理论力学第二章质点组力学
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第二章1-2质点组力学
例1、当质量为m的人在质量为M的车上行走时,如车与 地的摩擦可以忽略,已知人对地速度为v1,或已知人对车 的速度为v’, 试计算车对地的速度v2.设开始时人和车相 对地是静止的. 解: 由于重力和地面支持力抵 消,各种阻力忽略,故系统动量 守恒,如已知人对地速度为v1, 而开始时人和车相对地是静止
碰撞打击等动量守恒定律是物理学中最重要最普遍的定律之一它不仅适合宏观物体同样也适合微观领域例1当质量为m的人在质量为m的车上行走时如车与地的摩擦可以忽略已知人对地速度为v或已知人对车的速度为v试计算车对地的速度v
第二章
质点组力学
§2.1 质点组 导读
• 质点组
• 系统内力
• 系统外力 • 质心
1．质点组的内力和外力 设 有n个质点构成一个系统 第i个质点：
解： v= 2.5103 m/s vr= 103 m/s
设：头部仓速率为v1，容器仓速率为v2
(m1 m2 ) v m1v1 m2 v2 m1 ( v2 vr ) m2 v2
m1vr v2 v 2.17 103 m s 1 m1 m2 3 1 v1 v2 vr 3.17 10 m s
12 rC 6.8 10 mi
例2 求半径为 R 的匀质半薄球壳的质心. 解 在半球壳上取一圆环, 其质量
y
dm ds
Rsin θ
Rdθ
R
2 πR sin d
2
由于球壳关于 y 轴 对称，故 xC = zC = 0
z
2 πR 2
θ
O
dθ
Rcosθ
x
1 yC ydm m'
3 动量守恒定律 系统所受合外力为零时, 系统的总动量保持不变
理论力学021
上式从左边矢乘 ri ，并对 i 求和可得到
n n d 2 ri (i ) (ri mi 2 ) (ri Fi ) (ri Fi ( e ) ) dt i 1 i 1 i 1 n
(2.3.1)
对于内力
(ri Fi (i ) ) 0
i 1
n
(2.3.2)
n d 2 ri mi 2 Fi ( e ) dt i 1 i 1 n
(2.2.3)
而左边求和
d 2 ri d n dri d n dp mi dt 2 dt (mi dt ) dt (mi vi ) dt i 1 i 1 i 1
n
式中
p (mi vi )
系为非惯性系，但由于质心的特殊性，惯性力在质点组对质 心的动量矩定理中并未起作用。
这是由于惯性力的合力通过质点组的质心，力矩为零。所以
尽管质心为动点，仍得出与固定点一样的动量矩定理。
很明显对于其他动点就不一定得出类似的动量矩定理。
19
例：在具有水平轴的滑轮上悬挂有一根绳子，绳子的两端距 通过该轴水平面的距离为 s 和 s。两个质量分别为 m 与 m 的 人抓着绳子的两端，他们同时开始以 匀加速度向上爬并同时到达滑轮轴所 在的水平面，假定滑轮的质量可忽略， 且所有的阻力也可以忽略不计，问需 多久时间，两人可以同时到达？
再次 对时间微商，并由 (2.2.4) 可得
n dv C m Fi ( e ) dt i 1
或
n d 2 rC m 2 Fi ( e ) dt i 1
(2.2.9)
8
n d 2 rC 方程 m 2 Fi ( e ) 表明质点组的质心在外力作用下的运 dt i 1
理论力学填空与单选题集
第一章 质点力学填空1. 已知某质点沿x 轴的运动学方程为) cos()(t A t x ω=，其中ω ,A 为常数, 则其沿x 轴的速度分量为v x (t ) =__________, 加速度分量a x (t ) =______________.2. 质量为m 的质点受力F的作用沿x 轴的负方向运动，若已知力沿x 正向的分量为)(x F , 则质点的沿x 轴的运动微分方程为_____________.3. 质量为m 的质点在空中下落时，受到空气阻力的大小正比于其速率的平方，比例系数为k. 现采用竖直向上为正方向的一维x 坐标系描述该质点的运动，则其下落的运动微分方程为_________.4. 杆AB 的两端分别被限制在水平和竖直的导槽Ox 和Oy 上滑动（如图）。
M 为杆上一点，且已知AM=a, BM=b. 设θ=∠OBA 。
则在图示坐标系下，M 点的轨道方程为_________________.5. 质点在平面内运动，采用平面极坐标),(θr 描述，则其速度的径向分量表示为=r v _______，横向分量表示为=θv _________.6. 质点在平面内运动，采用平面极坐标),(θr 描述，则其加速度的径向分量表示为=r a _________，横向分量表示为=θa __________.7. 质点在平面内运动，采用平面极坐标描述，已知其运动学方程为Bt e r At==θ,，其中A , B 为常数, 则其速度的大小v =_________., 加速度的大小a =____________.8. 质点在空间运动，其速率保持为常数v . 在轨道上某处曲率半径为ρ，则在该处质点的切向加速度分量=τa _______, 法向加速度分量=n a ___________.9. 已知河流速率为1v ，且沿河宽不变. 