3.3.3点到直线的距离学案

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高中数学人教版必修二(浙江专版)学案直线的交点坐标与距离公式含答案

∴所求直线方程为 2x＋3y＋8＝0.
题点四：线关于线对称
4．求直线 m：3x－2y－6＝0 关于直线 l：2x－3y＋1＝0 的对称直线 m′的方程．
解：在直线 m 上取一点，如 M(2,0)，
则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上．
设对称点为 M′(a，b)，则
Error!
4 两点间距离公式
[典例] (1)已知点 A(－3,4)，B(2， 3)，在 x 轴上找一点 P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|
的值；
(2)已知 M(x，－4)与点 N(2,3)间的距离为 7 2，求 x 的值．
[解] (1)设点 P 的坐标为(x,0)，则有
|PA|＝ x＋32＋0－42＝ x2＋6x＋25，
A．(－2,1)
B．(－2,5)
C．(2，－5)
D．(4，－3)
解析：选 B 设对称点坐标为(a，b)，
Error!解得Error!即 Q(－2,5)．
题点三：线关于点对称
3．与直线 2x＋3y－6＝0 关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
-5-
A．3x－2y＋2＝0
B．2x＋3y＋7＝0
即 x2－4x－45＝0，
解得 x1＝9 或 x2＝－5.
故所求 x 的值为 9 或－5.
若已知两点的坐标 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求两点间的距离，可直接应用两点间的距离公式|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12.若已知两点间的距离，求点的坐标，可设未知数，逆
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用两点间的距离公式列出方程，从而解决问题．
[小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)过 P1(0，a)，P2(0，b)的两点间的距离为 a－b( ) (2)不论 m 取何值，x－y＋1＝0 与 x－2my＋3＝0 必相交( ) 答案：(1)× (2)× 2．已知点 A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则 a 的值为( ) A．1 B．－5 C．1 或－5 D．－1 或 5 解析：选 C ∵|AB|＝ a＋22＋3＋12＝5， ∴a＝－5 或 a＝1. 3．两直线 2x＋3y－k＝0 和 x－ky＋12＝0 的交点在 y 轴上，那么 k 的值为________．

