第三章(1) 时域分析(计算)
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1
1 t e(t ) r (t ) c(t ) Tt T 2 (1 e T )
t 1 c(t ) t 2 Tt T 2 (1 e T ) 2
(t 0)
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。 因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
表3-1一阶系统对典型输入信号的响应
63.2%
86.5%
95%
响应曲线在 t 0 时
t
的斜率为:
0
T
2T
3T
4T
5T
1 T
图 3-4指 数 响 应 曲 线
系统响应的特点是什么?
能跟踪阶跃输入信号吗?
系统单位阶跃响应的特点: 1.当t=T时,y(t)=0.632 , 当t=4T时,y(t)=0.98.2; 2.在t=0处的斜率为1/T; 3.能无误差的跟踪阶跃输入信号.
h(t)
Mp超 调 量 允 许 误 差 1 0.9
h() h() h() h()
0
td
0.02 或 0.05
0.5
0.1
tr tp ts
t
图 3-2 表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts 的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
四、典型时间响应
系统响应之间有什么关系?
1、 单位脉冲函数 对单位脉冲输入信号（函数）的响应。
3、 一阶系统的单位加速度响应
r (t ) 1 2 t 2
R(s) 1 S3
1 T T2 T2 1 S3 S2 1 S S S T T D
1 1 A B C C ( s) ( s) R( s) ( ) 3 3 2 TS 1 S S S S
tr 1.上升时间 响应曲线从稳态 值的0%上升到100% 所需的时间。 上升时间越短， 0.02或 0.05响应速度越快. 说明: 对于无超调的系 t 统,定义从稳态值的 10%上升到90%.
图 3-2表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
2.峰值时间 : t p 响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。
上式表明： ①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输 出信号的变化率完全相同。 ②由于系统存在惯性， c(t ) 从0上升到1时，对应 的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T，这就 是稳态误差产生的原因。 ③减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可 减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。
R( s)
1 1 1 1 则系统的输出为： C ( s) ( s) R( s) TS 1 S S TS 1 t 对上式取拉氏反变换，得 t0 c(t ) 1 e T
1 S
c(t)
1
0.632
c(t)=1-e
1 T
系统响应的瞬态分量由什么产生?
98.2% 99.3%
例如，切削机床的自动控制的例子。那么如何来规定衡
量系统性能的输入信号呢?
3.2.1 典型输入信号
在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有 评判、比较的依据。 这个依据也许可以通过对这些系统 加上各种输入信号， 比较它们对特定的输入信号的响应 来建立。 许多设计准则就建立在典型试验信号的基础上. 因为
三、一阶系统的动态性能指标估计
t d 0.69T
如何估算系统的性能指标?
t r 2.20T
t s 3T (5%误差带） t p 和％不存在
由于c(t)的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为 零。
例题:假设温度计可以用传传递函数 Ts 1 描述.现用温度计 测量水温,发现需要1分钟才能指示水温的98%,求系统的时间 常数T,并计算系统的性能指标.
) t T Te
) r(t
与系统的阶跃响应有什么关系? 因为
e(t ) r (t ) c(t ) T (1 e
1 t T
c(t)
)
0
t
图 3-5 一 阶 系 统 的 斜 坡 响 应
一阶系统跟踪单位斜坡信号的 稳态误差为：
e ss lim e(t ) T
t
1 TS 1
等价关系： 1)系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信 号响应的导数； 2)系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信 号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。
3.2.3 二阶系统的瞬态响应
还能举出其它例子吗? 一、引例 凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称 为二阶系统。 随动系统(位置控制系统）如图所示。
+
r(t)
R
+
i(t) C
c(t)
用一阶微分方程描述的控 制系统称为一阶系统。 图所示的RC电路，其微分 方程为:
duc U c r (t ) dt T C (t ) C (t ) r (t ) RC
（ a） 电 路 图
R(s)
（ c） 等 效 方 块 图
C(s)
当初使条件为零时，其传递函数为
实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表 现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信 号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。
动态性能指标:
每个指标的含义是什么?
h(t)
Mp超 调 量 允许误差 1 h() 0.9 h()
0.5 h()
0.1 h() 0
td
td
tr tp ts
i
输入电位计 输出电位计
+
发送
θr
θc
R2
反馈信号
θc
Ra ia
La
SM
输入装置
R1 KAe R1
e1
误差测量装置
KA
θ
负载 放大器 电动机 齿轮传动
图 3-6 随 动 系 统 原 理 图
i
输入电位计 输出电位计
+
发送
θr
θc
R2
反馈信号
θc
系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信
号的响应特性之间，存在着一定的关系. 所以采用试验 信号来评价系统性能是合理的。
怎样建立系统性能评判依据?