一小船以相对于水的速率2v 始终朝着岸上A 点行驶. 如图所示，采用平面极坐标描述，则小船的绝对速度的径向分量为__________，横向分量为__________.10. 某船向东航行，速率为15km/h. 另一船以同样的速度向北航行. 两船的相对速率是__________km/h.11. 光滑楔子以匀加速度0a沿水平面向右运动，同时质量为m 的质点在其斜面上运动，则该质点所受惯性力可表示为___________.12. 力的作用线如果恒通过空间某一定点，则此力称为 有心力 , 该定点称为 力心 13. 质点在有心力场中的势能为r k r V /)(=，k 为常数. 则质点所受有心力=)(r F ______.14. 质点受到引力2)(r kr F =作用，k 是常数. 取无穷远处为势能零点，则势能=)(r V __________. 单选1. 在极坐标系下，下列哪一式表示的是质点的运动学方程( )A. )(θθf d dr= B. )(θr r = C. ⎩⎨⎧==)()(t t r r θθ D. 0),(=θr f 2. 采用极坐标系),(θr 描述质点的运动，其加速度的横向分量表达式为( )A. r a r =B. 2θ r r a r -= C. θθr a = D. θθθ r r a 2+= 3. 采用极坐标系),(θr 描述质点的运动，其加速度的径向分量表达式为( )A. r a r =B. 2θ r r a r -= C. θ r a r = D. θθ r r a r2+=4. 以下关于自然坐标系的说法错误的是( ) A. 自然坐标系的坐标变量称为弧坐标B. 自然坐标系只能描述质点运动轨道上的点C. 內禀方程是只能在自然坐标系下成立的方程D. 弧坐标随时间变化，只会增大，不会减小5. 对于一个相对于惯性参考系作匀速直线运动的参考系，它的内部所发生的一切力学过程，都不受参考系本身匀速直线运动的影响. 这一原理称为( )A. 爱因斯坦相对性原理B. 伽利略相对性原理C. 牛顿相对性原理D.惯性定律6. 若某场力F 是保守力，则F必定满足( )A. 0=∇FB. 0=⨯∇FC. 0=⋅∇FD. 02=∇F7. 下列哪一条，不是场力F为保守力的判据( )A. 该场力沿任何闭合路径做功为零B. 该场力沿任何路径所做功的大小，只取决于路径的初末位置.C. 该场力构成的力场的梯度F∇为零.D. 存在某标量函数)(r V , 满足F r V=∇)(.8. 质点在有心力作用下运动，下列哪一条描述是错误的( ) A. 质点的机械能必定守恒.B. 质点对力心的动量矩必定守恒.C. 质点做的必定是平面运动.D. 质点的运动轨道必是圆锥曲线.9. 下列哪一条不是质点在有心力作用下运动的基本性质( )A. 机械能守恒.B. 动量矩守恒.C. 动量守恒.D. 做平面运动10. 行星绕太阳做椭圆运动，太阳视为静止不动，无穷远处为势能零点，下列说法错误的是( )A. 行星的机械能0<E ，且守恒B. 太阳位于椭圆的一个焦点上C. 在远日点行星的速度达到最大D. 行星对太阳中心的动量矩是守恒的.11. 质量为m 的质点在空中下落时，受到空气阻力的大小正比于其速率的平方，比例系数为k . 现采用竖直向上为正方向的一维x 坐标系描述该质点的运动，则其下落的运动微分方程为( )A. mg x k x m +=2B. mg x k xm -=2C. mg x k x m --=2D. mg x k xm +-=212. 某质点在平面极坐标系下的运动方程为cte r =，bt =θ，其中b, c 均为常数. 则其加速度的横向分量为( )A ．r b c )(22- B. r b c )(22+ C. bcr 2 D. br13. 下列关于惯性系的说法错误的是( )A. 牛顿定律能成立的参考系是惯性参考系B. 相对于惯性系做匀速直线运动的参考系都是惯性系C. 惯性系的定义隐含在牛顿第一定律中D. 惯性系中的物体还受到惯性力 *******************************第二章 质点组力学填空1. 含N 个质点的质点组，质点i 的质量记为i m ，位矢记为i r，N i ,...,2,1=. 则质心的位矢=C r_________2. 两质点的质量分别为1m 和2m ，速度分别是1v 和2v，则由此两质点构成的质点组的质心的速度为=C v________.3. 两质点的质量分别为1m 和2m ，构成质点组，相对于质心的速度分别为1v ' 和2v ', 则='+'2211v m v m________. 4. 含N 个质点的质点组，质点i 的质量记为i m ，位矢记为i r ，速度记为i v，N i ,...,2,1=,则该质点组对参考点的总动量矩=J_________.5. 柯尼希定理说的是：质点组的动能等于_______的动能与________的动能之和.6. 质量分别为M 和m 的两质点构成两体系统，此系统的折合质量=μ .7. 质点组中质点i 与质点j 之间的内力记为ij f , 相对位矢记为ij r，则=⨯ij ij r f _______.8. 两体碰撞，若动能守恒，则这种碰撞称为_______碰撞.9. 均匀扇形薄片，半径为a ，所对圆心角为θ2，则其质心C 到圆心O 的距离为______.