第二讲 可测函数
borel可测函数
borel可测函数目录第一章 Measure theory1.1 Ring和Algebra1.2 测度 & 外测度 & 测度的完备化1.3 外测度的构造 & Lebesgue测度 & Lebesgue-Stieltjes测度1.4 Metric Space &Metric Outer Measure1.5 Lebesgue测度再讨论1.6 带号测度（Signed Measure）& Hahn分解 & Jordan分解第二章可测函数（measurable function）2.1 可测函数的定义Section 1 预备知识定义1 （测度空间）设 X 是空间， \frak{a} 是 X 上的某个 \sigma 代数， \mu 是定义在\frak{a}上的测度，则称三元组(X,\mathfrak{a},\mu) 是测度空间。
在不强调\frak{a}和\mu 的情况下，简单记作 (X,\mathfrak{a}) 或 X 。
那么，若集合属于\frak{a}，则称该集合是 \mu 可测的（\mu\text{-}measurable ），有时简称可测的（measurable），要注意分辨。
注： E\in \mathfrak{a} 和 E 是可测的，是同一件事。
例子1（Lebesgue测度空间）若取 X 为 \mathbb{R}^n ，取\frak{a}为Lebesgue集 L ，取 \mu 为Lebesgue测度 m ，则称三元组(\mathbb{R}^n,L,m) 为Lebesgue测度空间（Lebesgue measure space）。
定义2（测度子空间）设有测度空间(X,\mathfrak{a},\mu)，令 Y 为可测集。
定义\mathfrak{a}_Y 为 Y 的所有可测子集，定义 \mu|_Y 是 \mu 在 Y 上的限制。
则三元组 (Y,\mathfrak{a}_Y,\mu|_Y) 也是测度空间，称为 (X,\mathfrak{a},\mu) 的测度子空间。
有界可测函数
有界可测函数介绍有界可测函数（Bounded Measurable Function）是在测度空间上定义的一类函数。
它是测度论领域中的重要概念，对于研究测度空间的性质和函数的可测性具有重要的作用。
本文将介绍有界可测函数的定义、性质以及在测度空间中的应用。
定义在测度空间（Measure Space）中，设有两个测度空间（X, Σ, μ）和（Y, τ, ν），其中X和Y是非空集合，Σ和τ是X和Y上的σ代数，μ和ν是X和Y上的测度。
一个函数f：X→Y被称为有界可测函数，如果对于任意的可测集E∈Σ，f的限制在E上的函数f|E是可测函数，并且存在一个实数M>0，使得|f(x)|≤M几乎处处成立。
性质1.有界可测函数的加法和乘法：如果f和g是两个有界可测函数，并且α和β是实数，则αf+βg也是有界可测函数。
2.有界可测函数的极限：如果{fn}是一列有界可测函数，并且对于几乎所有的x，{fn(x)}是收敛的，则其极限函数也是有界可测函数。
3.有界可测函数的积分：如果f是有界可测函数，则其可积性等价于其绝对可积性，即f可积当且仅当|f|可积。
应用有界可测函数在测度论中有着广泛的应用。
下面我们将介绍几个常见的应用领域。
测度空间中的积分利用有界可测函数的积分性质，我们可以定义测度空间上的积分操作。
给定一个测度空间（X, Σ, μ），定义一个非负的有界可测函数f，我们可以定义其关于测度μ的积分。
对于一般的有界可测函数，我们可以将其拆分为正负部分来进行积分。
利用积分操作，我们可以推广测度空间上的许多概念和性质。
Lp空间在有界可测函数的基础上，我们可以定义Lp空间。
Lp空间是测度空间中函数的一个重要子空间，其中p是一个实数，0<p<∞。
对于一个有界可测函数f，如果其Lp 范数有限，则f属于Lp空间，记作Lp(X, μ)。
Lp空间在函数分析和概率论中都有广泛的应用。
描述统计学在描述统计学中，我们经常遇到随机变量的分布函数。
《实变函数论 》第二章可测集与可测函数
证明1):当F为闭集时 F Fn , 其中Fn F (n) ,所以F为Fσ集
n 1
构造Gn
{x | d (x, F )
1}为开集 n
则F= Gn为G 型集
n 1
通过取余将 Gδ型集与 Fσ型集相互转化（并与交，开集与闭集互 换）得开集也既是Gδ型集又是Fσ型集
可数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；可数集是Fσ集 无理数集通过有理数集取余是Gδ集
故m(E F ) 0
“(3)=>(1)已” 知: F型集F0 E, m*(E F0 ) 0
从而(E F0 )可测,即E F0 (E F0 )为可测集
定理２.3.5： 里外接近
(1)E可测
(2) 0, 闭集F,开集G满足F E G，m *(G F )
(3)F型集F0，G型集G0满足F0 E G0且m *(G0 F0 ) 0
取闭集 F Gc (EC )C E
m(E F) m(E F c ) m(F c E) m(G Ec)
“(2)=>(3)”,对任意的1/n，
闭集Fn，使得E
Fn且m (E
)
1 n
令F Fn，则F为F 型集，E F且
n 1
0
m ( E
F)
m (E
Fn
)
1 n
,n
1,
2, 3,
E
i 1
Ei
其中mEi
对每个Ei应用上述（a)的结果
开集Gi，使得Ei
Gi且m(Gi
Ei )
2i
令G
i1
Gi
,
则G为开集，E
G，且
m(G
E)
m( i1
Gi
可测函数及其性质(版)
三. 可测函数的性质
定理1: 可测函数关于子集、并集的性质
即:若f(x)是E上的可测函数, E1 E, E1 可测， 则f(x) 在E1上也是可测函数；
s
反之，若
E E
i 1
i
, f(x) 在En上是可测函数，
则f(x)在E上也是可测函数。
E [ f a] E[ f a] E
1
1
s
E[ f a] E [ f a] i1 i
（1）当 =0时， f 0,常值函数，是连续函数，故是可测函数； 当 0时，c R,E[ f c] E[ f c / ], 而E[ f c / ]是可测集，所以E[ f c]是可测集， 因此 f 是可测函数。同理可证 0时成立。
(2)先设f (x) b, b为某一有限实数，a R, E[ f g a] E[b g a] E[g a b], 故E[ f g a]是可测集，所以 f g g b是可测函数。
注：当f(x)是有界函数时，上述收敛可做到一致收敛
可测函数。
（5）E[|f
|
a]
E[ E,
f a
a] 0
E[ f a], a 0
定理3: 可测函数类关于确界运算和极限运算封闭.