学案1： 2.3.3 点到直线的距离公式 ~2.3.4　两条平行直线间的距离

2.3.3 点到直线的距离公式 ~2.3.4 两条平行直线间的距离学习目标核心素养1.了解点到直线的距离公式的推导方法．(重点)2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题．(难点)3.初步掌握用解析法研究几何问题．(重点、难点) 通过点到直线距离、两条平行线间距离公式的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l ，仓库看作点P .若已知直线l 的方程和点P 的坐标(x 0，y 0)，如何求P 到直线l 的距离呢？点到直线和两条平行线间的距离思考：(1)在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？ (2)在应用两条平行线间的距离公式时对直线方程有什么要求？初试身手名称点到直线的距离两平行线间的距离概念过一点向直线作垂线，则该点与之间的距离，就是该点到直线的距离夹在两条平行直线间的的长度就是两条平行直线间的距离条件点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0 公式 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 21．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当A ＝0或B ＝0或点P 在直线l 上时，点P 到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式仍然适用．( ) (2)当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等． ( ) (3)在用两平行线间的距离公式时，两方程中x ，y 的系数对应成比例即可． ( ) (4)点P (x 0，y 0)到x 轴的距离是d ＝y 0. ( )2．点P (1,2)到直线y ＝2x ＋1的距离为( ) A ．55B ．255C ．5D ．253．两条平行线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0的距离为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ． 124．若第二象限内的点P (m,1)到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2，则m 的值为________．题型探究题型一点到直线的距离【例1】 (1)已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 的值为________． (2)求点P (3，－2)到下列直线的距离： ①y ＝34x ＋14；②y ＝6；③x ＝4.规律方法点到直线距离的求解方法(1)求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式． (2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合．[跟进训练]1．求点P 0(―1,2)到下列直线的距离： (1)2x ＋y ―10＝0；(2)x ＋y ＝2；(3)y ―1＝0.题型二两条平行线间的距离【例2】 (1)两条直线l 1：3x ＋y －3＝0，l 2：6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( ) A ．4 B ．21313C ．51326D ．71020(2)已知直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2之间的距离为5，求l 1，l 2的方程．规律方法求两条平行直线间的距离的两种思路(1)利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算． (2)利用两条平行直线间的距离公式求解．[跟进训练]2．已知直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.(1)求过点A (3,2)，且与直线l 垂直的直线l 1的方程；(2)求与直线l 平行，且到点P (3,0)的距离为5的直线l 2的方程．题型三距离公式的综合应用[探究问题]1．若过点P(x0，y0)的直线l′与l：Ax＋By＋C＝0平行，那么点P到l的距离与l′与l的距离相等吗？2．求点到直线的距离应注意什么？3．怎样理解两平行线间的距离？【例3】已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．1．[变结论]本题条件不变，求正方形的面积．2．把本例条件改为“直线2x－y＋2＝0和直线x＋y＋1＝0为平行四边形的两条邻边”，求以(1,1)为中心平行四边形的另两边的所在直线方程．1．求参数问题利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．2．求方程的问题立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．3．最值问题(1)利用对称转化为两点之间的距离问题．(2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．(3)利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．课堂小结1．对点到直线的距离公式的两点说明(1)适用范围：点到直线的距离公式适用于平面内任意一点到任意一条直线的距离． (2)结构特点：公式中的分子是用点P (x 0，y 0)的坐标代换直线方程中的x ，y ，然后取绝对值，分母是直线方程中的x ，y 的系数的平方和的算术平方根．提醒：在使用点到直线的距离公式时，要特别注意直线方程的形式． 2．对两条平行直线间的距离的两点说明(1)这个距离与所选点的位置无关，但一般要选取特殊的点(如与坐标轴的交点)． (2)两条平行直线间的距离公式．除了将两平行直线间的距离转化为点到直线的距离求解外，还可以利用两条平行直线间的距离公式d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2.当堂检测1．点(5，－3)到直线x ＋2＝0的距离等于( ) A ．7 B ．5 C ．3 D ．22．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1，l 2间的距离是( ) A ．423B ．823C ．42D ．223．已知直线l 与两直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程是________． 4．点P (a,0)到直线3x ＋4y －6＝0的距离大于3，则实数a 的取值范围为________． 5．已知直线l 1：3x ＋4ay －2＝0(a ＞0)，l 2：2x ＋y ＋2＝0.(1)当a ＝1时，直线l 过l 1与l 2的交点，且垂直于直线x ―2y ―1＝0，求直线l 的方程； (2)求点M ⎝⎛⎭⎫53，1到直线l 1的距离d 的最大值．参考答案新知初探垂足公垂线段思考：[提示] (1)要求直线的方程应化为一般式．(2)两条平行直线的方程都是一般式，且x, y 对应的系数应分别相等．初试身手1． (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2．A【解析】d ＝|2×1－2＋1|22＋(－1)2＝55.3．C【解析】d ＝|－7－(－12)|32＋42＝1.4．－4【解析】由|m ＋1＋1|12＋12＝2，得m ＝－4或m ＝0，又∵m <0，∴m ＝－4.题型探究题型一点到直线的距离【1】(1)2－1【解析】由点到直线的距离公式得|a －2＋3|12＋(－1)2＝1，解得a ＝±2－1，∵a ＞0，∴a ＝2－1.](2)[解] ①把方程y ＝34x ＋14写成3x －4y ＋1＝0，由点到直线的距离公式得d ＝|3×3－4×(－2)＋1|32＋(－4)2＝185. ②法一：把方程y ＝6写成0·x ＋y －6＝0，由点到直线的距离公式得d ＝|0×3＋(－2)－6|02＋12＝8.法二：因为直线y ＝6平行于x 轴，所以d ＝|6－(－2)|＝8. ③因为直线x ＝4平行于y 轴，所以d ＝|4－3|＝1. [跟进训练]1． [解] (1)根据点到直线的距离公式得d ＝|2×(－1)＋2－10|22＋12＝105＝2 5.(2)直线方程可化为x ＋y ―2＝0，所以d ＝|(－1)＋2－2|12＋12＝22.(3)因为直线y ―1＝0平行于x 轴，所以d ＝|2―1|＝1. 题型二两条平行线间的距离【2】(1)D【解析】∵l 1∥l 2，∴3×m －6×1＝0，∴m ＝2. ∴直线l 2的方程为6x ＋2y ＋1＝0，即3x ＋y ＋12＝0.法一：根据两平行直线间的距离公式，得d ＝⎪⎪⎪⎪－3－1232＋12＝71020.法二：在l 1上取一点M (0,3)，则点M 到l 2的距离 d ＝|6×0＋2×3＋1|62＋22＝71020即为所求．法三：设原点O 到直线l 1、l 2的距离分别为|OE |、|OF |，画出图形(图略)易得l 1，l 2之间的距离d ＝|OE |＋|OF |＝|0＋0－3|32＋12＋|0＋0＋1|62＋22＝71020.](2)[解] 当直线l 1，l 2斜率存在时，设直线l 1、l 2的斜率为k ，由斜截式得l 1的方程为y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0，由点斜式得l 2的方程为y ＝k (x －5)，即kx －y －5k ＝0，在直线l 1上取一点A (0,1)，则点A 到直线l 2的距离d ＝|1＋5k |1＋k 2＝5，∴25k 2＋10k ＋1＝25k 2＋25，∴k ＝125，∴l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，l 2的方程为12x －5y －60＝0.若直线l 1，l 2的斜率不存在，则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．综上可知，满足条件的直线方程有两组，即l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0或l 1：x ＝0，l 2：x ＝5. [跟进训练]2．[解] (1)∵直线l 的斜率为2，∴所求直线斜率为－12，又∵过点A (3,2)，∴所求直线方程为y －2＝－12(x －3)，即x ＋2y －7＝0.(2)依题意设所求直线方程为2x －y ＋c ＝0， ∵点P (3,0)到该直线的距离为5，∴|6＋c |22＋(－1)2＝5，解得c ＝－1或c ＝－11，所以，所求直线方程为2x －y －1＝0或2x －y －11＝0.题型三距离公式的综合应用 [探究问题]1．[提示] 相等．平行线间的距离处处相等． 2． [提示] 要注意先把直线方程化成一般式方程． 3． [提示] 公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2可以理解为坐标原点到两条平行线间的距离之差(同侧时)或之和(异侧时)．【例3】 [思路探究] 先求出正方形中心坐标，利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边l 平行或垂直求解．[解] 设与直线l ：x ＋3y －5＝0平行的边所在的直线方程为l 1：x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－5)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0，得正方形的中心坐标为P (－1,0)，由点P 到两直线l ，l 1的距离相等，得|－1－5|12＋32＝|－1＋c |12＋32，得c ＝7或c ＝－5(舍去)．∴l 1：x ＋3y ＋7＝0.又正方形另两边所在直线与l 垂直， ∴设另两边所在直线的方程分别为3x －y ＋a ＝0,3x －y ＋b ＝0. ∵正方形中心到四条边的距离相等，∴|－3＋a |32＋(－1)2＝|－1－5|12＋32，得a ＝9或a ＝－3，∴另两条边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0.∴另三边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0,3x －y －3＝0.1．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0x ＋y ＋1＝0得正方形的中心坐标为P (－1,0)．由点到直线的距离公式得点P (－1,0)到直线x ＋3y －5＝0的距离 d ＝|－1＋3×0－5|12＋32＝3105.这时正方形的边长为6105，所以正方形的面积为S ＝⎝⎛⎭⎫61052＝725.2． [解] 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0x ＋y ＋1＝0得E (－1,0)又E (－1,0)关于(1,1)的对称点为(3,2)．根据平行四边形的性质知，另两边交点为(3,2)，把(3,2)分别代入2x －y ＋m ＝0，x ＋y ＋n ＝0，并解得m ＝－4，n ＝－5.故平行四边形的另两边所在直线方程为2x －y －4＝0和x ＋y －5＝0.1． A【解析】直线x ＋2＝0，即x ＝－2为平行于y 轴的直线，所以点(5，－3)到x ＝－2的距离d ＝|5－(－2)|＝7. 2． B【解析】∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a (a －2)－3＝0，2a －6(a －2)≠0，解得a ＝－1.∴l 1的方程为x －y ＋6＝0，l 2的方程为－3x ＋3y －2＝0，即x －y ＋23＝0，∴l 1，l 2间的距离是⎪⎪⎪⎪6－2312＋(－1)2＝823.3．2x －y ＋1＝0【解析】设l 的方程为2x －y ＋m ＝0，由题意知|m －3|5＝|m ＋1|5，解得m ＝1.故所求直线方程为2x －y ＋1＝0. 3． a >7或a <－3 【解析】根据题意，得|3a －6|32＋42>3，解得a >7或a <－3.5．[解] (1)当a ＝1时，直线l 1：3x ＋4y ―2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝02x ＋y ＋2＝0，解得交点(―2,2)．又由直线l 垂直于直线x ―2y ―1＝0，直线x ―2y ―1＝0的斜率k ＝12，∴k l ＝―2.∴直线l 的方程为y ―2＝―2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0. (2)直线l 1：3x ＋4ay ―2＝0(a ＞0)过定点N ⎝⎛⎭⎫23，0，又M ⎝⎛⎭⎫53，1，∴点M 到直线l 1的距离d 的最大值为|MN |＝√2。

