二次函数解析式的三种形式

浅谈二次函数解析式的三种形式

【摘要】本文通过具体的实例讨论在初中数学解题中如何确定二次函数解析式。

【关键词】二次函数；解析式；初中数学教学

函数是数学中最重要的概念之一，是中学数学的核心内容，函数思想是最重要、最基本的数学思想，它具有其他数学思想所不及的作用，它是从大量的实际问题中抽象出来的。在初中阶段，讲述了函数的一些最基本、最初步的知识，但是其中蕴含的数学思想和方法，对学生观察问题，研究问题和解决问题都是十分有益的。这里，主要探讨的是针对于初中阶段有关二次函数解析式的求法。

一、利用一般形式y=ax?+bx+c （a≠0）

利用这种方法的，一般题目给出的条件是已知二次函数图象上的三点，或者是已知二次函数的三对函数对应值，或者已知抛物线与x轴交点的横坐标及与y轴交点的纵坐标。

例1：已知一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个函数的解析式。

分析：二次函数的一般形式是y=ax?+bx+c，问题是a，b，c由已知三个条件，可列出三个方程，进而求出a，b，c。

解：设所求的二次函数为y=ax?+bx+c，由已知，函数图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，得

a-b+c=10

a+b+c=4

4a+2b+c=7

解这个方程组得a=2，b=-3，c=5。

因此，所求二次函数是y=2x?-3x+5。

例2：一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=-1，当x=-2与?时，y=0，求这个二次函数的解析式。

分析：这道题已知的是三对函数对应值，实际上也相当于已知二次函数过（0，-1），（-2，0），（?，0）三点，求函数的解析式，从而又转化到了和例1类似的题目，用求例1的方法即可求得。解：设所求的二次函数为y=ax?+bx+c，由已知，得

c=-1

4a-2b+c=0

?a+?b+c=0

解这个方程组得a=1，b=3/2，c=-1。

因此，所求的二次函数解析式是y=x?+x-1。

例3：已知一个二次函数的图象与x轴的的两个交点的横坐标是?，，与y轴交点的纵坐标是-5，求二次函数的解析式。

分析：知道了函数与x轴相交，意味着交点的纵坐标是0，与y 轴相交，交点的横坐标是0，所以这一题实际上也相当于图象经过（-1/2，0），（3/2，0），（0，-5）三点，从而也是转化到了和例1一样的题目了。

解：设所求的二次函数解析式为y=ax?+bx+c，由题意可知二次函数经过（-1/2，0），（3/2，0），（0，-5）三点，则有

1/4a-1/2b+c=0

9/4a+3/2b+c=0

c=-5

解这个方程组得a=20/3，b=-20/3，c=-5。

因此，所求的二次函数解析式为y=20/3x?-20/3x-5。

二、利用顶点式y= a（x-h）?+k （a≠0）确定二次函数的解析式。

利用顶点式求二次函数的解析式，一般已知的是二次函数的对称轴x = h，或是顶点（h，k）的位置，或最值来确定二次函数的解析式较简捷。

1、已知顶点坐标为（m，n），可设y= a（x- m）?+ n，再利用一个独立条件确定a；

例1、已知抛物线顶点坐标为（3，-1），在y轴上的截距为-4，求这个二次函数的解析式。

解：设这个二次函数的解析式为y= a（x-3）?-1，由题意知当

x=0时，y=-4，

所以由-4= a（0-3）?-1知，9 a=-3，a=-1/3；

这个二次函数的解析式为y= -1/3（x-3）?-1。

2、已知对称轴方程x = m，可设y= a（x- m）?+ k ，再利用两个独立条件确定a与k；

例2、已知二次函数的对称轴方程x =3，它的图象经过（3，4），（4，6），求这个二次函数的解析式。

解：设这个二次函数的解析式为y= a（x-3）?+ k，

由题意知a（3-3）?+ k=4，k=4，

而a（4-3）?+ 4=6，a=2

这个二次函数的解析式为y= 2（x-3）?+ 4

3、已知最大值或最小值为n，可设y= a（x+ h）?+ n，再利用两个独立条件确定a与h；

例3、二次函数有最大值5，图象经过（1，4）和（3，4），求它的解析式。

解：由二次函数图象经过（1，4）和（3，4）知，二次函数的对称轴为x=（1+3）/2，即x=2，所以设这个二次函数的解析式为y= a （x-2）?+5

由题意知a（3-2）?+ 5=4，a=-1，

这个二次函数的解析式为y= -（x-2）?+5

注：二次函数的图象经过（x1，a）和（x2，a）两点，那么它的对称轴为x=（x1+x2）/2

4、在二次函数的图象与x轴只有一个交点可设y= a（x+h）?，再利用两个独立条件确定a与h；

例4、已知二次函数的图象经过（1，9）和（2，4），且它与x轴只有一个交点，求这个二次函数的解析式。

解：由二次函数的图象与x轴只有一个交点知二次函数的图象与x轴相切，所以设这个二次函数的解析式为y=a（x+h）?，由题意知

a（1+h）?=9

a（2+h）?=4

两式相除，有（1+h）/（2+h）=9/4，即有

（1+h）/（2+h）=±3/2

所以h=-4或h=-8/5

当h=-4时，由a（2+h）?=4知a=1，这时二次函数的解析式为y=（x-4）?

当h=-8/5时，由a（2+h）?=4知a=25，这时二次函数的解析式为

y=25（x-8/5）?所以，二次函数的解析式为

y=（x-4）?或y=25（x-8/5）?

例5已知二次函数的顶点为（1，-2），图象与x轴的交点距离为4，求解析式。

解：如图设抛物线交x轴的横坐标分别为c，设所求二次函数为y= a（x- b）?+ k，由已知函数图象顶点为（1，-2），x1， x2间的距离为4，得

y= a（x-1）?-2

y=0

x1- x2=4 解得a=1/2

∴解析式为y=1/2（x-1）?-2

三、利用交点式y= a（x- x 1）（x- x2）（a≠0），其中x 1， x2是图象与x轴交点的横坐标。