即若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。
(x) sup{ f (x)} (x) inf{ f (x)}
n
n
lim f (x) inf sup{ f (x)}
对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数，f (x)在x0 (a,b)处连续
若 lim xx0
f
(x)
f
(x0 )
即 0, 0,当| x x0 | 时，有| f (x) f (x0 ) |
可测函数和连续函数
可测函数与连续函数实变大作业2011/4/27可测函数与连续函数【摘要】：主要介绍几乎可测函数的定义与性质，及几乎处处有限的可测函数与连续函数的关系。
由于连续函数不是本章所学的容，故不对其介绍。
【关键词】：可测函数、连续函数、关系这一章中主要学习了可测函数，这是一类新的函数，所以搞清它的性质及其与其它函数之间的关第是十分重要与必要的。
特别是我们十分熟悉的函数之间的关系。
一、基本概念1、几乎处处：给定一个可测集E，假如存在E的一个子集，，且使得性质P 在上处处成立，则称性质P在E上几乎处处成立。
2、可测函数：设是Lebesgue可测集，是上的实值函数。
假如对于任意实数都是可测集，则称是上的Lebesgue可测函数（简称是上的可测函数）。
3、几乎处处有限的可测函数：设是Lebesgue可测集，给定一个可测集E，存在E的一个子集，，在上有限，假如对于任意实数都是可测集，则称是上几乎处处有限的的Lebesgue可测函数4、连续函数：设，是定义于的函数，，假如则称沿在连续；假如沿任意一点都连续，则称沿连续。
5、预备定理、引理定理2.2设是一个紧集，是一列沿连续的函数。
若在上一致收敛于，则也沿连续。
定理2.3（Egoroff）设和都是测度有限的集上的几乎处处有限的可测函数。
若在上几乎处处收敛于，则对任何并且在上一致收敛于。
引理2.1设是中的闭集，函数沿连续，则可以开拓成上的连续函数，并且=。
引理2.2设是可测集上的简单函数。
则对任何有沿连续的函数使。
二、可测函数和连续的关系1、连续函数的可测性定理1可测集上的连续函数都是可测函数。
证明:对任意，设，则由连续性假设，存在x的某邻域，使。
因此，令，则：反之，显然有，因此：从而：但G是开集（因为它是一族开集这并），而E为可测集，故其交仍为可测集，即为可测集，由定义知：f(x)是可测函数。
但可测函数不一定连续例例：可测函数Dirichlit函数在上处处间断2、用连续函数逼近可测函数，可测函数的连续性引理1：设F是R中的闭集，函数f没F连续，则f可以开拓成R的连续函数，并且：证明：此时是开集，其中开区间族两两不相交。
可测函数的充要条件
可测函数的充要条件摘要 本文从集E(f>a)的可测性以及用简单函数与连续函数逼近，给出了可测函数的等价条件，揭示了可测函数的结构。
关键词 可测函数；简单函数；连续函数可测函数是实变函数论中的一个重要概念，是建立勒贝格积分的基础。
对于可测函数，我们给出了如下的定义：定义1 设f(x)是可测集E 定义的实函数(其值可取±∞)，如果对于任意实数a ，E(f>a)恒为可测集，则称f(x)为E 上的可测函数。
首先,我们利用集的可测性给出函数可测性条件。
定理1 设f(x)是可测集E 定义的实函数,下列任一条件都是f(x)在E 上的可测的充要条件：（1）对于任意实数a ，E(f ≥a)都可测； （2）对于任意实数a ，E(f<a)都可测； （3）对于任意实数a ，E(f ≤a)都可测。
证明 E(f ≥a)与E(f<a)对于E 是互余的，同样E(f ≤a)与 E(f>a)对于E 也是互余的，故在三个条件中，只许证（1）的充要性。
事实上，易知=≥)(a fE )1(1∞=->n n a fE)1()(1 ∞=+≥=>n n a f E a f E 由第一式一列可测集的交仍为可测集知f （x ）可测时条件（1）成立，由第二式一列可测集的并仍为可测集知条件（1）成立时f （x ）可测。
其次,我们利用简单函数逼近的方法给出函数可测性条件。
为此,先给出简单函数的定义:定义2 设f(x)是定义在可测集上的实函数。
如果 E 可分解为有限个互不相交的可测集E1，E2，…，的并，并且f(x)在每一个Ei( i=l ，2，…，n)上都取常数值，则称f(x)是E 上的简单函数。
容易知道,可测集E 上的简单函数恒为可测函数。
不仅如此,我们还有:定理2 f(x)在E 上可测当且仅当存在E 上简单函数序列{fn(x)},使得)()(lim x f x fnn =∞→。
证明 若f(x)是E 上的可测函数。
可测函数的性质
定理４.１.２
设 E＝ U E n ，且 E n 可测，则 f 在 E 上可测 ⇔ 对 ∀ n，f 在
n =1
E n 上可测.
