常考定理总结(八大定理)

l

m

β

α

α

b

a

立体几何的八大定理

一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行

文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．

的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫

⎪

⊂⎬⎪⎭

⇒//a α

关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行

文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．

，那么这条直线就和交线．．

平行. 符号语言：//l l m α

βαβ⎫

⎪

⊂⎬⎪⋂=⎭

⇒//l m

关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行

文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．

，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αα

αβββ

⊂⎫⎪⊂⎪⎪

=

⇒⎬⎪⎪⎪⎭

∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:

////a a b b αβαγβγ⎫

⎪

⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭

关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．

文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.

符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．

n

m

A

α

a

B

A l β

αa

β

α

五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直

文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．

，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a m

a n a m n A m n ααα⊥⎫

⎪⊥⎪

⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭

关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直

文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．

一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫

⇒⊥⎬⊂⎭

关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直

文字语言：如果一个平面经过．．

另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）

符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭

关键．．点：在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．

八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直

文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．

的直线垂直于另一个平面.

符号语言：l AB AB AB l

αβαββα⊥⎫

⎪=⎪

⇒⊥⎬⊂⎪

⎪⊥⎭

关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

一、线线、线面和面面的位置关系

两直线位置关系

a b a b

a b ⎧⎧⎨⎪⎨⎩⎪⎩

=A 共面//异面-----与异面

线面位置关系

//l l A l l l ααααα⊂⎧⎪⎧⎧⎪

=⎪⎨

⎨⊄⊥⎨

⎩⎪⎪⎪

⎩⎩

斜交垂直:

面面的位置关系 a αβαβαβ

⎧⎪

⎧⎨

⎨⎪⊥⎩⎩

平行：//斜交：=相交垂直：

二、有关平行的证明

线 ∥ 线

⑴//////a c a c

b b ⎫⇒⎬⎭ 线∥线⇒线∥线 （都是直线）

⑵////a a a b b αβαβ⎫⎪⎬⎪⎭⊂⇒= 线∥面⇒线∥线 （相交平面）

⑶////a a b b αβαγβγ=⇒=⎫

⎪⎬⎪⎭ 面∥面⇒线∥线 （平行平面）

⑷//a a b b αα⎫⎬⇒⎭⊥⊥ 同垂直于一个平面 ⇒线∥线 （线面垂直）

线∥面

⑴////a b a a b ααα⎫

⎪⎭

⇒⎪⎬⊄⊂ 线∥线⇒线∥面

⑵////a a αββα⎫

⇒⎬⎭

⊂ 面∥面⇒线∥面

面∥面

,////,//a b a b O a b αααβββ⎫

⎪

⎬⎪⎭

⊂⊂=⇒线∥面⇒面∥面

线⊥线

//

a c

b c

a b

⊥⎫

⇒⊥

⎬

⎭

线⊥线⇒线⊥线

a

a b

b

α

α

⊥⎫

⇒⊥

⎬

⊂⎭

线⊥面⇒线⊥线

线⊥面

,

,

l a l b

a b P l

a b

α

αα

⊥⊥⎫

⎪

=⇒⊥

⎬

⎪

⊂⊂⎭

线⊥线⇒线⊥面

l

a

a

a l

αβ

αβ

β

α

⊥⎫

⎪

=⎪

⇒⊥

⎬

⊂⎪

⎪

⊥⎭

面⊥面⇒线⊥面

面⊥面

a

a

β

αβ

α

⊥⎫

⇒⊥

⎬

⊂⎭

线⊥面⇒面⊥面

四、三种角的范围

异面直线所成角

(]

0,90

θ∈︒︒

直线与平面所成角

[0,90]

PAO

∠∈︒︒

二面角

[0,180]

AOB

∠∈︒︒

五、三角形的四心六、平面几何中结论

外心：中垂线的交点

外接圆的圆心

中位线定理——中位线平行且等于底边的一半内心：角平分线的交点

内切圆的圆心

线段对应成比例⇔线线平行

重心：中线的交点（2比1）两组对边平行或一组对边平行且相等的四边形为平行四边

形

垂心：高的交点一组对边平行且不相等的四边形为梯形