单选1. 关于质点组的内力，所述正确的是( ) A. 质点组的内力做功之和必为零 B. 质点组的内力之和为零C. 质点组的内力对质点组的动能没有影响D. 质点组的内力对质点组的势能没有影响2. 下列关于质点组质心的说法错误的是( )A. 质心即质量中心，它是质点组内确实存在的一个的质点.B. 质心的动量等于整个质点组的动量C. 质心相当于是在质点组外力之和的作用下运动D. 根据质心的运动定理，质心相当于一个集中了质点组总质量的质点3. 对质点组的总动量描述错误的是 ( ) A 是所有质点的动量的矢量和 B. 等于质点组质心的动量C. 对时间的变化率等于质点组所受外力之和D. 质点组的内力对总动量也有影响.4. 如果一个质点组不受任何外力，则下列描述错误的是( ) A. 质点组的质心做惯性运动 B. 质点组动量守恒 C. 质点组的角动量守恒 D. 质点组机械能守恒5. 在质心系中观察质点组的运动，则下列说法错误的是( )A. 质点组的总动量为零B. 惯性力对质点组的动量矩定理有影响C. 惯性力对质心的总力矩无贡献D. 惯性力对质点组的动能定理无影响6. 若质点组所受外力矢量和为零，则下列说法错误的是( ) A. 质心做惯性运动 B. 质点组动量守恒C. 质点组动量矩守恒D. 质点组动量是个常矢量*************************************************第三章 刚体力学填空1. 刚体以角速度ω 绕某定点O 转动，其上某质点P 相对于O 的位矢为r，则该质点P 的线速度为=v________.2. 若某空间矢量G 大小不变，而方向以角速度ω绕空间某定点O 转动，则=dtG d__________.3. 作用在刚体上的任意力系总可简化为通过某定点P 的一个单力F 及一力偶矩为M的力偶. 此定点P 叫做__________,4. 把作用在刚体上A 点的力F平移到其作用线外另一点B , 则与原作用效果相比，会多出一个附加力偶，设r是A 相对于B 的位矢，则此力偶的力偶矩=M_________. 5. 一轮的半径为r ，以匀速0v 沿一直线做纯滚动，则轮缘上最高点的速率为_________. 单选1. 下列关于描述刚体运动所需的独立坐标变量数目，叙述错误的是 ( ) A. 一般运动需要六个独立坐标变量 B. 平动只需要一个独立坐标变量 C. 定点转动需要三个独立坐标变量 D. 定轴转动只需要一个独立坐标变量2. 若某空间矢量G 大小不变，而方向以角速度ω绕空间某定点O 转动，则dtG d等于( )A. G ⋅ωB. ω ⋅GC. G⨯ω D. ω ⨯G3. 下列对力偶描述错误的是( )A. 力偶是一对大小相等、方向相反、但作用线不同的力构成的B. 构成力偶的两力的矢量和为零C. 力偶矩的大小依赖于矩心的选择D. 力偶矩的方向总是垂直于力偶面4. 在主轴坐标系下研究刚体的动力学，下列哪一条叙述是错误的( ) A. 对坐标轴的转动惯量均为常数 B. 对坐标轴的惯量积均为零 C. 惯量系数均为常数.D. 惯量张量被简化为单位矩阵5. 某时刻平面平行运动的平板上，如果有一质点的速度为零，则该点是( ) A. 基点 B. 简化中心 C. 质心 D. 瞬心***********************************第四章 转动参考系填空1. 科里奥利加速度是由______运动与________运动相互影响所产生的.2. 一平板绕通过定点O 且垂直于板面的轴线以角速度ω转动，某一时刻一个小虫爬到板上P 点，相对于板面的速度为v ' . 已知P 点相对于O 的位矢为r，则小虫的绝对速度为________.3. 当质点在非惯性系中处于平衡时，主动力、约束反力和由牵连运动而引起的惯性力的矢量和为零，我们通常把这种平衡叫做___________.4. 北半球一条河流自南向北流，根据科里奥利力判断， 岸的冲刷程度较大.5. 一平板绕垂直于板面的轴以角速度ω 转动，一个质量为m 的小物体以相对速度v '在板面上移动，则该物体所受科里奥利力为 .6. 在南半球地面附近自南向北的气流，受科里奥利力影响，有朝_____的偏转. 单选1. 一个平板绕通过板上O 点、且垂直于自身板面的固定轴以角速度ω转动，一只蚂蚁在平板面上爬动，它相对于平板的速度为v ' ，相对于O 点的位矢为r，则蚂蚁的绝对速度为( )A. ω ⨯+'=r v vB. r v v ⨯+'=ωC. ω ⨯=r vD. r v v⨯-'=ω2. 转动参考系以角速度ω转动，一小物体相对转动参考系的速度为v '，则该物体的科氏加速度为( )A. v '⨯ ω2B. ω ⨯'v 2C. v '⋅ ω2D. ω⋅'v 23. 转动参考系以角速度ω转动，一质量为m 小物体相对转动参考系的速度为v '，则该物体所受的科氏力为( )A. v m '⨯ ω2B. ω ⨯'v m 2C. v m '⨯- ω2D. ω ⨯'-v m 24. 一个平板绕通过板上O 点、且垂直于自身板面的固定轴以角速度ω转动，一个蚂蚁在 平板面上爬动，则蚂蚁的绝对速度为r ωv v ⨯+'=，对此问题描述错误的是( ) A. r 是蚂蚁相对于转动定点O 的位矢, 绝对速度dt d /r v =B. 牵连点是平板上被蚂蚁占据的点, r 是牵连点相对于转动定点O 的位矢 C v '是相对速度，r ω⨯是牵连速度D. dt d /v '是相对加速度，dt d /)(r ω⨯是牵连加速度.5. 一质点在转动参考系中处于相对平衡状态，则以下判断错误的是( ) A. 该质点的相对速度为零 B. 该质点不受科里奥利力 C. 该质点的相对加速度为零D. 该质点的绝对加速度这时等于科里奥利加速度6. 北半球原本由北向南的贸易风，由于受到科氏力的作用，产生了偏移而变成了 ( ) A. 东风； B. 东北风； C. 西北风； D. 西南风。