山东省临清实验高中高中数学 3.3.3点到直线的距离和两条平行直线间的距离教案新人教A版必修2

3.3.3 点到直线的距离【教学目标】1.让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.2.引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.【重点难点】教学重点:点到直线距离公式的推导和应用.教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.【教学过程】导入新课思路1.点P(0,5)到直线y=2x 的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点P 的坐标为(x 0,y 0),直线l 的方程是Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?这节课我们就来专门研究这个问题.思路2.我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离.如图1,已知点P(x 0,y 0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P 到直线l 的距离(为使结论具有一般性，我们假设A 、B≠0).图1新知探究提出问题①已知点P(x 0,y 0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P 到直线l 的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么?②前面我们是在A 、B 均不为零的假设下推导出公式的，若A 、B 中有一个为零，公式是否仍然成立？③回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离) 活动：①请学生观察上面三种特殊情形中的结论:(ⅰ)x 0=0,y 0=0时，d=22||BA C +；(ⅱ)x 0≠0,y 0=0时，d=220||BA C Ax ++；(ⅲ)x 0=0,y 0≠0时，d=220||BA C By ++.观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P(x 0,y 0)，d=? 学生应能得到猜想：d=2200||BA C By Ax +++.启发诱导：当点P 不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P 到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理)证明：设过点P 且与直线l 平行的直线l 1的方程为Ax+By+C 1=0，令y=0，得P′(AC 1-,0). ∴P′N=221221|||)(|B A C C B A C A C A +-=++-•.(*)∵P 在直线l 1:Ax+By+C 1=0上, ∴Ax 0+By 0+C 1=0.∴C 1=-Ax 0-By 0. 代入(*)得|P′N|=2200||BA By Ax C +++即d=2200||BA C By Ax +++,.以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立.③引导学生得到两条平行线l 1:Ax+By+C 1=0与l 2:Ax+By+C 2=0的距离d=2221||BA C C +-.证明：设P 0(x 0,y 0)是直线Ax+By+C 2=0上任一点，则点P 0到直线Ax+By+C 1=0的距离为d=2200||BA C By Ax +++.又Ax 0+By 0+C 2=0,即Ax 0+By 0=-C 2，∴d=2221||BA C C +-.讨论结果：①已知点P(x 0,y 0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P 到直线l 的距离公式为d=2200||BA C By Ax +++.②当A=0或B=0时，上述公式也成立.③两条平行线Ax+By+C 1=0与Ax+By+C 2=0的距离公式为d=2221||BA C C +-.应用示例例1 求点P 0(-1，2)到下列直线的距离：(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.解:(1)根据点到直线的距离公式得d=5251012|102)1(2|22==+-+-⨯.(2)因为直线3x=2平行于y 轴，所以d=|32-(-1)|=35. 点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式.变式训练点A(a ，6)到直线3x －4y=2的距离等于4，求a 的值.解:2243|2643|+-⨯-a =4⇒|3a-6|=20⇒a=20或a=346. 例2 已知点A (1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC 的面积. 解:设AB 边上的高为h ，则S △ABC =21|AB|·h. |AB|=22)31()13(22=-+-， AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离. AB 边所在的直线方程为131313--=--x y ,即x+y-4=0. 点C 到x+y-4=0的距离为h=2511|401|22=+-+-，因此，S △ABC =21×2522⨯=5. 点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.变式训练求过点A(-1,2),且与原点的距离等于22的直线方程. 解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为x ＋y －1=0或7x ＋y ＋5=0.例3 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此, d=5353145314)7(2|80732|22==-++⨯-⨯. 点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离. 变式训练求两平行线l 1:2x+3y-8=0,l 2:2x+3y-10=0的距离.答案：1332.解:点O(0，0)关于直线l:2x-y+1=0的对称点为O′(-54,52)，则直线MO′的方程为y-3=413x. 直线MO′与直线l:2x-y+1=0的交点P(511,158--)即为所求，相应的||PO|-|PM||的最大值为|MO′|=5185. 课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.2.构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用.当堂检测导学案当堂检测【板书设计】一、点到直线距离公式二、例题例1 变式1 例2 变式2【作业布置】课本习题3.3 A 组9、10；B 组2、4及导学案课后练习与提高学校--临清实高学科--数学编写人—张子云审稿人--周静3.3.3 点到直线的距离课前预习学案一、预习目标让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离二、学习过程预习教材P 117~ P 119，找出疑惑之处问题1．已知平面上两点(0,3),(2,1)A B -，则AB 的中点坐标为，AB 间的长度为 .问题2．在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ，直线l 的方程是:0l Ax By C ++=，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?5分钟训练1.点（0，5）到直线y=2x 的距离是( )A.25 B.5 C.23D.252.两条平行直线3x+4y-2=0,3x+4y-12=0之间的距离为________________.3.已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x-y+3=0的距离为1,则a 的值等于( ) A.2 B.22- C.12- D.12+答案：C 三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1．理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式； 2．会用点到直线距离公式求解两平行线距离3．认识事物之间在一定条件下的转化.用联系的观点看问题学习重点:点到直线距离公式的推导和应用.学习难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立二、学习过程知识点1：已知点00(,)P x y 和直线:0l Ax By C ++=，则点P 到直线l 的距离为：0022Ax By C d A B++=+.注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离； ⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.问题1：在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ，直线方程0:=++C By Ax l 中，如果0A =，或0B =，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢并画出图形来.例分别求出点(0,2),(1,0)A B -到直线341x y -- 0=的距离.问题2：求两平行线1l ：2380x y +-=，2l ：23x y + 10-=的距离.知识点2：已知两条平行线直线1l 10Ax By C ++=，2:l20Ax By C ++=，则1l 与2l 的距离为d =注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使,x y 的系数相等.典型例题例1 求点P 0(-1，2)到下列直线的距离： (1)2x+y-10=0;(2)3x=2.变式训练点A(a ，6)到直线3x －4y=2的距离等于4，求a 的值.例2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC 的面积变式训练求两平行线l 1:2x+3y-8=0,l 2:2x+3y-10=0的距离当堂检测课本本节练习. 拓展提升问题：已知直线l:2x-y+1=0和点O(0，0)、M(0，3)，试在l 上找一点P ，使得||PO|-|PM||的值最大，并求出这个最大值. .学习小结1. 点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式课后巩固练习与提高30分钟训练1.点（3,2）到直线l :x-y+3=0的距离为( )A.24B.2C.22D.3 2.点P(m-n,-m)到直线nym x +=1的距离为( ) A.22n m + B.22n m - C.22n m +-D.22n m ±3.点P 在直线x+y-4=0上，O 为坐标原点，则|OP|的最小值为( ) A.13 B.22 C.6 D.24.到直线2x+y+1=0的距离为55的点的集合为( ) A.直线2x+y-2=0 B.直线2x+y=0C.直线2x+y=0或直线2x+y-2=0D.直线2x+y=0或直线2x+y+2=0 5.若动点A 、B 分别在直线l 1：x+y-7=0和l 2：x+y-5=0上移动,则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A.23B.22C.33D.24 6.两平行直线l 1、l 2分别过点P 1(1,0)、P 2(1,5),且两直线间的距离为５，则两条直线的方程分别为l 1：_________________,l 2：_______________.7.已知直线l 过点A(-2,3),且点B(1,-1)到该直线l 的距离为3，求直线l 的方程. 8.已知直线l 过点(1,1)且点A(1,3)、B(5,-1)到直线l 的距离相等，求直线l 的方程. 9.已知三条直线l 1：2x-y+a=0(a ＞0),直线l 2：4x-2y-1=0和直线l 3：x+y-1=0,且l 1与l 2的距离是5107. (1)求a 的值.(2)能否找到一点P,使得P 点同时满足下列3个条件:①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 到l 2的距离的21；③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是5:2？若能,求P 点的坐标;若不能,请说明理由.参考答案1.解析:由点到直线的距离公式可得d=222|323|=+-.答案：C 2.解析:⇒=+1nym x nx+my-mn=0，由点到直线的距离公式，得 222222222|||)(|n m n m m n n m mn m n m n +=+--=+---.答案：A3.解析:根据题意知|OP|最小时，|OP|表示原点O 到直线x+y-4=0的距离.即根据点到直线的距离公式，得2224=.答案：B4.解析:根据图形特点，满足条件的点的集合为直线，且该直线平行于直线2x+y+1=0，且两直线间的距离为55.设所求直线的方程为2x+y+m=0,根据平行线间的距离公式，得⇒=-555|1|m ｜m-1｜=1，解得m=2或m=0 故所求直线的方程为2x+y=0或2x+y+2=0. 答案：D8.解：直线l 平行于直线AB 时，其斜率为k=k AB =1531---=-1，即直线方程为y=-(x-1)+1⇒x+y-2=0；直线l 过线段AB 的中点M(2,1)时也满足条件，即直线l 的方程为y=1.综上，直线l 的方程为x+y-2=0或y=1.9.解：(1)根据题意得：l 1与l 2的距离d=⇒=+⇒=+27|21|51075|21|a a a=3或a=-4(舍).(2)设P 点坐标为(x 0,y 0),则x 0＞0,y 0＞0.若P 点满足条件②,则2×⇒--=+-5|212|5|32|0000y x y x ｜8x 0-4y 0+12｜=｜4x 0-2y 0-1｜,8x 0-4y 0+12=4x 0-2y 0-1或8x 0-4y 0+12=-(4x 0-2y 0-1)⇒4x 0-2y 0+13=0或12x 0-6y 0+11=0; ①若P 点满足条件③, 则⇒--⨯=+-⨯2|12|25|32|20000y x y x ｜2x 0-y 0+3｜=｜x 0+y 0-1｜,2x 0-y 0+3=x 0+y 0-1或2x 0-y 0+3=-(x 0+y 0-1),x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0; ②由①②得⎩⎨⎧=+=+-⎩⎨⎧=+=+-⎩⎨⎧=+-=+-023,011612023,01324042,013240000000000x y x x y x y x y x 或或⎩⎨⎧=+-=+-.042,0116120000y x y x 或解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=-=.1837,9121,32631,3221,300000000y x y x y x y x 或或或故满足条件的点P 为(-3,21)或(631,32-)或(21,32-)或(1837,91).。

