第二讲 可测函数

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ii).可测函数定义中的条件E ( f a)可替换为E ( f a) 或E ( f a)或E ( f a).
1 事实上，E ( f a) E ( f a ), k k 1 1 E ( f a) E ( f a ), k k 1
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2 c c 由于q到Sq的其余点的最大距离为 2rq d ( q, H a ) d ( q, H a ), 2 因此每个Sq都包含于H a，从而 Sq Ha .
qQa
再来看反向包含关系，对任意x H a，由Qa的稠密性，存在 1 c q Qa 使得 d ( x, q) d ( x, H a )，于是 6 5 c c d ( z, q) d ( x, z ) d ( x, q) d ( x, H a ), z H a , 6 5 c c c 由z H a的任意性，得到 d (q, H a ) infc d ( z, q) d ( x, H a ), zH a 6 1 5 c c 从而 rq d (q, H a ) d ( x, H a ) d ( x, q ), 这说明 x Sq . 2 12 由x Ha的任意性，我们得到了反向包含关系： Sq Ha .
因此 E( f g a) E( f a g )
rQ
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E ( f r a g ),
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注意到 E ( f r a g ) E ( f r ) E (a g r ) E ( f r ) E ( g a r ),
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qQa
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iii )的证明：对于每一个矩形S [a, b) [c, d )， ES = x E : ( f ( x), g ( x)) S E (a f b) E (c g d ),
பைடு நூலகம்
是可测集E
x E , x E ,
n
上的一列可测函数，
g ( x) : sup f n ( x),
n
h( x) : inf f n ( x),
n n
( x) lim sup f n ( x) inf sup f n ( x),
k n
x E,
都是E上的可测函数。
i).如果f 是定义在E上的可测函数，则E ( f ) 和E ( f )都是可测集；
事实上，E ( f )
k 1
E ( f k ),
由于每一个E ( f k )都是可测集，因此E ( f ) 也是可测集。
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f ( x) a 0, x B( x0 , r ), 从而B( x0 , r ) E( f a)，这就说明E( f a)是开集。
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2.3 可测函数的性质
性质1 设f 是可测集E 上的可测函数，则f 在E的任意 可测子集E0上也是可测的。

因此 a, E( f a)可测 a, E( f a)可测.
例2 设f 是定义在可测集E 上的常数函数，即 f ( x) C, x E, 则f 是可测的。
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E, a C, 证明：E ( f a) , a C,
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关于复合函数的可测性，我们给出下列结果：
性质5 设f ( x)与g ( x)都是是可测集E 上的可测实值函数 (函数值不能取 )，F (u, v)是
2
上的二元连续函数，则复
合函数F ( f ( x), g ( x))在E上可测。
2
c 否则H a 2 c 0 d ( x, H a ) ,
n
n
[k , k 1) [l , l 1),
k 1 l 1
c \ H a 非空，对于任意的x H a，x到H a 的距离满足
记Qa 为H a中所有有理点的集合，即
Qa (u , v ) H a : u , v Q ,
证明：注意到E ( g a) E ( a)
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n 1
E ( f n a)，由此立刻推出g ( x)可测；