理论力学（周衍柏第二版）思考题习题答案第二章
第二章质点组力学第二章思考题2.1一均匀物体假如由几个有规则的物体并合（或剜去）而成，你觉得怎样去求它的质心？2.2一均匀物体如果有三个对称面，并且此三对称面交于一点，则此质点即均匀物体的质心，何故？2.3在质点动力学中，能否计算每一质点的运动情况？假如质点组不受外力作用，每一质点是否都将静止不动或作匀速直线运动？2.4两球相碰撞时，如果把此两球当作质点组看待，作用的外力为何？其动量的变化如何？如仅考虑任意一球，则又如何？2.5水面上浮着一只小船。
船上一人如何向船尾走去，则船将向前移动。
这是不是与质心运动定理相矛盾？试解释之。
2.6为什么在碰撞过程中，动量守恒而能量不一定守恒？所损失的能量到什么地方去了？又在什么情况下，能量才也守恒？2.7选用质心坐标系，在动量定理中是否需要计入惯性力？2.8轮船以速度V 行驶。
一人在船上将一质量为m 的铁球以速度v 向船首抛去。
有人认为：这时人作的功为()mvV mv mV v V m +=−+222212121你觉得这种看法对吗？如不正确，错在什么地方？2.9秋千何以能越荡越高？这时能量的增长是从哪里来的？2.10在火箭的燃料全部燃烧完后，§2.7（2）节中的诸公式是否还能应用？为什么？2.11多级火箭和单级火箭比起来，有哪些优越的地方？第二章思考题解答2.1.答：因均匀物体质量密度处处相等，规则形体的几何中心即为质心，故先找出各规则形体的质心把它们看作质点组，然后求质点组的质心即为整个物体的质心。
对被割去的部分，先假定它存在，后以其负质量代入质心公式即可。
2.2.答：物体具有三个对称面已足以确定该物体的规则性，该三平面的交点即为该物体的几何对称中心，又该物体是均匀的，故此点即为质心的位置。
2.3.答：对几个质点组成的质点组，理论上可以求每一质点的运动情况，但由于每一质点受到周围其它各质点的相互作用力都是相互关联的，往往其作用力难以预先知道；再者，每一质点可列出三个二阶运动微分方程，各个质点组有n 3个相互关联的三个二阶微分方程组，难以解算。
理论力学第二章 质点组力学(2)
mr1
k2m
M m2
1 r22
r1 r1
从上式看出，力仍然与距离平方成反比， 故行星绕质心作圆锥曲线运动。太阳也如此。
2014/3/19
第二章 质点组力学（2）
12
行星相对于太阳的相对运动
由方程
M
d 2 rS dt 2
GMm r r2 r
m
d 2 rP dt 2
GMm r2
r r
m1
m2
m2
v2
u2
u1
u2
动量守恒 m2v1 m2v2 m1u1 m2u2
且定义e: u1 u2 ev1 v2
式中e称为恢复系数。
2014/3/19
第二章 质点组力学（2）
23
所以,考虑弹性碰撞问题,有以下两个方程
动量守恒 m2v1 m2v2 m1u1 m2u2
mv1 mv2 0
机械能守恒
r
（1） m1 v1
v2 m2
km1m2 a
1 2
m1v12
1 2
m2v22
km1m2 a/2
联立求解：
（2）
2k
2k
v1 m2
,
a m1 m2
v2 m1
a m1 m2
（3）
另：如果从动能定理出发
d
1 2
m1v12
1 2
理论力学
教材：周衍柏《理论力学教程》 编
北京交通大学理学院 教师：王波波
2014/3/19
第二章 质点组力学（2）
1
第二章 质点组力学
大学_理论力学教程第三版(周衍柏著)课后答案下载
理论力学教程第三版(周衍柏著)课后答案下载理论力学教程第三版内容简介绪论第一章质点力学1.1 运动的描述方法1.2 速度、加速度的分量表示式1.3 平动参考系1.4 质点运动定律1.5 质点运动微分方程1.6 非惯性系动力学(一)1.7 功与能1.8 质点动力学的基本定理与基本守恒定律1.9 有心力小结补充例题思考题习题第二章质点组力学2.1 质点组2.2 动量定理与动量守恒定律2.3 动量矩定理与动量矩守恒定律 2.4 动能定理与机械能守恒定律2.5 两体问题2.6 质心坐标系与实验室坐标系2.7 变质量物体的运动2.8 位力定理小结补充例题思考题习题第三章刚体力学3.1 刚体运动的分析3.2 角速度矢量3.3 欧拉角3.4 刚体运动方程与平衡方程3.5 转动惯量3.6 刚体的平动与绕固定轴的.转动3.7 刚体的平面平行运动3.8 刚体绕固定点的转动__3.9 重刚体绕固定点转动的解 __3.10 拉莫尔进动小结补充例题思考题习题第四章转动参考系4.1 平面转动参考系4.2 空间转动参考系4.3 非惯性系动力学(二)__4.5 傅科摆小结补充例题思考题习题第五章分析力学5.1 约束与广义坐标5.2 虚功原理5.3 拉格朗日方程5.4 小振动5.5 哈密顿正则方程5.6 泊松括号与泊松定理5.7 哈密顿原理5.8 正则变换__5.9 哈密顿-雅可比理论__5.10 相积分与角变数__5.11 刘维尔定理小结补充例题思考题习题附录主要参考书目理论力学教程第三版目录本书是在第二版的基础上修订而成的，适用于高等学校物理类专业的理论力学课程。