一.典型试验信号
选择典型试验信号的原则 (1) 反映实际情况; (2) 数学形式简单; (3) 实验室容易得到. 典型试验信号: 1、（单位）阶跃函数: 2、（单位）斜坡(速度)函数:
斜坡函数
3.2.4 时域性能指标
针对不同问题的描述,暂态性能指标出现的形式 有所不同.在许多实际情况中，控制系统所需要的 性能指标，常以时域量值的形式给出,这种性能指 标称为时域性能指标。 控制系统的时域性能指标，通常用系统在零初 示条件下（静止状态，输出量和输入量的各阶导数 为0），系统对（单位）阶跃输入信号的瞬态响应 来衡量。
2、 一阶系统的单位斜坡响应 当
R(s) 1 S2 时
1 1 1 T T2 C ( s ) ( s ) R( s ) 2 TS 1 S 2 1 TS S S
对上式求拉氏反变换，得：
c(t ) t T (1 e
1 t T
r(t) c(t)
1 t T
0.5 h()
0.1 h() 0
td
td
h(t p ) h() h()
100%
图 3-2表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
5.延迟时间： 响应曲线第一 次达到稳态值的 一半所需的时间。
3.2.2 一阶系统的瞬态响应
一、一阶系统的数学模型
L[t ] 1 1 , C ( s ) ( S ) R ( S ) ( S ) S2 S2
结论:“系统对输入信号微分的响应，等于系统对 输入信号响应的微分” 关系
脉冲函数 阶跃响应 阶跃函数的微分 斜坡函数的微分
响应
(S ) 阶跃函数的微分
1 ( S ) s 斜坡函数的微分 1 (S ) 2 s
输入信号 时域 输入信号 频域 输出响应
1 T e T
t
传递函数
(t )
微 分
1
1 S 1 S2
(t 0)
1(t) t
1 2 t 2
1 e
t T
t0
t T
微 分
t T Te
t 0
t
1 S3
1 2 t Tt T 2 (1 e T ) t 0 2
三、动态过程和稳态过程
在系统的外输入信号作用下，任何一个控制系统的时间 响应可以分为: 1、 瞬态响应（动态过程）： 指系统从初始状态到最终状态的响应过程。是由于实际 控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。 2 、稳态响应（稳态过程）： 是指当t趋近于无穷大时，系统的输出状态。表征系统输 入量最终复现输入量的程度。
L[ (t )] 1,C ( s) ( S ) R( S ) ( S )
2、单位阶跃响应 对单位阶跃输入信号（函数）的响应。
L[1(t )] 1 1 , C ( s ) ( S ) R ( S ) ( S ) S S
3、单位斜坡函数 对单位斜坡输入信号（函数）的响应。
本章讨论系统对非周期信号的响应.对正弦试验信号相应
将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论.
二、 典型初始条件
为研究系统方便，假设在外作用加于系统瞬时之前，系 统是相对静止的，即系统的被控量及其各阶导数相对于平
衡位置的增量为0(零初始条件)。
(0 ) c (0 )... cn1 (0 ) 0 t 0 时，c(0 ) c
C(s)
R(s)
I(s)
(s)
（ b） 方 块 图
C (s) 1 R( s) TS 1
还能举出其它例子吗?
这种系统实际上是一个非周期性 的惯性环节。
二、一阶系统的动态响应 1、 单位阶跃响应 因为 ( s) R( s) TS 1
C (s) 1
一阶系统的特性由什么决定?
当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)＝1，输出量的
拉氏变换与系统的传递函数相同，即
1 C (s) G (s) TS 1
这时相应的输出称为脉冲响应记作g(t)，因为
g (t ) c(t ) L1[G(s)]
其表达式为
t 1 T c(t ) e T
t0
与系统的阶跃响应有什么关系?