E ( f k a)，因此 ( x)可测。
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n 1 k n
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性质4 设f ( x)与g ( x)都是是可测集E 上的可测函数，则 f ( x) g ( x), f ( x) g ( x), f ( x) / g ( x) ( g ( x) 0) 都是E上的可测函数。
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2.1 广义实值函数
在讲可测函数的定义之前，我们先将函数的定义进行适当 的拓广，使得函数值不但可以取有限数，还可以取 ， 这样的函数称为广义实值函数。
例1. 在物理和工程领域经常用到一个这样的函数：
x 0, , ( x) 且 ( x)dx 1, 0, x R \ {0}, 通常称为狄拉克(Dirac)符号或单位脉冲函数。
由于 E (a f b)和E (c g d )都是可测集，因此ES也 是可测集。
注：利用性质5，我们可以得到许多函数的可测性，例如 也 由f ( x)与g ( x)可测得到 exp sin ln(1 | f ( x ) | | g ( x ) |) 是可测的。
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例5 设f 是实数集 上的连续函数，则f 是可测的。
证明：由于开集是勒贝格可测集，因此我们只需证明对 任意实数a，E ( f a)是开集即可。
如果E( f a) ，则结论已经成立；
如果E ( f a ) ，则对任意x0 E ( f a )，f ( x0 ) a 0， 由连续函数的局部保号性，存在x0的邻域B ( x0 , r )使得
我们对 的运算作如下规定：设a为非零的有限数，则 () ,
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a ,
| a | () ,
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(1) ,
,
1 0,
0 () 0.
如果完成了以上三步的证明，则证明了E ( F ( f , g ) a)是可 列个可测集的并，从而也是可测的。
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i)利用连续函数的局部保号性容易证明，详细过程由读者 完成；
下面我们证明ii)：如果H a =R ，则H a
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目录
2.1 广义实值函数 2.2 可测函数的定义 2.3 可测函数的性质 2.4 用简单函数逼近可测函数 2.5 可测函数序列的收敛性
2.6 Egoroff定理和Lusin定理
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则 E ( f a)必为下列两种情形之一： (, va ), (, va ],
其中闭的情形只在相应端点为有限数时才可能。
无论那种情况，E( f a)都是可测集，因此f 是可测函数。
1, x为[0,1]中的有理数, 例5 狄里克莱(Dirichlet)函数D( x) 0, x为[0,1]中的无理数 是[0,1]上的可测函数。
证明：我们分三步来证明此命题。
i).对任意实数a，Ha {(u, v)
2
: F (u, v) a}是开集；
ii).Ha可以表示成可列个形如S [a, b) [c, d )的矩形区域的并；
iii ).对于每一个矩形S [a, b) [c, d )， ES = x E : ( f ( x), g ( x)) S 是可测集；

性质2 设E
En，其中每一个En皆是可测集，则f 在E
n 1
n 1
上可测当且仅当f 在每一个En上可测。
证明：注意到E ( f a) 得到结论。 En ( f a)，由此立刻可以
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性质3 设 f n : n 1, 2, 则
因此无论a取何值，E ( f a)总是可测集，从而f ( x)是E上 的可测函数。
1, x E, 例3.一个集合E的特征函数定义为 E ( x)= 0, x E
集合E是可测集当且仅当其特征函数E ( x)是可测函数。
例4 设f 是实数集 上的单调函数，则f 是可测的。
证明：不妨设f 是单调增加的，对任意实数a，令 va inf x R : f ( x) a (可以是 ), 约定 inf +.
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E ( f )
k 1 k 1
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2.2 可测函数的定义
定义21 . 设f 是定义在可测集E 上的广义实值函数，如 果对任何有限实数a，E ( f a)都是可测集，则称f 是定义 在E上的可测函数。
关于可测函数的定义，有下列几点需补充说明：


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2.4 用简单函数逼近可测函数
则Qa在Ha中是稠密的，而且Qa是可数集。
先对每一个点q (uq , vq ) Qa 作一个以q为中心的正方形区域： Sq [uq rq , uq rq ) [vq rq , vq rq ),
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1 c rq d (q, H a ),14/51 2 制作人：杨寿渊
我们只需证明对任意实数a，E( f g a)是可测集即可。
注意到E( f g a) E( f a g ),
由于有理数的稠密性，
证明：我们只证f ( x) g ( x)的可测性，其余皆由读者自己完成。
f ( x) a g ( x) r
使得 f ( x) r a g ( x),
因此每一个 E( f r a g ) 都是可测的。
又因为有理数集是可数集，因此 E ( f g a)是可数个可 测集的并，从而也是可测集。
练习1.设f ( x)是可测集E 上的可测函数，则f 2 ( x)也是E上 的可测函数。 练习2.设f ( x)和g ( x)都是可测集E 上的可测函数，则 f ( x) g ( x)也是E上的可测函数。 练习3.设f ( x), g ( x)是可测集E 上的可测函数，g ( x) 0， 则1 / g ( x)也是E上的可测函数，从而f ( x) / g ( x)在E上可测。
设E是实数集R的一个勒贝格可测子集，记 E ( f a ) x E : f ( x ) a ,
E( f a) x E : f ( x) a, E( f a) x E : f ( x) a,
E ( f )

E ( f k ), E ( f k ).