本书与第二版相比内容保持不变，仅将科学名词、物理量符号等按照国家标准和规范作了更新。
本书内容包括质点力学、质点组力学、刚体力学、转动参考系及分析力学等，每章附有小结、补充例题、思考题及习题。
应用物理 第二章 质点组力学.ppt
2 (e
)12rmc vFc2(eT)
M
总结：质点组的动量、动量矩、动能分别等于质心的动 量、动量矩、动能与各质点对质心的动量、动量 矩、动能之和。
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第二章 质点组力学
dp
dpc
F (e)
dt dt
三 大
dJ
M
dt
dJ
i 1
动量矩：
n n
J Ji ri pi
i 1
i 1
动 能：
T
n
Ti
i 1
n i 1
1 2
m
i
v
2 i
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第二章 质点组力学
1、 内力的性质
①质点组中所有内力的矢量和等于零。
n n
F (i)
fij 0
i1 j1
即
J
恒矢量
n
M x (yi Fiz zi Fiy ) 0
i 1
n
J x mi ( yi zi zi yi ) C (常量)
i 1
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第二章 质点组力学
3、对质心的动量矩定理
C系：随着C相对于S系平动
ri
rc
ri
S系 y
第二章 质点组力学
第二章 质点组力学
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第二章 质点组力学
§2.1 质点组
质点组：由许多（有限或无限）相互联系着的质点所 组成的系统。
内 力：质点组中质点间的相互作用力。
外 力：质点组以外的物体对质点组内质点的作用力。
《理论力学》教学大纲
《理论力学》教学大纲一、课程目标理论力学是一门基础理论课，也是近代工程技术的科学基础。
本课程在普通物理力学的基础上，运用高等数学工具，通过严密的逻辑推理，全面系统的阐述宏观机械运动的基本概念和基本规律，使学生对力学的基本内容有较完整的认识，并能掌握处理力学问题的一般方法，提高学生的理论分析能力和抽象思维能力，为学习理论物理课程打下坚实基础。
二、基本要求学习本课程时，学生应具备以下基础知识：普通物理力学，矢量代数，线性代数，微积分与微分方程。
通过本课程的学习，要求学生能处理力学中的一些基本问题，同时为学习后继理论课程打下必要的基础。
牛顿力学和分析力学是本课程的两个重要组成部分。
在牛顿力学中应特别注重矢量运算，在分析力学部分则应注意建立基本概念，变分运算，培养学生抽象思维能力。
学生从这部分可学到后继理论物理课所必要的概念和方法。
（一）质点力学1．质点力学是经典力学的基础，也是本课程的重点之一。
这部分的主要数学内容是矢量数学，应使学生尽快熟悉矢量运算，特别是矢量函数对时间微商的概念。
这对整个课程的学习都有重要影响，必须给予注意。
运动学与动力学部分，学生在普通物理力学中已接触过，因此概念部分不会遇到太大困难。
这部分内容应在普通物理力学的基础上，进一步加深、提高与系统化，避免不必要的重复。
2．本部分的重点是：速度、加速度在不同坐标系上的分量表示，运动微分方程的建立与解算，势能的物理意义及其与作用力的关系，运动定理与守恒律，有心力的基本性质。
3．在教学过程中，特别要注意使学生清楚地理解力学中所阐述的基本物理内容，提高他们的分析能力，使他们能比较灵活自如地应用基本规律处理各种类型的力学问题。
（二）质点组力学1．质点组力学是质点力学的内容向多质点体系的推广，所以与前一部分有密切联系，同时从广义上讲，力学中所有的问题都是质点组的问题，因此这部分内容更有普遍意义，它也是刚体力学的理论基础。
2．由于质点组内的质点数目众多，加之内力一般都是未知的，因此决定每一个质点的运动是非常困难的。
理论力学02质点组力学4
(M
m) g
1 2
(M
m)v 2
s
注意
学
(M
m)g
1 2
(M
m)
2ghM 2
s (M m)2
由于锤和钉子 之间密合，无
(M m)g ghM 2 s(M m)
位移，故内力 不作功！
例题3_基本定理综合应用
例：(教材P111)有三个完全弹性的小球，质量分别为m1、
m2、m3，静止于一直线上，今于第一球上加上v1的速度，
例：(教材P111)钉锤的质量为M，自高为h处落至一质量
为m的铁钉上，将其打入地中的深度为s，试求地对铁钉
理 的平均阻力，假定铁钉没有弹性。
论 力 学
分析：整个钉锤钉钉的物理过程可以分为三个阶段：1、锤的下落过程； 2、锤击打铁钉的过程；3、锤和钉子一起前进的过程。
解：钉锤的下落过程中只有重力作功，因此机械能守恒，设