∞
证明
“ ⇐ ”对任意的实数 a，E[f＞a]＝ U E n [f＞a]，因为 f 在 E n 上
n =1
可测，所以 E n [f＞a]可测，从而 E[f＞a]可测，即 f 在 E 上可测。 “ ⇒ ”因为 f 在 E 上可测，所以 f 在 E 的可测子集 E n 上可测。
n →∞
∞
证明
1)
对任意 a 由于 E[h＞a]＝ U E[f n ＞a]，且 f n 在 E 上可测,
n =1
所以 E[f n ＞a]可测，从而 E[h＞a]，即 h 在 E 上可测，同理可证 g 在 E 上可测。 2) 其中 g N (x)＝ inf f n (x) m(x)＝ l im f n (x)＝ sup inf f n (x)＝ sup g N (x)，
+
+
−
因为对任意 a，E[-f＞a]＝E [ f < − a ] ，所以当 f 可测时，-f 可测。
−
又因为 f (x)＝max{f(x),0}，f (x)＝max{-f(x),0}，|f(x)|＝max{f(x),n}, 故当 f 可测时，f (x)、f (x)、|f(x)|均在 E 上可测。
+ −
例４.１.2 若 f(x)在 E 上非负可测，则{f(x)} n 在 E 上可测。其中 n, x ∈ E ( f ≥ n ) {f(x)} n ＝ f ( x ), x ∈ E ( f < n )
称为 f(x)的 n-截断函数。
证明
显然{f(x)} n =min{f(x),n}在 E 上可测。 可测函数的和、差、积、商仍为可测函数。
§-3.2-可测函数的收敛性
83§3.2 可测函数的收敛性教学目的 使学生对可测函数序列的几乎处处收敛性, 依测度收敛性和几乎一致收敛性及它们的之间蕴涵关系有一个全面的了解.本节要点 本节引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性. 特别是依测度收敛是一种全新的收敛, 与熟知的处处收敛有很大的差异. Egorov 定理和Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系. Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁.设),,(µF X 是一测度空间. 以下所有的讨论都是在这一测度空间上进行的. 先介绍几乎处处成立的概念.几乎处处成立的性质 设)(x P 是一个定义在E 上与x 有关的命题. 若 存在一个零测度集N , 使得当N x ∉时)(x P 成立(换言之, })(:{不成立x P x N ⊂), 则称P (关于测度µ)在E 上几乎处处成立. 记为)(x P a.e.−µ, 或者)(x P a.e.在上面的定义中, 若)(x P 几乎处处成立, 则集})(:{不成立x P x 包含在一个零测度集内. 若})(:{不成立x P x 是可测集, 则由测度的单调性知道.0}))(:({=不成立x P x µ 特别地, 当测度空间),,(µF X 是完备的时候如此.例1 设给定两个函数f 和g . 若存在一个零测度集N , 使得当N x ∉时),()(x g x f = 则称f 和g 几乎处处相等, 记为g f = a.e.例2 设f 为一广义实值函数. 若存在一个零测度集N, 使得当N x ∉时,+∞<f 则称f 是几乎处处有限的, 记为+∞<f , a.e.注1 设f 是几乎处处有限的可测函数, 则存在一零测度集N, 使得当N x ∉时.+∞<f 令.~c N fI f = 则f ~是处处有限的可测函数并且 a.e..~f f =因此, 在讨论几乎处处有限的可测函数的性质时, 若在一个零测度集上改变函数的值不影响该性质, 则不妨假定所讨论的函数是处处有限的.注意, f 几乎处处有限与 a.e.M f ≤是不同的概念. a.e.M f ≤表示84存在一个零测度集N , 使得f 在c N 上有界. 显然 a.e.M f ≤蕴涵f 几乎处处有限. 但反之不然. 例如, 设),10(1)(≤<=x xx f .)0(+∞=f 则f 在)1,0(上关于L 测度是几乎处处有限的, 但在)1,0(中并不存在一个L 零测度集N 和,0>M 使得在N −)1,0(上, .)(M x f ≤ 初学者常常在这里发生误解, 应当引起注意.可测函数的几种收敛性 和定义在区间上的函数列的一致收敛一样, 可以定义在任意集上的函数列的一致收敛性. 设E 是X 的子集. )1(,≥n f f n 定义在E 上的函数. 若对任意0>ε, 存在,0>N 使得当N n ≥时, 对一切E x ∈成立,)()(ε<−x f x f n 则称}{n f 在E 上一致收敛于f , 记为..un f f n →定义1 设}{n f 为一可测函数列, f 为一可测函数.(1) 若存在一个零测度集N , 使得当N x ∉时, 有)()(lim x f x f n n =∞→, 则称}{n f 几乎处处收敛于f , 记为f f n n =∞→lim a.e., 或f f n → a.e.. (2) 若对任给的0>ε, 总有.0})({lim =≥−+∞→εµf f n n则称}{n f 依测度收敛于f , 记为.f f n → µ(3) 若对任给的0>δ, 存在可测集δE , δµδ<)(E , 使得}{n f在c E δ上一致收敛于f , 则称}{n f 几乎一致收敛于f , 记为n nf lim =f a.un., 或 f f n → a..un..容易证明, 若将两个a.e.相等的函数不加区别, 则上述几种极限的极限是唯一的. 例如, 若,a.e.f f n → g f n → a.e., 则g f = a.e.. 其证明留作习题.例3 设))),,0[(),,0([m +∞+∞M 为区间),0[∞+上的Lebesgue 测度空间. 其中)),0[(+∞M 是),0[∞+上的L 可测集所成的σ-代数, m 是1R 上的L 测度在),0[∞+上的限制. 令85.1),(1)(),1(≥−=n x I x f n n n则对任意,0>x ).(0)(∞→→n x f n 当0=x 时)(x f n 不收敛于0. 但,0})0({=m 因此在),0[∞+上.0a.e. → n f 由于对,21=ε ).(,0)),[]1,0([})21({/+∞→ → +∞=+∞∪=≥n n n m f m n 因此}{n f 不依测度收敛于0. 这个例子表明在一般情况下, 几乎处处收敛不一定能推出依测度收敛.例4 设)]),1,0[(],1,0[(m M 是]1,0[上的Lebesgue 测度空间. 令.1,)(≥=n x x f n n则对任意0>δ, }{n f 在]1,0[δ−上一致收敛于0.由于δδ=−])1,1((m 可以任意小, 因此0a..un. → n f . 又显然.0a.e. → n f例5 设)]),1,0[(],1,0[(m M 是]1,0[上的Lebesgue 测度空间. 令.1,,,1,1[≥=−=n n i ni n i A i n L 将}{i n A 先按照n 后按照i 的顺序重新编号记为}{n E . 显然.0)(→n E m 令)()(x I x f n E n =, 1≥n ,.0)(=x f对任意0>ε, 由于.,0)(})({∞→→=≥−n E m f f m n n ε故}{n f 依测度收敛于f . 