0943高一数学《与点到直线的距离与两条平行直线间的距离》

必修2第3章3.3.3与点到直线的距离与两条平行直线间的距离一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学2》（人教版）第三章直线方程第三节的第三课时。

“点到直线的距离”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线相交后，进一步的量化关系是角度，而两条直线平行后，进一步的量化关系是距离，而平行线间的距离是通过点到直线距离来解决的．此外在研究直线与圆的位置关系、曲线上的点到直线的距离以及解析几何中有关三角形面积的计算等问题时，都要涉及点到直线的距离．所以“点到直线的距离公式”是平面解析几何的一个重要知识点．由于这一节是直线内容的结尾部分，学生已经具备直线的有关知识（如交点、垂直、三角形等），因此，一方面公式的推导成为可能，另一方面公式的推导也是检验学生是否真正掌握所学知识点的一个很好的课题．通过公式推导的获得，可以培养学生分析问题、解决问题的能力，以及自主探究和合作学习的能力．二、学生学习情况分析本节课学生很容易在以下两个地方产生错误：1.点到直线的距离公式的运用中没有把直线化成一般式;2.两直线的距离公式的运用中没有统一系数.三、教学目标1.让学生理解点到直线距离公式的推导思想，掌握点到直线距离公式及其应用，会用点到直线距离求两平行线间的距离；2.通过推导公式方法的发现，培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力;在推导过程中，渗透数形结合、转化（或化归）等数学思想以及特殊与一般的方法；3.通过本节学习，引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中获得的成功感．四、教学重点，难点重点：点到直线距离公式的推导和应用．难点：发现点到直线距离公式的推导方法．五、教学过程(一)．创设情境提出问题问题1:某电信局计划年底解决本地区最后一个小区P的电话通信问题．离它最近的只有一条线路通过，要完成这项任务，至少需要多长的电缆？经过测量，若按照部门内部设计好的坐标图（即以电信局为原点），得知这个小区的坐标为P（－1，5），离它最近线路其方程为2x+y+10=0．这个实际问题要解决，要转化成什么样的数学问题？学生得出就是求点到直线的距离．教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离．(二).自主探索推导公式问题2:已知点P(x0，y0)，直线：Ax+By+C=0，求点P到直线的距离．怎样求点到直线距离呢？学生思考，做垂线找垂足Q，求线段PQ的长度．问题3:怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢？提示在解决问题时先可以考虑特殊情况，再考虑一般情况．平行于x轴和y轴的特殊情况．学生解决．问题4:如何求？思路一：过作于点，根据点斜式写出直线方程，由与联立方程组解得点坐标，然后利用两点距离公式求得．评价：此方法思路自然．问题5:(1)求线段长度可以构造图形吗？(2)什么图形？如何构造？(3)第三个顶点在什么位置？ (4)特殊情况与一般情况有联系吗？构造三角形，把线段放在直角三角形中．第三个顶点在什么位置？可能在直线与x轴的交点M或与y轴交点N，或过P点做x,y轴的平行线与直线的交点R、S．思路二：在直角△PQM,或直角△PQN中,求边长与角（角与直线到直线角有关）,用余弦值．思路三：在直角△PQR,或直角△PQS中,求边长与角（角与直线倾斜角有关，但分情况）,用余弦值．思路四：在直角△PRS中，求线段PR、PS、RS，利用等面积法（不涉及角和分情况），求得线段PQ长．探索过程．（思路一）解：直线：，即由，（思路四）解：设，，，，；，由，而问题6:①上式是由条件下得出，对成立吗？②点P在直线上成立吗？③公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？(三).形成结论点P(x 0，y 0)到直线：Ax+By+C=0距离公式：适用于任意点、任意直线．(四). 应用举例例1.某电信局计划年底解决本地区最后一个小区P 的电话通信问题．离它最近的只有一条线路通过，经过测量，若按照部门内部设计好的坐标图（即以电信局为原点），得知这个小区的坐标为P （－1，5），离它最近线路其方程为2x+y+10=0．要完成这项任务，至少需要多长的电缆？例2.求点P 0(－1,2)到下列直线的距离：①3x=2 ②5y=3 ③2x ＋y=10 ④y=－4x+1 强调：直线方程的一般形式．例3.已知点(1,3),1A B C ，（3），（-1，0），求ABC ∆的面积例4.求平行线2x －7y ＋8=0和2x －7y －6=0的距离．问题7：如何求两平行线间的距离？距离如何转化？解：在直线2x －7y －6=0上任取点P(x 0，y 0)，则2 x 0－7 y 0－6=0，点P(x 0，y 0)到直线2x－7y ＋8=0的距离是．变式:已知直线12:2780,:62110l x y l x y --=--=，1l 与2l 是否平行？若平行，求1l 与2l 间的距离.(五)引申思考：与两平行线间距离公式．(六).课堂练习教材P108 练习.教材P109 练习1.(七).归纳总结①知识：点到直线的距离的公式推导以及应用．②数学思想方法：类比、转化（或化归）、数形结合、特殊与一般的方法．(八).课外作业：《习案》与《学案》。

3.3.3点到直线的距离公式

PR 2 PS 2 A2 B 2 Ax0 By0 C AB
l 过p作x轴的平行线, 交l与点R x1 , y0 ; R
AB 0, 这时l与x轴, y轴都相交,
y
P
RS
由三角形面积公式可得：
d RS PR PS
d A2 B 2 Ax0 By0 C AB
d
y
P(-1,2) O
2 1 1 2 10 2 1
2 2
2 5
②如图，直线3x=2平行于y轴，
2 5 d ( 1) 3 3 x 用公式验证，结果怎样？ l:3x=2
判断直线2x-7y-8=0与6x-21y-1=0是否平行？若平行求出两直线间的距离。 l1:2x-7y-8=0 l2: 6x-21y-1=0 在l1上任取一点，例如A(4,0) A(4,0) x O A到l2的距离等于l1与l2的距离 y
两平行线间的距离处处相等
d
6 4 21 0 1 6 21
2 2
23 23 53 159 3 P
l1
Q
两条平行线的距离公式
l2
x 任意两条平行直线都可以写成如下形式：
O
l1 :Ax+By+C1=0
在直线 l1上任取一点P x0 , y0 ,过点P作直线 l2的垂线,垂足为Q Ax0 By0 C2 则点P到直线l2的距离为: PQ A2 B2 点P在直线l1上， Ax0 By0 C1 0
l R
y
P d Q
O
Ax0 By0 C Ax0 By0 C . A B
S
x
d
Ax0 By0 C A2 B 2

三年级下册数学教案-7 两点之间的距离及点到直线的距离-青岛版(五四学制)

教案标题：三年级下册数学教案-7 两点之间的距离及点到直线的距离-青岛版（五四学制）一、教学目标1. 让学生理解并掌握两点之间的距离及点到直线的距离的计算方法。

2. 培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 两点之间的距离2. 点到直线的距离三、教学重点与难点1. 教学重点：两点之间的距离及点到直线的距离的计算方法。