z
P f (i) 1 12
f (i)
21
r P 1 r2 r1
2
力 学 质 点 组 力 学
图示两质点的质点组，其内力作元功：
dW
(i)
fff122(((f211iii2)))(1i)(dddrd(1rrr221 fd2r(f11ri2))1(1i))drd2r2
0
xO
r2 y
f (i)
n
F (e)
i
dri
i 1
i 1
i 1
0
质点组对质心的动能定理：质点组对质心动能的微分，
等于质点组相对于质心系位移时，所有内力和外力所作 元功之和。
推导
理 论 力 学
mi ri
dri
d
[物理]理论力学
![[物理]理论力学](https://img.taocdn.com/s3/m/e6260132ee06eff9aef807e0.png)
高等学校试用教材理论力学时间:星期一（1，2）星期三（3，4）地点:实验楼134教室主讲教师:王松平E-mail:phspwang@预备知识:普通力学+高等数学理论力学：两个深化＋两个面向•方法上: 严谨的数学描述•理论体系上：经典力学•面向学科发展前沿和应用•面向实际体系学习内容：第一章：质点力学（20学时）第二章：质点组力学（10学时）第三章：刚体力学（24学时）第四章：非惯性系动力学（8学时）第五章：分析力学（12学时）学习成绩：平时成绩（20％）＋其中考试成绩（20％）+期末（60%）期末考试：闭卷平时作业:1. 习题（周衍柏理论力学）2. Project 报告（基于阅读多篇文献后的读书报告，必须附文献）提交方式：书面或电子（PDF or PS 格式）（独立完成）绪言Nature and nature’s law所蒙蔽上帝说，让牛顿来！一切遂臻光明！物质层线度重要运动形式相互作用能量重要研究科学物理核和亚核10-14—10-13m 核运动107—108焦耳核物理、高能物理夸克<10-18m基本粒子运动>1011焦耳粒子物理、色动物理一、理论力学研究对象物理学是研究物质性质、结构、运动规律的科学。
世界物质可分为不同层次、不同运动级别，因而有相应的主要研究科学：理论力学是研究宏观物体低速运动情况机械运动(即一个物体相对另一个物体发生位移变化)的科学。
机械运动指物体的位形随时间变化。
包括:平动、转动、流动、变形、静止等。
根据研究对象性质分：质点力学、刚体力学、连续介质力学（流体弹性、塑性）理论力学主要研究：质点、质点组、刚体。
二、理论力学研究方法观察、实验，总结实验规律，建立物理模型，提出合理假设，数学演译、逻辑推理，探讨规律，实验验证。
理论力学与普通物理的力学不同点是：逻辑推理、数学演译更强。
主要数学要求是：微积分和解常系数微分方程。
三、理论力学的内容结构理论力学分为矢量力学（即牛顿力学）和分析力学两大部分。
理论力学第二章 质点组力学-2)
m222
0
0
m1gl
cos
(4)
联立方程(1)(2)(3)(4)解得
1x
2m22 gl sin
m1 m2 m1tg 2 m2 sec2
1y
2 m1 m2 gl sin
m1 m2 sin2
2
u
2m12 gl sin
m1 m2 m1tg 2 m2 sec2
ax
m m
ax
g
g
二人均以匀加速向上爬
t
2
t2
2s ax 2s ax
t t
t
ax
2ms ms m m g
m m sg ms ms
注：也可用对通 过滑轮中心水平 轴的动量矩定理
质量不等的两人能同时到达顶端的前提条件
ax 0, ax 0
即
ms ms, 且 m m 或ms ms,且 m m
i 1
i 1
i 1
i 1
3.在质心系中分析以上四项
s´系的原点固定在质点组的质心上，则：
第一项：
rvo rvc ,vo vc , rvc 0
n (rvo m ivo ) n (rvc m ivc ) rvc n m ivc 对o点的动量矩
求和后，
i 1, n
叙述:质点组动能的微分等于质点组所受的外力与内 力的元功之和。
特点：①内力所作的功不能互相抵消。
②质点组不受外力或合外力为零，动能不一定守恒。
三、质点组对质心的动能定理 质点组内力做功
引入质心参照系，质点组中第i个质点的动能
d
(1 2
mii2
)
v F (e)
i
drvi
v F (i)
质点组力学解析.pptx
2、 部分守恒
条件
n i 1
F (e) ix
0
dpx dt
0
n
或 px mivix mvcx 常数 i 1
因而，在这一情形下，虽然质点组的动量并不是一个恒矢量，但它在 这一轴（现在 x 轴）上的投影却保持为常数，或者说，质点组质心的 速度，在这一轴上的投影为一常数，亦即我们得到了一个第一积分， 在解算具体问题时，常常要用到这个关系。
zi Fiy(e) )
d
dt
n
mi (zi xi
i 1
xi zi )
n
(zi Fix(e)
i 1
xi Fiz(e) )
d
dt
n
mi (xi yi
i 1
yi xi )
n
(xi Fiy(e) yi Fix(e) )
i 1
（2.3.6）
第20页/共69页
（2）动量矩守恒律
1、全部守恒 如果所有作用在质点组上的外力对某一固定点 O 的合力矩为零，即
第9页/共69页
式中
d 2rc dt 2
是质心的加速度。方程（2.2.9）表明，质点组质心的运动，