但}{n f 在]1,0[上处处不收敛. 事实上, 对任意]1,0[0∈x , 必有无穷多个n E 包含0x , 也有无穷多个n E 不包含0x . 故有无穷多个n 使得,1)(0=x f n 又有无穷多个n 使得.0)(0=x f n 因此}{n f 在0x 不收敛. 这个例子表明依测度收敛不能推出几乎处处收敛. 例3和例4表明, 依测度收敛和几乎处处收敛所包含的信息可能相差很大.几种收敛性之间的关系 为叙述简单计, 以下我们设所讨论的函数都是实值可测函数. 但以下结果对几乎处处有限的可测函数也是成立的由(见注1的说明).引理2 设+∞<)(X µ. 若.a.e.f f n → 则对任意0>ε有86.0)}{(lim =≥−∞=∞→U n i i n f f εµ 证明 设0>ε是一给定的正数. 任取X x ∈, 若对任意,1≥n 存在,n i ≥ 使得.)()(ε≥−x f x f i 则)()(x f x f n 不收敛于. 这表明IU ∞=∞=≥−1}{n n i i f fε)}.()(:{/x f x f x n → ⊂由于,a.e.f f n → 因此由上式知道.0}{1=≥−∞=∞=IU n n i i f f εµ 由于+∞<)(X µ, 由测度的上连续性, 我们有0}{}{lim 1=≥−= ≥−∞=∞=∞=∞→IU U n n i i n i i n f f f f εµεµ. ■ 容易证明, 若,a..un.f f n → 则f f n → a.e.(其证明留作习题). 下面的定理表明当+∞<)(X µ时, 其逆也成立.定理3 (叶戈洛夫)若+∞<)(X µ, 则f f n → a.e.蕴涵.a..un.f f n →证明 设+∞<)(X µ, .a.e.f f n → 由引理2 , 对任意0>ε, 有.0}{lim =≥−∞=∞→U n i i n f f εµ 于是对任意的0>δ和自然数1≥k , 存在自然数k n 使得.2}1{k n i i k k f f δµ< ≥−∞=U 令.}1{1U U ∞=∞=≥−=k n i i kk f f E δ 由测度的次可数可加性我们有 .2}1{)(11δδµµδ=≤ ≥−≤∑∑∞=∞=∞=k k k n i i k k f f E U 往证在c E δ上, }{n f 一致收敛于f . 事实上, 由De Morgan 公式得87.1,}1{}1{1≥<−⊂<−=∞=∞=∞=k k f f k f f E kk n i i k n i i c I I I δ (1) 对任意0>ε, 取k 足够大使得.1ε<k则由(1)式知道, 当k n i ≥时对一切c E x δ∈, 有.1)()(ε<<−kx f x f i 即在c E δ上}{n f 一致收敛于f . 这就证明了f f n → a..un.. 定理证毕. 注 2 在叶戈洛夫定理中, 条件+∞<)(X µ不能去掉. 例如, 若令),()(),[x I x f n n +∞= .1≥n 则}{n f 在1R 上处处收敛于0. 但容易知道}{n f 不是几乎一致收敛于0.定理4 若+∞<)(X µ, 则f f n → a.e.蕴涵.f f n → µ证明 设+∞<)(X µ, .a.e.f f n → . 由引理2 , 对任意0>ε有.0}{lim =≥−∞=∞→U n i i n f f εµ 由测度的单调性立即得到()≤≥−∞→}{lim εµf f n n .0}{lim =≥−∞=∞→U n i i n f f εµ 即.f f n → µ ■ 本节例3表明, 在定理4中, 条件+∞<)(X µ不能去掉.定理5 (Riesz)若,f f n → µ 则存在}{n f 的子列}{k n f , 使得.a.e.f f k n →证明 设.f f n → µ 对任意0>ε和0>δ, 存在1≥N , 使得当Nn ≥时, 有δεµ<≥−})({f f n .于是对任意自然数1≥k , 存在自然数k n , 使得.21})1({k n k f f k <≥−µ (2)88我们可适当选取k n 使得L ,2,1,1=<+k n n k k . 往证.a.e.f f k n → 令L I ,2,1,}1{=<−=∞=i k f f E ik n i k . 对任意i E x ∈, 当i k ≥时, .1)()(kx f x f k n <− 这表明}{k n f 在i E 上收敛于f . 令.1U ∞==i i E E 则}{k n f 在E 上收敛于f . 往证.0)(=c E µ 由De Morgan 公式, 我们有.}1{11I IU ∞=∞=∞=≥−==i i i k n c i c k f f E E k 利用(2)容易得到.1)(1≤c E µ 因此由测度的上连续性并且利用(2), 我们有.021lim })1({lim }1{lim )(=≤≥−≤ ≥−=∑∑∞=∞→∞=∞→∞=∞→i k k i ik n i ik n i ck f f k f f E k k µµµU 这就证明了.a.e.f f k n → ■定理6 设+∞<)(X µ. 则f f n → µ当且仅当}{n f 的任一子列}{k n f 都存在其子列}{k n f ′, 使得).(a.e.∞→′ → ′k f f k n证明 必要性(此时不需设+∞<)(X µ). 设.f f n → µ 显然}{n f 的任一子列}{k n f 也依测度收敛于 f. 由定理 5 , 存在}{k n f 的子列}{k n f ′, 使得).(a.e.∞→′ → ′k f f k n充分性. 用反证法. 若}{n f 不依测度收敛于f , 则存在,0>ε 使得.0}({/ → ≥−εµf f n 于是存在0>δ和}{n f 的子列}{kn f , 使得 .})({δεµ≥≥−f f kn 由此知}{k n f 的任何子列}{k n f ′都不能依测度收敛于f . 由定理4, }{k n f ′也不89能a.e.收敛于f . 这与定理所设的条件矛盾. 故必有.f f n → µ ■定理5和定理6给出了依测度收敛和几乎处处收敛的联系. 利用这种联系, 常常可以把依测度收敛的问题转化为几乎处处的问题. 而几乎处处收敛是比较容易处理的.例 6 设)1(,,,≥n g f g f n n 是有限测度空间),,(µF X 上的几乎处处有限的可测函数, ,f f n → µ .g g n → µ 又设h 是2R 上的连续函数. 则).,(),(.g f h g f h n n → µ特别地, .fg g f n n → µ证明 不妨设)1(,,,≥n g f g f n n 都是处处有限的. 设),(k k n n g f h 是),(n n g f h 的任一子列. 由定理6, 存在}{k n f 的子列}{k n f ′使得).(a.e.∞→′ → ′k f f k n 同理存在}{k n g ′的子列, 不妨仍记为}{k n g ′, 使得).(a.e.∞→′ → ′k g g k n 既然h 是连续的, 因此有).,(),( a.e.g f h g f h k k n n → ′′这表明),(n n g f h 的任一子列),(k k n n g f h , 都存在其子列),(k k n n g f h ′′使得).,(),( a.e.g f h g f h k k n n → ′′ 再次应用定理6, 知道).,(),(.g f h g f h n n → µ 特别地, 若取,),(xy y x h = 则得到.fg g f n n → µ ■小结 本节介绍了几乎处处收敛, 依测度收敛和几乎一致收敛, 它们是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.几种收敛性之间有一些蕴涵关系. 其中最重要的是Egorov 定理和Riesz 定理.利用Riesz 定理,可以把较难处理的依测度收敛的问题化为几乎处处收敛的问题.习题 习题三, 第18题—第28题.。