2. 教学难点：如何引导学生理解并运用这些计算方法。

四、教学过程1. 导入在黑板上画出两个点A和B，让学生思考如何计算点A和点B之间的距离。

引导学生回顾已学的长度单位，如厘米、米等，并提示学生可以使用直尺来测量两点之间的距离。

2. 新课导入介绍两点之间的距离的概念，并给出计算公式：两点之间的距离等于两点间的直线距离。

用具体的例子进行演示，如点A(2,3)和点B(5,7)，计算它们之间的距离。

3. 活动一：计算两点之间的距离让学生分组，每组发一张坐标纸和几个点，让学生自己在坐标纸上画出几个点，并用直尺测量它们之间的距离。

然后，让学生计算这些距离，并核对自己的测量结果。

4. 活动二：点到直线的距离引导学生思考如何计算一个点到一条直线的距离。

首先，让学生画出一条直线和一点，然后用直尺测量这个点到直线的最短距离。

接着，给出点到直线的距离的计算公式：点到直线的距离等于点到直线的垂线的长度。

5. 活动三：应用出示一些实际问题，如计算点到直线的距离、计算两点之间的距离等，让学生运用所学的知识来解决这些问题。

6. 总结对本节课所学的内容进行总结，强调两点之间的距离和点到直线的距离的计算方法，并提醒学生在解决实际问题时要注意单位的转换。

五、作业布置1. 让学生完成课后练习题。

2. 让学生回家后，观察身边的物体，尝试计算两个物体之间的距离。

六、教学反思1. 在教学过程中，要注意引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的实际操作能力。

2. 在讲解点到直线的距离的计算方法时，可以结合具体的例子进行讲解，帮助学生理解。

点到直线的距离,两条平行直线间的距离

点到直线的距离、两条平行直线间的距离教材分析⒈教材的地位和作用“点到直线的距离”是高中课本第二册必修2，3.3.4，“直线”的最后一节，其主要内容是：点到直线的距离公式的推导及应用。

在此之前，学生已经学习了两点间的距离公式、定比分点公式、直线方程、两直线的位置关系，同时也学习了用代数方程研究曲线性质的“以数论形，数形结合”的数学思想方法。

在这个基础上，教材在第一章的最后安排了这一节。

点到直线的距离公式是解决理论和实际问题的重要工具，它使学生对点与直线的位置关系的认识从定性的认识上升到定量的认识。

点到直线的距离公式可用于研究曲线的性质如求两条平行线间的距离，求三角形的高，求圆心到直线的距离等等，借助它也可以求点的轨迹方程，如角平分线的方程，抛物线的方程等等。

教学目的1、知识目标：掌握点到直线距离的公式的推导及其运用；2、能力目标：培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力，数形结合、转化（或化归）、等数学思想、特殊与一般的方法以及数学应用意识与能力；3、德育目标：引导学生用联系与转化的观点看问题，了解和感受探索问题的方式方法，在探索问题的过程中获得成功的体验。

教学重点：公式的推导及其结论以及简单的应用。

教学难点：发现点到直线距离公式的推导方法。

教学方法：启导法、讨论法。

教学过程：一、创设情景给出定义某电信局计划年底解决本地区最后一个小区P的电话通信问题．离它最近的只有一条线路通过，要完成这项任务，至少需要多长的电缆？经过测量，若按照部门内部设计好的坐标图（即以电信局为原点），得知这个小区的坐标为P（－1，5），离它最近线路其方程为2x+y+10=0．[板书]点到直线的距离二、提出问题初探思路“求点P（-1，5）到直线l：2x+y+10=0的距离。

”提问学生解题思路，估计学生的思路：先求过点P的l的垂线'l的方程；再联立l、'l求垂足Q，最后用两点间距离公式求│PQ│。

[使学生巩固已学过的知识和方法，同时也为问题二的解决作铺垫。

人教A版选择性必修第一册2.3.3点到直线的距离公式学案

2．3.3 点到直线的距离公式导学目标 1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，发展数学运算与逻辑推理素养.2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用．导语距离问题是几何学的基本问题之一，上节课我们学习了两点间的距离公式，知道两点间的距离可以由两点坐标表示．在平面直角坐标系中，我们用坐标描述点，用方程刻画直线，当点与直线的位置确定后，点到直线的距离可以由点的坐标与直线的方程确定，如何确定呢？一、点到直线距离公式的推导问题1 如图，平面直角坐标系中，已知点P (x 0，y 0)，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)，怎样求出点P 到直线l 的距离呢？提示根据定义，点P 到直线l 的距离是点P 到直线l 的垂线段的长，如图，设点P 到直线l 的垂线为l ′，垂足为Q ，由l ′⊥l 可知l ′的斜率为B A，∴l ′的方程为y －y 0＝B A(x －x 0)，与l 联立方程组，解得交点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2x 0－ABy 0－AC A 2＋B 2，A 2y 0－ABx 0－BC A 2＋B 2， ∴|PQ |＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 问题2 上述推导过程有什么特点？反思求解过程，你能发现出现这种状况的原因吗？提示推导过程思路自然，但运算量较大，一是求点Q 的坐标复杂，二是代入两点间的距离公式化简复杂．问题3 向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，怎样用向量方法求点到直线的距离呢？提示 PQ →可以看作PM →在直线l 的垂线上的投影向量，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)的斜率为－A B，所以m ＝(B ，－A )是它的一个方向向量．(1) 由向量的数量积运算可求得与直线l 垂直的一个单位向量n ＝1A 2＋B2(A ，B )． (2) 在直线l 上任取点M (x ，y )，可得向量PM →＝(x －x 0，y －y 0)．(3) |PQ |＝|PQ →|＝|PM →·n |＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 知识梳理距离公式：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 注意点：(1)利用公式时直线的方程必须是一般式；(2)分子含有绝对值；(3)若直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则当A ＝0或B ＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．二、点到直线距离公式的简单应用例1 (1)点P (－1,2)到直线2x ＋y －10＝0的距离为________．(2)已知坐标平面内两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则实数m 的值等于________．★lx 资源-[答案](1)25 (2)－6或12★lx 资源-[解析](1)由点到直线的距离公式得 |－1×2＋2×1－10|22＋12＝2 5. (2)依题意得|3m ＋2＋3|m 2＋1＝|－m ＋4＋3|m 2＋1， ∴|3m ＋5|＝|m －7|，∴3m ＋5＝m －7或3m ＋5＝7－m ，∴m ＝－6或m ＝12. 反思感悟点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可．(2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程(组)即可．加固检验1 (多选)若点P (3，a )到直线x ＋3y －4＝0的距离为1，则a 的值为( ) A.3B ．－3C.33D ．－33★lx 资源-[答案]AD★lx 资源-[解析]由题意得|3＋3a －4|1＋3＝|3a －1|2＝1，解得a ＝3或a ＝－33. 三、点到直线距离公式的综合应用例2 已知点P (2，－1)，求过点P 且与原点距离为2的直线l 的方程．解当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0，由点到直线的距离公式得|－2k －1|1＋k2＝2，解得k ＝34，所以直线l 的方程为3x －4y －10＝0.故直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.延伸探究求过点P (2，－1)且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？解设原点为O ，连接OP (图略)，易知过点P 且与原点距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线．由l ⊥OP ，得k l ·k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2. 所以直线l 的方程为y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0，即直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5. 反思感悟解决有限条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的．加固检验2 已知直线l 过点M (－1,2)，且点A (2,3)，B (－4,5)到l 的距离相等，求直线l 的方程．解方法一当过点M (－1,2)的直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，此时点A (2,3)与点B (－4,5)到直线l 的距离相等，故x ＝－1满足题意；当过点M (－1,2)的直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由点A (2,3)与B (－4,5)到直线l 的距离相等，得|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，解得k ＝－13，此时l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0. 综上所述，直线l 的方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0.方法二由题意得l ∥AB 或l 过线段AB 的中点．当l ∥AB 时，设直线AB 的斜率为k AB ，直线l 的斜率为k l ，则k l ＝k AB ＝5－3－4－2＝－13，此时直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 的中点(－1,4)时，直线l 的方程为x ＝－1.综上所述，直线l 的方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0.1．知识清单：(1) 点到直线的距离公式的推导过程；(2) 点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2； (3) 公式的应用．2．方法归纳：公式法、数形结合．3．常见误区：设直线方程忽略斜率是否存在．1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( )A ．1B.3C ．2D. 5★lx 资源-[答案]D2．(多选)已知点M (1,4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m 等于( )A ．0B.34C ．3D ．2 ★lx 资源-[答案]AB★lx 资源-[解析]点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝3，所以m ＝0或34. 3．已知点M (1,2)，点P (x ，y )在直线2x ＋y －1＝0上，则|MP |的最小值是( )A.10B.355C. 6D ．3 5★lx 资源-[答案]B★lx 资源-[解析]点M 到直线2x ＋y －1＝0的距离，即为|MP |的最小值，所以|MP |的最小值为|2＋2－1|22＋12＝355. 4．已知直线l 经过点(－2,3)，且原点到直线l 的距离等于2，则直线l 的方程为__________． ★lx 资源-[答案]x ＋2＝0或5x ＋12y －26＝0★lx 资源-[解析]当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－2，符合原点到直线l 的距离等于2.当直线l 的斜率存在时，设所求直线l 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，由d ＝|0－0＋2k ＋3|1＋k2＝2，得k ＝－512，即直线l 的方程为5x ＋12y －26＝0. 综上，直线l 的方程为x ＋2＝0或5x ＋12y －26＝0.。