就好像一个质点的运动一样，此质点的质量等于整个质点组的质量，作用 在此质点上的力，等于作用在质点组上所有诸外力的矢量和，这就是质心 运动定理。
第10页/共69页
（3）动量守恒律
1、 全部守恒：条件
以
F (i) i
表之；另一为外力，以
F (e) i
表之。由牛顿运动第二定律，得质
点 pi 的运动微分方程为
第5页/共69页
mi
d 2ri dt 2
F (e) i
F (i) i
理论力学第2节 质点系相对于质心的动量矩定理
LC (ri mivi ) (ri mivir )
结 论 LC (ri mivi ) (ri mivir )
计算质点系相对于质心的动量矩，用绝对速度和相 对速度结果都是一样的。对一般运动的质点系，通常 可以分解为随质心的平移和绕质心的转动，因此，用 相对速度计算质点系相对质心的动量矩往往更方便。
i 1
dLC dt
n
ri Fi(e)
i 1
或
dLC dt
n
MC (Fi(e) )
i 1
质点系相对于质心的动量矩定理表明：质点系相 对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系 的外力对质心的主矩。该定理在形式上与质点系相对 固定点的动量矩定理完全相同。
dLC dt
n
ri Fi(e)
i 1
或
dLC dt
n
MC (Fi(e) )
i 1
注意
质点系相对于质心的动量矩定理所涉及的随质 心运动的动坐标系，一定是平移坐标系，定理只适 用于质心这个特殊的动点。对于其他动点，定理将 出现附加项或附加条件。
• 质点系相对于质心的动量矩定理
质点系的 动量矩定理
定点动量矩与相对于 质心动量矩间的关系
dLO dt
n
MO (Fi(e) )
i 1
LO rC MvC LC
dLO dt
d dt
(rC MvC
n
LC ) ri பைடு நூலகம் Fi(e)
i 1
将 ri rC ri代入得
• 质点系对定点动量矩与相对于质心动量矩间的关系
在固定参考系Oxyz中，质点系对固定点O的动量矩为
理论力学第二章质点组力学
n
n
e
dri Fi dri
i i 1
n
注意：1）质点的位矢都以固定点O为起点； 2）内力的功一般不为零。
1 f i
12
dWi f12 dr1 f 21 dr2
i i i f 21 d r2 r1 f 21 dr f12 dr
km1m2 1 km1m2 1 2 2 m1v1 m2 v2 a 2 2 a/2
解得
v1 m2
2k 2k , v2 m1 a m1 m2 a m1 m2
用动能定理
km1m2 1 1 2 2 d m1v1 m2v2 2 dr 2 r 2
i
i
m
i 1
i
不均匀的连续体
xc
V
xdm
V
dm
yc
V
ydm
V
dm
zc
V
zdm
V
dm
3. 质点组的动量守恒定律 若
F
i 1
n
e
i
0
dp 0 dt
p mvc 恒矢量
px mvcx 恒矢量
p y mvcy 恒矢量
F ix
J mvr mvr 力矩为 M mgr mgr
由动量矩定理，得
d mv mv r dt m m gr
即
ma ma m m g 2 2 a 2 s / t , a 2 s / t 若t为共同到达时间，则
i
i
r1
r
f 21
i
2
理论力学(周衍柏 第二版)第2章习题解答
2.6 解炮弹达到最高点时爆炸，由题目已知条件爆炸后，两者仍沿原方向飞行 知，分成的两个部分 M 1 ， M 2 ，速度分别变为沿水平方向的 v1 ， v2 ，并一此速 度分别作平抛运动。由前面的知识可知，同一高处平抛运动的物体落地时的水 平距离之差主要由初速度之差决定。进而转化为求 v1 ， v2 。炮弹在最高点炮炸 时水平方向上无外力，所以水平方向上的动量守恒：
1 2 1 mv + MV 2 ⑤ 2 绝 2
2⑥ 2 = 2 vx + v y v绝
把③④代入⑥
2 = 2 v绝 u + V 2 − 2uV cos θ ⑦
把①③代入⑤
= θ
2g cos a − cosθ ⋅ a 1 − m cos 2 θ m+M
2.8证
以 AB 连线为 x 轴建立如题 2.8.1 图所示的坐标。
s1 =
2 v0 sin α cosα ③ g
第二次运动:在最高点人抛出物体，水平方向上不受外力，水平方向上动量守 恒，有 (W + w)v0 cos α = Wvx + w(vx − u ) 可知道
vx = v0 cos a + w u W +w
水平距离
2 v0 w s2 = vxt = sin α cosα + uv0 sin α g (w + W ) g
60
阳行星时，所携带的燃料的重量至少是空火箭重量的 300 倍。试证明之。 2.18 原始总质量为 M 0 的火箭， 发射时单位时间内消耗的燃料与 M 0 正比， 即
αM 0（ α
为比例常数） ，并以相对速度 v 喷射。已知火箭本身的质量为M，求证只有当 αv > g 时， 火箭才能上升; 并证能达到的最大速度为
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(质心的运动就等于所有外力和 质量都集中在质心时质点的运动).