1.5 可测集与可测函数(讲义)
1.5 可测集与可测函数1.5.1 可测集与可测函数定义1.5.1 设X 是基本空间，R 是X 上的σ-代数，且E X E ∈=R， 则称(,)X R 是可测空间(measurable space)，R 中的元素E 是(,)X R 上的可测集(measurable set)。
特别地，当1X =R ，=R L 时，称1(,)R L 是Lebsgue 可测空间；Lebsgue 可测空间上的可测集称为Lebsgue 可测集；当1X =R ，()==0R S R B 时，称1(,)R B 是Borel 可测空间；Borel 可测空间上的可测集（即：Borel 集）称为Borel 可测集.注 定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在σ-代数R 上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。
定义1.5.2 设(,)X R 是可测空间，E X ⊂，f 是定义在E 上的有限实函数。
若对一切实数c ，集(){(),}E c f x c f x x E ≤=≤∈都是(,)X R 上的可测集（即：()E c f ≤∈R ），则称f 是E 上关于R 的可测的函数，简称E 上的可测函数(measurable function)。
特别地，当1(,)(,)X =R R L 时，称f 是E 上关于L 的Lebsgue 可测函数； 当1(,)(,)X =R R B 时，称f 是E 上关于B 的Borel 可测函数。
定理1.5.1 设(,)X R 是可测空间，f 是定义在E X ⊂上的有限实函数。
则f 是E 上的可测函数的充分必要条件是：对任意实数,c d ，集()E c f d ≤<是可测集。
证 设f 是可测函数，由于()()()E c f d E c f E d f ≤<=≤-≤，而()E c f ≤和()E d f ≤都是可测集，所以()E c f d ≤<是可测集。
第二章 测度与可测函数
第二章测度与可测函数本章内容提要：1.引进Lebesgue测度与抽象测度的概念，给出测度的主要性质2.引进可测函数的概念，讨论可测函数的性质3.讨论可测函数与连续函数之间的关系，给出可测函数的结构4.讨论可测函数列的几种不同类型的收敛性概念及其相互关系本章重点难点提示：1.Lebesgue测度与抽象测度的概念及其性质2.判定一个集合是否可测的方法3.可测函数的几种等价定义4.可测函数与连续函数之间的关系5.可测函数列的几种收敛性之间的关系第一节Lebesgue测度2.1.1定理存在集族L与集函数L，使它们具有以下两组性质L.若L，则L.若L，则L.若是开集，则L..-可加性若L，互不相交，则完备性若则L.测度单位.平移不变性若L，则L，且逼近性质任给L，，存在闭集与开集，使且.证明见§2.5.定义Th2.1.1中的称为一维Lebesgue测度，L中的集称为一维Lebesgue可测集.Th2.1.1中性质刻画了可测集族L的构成，而则表示测度的特征.由Th2.1.1可得下列关于可测集与测度的性质2.1.2命题若L，，则L；若L，则L.证明L，L.综合性质与命题2.1.2得出结论，可测集经过差运算及可数次并或交运算后仍为可测集.由性质进一步推出:开集经差运算及可数次并或交运算后仍为可测集(这种可测集叫Borel集，见§2.5)，特别地:型集与型集是可测集.2.1.3命题测度有以下性质L.①单调性:若L，，则.②可减性:若L，，则.③次可加性:若L，则.④下连续性:若L是一升列，则.⑤上连续性:若L是一降列，且则.证明:①且由性质及.②当时，由得.③令则L且互不相交，且，于是.④令，则.可设(否则结论显然成立).于是由性质及可减性得：⑤由可减性及下连续性得：2.1.4命题①若是可数集，则.②若是区间中任何一个，其中则.③若是中开集，是的构成区间，则.证明①由性质可加性，只需证明单点集是可测集且测度为0.是闭集，可测，由性质:平移不变性，与无关，即用反证法证明，否则与性质矛盾.②首先设，则由①可数集的测度为0，知.由性质有，从而.对任何正有理数有.对任给正实数，取一列正有理数，使，则，于是由下连续性有.当时，由性质得.再设，则由下连续性知.若则，由下连续性可得.若则，由下连续性可得.③由性质可加性直接得到.例1设是Cantor集，则由命题2.1.4③知于是由命题2.1.3.②可减性有.2.1.5命题①若L，则②L存在型集，使存在型集使.证明①由定义显然.下面只需证明，由性质:逼近性质有闭集与开集，使得，使，于是令，则是紧集(有界闭集)的升列，且于是由下连续性知，，从而是任意的.②由对偶律只需证明L存在型集使.若L，则由性质:逼近性质有闭集使令则是型集，且从而.若有型集使，则是可测集，从而L.综合命题2.1.4和2.1.5得出结论:区间的测度就是其长度；中开集的测度是其构成区间的长度之和；可测集的测度是包含该集的开集测度的下确界；每个可测集是一型集与一零测度集之并，或者是一型集与一零测度集之差.这些结论表明:具有Th2.1.1中性质和的集族L与集函数L是惟一确定的.对于，有完全类似的结果:2.1.6定理(类似Th2.1.1)存在惟一的集族L与集函数L，使得它们具有以下两组性质:L.若L，则L.若L，则L.若为开集，则L..可加性：若L，互不相交，则.完备性: 若，则L.测度单位: .平移不变性: 若L，，则L，且.逼近性质: 任给L，，存在闭集与开集，使且.定义Th2.1.6中的称为维Lebesgue测度，L中的集称为维Lebesgue可测集.。
可测函数的定义及其简单性质
仍为E上的可测函数。
a-g(x) r f(x)
证明：只要证 a
R, E[
f ga]
E[ f
可测，
a g ]
任取x E[ f ag],则f (x) a g(x)
从而r Q,使f (x) r a g(x)
即x
(
rQ
E[
f
r ]
E[
g
ar
]
)
任取x E[ f ag],则f (x) a g(x)
证明：要证f( g(x))是可测函数，只要证对任意a， E[f g>a]={x| f( g(x))>a}可测即可,
{x| f( g(x))>a}= (f g)-1((a,+∞)) = g-1(f-1((a,+∞)))
f-1((a,+∞)) = i (ai ,bi )
g
1
(i (ai
,
bi
))
(
i
g
1
xo
x
n
1
n
从而f `(x)是一列连续函数（当然是可测函数） 的极限，故f `(x)是可测函数.
利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.
例 设{fn}是可测函数列，则它的收敛点全体和发 散点全体是可测集.