点到直线的距离教案全套

点到直线的距离教案全套教学目标1、结合具体情境，理解"两点间所有连线中线段最短"，知道两点间距离和点到直线的距离。

2、在对两点间的距离和点到直线的距离知识的探究过程中，培养观察、想象、动手操作的能力，发展初步的空间观念。

3、在解决实际的问题过程中，体验数学与日常生活的密切联系，提高学习兴趣，学会与他人合作共同解决问题。

4、激发学生探究学习的积极性和主动性。

教学重点与难点理解"两点间所有连线中线段最短"，知道两点间距离和点到直线的距离。

教具三角尺、直尺教学过程一、专项训练1画一条长3cm的线段。

2、过A点画已知直线的平行线和垂线。

二、交流展示同学们，修路时遇河要怎样？架桥时如果遇到大山怎么办？（出示课件）学生观察情境图，说一说自己的意见。

得出结论，可以修隧道。

1、画一画：教师出示课件师：我们先确定两个点代表大山两侧的甲乙两地，怎样从甲地到达乙地？有没有更近的路线？自己动手画一画，看能发现什么？（组织学生进行小组讨论，给学生充足的要论的时间）2、让学生展开交流，使他们各抒己见，充分发表自己的意见和见解。

师：通过观察思考，你能得出什么结论？学生独立思考后画出几条不同的线，通过观察、测量得出结论。

教师出示课件，让学生检验自己的结论是否正确。

3、学生通过操作感知：两点之间线段最短。

（板书）4、小游戏：（投影出示课件）教师让四个同学站在同一水平线上（两个同学之间要间隔一段距离），抢板凳，板凳与其中的一个同学正对着，根据他们站的位置，谁最有可能抢到板凳？（先让学生们猜一猜，教师统计一下结果，然后让四个学生去做，其它同学认真观察，看结果究竟如何）师：这样公平吗？为什么？（教师请同学们说明原因）再让四个同学按照开始时的情形站好，让两个同学分别测量四个同学所站的位置到板凳的长度，教师把学生测量的数据记在黑板上。

让学生观察数据，分析游戏的结果，得出结论。

师：请同学们把刚才游戏的模拟图画出来，并测量每个同学到板凳的距离，分别记下来。

人教版小学四年级上册数学学案4.点到直线的距离

点到直线的距离预习指南:通过画、量、比、想的过程,发现点到直线间垂直线段最短的性质;会测量点到直线的距离;会利用垂直线段的性质解释一些生活现象;体验并理解平行线间的距离处处相等。

1.从直线外一点向这条直线可以画出多少条线段?多少条垂直线段?2.小明同学在A点,要到马路对面去,最短的路线是哪一条?()A. B. C.3.教材第59页例3。

(1)从点A向已知直线画一条垂直的线段和几条不垂直的线段,量一量这些线段的长度。

测量发现,这些线段中( )的长度最短。

(2)认识点到直线的距离。

从直线外一点到这条直线所画的( )线段的长度,叫做这点到直线的( )。

(3)从直线外一点到这条直线的所有线段中,( )线段最短。

(4)在两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段,这些线段的长度都( ),都是这两条平行线之间的( )。

4.东东的爸爸准备从点A向小河修一条水渠,最近的是( )。

A. B. C.5.如图,AB⊥BC,AB=6厘米,BC=8厘米,AC=10厘米。

点C到AB的距离是()厘米。

6.小芳在两条直线间画出了5条垂直线段,它们的长度都相等,这两条直线( )。

A.相交B.互相垂直C.互相平行7.怎样挂画又正又快?每日口算102×80=118×2=32×20=36×50=141×4= 118×5=120×4=40×28=122×8=124×5=参考答案1. 可以画无数条线段,只能画一条垂直线段。

2. A3. (1)垂直线段(2)垂直距离(3)垂直(4)相等距离4. B5. 86. C7.让两根绳子一样长。

每日口算:8160 236 640 1800 564 590 480 1120 976 520。

2021_2022学年高中数学第3章直线与方程3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离

2．两条平行直线间的距离 (1) 定义：夹在两条平行直线间 _公__垂__线__段_ 的长叫做这两条平行直线间的距
离． (2)求法：转化为求_点__到__直__线_的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，
这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离．
[思路点拨]
思路一
由直线平行设出方程
→
利用平行线间的距离公式求解
思路二
设出直线上任意一点的坐标
→
Байду номын сангаас
利用点到直线的距离公式求出直线上的点满足的方程即可
[解析] 方法一由已知可设所求直线的方程为 2x－y＋C＝0(C≠－1)，则它与直线 2x－y－1＝0 的距离为 d＝ |C22－＋－－11|2＝|C＋51|＝2，
互动探究学案
命题方向1 ⇨点到直线的距离公式
典例 1 求点 P(3，－2)到下列直线的距离． (1)y＝34x＋14； (2)y＝6; (3)x＝4. [思路分析] 解答本题可先把直线方程化为一般式(特殊直线可以不化)，然后再利用点到直线的距离公式及特殊形式求出相应的距离．
[解析] (1)把方程 y＝34x＋14写成 3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得 d ＝|3×3－324＋×－－422＋1|＝158.
或 x＋y－6＝0.
综上，所求直线 l 的方程为 x－y＝0 或 7x＋y＝0 或 x＋y－2＝0 或 x＋y－6＝
0.
命题方向2 ⇨求两平行直线的距离
典例 2 (2019·山东省烟台市期末)与直线 2x－y－1＝0 平行，且距离为 2 的直线方程为_2_x_－__y_＋__2__5_－___1_＝__0_或___2_x－__y_－__2___5_－__1_＝__0_. ______

学案25直线的交点坐标与距离公式

【学案二十五】 3.3直线的交点坐标与距离公式一、知识导学：1、理解求两条直线交点的方法思想，能正确地通过解方程组确定交点坐标并通过求交点坐标判断两条直线的位置关系；2、通过沟通方程组的解的情况与相应两条直线的交点个数（位置关系）情况，进一步渗透数形结合、坐标法思想。

3、掌握直角坐标系中两点间、点到直线和两条平行线的距离公式的推导及应用，会用坐标法证明简单的几何问题。

二、基础知识：1、点的坐标与直线方程的关系：已知两条直线:0l A x B y C ++=，:0l A x B y C ++=相交。

212已知两条直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，将方程联立，得⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A ，对于这个方程组解的情况有三种：（1）若方程组有唯一解⎩⎨⎧==00y y x x ，则1l 、2l 有___________的公共点，此解就是交点坐标),(y x P ，即l 与l 相交。