*质点组中质点运动定律 d ri ( e ) (i ) mi 2 F i F i dt ( e) (i ) d 2 rci mi 2 Fi Fi (mi r c) dt
2
roi f i 0
i
roi
:质点i相对于参考点o的位矢
③在质点组中,内力所作元功之和一般不能互相抵消 (刚体例外).
*表明在计算质点组的运动、动量和动量矩时不必考虑内力 的作用. 但在计算质点组的动能时,还应考虑内力所作之元功.
证明: (1)质点组中所有内力之和(矢量和)等于零。
(在质心系)
例 自然长度为 l ,劲度系数为 k 的弹簧，两端连结质量为m的质点，静置在 光滑水平面上。在t=0时,质点2获一向右速度 v0 ,讨论其后运动。
解 这是两质点的质点组。选择静系为ox.
1 x 质心在静系的位置为 c 2 ( x1 x 2 ) 1 x ( 0 ) ( x10 x 20 ) 且设t=0时x10 =a,x20=b c 2
0
ri fi 0
i
(3)在质点组动能定理中，内力所作元功之和一般不能互相抵 消的证明:
则
i i dw i f 12 dr d r2 1 f 21 i = f 21 d r2 r1 i = f 21 dr i =- f 12 dr
对任何一对质点间的相互作用力,由牛顿第三定律知:
fij f ji fij f ji 0
fij
n (i ) F i
f ij 0
n j i
:表示第i个质点对第j个质点的作用力.
(2)质点组的所有内力对任一参考点的力矩的 和(矢量和)恒为零.
(2)质心坐标系:
质心C在静止系中的位矢,速度,加速度为: rc , vc , r c
质点mi在静止系的位矢,速度,加速度为: ri , , 质点mi在质心系的位矢,速度,加速度为: rci
ri rc rci
vi , , vci
以质点组的质心 C 为原点建立一个随质心平动的 坐标系c-x`y`z`,称为质心坐标系或质心系.
i 1 n n
(m )
i 1 i
( m r i i)
i 1
n
M
在直角坐标系质心的位置:
xc
m x
i 1 n
n
i i
m
i 1
yc
m y
i 1 n i
n
i
i
m
i 1
zc
m z
i 1 n
n
i i
i
m
i 1
i
质量连续分布的体系的质心位置:
设两质点任意时刻的位置为
x1 x2
1 (0) 0 x
2 (0) v0 x
O
x1
xc
x2
x
由于没有外力作用，只有内力作用。 质心运动:
c 0 2m x
c (0) x
n d 2 ri d 2 rc mi 2 M 2 Fi ( e) dt dt i i
(1)质心的位置
设有n个质点组成的质点系，
质量分别为：m1,m2,…,mn . M mi
n
其质心的位矢是 rc 则 (m r ) Mr
n i 1 i i
各质点对参考点的位矢是
r1 , r2 ,, rn .
c
i 1
于是质心的位置:
rc ( m r i i)
rc
rdm
dm
xc
xdm dm
yc
ydm dm
zc
zdm dm
质心和重心的区别
质心： 质点组的全部质量的中心.合质量矩的作用点.
重心： 作用于质点系的重力的合力的作用点. 二者不是同一点。 特殊地，在地球表面附近，认为重力加速度是 常矢量时，物体的质心和重心相互重合。
r ci
r i
质点mi在两系的位矢,速度,加速度关系为:
( e ) (i ) d r i 质点mi的运动方程: mi 2 F i F i dt ( e) (i ) d 2 rci mi 2 Fi Fi (mi r c) dt
2
vi vc vci ri rc r ci
(在静止系)
(在质心系)
三.质点组的运动方程
(1)质点组运动定律:
n d 2 ri (e) m F i i 2 dt i i
质心运动定律 2 n d rc M 2 Fi ( e) dt i
理 论 力 学
第二章 质点组力学
一.质点组
质点组： 由许多（有限或无限）相互联系着的
质点所组成的系统。
内力： 质点组中质点间的相互作用力。 外力： 质点组以外的物体对质点组内质点的作用力 。
(2)内力的性质
①质点组中所有内力之和(矢量和)等于零。 n n (i ) F f ij 0 i j i fij :第i质点对第j质点的作用力. ②质点组的所有内力对任一参考点的力矩之和 (矢量和)恒为零.
对于一般的质点组来说，由于其质点间的相 对位置可以改变，所以内力的功之和不等于零。 在质点组动能定理中,内力所作元功之和一般不能互相抵消, 因之质点组的动能也并不一定守恒； 对特殊的质点组—刚体来说,内力不作功,即内力所作元功之和为零.
二.质心 质心系
（在质点组的空间存在一个特殊点,叫做质点组的质心(质量中心), 以质心为参照称为质心系.)
r i f ij r j f ji r i f ij r j f ij r i r j f ij r ij f ij
其中: rij 是质点pi相对pj 的位矢,与 f 共线. ij