证明：发散点全体为
E[lim n
fn
lim
n
fn ]
收敛点全体为
E[lim n
fn
lim
n
fn ]
若 0, 0, 使得f (O(x0 , ) E) O( f (x0 ), )
对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数，f (x)在x0 (a,b)处连续
若 lim xx0
可测函数的性质
实变函数论的核心内容是建立在可测函数类上的Lebesgue积分理论,而可测函数是借助于测度论定义的。
因此,三者关系能体现出可测函数是实变函数论的基本概念,理解与掌握它是学好Lebesgue积分理论的关键。
由于通常将一般可测函数的L积分定义为它的正部与负部两个非负可测函数L 积分的差(要求其中至少一个积分值有限),因此研究非负可测函数L积分的定义具有重要意义。
该文将研究非负可测函数L 积分的定义方法,文中可测集与可测函数均指L可测集与L可测函数。
1 可测函数的定义1.1可测函数(1)定义:设)(x f 是定义在可测集E n R 的实函数,如果对于任何有限实数a ,E []a f 都是可测集,则称)(x f 为定义在E 上的可测函数。
(2)定理:设)(x f 是定义在可测集E 上的实函数,下列任一条件都是)(x f 在E 上可测的充要件:(1)对任何有限实数a ,][a f E 都可测;(2)对任何有限实数a ,][a fE 都可测;(3)对任何有限实数a ,][a f E 都可测;(4)对任何有限实数)(,b a b a ,][b f a E 都可测。
例如,区间[b a ,]上的连续函数及单调函数都是可测函数。
1.2简单函数定义:设)(x f 的定义域E 可分为有限个互不相交的可测集S E E E ...,21, si i E E 1 ,使)(x f 在每个i E 上都等于某常数i c ,则)(x f 为简单函数。
例如,在区间[0,1]上的狄利克雷函数便是一简单函数。
2 可测函数的性质2.1基本性质(1)性质1:若()f x 是 E 上的可测函数,11,E E E 可测,则()f x 限制在1E 上也是可测函数;反之,若1n n E E,()f x 限制在n E 上是可测函数,则 f x 在 E 上也是可测函数。
1[][]1[][]1f a f a f a n f a n E E E E E引理:设)(x f 与)(x g 为E 上的可测函数,则与][g f E ][g f E 都是可测集。
可测函数的收敛性
lim f n ( x) f ( x) : 1 k 1, N 1, n N , 有 | f n ( x ) f ( x ) |
n
1 k
A {x : , 有x A }
A {x : , 使x A }
即：去掉 任意 小 （适当小） 测度集，在留下的集合上仍不一致收敛
几乎一致收敛:记作 f n f a.u.于E (almost uniformly)
即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛
0, 可测子集e E, m e , 使得f n在E E e上一致收敛于 f
⒈函数列的几种收敛定义
⑴点点收敛: 记作 f n f于E
x E, 0, N x 0, n N x , 有 | f n ( x) f ( x) |
⑵一致收敛:
0, N 0, n N , x E, 有 | f n ( x) f ( x) |
⑸依测度收敛: 记作 f n f于E
0, 有 lim mE[| f n f | ] 0
n
0, 0, N 0, n N , 有mE[| fn f | ]
注：从定义可看出，
几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零 测度集外） 依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛，其要 点在于误差超过σ的点所成的集的测度应随n趋于无穷 而趋于零，而不论点集的位置状态如何
说明：对任何x∈(0,1] , {fn(x)}有两个子列，一个恒为1， 一个恒为0，所以{fn(x)}在(0,1]上处处不收敛；
收敛的联系（叶果洛夫定理的引入）
§.Rn（Euclid空间）上的可测函数和连续函数（精品）
§3.3 n R 上的可测函数与连续函数教学目的 本节将考察欧氏空间上的可测函数和连续函数关系. 本节将证明重要的Lusin 定理, 它表明Lebesgue 可测函数可以用性质较好连续函数逼近. 这个结果在有些情况下是很有用的.本节要点 一方面, L 可测集上的连续函数是可测的, 另一方面, Lusin 定理表明, Lebesgue 可测函数可以用连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形式. 另外, 作为准备定理的Tietze 扩张定理本身也是一个很有用的结果.在§1.4我们已经给出了在nR 的任意子集上E 连续函数的定义. 这里先看两个例子. 例1 考虑1R 上的Dirichlet 函数=.1)(为无理数若为有理数若x x x D显然)(x D 在1R 上处处不连续. 若用Q 表示有理数的全体,则将)(x D 限制在Q 上所得到的函数Q D 在Q 上恒等于1. 故Q D 是Q 上的连续函数.(注意D 与Q D 是两个不同的函数). 这个例子表明若缩小了函数的定义域,不连续函数可能变成连续函数.例2 设k F F ,,1 是nR 上的k 个互不相交的闭集, ∪ki iFF 1==. 则简单函数∑==ki F i x I a x f i 1)()(是F 上的连续函数.证明 设,0F x ∈ 则存在0i 使得.00i F x ∈ 由于k F F ,,1 互不相交, 故∪0i i iFx ≠∉.由于∪0i i iF ≠是闭集, 因此.0),(00>=≠∪i i i F x d δ对任意,0>ε 当F x ∈并且δ<),(0x x d 时, 必有.0i F x ∈ 于是0)()(0=−x f x f .ε<因此)(x f 在0x 连续. 所以)(x f 在F 上连续(图3—1). ■图3—1定理1 设E 是nR 中的Lebesgue 可测集. f 是E 上的连续函数连续. 则f 是E 上Lebesgue 可测函数.证明 设∈a ,1R 记}.)(:{}{a x f E x a f E <∈=<我们证明, 存在nR 中的开集G , 使得.}{G E a f E ∩=< (1)事实上, 对任意},{a f E x <∈ 由于a x f <)(并且f 在x 连续, 故存在x 的邻域),(x x U δ,使得当),(x x U y δ∈并且E y ∈时, 成立.)(a y f < 即}.{),(a f E x U E x <⊂∩δ (2)令,),(}{∪a f E x xx U G <∈=δ则G 是开集. (2)式表明}.{a f E G E <⊂∩另一方面, 包含关系G E a f E ∩⊂<}{是显然的. 因此(1)式成立. (1)式表明对任意∈a ,1R }{a f E <是Lebesgue 可测集. 因此f 是E 上Lebesgue 可测函数. ■定理2 (Lusin 鲁津)设E 是nR 上的Lebesgue 可测集, f 是E 上a.e.有限的Lebesgue 可测函数. 则对任意,0>δ 存在E 的闭子集,δE 使得f 是δE 上的连续函数(即δE f 在δE 上连续), 并且.)(δδ<−E E m证明 分两步证明. (1) 先设f 是简单函数, 即,1∑==ki E i i I a f 其中k E E ,,1 是互不相交的L 可测集, .1∪ki i E E ==由§2.3定理6, 对任意给定的,0>δ 对每个,,,1k i = 存在XY 1F 0xδ+0x δ−0x 2F 3F 1a 2a 3ai E 的闭子集,i F 使得.,,1,)(k i kF E m i i =<−δ令,1∪ki i F E ==δ 则δE 是E 的闭子集, 并且.)