（2_________，（3例1 （1）1l ：0=-y x ，2l ：01033=-+y x ；（2）1l ：03=-y x ，2l ：026=-y x ；（3）1l ：0543=-+y x ，2l ：68150x y +-=。

例2、已知直线1l ：06=++my x ，直线2l ：023)2(=++-m y x m ，当m 为何值时，1l 与2l 相交、平行、重合？例3、求经过两直线042:1=+-y x l 和02:2=-+y x l 的交点P ，且与直线0543:3=+-y x l 垂直的直线l 的方程。

3例例5、已知点A （1，3），B （3，1），C （－1，0），求三角形ABC 的面积。

例6、求两平行线1l ：0832=-+y x ，2l ：01032=-+y x 间的距离.三、达标训练：1、直线1l ：0243=-+y x 与直线2l ：0242=++y x 的交点坐标为______。

3.3.3点到直线的距离和3.3.4两平行线间的距离学案

y
A
h C
O
B
探究二。两平行线间的距离公式的应用。探究二。两平行线间的距离公式的应用。公式的应用例 3、已知直线 l1 : 3 x − 4 y − 8 = 0, l2 : 3 x − 4 y + 2 = 0 ，求 l1 与 l2 间的距离。
x
例 4、已知直线 l1 : 2 x − 7 y − 8 = 0, l2 : 6 x − 21 y − 1 = 0 ， l1 与 l2 是否平行？若平行，求 l1 与 l2 间的距离。
当 A=0 时，公式。
合作探究
探究一。点到直线的距离公式的应用。探究一。点到直线的距离公式的应用。距离公式的应用例 1、求点 P0 ( −1, 2) 到直线 l : 3 x = 2 的距离。
例 2、已知点 A(1,3), B (3,1), C ( −1, 0) ，求 ∆ABC 的面积。（如下图）
探究三。距离公式的综合应用。探究三。距离公式的综合应用。例 5.求经过点 P（1，2）的直线，且使 A（2，3），B（0，-5）到它的距离相等的直线方程。
1
连南民族高级中学“学案导学”课堂教学活页学案执笔人：雷训福审阅人：姚尹赞时间：09 年 12 月 16 日课堂达标课堂达标 [一层练习：一层练习]：一层练习 1.已知点 A（ a ，6）到直线 3 x －４ y ＝2 的距离 d=4，则 a 的值为 2.求点 p(3, −2) 到下列直线的距离：（1） y =
连南民族高级中学“学案导学”课堂教学活页学案执笔人：雷训福审阅人：姚尹赞时间：09 年 12 月两平行线间的距离学案 3.3.3 点到直线的距离和 3.3.4 两平行线间的距离学案
学习目标：学习目标：

2012年高一数学新人教A版必修二学案3.3《直线的交点坐标与距离公式》

§ 3.1两条直线的交点坐标12.体会判断两直线相交中的数形结合思想.五、预习与自学（预习教材P 102~ P 104，找出疑惑之处）问题1：已知两直线方程1111:0l A x B y C ++=，222:l A x B y +20C +=，如何判断这两条直线的位置关系？应用：可以利用两直线的个数判断两直线的位置关系：（1）若二元一次方程组有一个解，则1l 与2l 。

（2）若二元一次方程组无解，则1l 与2l 。

（3）若二元一次方程组有无数个解，则1l 与2l 。

探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？问题2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？求法：用代数法求两条直线的交点坐标，两直线方程联立方程组，此方程组的就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可。

尝试：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标. ⑴1:20l x y -=，2:34100l x y +-=； ⑵1:30l x y -=，2:6210l x y -+=； ⑶1:3460l x y +-=，2:68120l x y +-=.§ 3.3.1两条直线的交点坐标1.一、当堂检测：1. 两直线12:210,:220l x y l x y ++=-++=的交点坐标为（）.A ．13(,)24B ．13(,)24-C ．13(,)24--D ．13(,)24-2. 两条直线320x y n ++=和2310x y -+=的位置关系是（）. A ．平行 B ．相交且垂直 C ．相交但不垂直 D ．与n 的值有关3．当k 为何值时，直线3y kx =+过直线2x y - 10+=与5y x =+的交点?二、综合提高例1、求经过两直线2310x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=平行的直线方程.变式：求经过两直线2310x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=垂直的直线方程.例2、当λ变化时，方程 3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0表示何图形，图形有何特点？求出这些图形的交点坐标。

3.3.3 点到直线的距离公式

.当 A=0 或
1. 点 P(2，-3)到直线 l ：3x+4y-4=0 的距离等于 2. 点 P（3，-3）到直线 l ：y-4=0 的距离等于
基
3. 已知点 A(3，m)到直线 l ： x 3 y 4 0 的距离等于 1，则 m=（
）
A.3Βιβλιοθήκη B. 3C.

础
3 3
D.
3或
3 3
4.直线 x+y+2=0 上点到原点距离的最小值为（
层
次
4.过点（-1,4）作直线 L，使点 M（1,2）到直线 L 距离最大，则直线 L 的方程是什么？
1.已知点 A（3，m）到直线 l: x 3 y 4 0 的距离等于 1，则 m=_________ 2.x 轴上的一点（a,0）到第一，三象限的平分线的距离为（ A． 2 a . 反 B ）
灵石一中课前自主学习型学案高二数学学科(赵翠娥)主编
课题班级目标重点难点 3.3.3 点到直线的距离小组理解并掌握点到直线距离公式的推导和应用点到直线的距离公式点到直线的距离公式的推导过程
l ： Ax By C 0 ,如何求点 P0 到直线 l 的距离？ 1. 已知点 P 0 ( x0 , y0 ) ，直线
） D. 2
层
A. 1
B.
2
C.
3
次 1. 已知点 A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求 ABC 的面积。
2. 已知直线 l 过点 A（0， 10 ），且原点 O 到直线 l 的距离为 5 ，求直线 l 的方
程。
探 3. 若动点 P 到点 F （1,1）和直线 3x+4y-5=0 的距离相等，则点 P 的轨迹方程是什么？究

点到直线的距离公式的教学设计

点到直线的距离公式教学设计李亚敏2.2.4点到直线的距离公式教学设计一、教材分析本节是在研究了两条直线的位置关系的判定方法基础上，研究两条直线平行线间距离的一个重要公式。

推导此公式，把对点与直线从定性的认识上升到了定量的认识，不仅完善了两条直线位置关系这一知识体系，而且也为将来用代数方法研究曲线的性质奠定了基础。

更为重要的是本节课能使学生在探索过程中深刻领悟到蕴涵于公式推导中的重要数学思想和方法，学会用化归思想，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的分析问题、解决问题的能力，同时培养学生浓厚的数学兴趣和良好的学习品质。

二、学情分析学生在此之前已学习了点点距离、线线位置关系，初步掌握了“用代数的方法研究曲线的性质”这一研究平面解析几何问题的重要方法，并且高二的学生已经基本能够从特殊的情况中发现规律，从而推广为一般情况，所以本节课只要做好这种引导工作，学生是比较容易理解的。

这也是本节课要突出的“从特殊到一般”的课堂设计的原因，能使学生充分地参与进来，体会到成功的喜悦。

三、教学目标1、认知目标：①探索并掌握点到直线的距离公式；②会求两条平行直线间的距离；③体会“数形结合”研究解析几何的思想.2、能力目标：通过让学生在实践中的探索、观察、反思、总结，发现问题、解决问题，进而培养学生的观察、归纳能力，思维、应用和创新能力。

