、增极益点表示的矢量方程为：
开环增益
m
∏ (τi s 1)
m
(s z i)
G(s) H (s) = K i =1 n
= K * i =1 n
(T js 1)
(s p j )
j =1
j =1
！根据根轨迹在实轴上的分布，前者不属于根轨迹，故舍
去。所以后者为根轨迹的分离点。
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法则7: 根轨迹在复极点的出射角和复零点的入射角
mBiblioteka Baidu
n
∑ θ pk = ( 2 k 1)π + ∠ ( p k z j )
( p k p i)
j =1
n
∑ θ zk = (2k 1)π + ∠( zk
所对应的 K K = 0.5 ± j0.5 0.5 ± j0.5 1 = 0.5
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二、根轨迹绘制的基本规则
法则1:根轨迹对称于实轴：闭环极点若为实数，则位于实
轴；若为复数则共轭出现，所以根轨迹对称于实
轴。
法则2:根只轨需迹做的出分上支半数s ：平根面轨的迹根在轨[迹s]部面分上，的然分后支利数用等对于称关
n
m
p
z
σ = j =1
i =1
nm
ϕ= j
i
k
=
0,1,2(,2L,kn
1)π
m
1
nm
m
(s
* i =1 n
(s
j =1
zi) G(*s) Hs m(s) =bmK1 s m 1 L b1 s=Kb0
p j)
s n an 1 s n 1 L a1 s a0
m
（bm 1 =
zi
i =1
n
R(s)
解：易知闭环系统特征方程为：
k
C (s)
s(s 1)(s 2)
F (s) = D(s)＋K * N（s）= s(s 1)(s 2) = 0
dF ( s ) = dD ( s ) K dN ( s )
ds
ds
ds
=3s26s2=0
解方程为：
Im 2 1 0 Re
s1 = 1.577
s2 = 0.423
第四章 根轨迹法
反馈控制系统的运动特征取决于其闭环传递函 数：极点、比例系数、零极点分布等。
1948年，伊凡思（W.R.Evans）根据反馈控制系 统的开环传递函数与其闭环特征方程间的内在 关系，确定闭环特征方程特征根的一种图解方 法——根轨迹法。 将开环系统中的参数与闭环极点间的关系通过
直观的方法确定出来，便于对系统稳定和综合 性能的分析。
z1 , z 2 ,L z m
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法则4: 实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右 侧，开环零、极点数目之和应为奇数。
（1）位于点si左侧的开环 零、极点指向si的矢量的相位 角均为0，在相角条件中，对 总相角没有贡献。
（2）一对共轭开环极点（或 共轭开环零点）指向si的矢量 的相位角之和恒为2π也不必 考虑。 （3）实轴上根轨迹的确定完 全取决于点si右侧的开环零、 极点分布。由相角条件得： si右边实轴上的开环零、极
助是非常便利的！
2
一、 根轨迹的基本概念
1. 根轨迹概念
R(s)
-
K s(s 1)
C(s)
Φ
(
s)
= s(
s
K 1)
K=
s2
K s
K
jω
K=0.5
0.5
K=0
K=0.25 K=0
-1
-0.5
0
σ
K=0.5
-0.5
闭环特征方程为 s2+s+K=0, 解得闭环特征根表达式
1 1 4K
1 1 4K
s1 = 2 2 , s2 = 2
时，两个特征根为位于左半面的两个相等的实根，系统处于
临界阻尼状态。
（3）从根轨迹的分布，对于给定的K值，可以估计系统的主要动 态性能。如K=0.5时，闭环特征根为-0.5±j0.5。
ξ = 0.707
ω n = 0.707
ξπ
σ％＝ e 1−ζ 2
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4
2. 根轨迹方程
s n m（1 an－1 bm 1 ）= K * e j ( 2 k 1)π s
k = 0,1,2,L, n m 1
两侧开(n-m)次方
s（1 a n－1
bm
1
1）n
1 j ( 2 k 1)
m= K * n me n m
s
（1 a n－1
bm
1
1）n
m= 1＋
1
an－1
bm 1
1
s
nm s
2!(n
(1 m) n
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1
电流
温度
电流/ 电压
扭矩/ 转速
采用根轨迹 解决！
阀门 开度
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缸位移
被控对象都是简单的输入和输出 间的开环关系，而最终是要闭环
的。如果能根据开环系统判断闭 环系统的极点、零极点分布、开
环增益等，那么对系统控制的帮 W.R.Evans
β1 − (α1 + α 2 + α 3 ) = (2k 1)π
β1 z1
L2 α1
σ P1
此点处的开环根轨迹增益
L4
K * = s1 s1 p2 s1 p3 = L2 L3 L4
s z1
L1
α3 P3
幅值条件和相角条件图示
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例 利用相角条件绘制图4-1所示系统的根轨迹。系统的 开环传递函数仍为
系统的闭环传递函数:
R（s） －
G (s) H (s)
C（s）
(s) = G(s) 1 G(s) H (s)
闭环特征方程即根轨迹方程为G(s)H(s)= –1
G(s)H (s) e arg[G ( s ) H ( s )] = 1 e j ( 2 k 1)π
G(s) H (s) = 1
arg[G (s) H ( s)] = (2k 1)
m
1)(a n－1 s
bm
1
)
2
L
当s->∞时，上式可近似为
（1 a n－1
bm
1
1 ）n
m = 1＋
1
a n－1
bm 1
s
nm s
s＋ a n－1
bm
1 j ( 2 k 1)
1= K * n me n m
nm
m
n
m
（bm 1 = an 1 =
zi
i =1 n
p j）
pj s－ j =1
n
zi
i =1
m
( zi ) K = K * i =1
n
( pj)
j =1
m
K* ( s
j =1
n
zj ) = 1 = e j ( 2 k 1)π (k = 0, ± 1, ± 2, L)
( s pi)
i =1
模值方程和相角方程分别为：
m
K* | s
j =1
n
n
zj|
|s
*
=i 1
=1,K = m
pi | m
同理：
入射角＝∑[各开环极点指向该零点的矢量的方向角] －∑[其它各开环零点指向本零点的矢量的方向角]＋反向
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法则8: 根轨迹与虚轴的交点
方法一：应用劳斯判据
当特征方程式存在有一对纯虚根时，应令劳斯表第一 列中包含K * 的项为零，即可确定根轨迹与虚轴交点处 的K *值。利用劳斯表中s2 行的系数构成辅助方程，必 可解出纯虚根的数值。这一数值即对应于根轨迹与虚 轴交点处的 值。