())(()(11δδ<−≤−=−∑==ki i i k i i i F E m F E m E E m ∪由于∑==ki F i E i I a f1,δ由例2知f 是δE 上的连续函数.(2) 一般情形. 设f 是E 上的L 可测函数.不妨设f 是处处有限的.若令).1(,1ggf ff g −=+=则g 是有界可测函数, 并且f 连续当且仅当g 连续. 故不妨设f 有界. 由§3.1推论10, 存在简单函数列}{k f 在E 上一致收敛于f . 对任给的,0>δ 由已证的情形(1), 对每个k f 存在E 的闭子集kF , 使得k f 在k F 上连续,并且.2)(kk F E m δ<− 令,1∩∞==k k F E δ 则δE 是E 的闭子集,并且.)())(()(11δδ<−≤−=−∑∞=∞=k k k k F E m F E m E E m ∪由于每个k f 都在δE 上连续并且}{k f 在δE 上一致收敛于f , 因此f 在δE 上连续. ■例3 仍考虑例1中的Dirichlet 函数).(x D 设},,{21 r r Q =是有理数集. 对任意,0>δ 令.2,2(1111∪∞=++−−−=i i i i i r r R E δδδ则δE 是闭集, 并且.2)2,2()2,2()(11111111δδδδδδδ==−−≤−−=−∑∑∞=++∞=∞=++i ii i i i i i i i i i r r m r r m E R m ∪由于δE 中不含有理数, 因此)(x D 在δE 恒为零. 所以)(x D 在δE 上连续.下面我们将给出鲁津定理另一种形式. 为此, 先作一些准备.引理3 若⊂B A ,n R 是两个闭集并且,∅=∩B A ∈b a ,,1R .b a <则存在nR 上的一个连续函数f , 使得,a fA= b fB=并且∈≤≤x b x f a ,)(n R .证明 容易证明, 若A 是闭集, 则),(A x d 作为x 的函数在nR 上连续, 并且0),(=A x d 当且仅当A x ∈(见第一章习题第34题). 因此, 若令.),(),(),(),()(A x d B x d A x bd B x ad x f ++=容易验证f 满足所要求的性质.■定理4 (Tietze 扩张定理)设F 是nR 中的闭子集, f 是定义在F 上的连续函数. 则存在n R 上的连续函数,g 使得,f gF= 并且.)(sup )(sup x f x g Fx R x n∈∈=证明 先设.sup +∞<=∈M f Fx 令},3{M f M A −≤≤−=}.3{M f MB ≤≤= 则B A ,是两个闭集并且.∅=∩B A 由引理3, 存在nR 上的连续函数,1g 使得,31Mg A−= .31Mg B=并且 ∈≤x Mx g ,3)(1.n R .,32)()(1F x M x g x f ∈≤−对函数1g f −应用引理3, 注意此时g f −的上界是.32M 因此存在nR 上的一个连续函数2g , 使得∈⋅≤x M x g ,3231)(2.n R.,323232)()(221F x M M g x g x f ∈=⋅≤−−这样一直作下去, 得到nR 上的一列连续函数},{k g 使得∈⋅≤−x M x g k k ,3231)(1,n R ,,2,1 =k (4),,32)()(1F x M x g x f kki i ∈≤−∑= ,2,1=k . (5)由(4)知道级数∑∞=1)(k kx g在n R 上一致收敛. 记其和为),(x g 则)(x g 是n R 上的连续函数.而(5)表明在F 上).()(x f x g = 并且,323)()(111M Mx g x g k k k k =≤≤∑∑∞=−∞= ∈x .n R因此当f 有界时, 定理的结论成立.若)(x f 无界, 令),(tg )(1x f x −=ϕ 则≤)(x ϕ.2π由上面所证, 存在n R 上的连续函数,ψ 使得.ϕψ=F令)(tg )(x x g ψ=. 则g 是n R 上的连续函数并且.f gF=■定理5 (Lusin 鲁津) 设E 是n R 上的Lebesgue 可测集, f 是E 上a.e.有限的Lebesgue 可测函数. 则对任意,0>δ 存在n R 上的连续函数g ,使得.)})()(:({δ<≠∈x g x f E x m并且.)(sup )(sup x f x g Ex R x n∈∈≤证明 由定理2, 对任意,0>δ 存在E 的闭子集F , 使得f 在F 上连续并且.)(δ<−F E m 由定理4, 存在n R 上的连续函数,g 使得当F x ∈时, ).()(x f x g =并且.)(sup )(sup )(sup x f x f x g Ex Fx R x n∈∈∈≤=由于.)}()(:{F E x g x f E x −⊂≠∈ 因此.)()})()(:({δ<−≤≠∈F E m x g x f E x m ■思考题: 在直线上的情形, 用直线上开集的构造定理给出定理5的另一证明.小 结 本节考察了欧氏空间上的可测函数和连续函数关系.本节的主要结果是Lusin 定理(有两个等价形式). Lusin 定理表明, Lebesgue 可测函数可以用连续函数在某种意义下逼近. 由于连续函数的具有较好的性质, 比较容易处理, 因此这个结果在有些情况下是很有用的. 本节还证明了Tietze 扩张定理, 它也是一个很有用的结果. 习 题 习题三, 第29题—第31题.。
一般可测函数积分
1）若
f ( x ) = ∑ α i χ Ei ( x ), x ∈
i =1
k
n
，则
f y ( x ) = ∑ α i χ Ei ( x + y ) = ∑ α i χ E − y ( x )
i =1
i =1
i
k
k
它是非负简单函数，由测度平移不变性，
∫
n
f y ( x )dx = ∑ α i m ( Ei − y )
= ∫ cf + ( x)dx − ∫ cf − ( x)dx
E E
= c ∫ f + ( x)dx −c ∫ f − ( x)dx = c ∫ f ( x)dx
E E E
当 c ≤ 0 时，
(cf ) + = −cf − ,(cf ) − = −cf + ,
类似的，有
∫ cf ( x)dx = c ∫ f ( x)dx
3
可积函数性质：（直接推出）
+ − = f x + f f x ( ) ( x ) < ∞ a.e. ( ) 1）若 f ∈ L ( E ) ，则
2)若 f = g a.e.，且 f ∈ L ( E ) ，则 g ∈ L ( E ) 且
几乎处处有限！
∫ f ( x )dx = ∫ g ( x )dx.
E E
15
由于简单函数有界！假设 | ϕ ( x) |≤ M 取δ = ε
A ⊆ E ，m ( A ) < δ 时，有 ， 则当 2M
∫
A
f ( x)dx ≤ ∫ ( f ( x) − ϕ ( x))dx + ∫ ϕ ( x)dx
A A
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是可测集E
x E , x E ,
n
上的一列可测函数，
g ( x) : sup f n ( x),
n
h( x) : inf f n ( x),
n n
( x) lim sup f n ( x) inf sup f n ( x),
k n
x E,
都是E上的可测函数。
设E是实数集R的一个勒贝格可测子集，记 E ( f a ) x E : f ( x ) a ,
E( f a) x E : f ( x) a, E( f a) x E : f ( x) a,
E ( f )
E ( f k ), E ( f k ).