3、情感目标：培养学生勇于探索、善于研究的精神，培养其良好的数学学习品质。

四、教学重点和教学难点：教学重点：空间两点距离公式；教学难点：空间两点距离公式的推导.五、教学方式1教法在“以生为本”的理念指导下，充分体现“学生为主体，教师为主导”。

本节课的主要任务是公式推导思路的获得和公式的推导和应用。

我选择的是问题解决法，启发引导法等，通过一系列问题，创造思维情境，通过师生互动，让学生体验、探究、发现知识形成和应用过程，以及思考问题的方法，促进思维发展，学生自主学习，使学生真正成为教学的主体。

(最新部编教材)四年级数学上册精品学案附参考答案：点到直线的距离

4 点到直线的距离向已知直线画一条垂直的线段和几条不垂直的线段量一量这些线段的长度。

( )的线段最短。

认识点到直线的距离。

从直线外一点到这条直线所画的( )垂线的画法和测量线段的长度。

参考答案：1. ( )()( )()2. 垂直3. 垂直距离4. 垂直5. 相等距离6. 第②条八数学广角——优化教材分析1.教材由一个生活情境来引出问题,并给出沏茶的各项工序及所需的时间。

这些工序有先后顺序,有些顺序可以改变,有些不能改变。

如洗茶壶、接水、烧水、沏茶顺序不能改变。

但有些事情是可以同时进行的,比如在烧水的时候可以洗茶杯、找茶叶等,能同时做的事情尽量同时做,这样才能节省时间。

这里的方案可以多样化,但最终要实现最优化。

教材这里用流程图的形式帮助学生来表示解决问题的方案,从中找出最优的方案。

这里重点要突出优化的实际意义。

让学生体会优化的作用。

教材通过烙饼问题:怎样烙最省时间让学生体会优化理论。

教材给出不同的方案,学生通过计算和讨论,找出最优的方案。

教学时可以让学生借助硬币等物品来摆一摆、试一试,记录下结果,通过操作来发现。

解决烙三个饼的问题后,可以让学生进一步扩展到4个、5个……10个,让学生探索奇数个饼和偶数个饼的烙饼方案有什么规律,实际也是一种化归的思想。

2.优化思想也就是运筹思想在我国古代就已经开始运用了,比如战国时期的“田忌赛马”就是对策论的应用。

对策论是优化的一种,它研究的是竞争的双方采取怎样的策略能战胜对手。

在我们的生活中有着广泛的应用,体育比赛中像乒乓球团体赛时,如何安排选手的上场顺序,就要用到对策论的方法。

教材由“田忌赛马”的故事来引入对策论的应用问题,这个故事学生都听过,但并不是从数学的角度来理解的,这里就是通过这个故事让学生来体会对策论方法在实际生活中的应用。

学情分析教材利用学生易于理解的生活实例或经典的数学问题渗透数学思想方法,让学生感受到数学与生活的联系。

由于这些思想方法比较抽象,必须借助一些具体的情境来帮助学生理解。

点到直线的距离

太原师范学院附属中学2014-2015高二数学学案3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离班级小组姓名【学习目标】1.掌握点到直线的距离公式及其应用．2．会求两条平行直线间的距离. 【重点难点】重点：点到直线的距离公式和求两平行直线间的距离；难点：点到直线的距离公式的应用. 【自主学习】任务一：阅读课本108106p p ，回答以下问题; 1. 回顾两点间的距离公式是什么？2. 已知点),(000y x p ，直线L:Ax+By+C=0,如何求点0p 到直线L 的距离？有几种方法?3. 写出点到直线的距离公式？应用点到直线的距离公式对直线方程形式有什么要求？例1：求点P (3，－2)到下列直线的距离．(1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4任务二：阅读课本回答以下问题： 1. 设直线间的距离？与如何求2121,//l l l l（1）能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离？2. 写出两条平行直线间的距离公式。

例2：求两平行线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0间的距离【解决问题】1.与直线2x＋y＋1＝0的距离等于55的直线方程为( )A．2x＋y＝0 B．2x＋y－2＝0C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝02. 若点(－2，k)到直线6x－8y＋8＝0上的点的距离的最小值是2，则k的值为( )A.12B．2 C．－3 D．2或－33. 点M(2，－3)，N(4，－5)在直线ax＋y－3＝0的同侧且到直线的距离相等，则a的值为( )A．－3 B．1 C．5 D．44. 直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为( )A．3x－y－13＝0 B．3x－y＋13＝0 C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y＋13＝0 5. 与两平行直线：l1：3x－y＋9＝0，l2：3x－y－3＝0等距离的直线方程为________．6. 点P在直线x＋3y＝0上，且P到原点的距离与P到直线x＋3y－2＝0的距离相等，则点P的坐标是________．7. 直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4,3)到直线l的距离为32，求直线l的方程．8. 过点B(3,4)作直线l，使之与点A(1,1)的距离等于2，求此直线l的方程．9.已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a、b的值．(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直．(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等．10.已知点A(－3,5)、B(2,15)，试在直线l：x－y＝0上找一点P，使|PA|＋|PB|最小，并求出最小值．。

学案2：2.3.3 点到直线的距离公式

2.3.3 点到直线的距离公式学习目标1. 会用向量工具推导点到直线的距离公式.2.掌握点到直线的距离公式,能应用点到直线距离公式解决有关距离问题.3.通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力重难点重点：点到直线的距离公式的推导思路分析；点到直线的距离公式的应用．难点：点到直线的距离公式的推导不同方法的思路分析．新知初探1.点到直线的距离(1)定义:平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度.(2)图示:(3)公式:d=00√A2+B2.点睛：(1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式.(2)当点P在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用.小试牛刀1.判断对错：点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为0√1+k2. ()2.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是()A.12B.32C.3√22D.√223.你能说出代数式|√3a+b+1|2的几何意义吗?情境导学在公路附近有一家乡村饭馆,现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路.请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短?思考1：最容易想到的方法是什么？反思：这种解法的优缺点是什么？我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具。

能否用向量方法求点到直线的距离？如图，点P 到直线l 的距离，就是向量PQ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模，设M(x,y)是直线l 上的任意一点， n 是与直线l 的方向向量垂直的单位向量，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 是PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在上n 的投影向量, |PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n|。

思考2：如何利用直线l 的方程得到与的方向向量垂直的单位向量n ？思考3：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？典例解析例1、求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.规律方法应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．跟踪训练1 已知直线l 经过点M (-1,2),且A (2,3),B (-4,5)两点到直线l 的距离相等, 求直线l 的方程.延伸探究若将本题改为“已知直线l 经过点M (-1,2),点A (2,3),B (-4,5)在l 的同侧且到该直线l 的距离相等”,则所求l 的方程为 .易错点——因对斜率的情况考虑不全面而致错案例求经过点P (-3,5),且与原点距离等于3的直线l 的方程.当堂检测1.点(1,-1)到直线y=1的距离是( ) A.√2B.√22C.3D.22.已知点A (-3,-4),B (6,3)到直线l :ax+y+1=0的距离相等,则实数a 的值等于( ) A.79B.-13C.-79或-13D.-79或133.直线3x-4y-27=0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是 .4.已知△ABC 三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC 的面积S.5.已知直线l 经过点P (0,2),且A (1,1),B (-3,1)两点到直线l 的距离相等,求直线l 的方程.课堂小结1.点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式.2.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰.参考答案小试牛刀1.×2.C【解析】由点到直线的距离公式可得√2=3√22. 3.该代数式可表示平面内点(a ,b )到直线√3x+y+1=0的距离.情境导学思考1：思路①. 定义法,其步骤为：①求l 的垂线lPQ的方程② 解方程组，③得交点Q的坐标④求|P Q|的长思考2：设P 1(x 1,y 1),P 2（x 2,y 2）直线l ：Ax +By +C =0 上的任意两点，则P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−x 1,y 2−y 1)是直线l 的方向向量。