因此无论a取何值，E ( f a)总是可测集，从而f ( x)是E上 的可测函数。
1, x E, 例3.一个集合E的特征函数定义为 E ( x)= 0, x E
集合E是可测集当且仅当其特征函数E ( x)是可测函数。
例4 设f 是实数集 上的单调函数，则f 是可测的。
证明：不妨设f 是单调增加的，对任意实数a，令 va inf x R : f ( x) a (可以是 ), 约定 inf +.
如果完成了以上三步的证明，则证明了E ( F ( f , g ) a)是可 列个可测集的并，从而也是可测的。
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第二讲 可测函数
i)利用连续函数的局部保号性容易证明，详细过程由读者 完成；
下面我们证明ii)：如果H a =R ，则H a
我们对 的运算作如下规定：设a为非零的有限数，则 () ,
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a ,
| a | () ,
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第二讲 可测函数
(1) ,
,
1 0,
0 () 0.
f ( x) a 0, x B( x0 , r ), 从而B( x0 , r ) E( f a)，这就说明E( f a)是开集。
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第二讲 可测函数
2.3 可测函数的性质
性质1 设f 是可测集E 上的可测函数，则f 在E的任意 可测子集E0上也是可测的。
因此 a, E( f a)可测 a, E( f a)可测.
例2 设f 是定义在可测集E 上的常数函数，即 f ( x) C, x E, 则f 是可测的。
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第二讲 可测函数
E, a C, 证明：E ( f a) , a C,
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第二讲 可测函数
2.1 广义实值函数
在讲可测函数的定义之前，我们先将函数的定义进行适当 的拓广，使得函数值不但可以取有限数，还可以取 ， 这样的函数称为广义实值函数。
例1. 在物理和工程领域经常用到一个这样的函数：
x 0, , ( x) 且 ( x)dx 1, 0, x R \ {0}, 通常称为狄拉克(Dirac)符号或单位脉冲函数。
因此 E( f g a) E( f a g )
rQ
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E ( f r a g ),
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第二讲 可测函数
注意到 E ( f r a g ) E ( f r ) E (a g r ) E ( f r ) E ( g a r ),
i).如果f 是定义在E上的可测函数，则E ( f ) 和E ( f )都是可测集；
事实上，E ( f )
k 1
E ( f k ),
由于每一个E ( f k )都是可测集，因此E ( f ) 也是可测集。
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证明：注意到E ( g a) E ( a)
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n 1
E ( f n a)，由此立刻推出g ( x)可测；
E ( f k a)，因此 ( x)可测。
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n 1 k n
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第二讲 可测函数
性质4 设f ( x)与g ( x)都是是可测集E 上的可测函数，则 f ( x) g ( x), f ( x) g ( x), f ( x) / g ( x) ( g ( x) 0) 都是E上的可测函数。
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E ( f )
k 1 k 1
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第二讲 可测函数
2.2 可测函数的定义
定义21 . 设f 是定义在可测集E 上的广义实值函数，如 果对任何有限实数a，E ( f a)都是可测集，则称f 是定义 在E上的可测函数。
关于可测函数的定义，有下列几点需补充说明：
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第二讲 可测函数
关于复合函数的可测性，我们给出下列结果：
性质5 设f ( x)与g ( x)都是是可测集E 上的可测实值函数 (函数值不能取 )，F (u, v)是
2
上的二元连续函数，则复
合函数F ( f ( x), g ( x))在E上可测。
因此每一个 E( f r a g ) 都是可测的。
又因为有理数集是可数集，因此 E ( f g a)是可数个可 测集的并，从而也是可测集。
练习1.设f ( x)是可测集E 上的可测函数，则f 2 ( x)也是E上 的可测函数。 练习2.设f ( x)和g ( x)都是可测集E 上的可测函数，则 f ( x) g ( x)也是E上的可测函数。 练习3.设f ( x), g ( x)是可测集E 上的可测函数，g ( x) 0， 则1 / g ( x)也是E上的可测函数，从而f ( x) / g ( x)在E上可测。
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qQa
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iii )的证明：对于每一个矩形S [a, b) [c, d )， ES = x E : ( f ( x), g ( x)) S E (a f b) E (c g d ),
则Qa在Ha中是稠密的，而且Qa是可数集。
先对每一个点q (uq , vq ) Qa 作一个以q为中心的正方形区域： Sq [uq rq , uq rq ) [vq rq , vq rq ),
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1 c rq d (q, H a ),14/51 2 制作人：杨寿渊
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ii).可测函数定义中的条件E ( f a)可替换为E ( f a) 或E ( f a)或E ( f a).
1 事实上，E ( f a) E ( f a ), k k 1 1 E ( f a) E ( f a ), k k 1
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例5 设f 是实数集 上的连续函数，则f 是可测的。
证明：由于开集是勒贝格可测集，因此我们只需证明对 任意实数a，E ( f a)是开集即可。
如果E( f a) ，则结论已经成立；
如果E ( f a ) ，则对任意x0 E ( f a )，f ( x0 ) a 0， 由连续函数的局部保号性，存在x0的邻域B ( x0 , r )使得
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2.4 用简单函数逼近可测函数
由于 E (a f b)和E (c g d )都是可测集，因此ES也 是可测集。
注：利用性质5，我们可以得到许多函数的可测性，例如 也 由f ( x)与g ( x)可测得到 exp sin ln(1 | f ( x ) | | g ( x ) |) 是可测的。
2
c 否则H a 2 c 0 d ( x, H a ) ,
n
n
[k , k 1) [l , l 1),
k 1 l 1
c \ H a 非空，对于任意的x H a，x到H a 的距离满足
记Qa 为H a中所有有理点的集合，即
Qa (u , v ) H a : u , v Q ,
我们只需证明对任意实数a，E( f g a)是可测集即可。
注意到E( f g a) E( f a g ),
由于有理数的稠密性，
证明：我们只证f ( x) g ( x)的可测性，其余皆由读者自己完成。
f ( x) a g ( x) r
使得 f ( x) r a g ( x),
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第二讲 可测函数
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目录
2.1 广义实值函数 2.2 可测函数的定义 2.3 可测函数的性质 2.4 用简单函数逼近可测函数 2.5 可测函数序列的收敛性
2.6 Egoroff定理和Lusin定理
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