1(t ) , t 0
现实机中哪些信号是 典型信号?
t , t0
3、（单位）抛物线(加速度)函数: 1 t 2 , t 0 2 4、（单位）脉冲函数: (t ) , t 0 5、 正弦函数: sin t , t 0
1 s 1 s2 1 s3
1
s 2 2
通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一 个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。
1
解:设实际水温为 k ,
由 得
c(t ) k (1 e
k 98% k (1 e
T
t T
)
60 T
)
60 15.34 ln 0.02
性能指标:
tr 2.20T 33.75s
ts 4T 61.35s(2%误差带）
四、一阶系统的其他响应
1、 一阶系统的单位脉冲响应
第三章 时域分析法
在建立起控制系统数学模型之后,紧接着的问题是对系 统性能进行分析. 控制系统分析有多种方法，主要有时域分析法，频域 分析法，根轨迹法等.本章学习时域分析法.
教学内容: 3.1 概述 3.2 瞬态响应 3.3 稳态性 3.4 稳态误差分析
教学重点： 1、一、二阶系统的分析 2、线性系统的稳定性分析 3、系统稳态误差的计算 教学要求: 1.掌握一、二阶系统定量计算公式 2.掌握劳斯稳定判剧. 3.掌握稳态误差 的计算公式.
ts 3.调节时间 ： 响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所 需的最短时间。用稳态值的百分数（通常取5%或2%）表示.
h(t)
Mp超 调 量 允许误差 1 h() 0.9 h()
4.超调量 %
指响应的最大 偏离量h(tp)与终 值之差的百分比. 0.02或 0.05
%
tr tp ts t
3.2 瞬态响应
分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，
第二来自百度文库 分析控制性能。
要进行系统分析,首先要建立衡量系统性能优劣的性能指标. 应首先考虑以下问题: 1.用什么作输入信号? 2.系统初始条件如何? 3.如何定义性能指标? 4.需要定义哪些性能指标?
分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法， 根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范 围和对象。本章先讨论时域法。 实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是 随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情 况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。
1 t e(t ) r (t ) c(t ) Tt T 2 (1 e T )
t 1 c(t ) t 2 Tt T 2 (1 e T ) 2
(t 0)
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。 因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
表3-1一阶系统对典型输入信号的响应
63.2%
86.5%
95%
响应曲线在 t 0 时
t
的斜率为:
0
T
2T
3T
4T
5T
1 T
图 3-4指 数 响 应 曲 线
系统响应的特点是什么?
能跟踪阶跃输入信号吗?
系统单位阶跃响应的特点: 1.当t=T时,y(t)=0.632 , 当t=4T时,y(t)=0.98.2; 2.在t=0处的斜率为1/T; 3.能无误差的跟踪阶跃输入信号.
h(t)
Mp超 调 量 允 许 误 差 1 0.9
h() h() h() h()
0
td
0.02 或 0.05
0.5
0.1
tr tp ts
t
图 3-2 表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts 的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
四、典型时间响应
系统响应之间有什么关系?
1、 单位脉冲函数 对单位脉冲输入信号（函数）的响应。
3、 一阶系统的单位加速度响应
r (t ) 1 2 t 2
R(s) 1 S3
1 T T2 T2 1 S3 S2 1 S S S T T D
1 1 A B C C ( s) ( s) R( s) ( ) 3 3 2 TS 1 S S S S
tr 1.上升时间 响应曲线从稳态 值的0%上升到100% 所需的时间。 上升时间越短， 0.02或 0.05响应速度越快. 说明: 对于无超调的系 t 统,定义从稳态值的 10%上升到90%.
图 3-2表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
2.峰值时间 : t p 响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。
上式表明： ①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输 出信号的变化率完全相同。 ②由于系统存在惯性， c(t ) 从0上升到1时，对应 的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T，这就 是稳态误差产生的原因。 ③减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可 减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。
R( s)
1 1 1 1 则系统的输出为： C ( s) ( s) R( s) TS 1 S S TS 1 t 对上式取拉氏反变换，得 t0 c(t ) 1 e T
1 S
c(t)
1
0.632
c(t)=1-e
1 T
系统响应的瞬态分量由什么产生?
98.2% 99.3%
例如，切削机床的自动控制的例子。那么如何来规定衡
量系统性能的输入信号呢?
3.2.1 典型输入信号
在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有 评判、比较的依据。 这个依据也许可以通过对这些系统 加上各种输入信号， 比较它们对特定的输入信号的响应 来建立。 许多设计准则就建立在典型试验信号的基础上. 因为
三、一阶系统的动态性能指标估计
t d 0.69T
如何估算系统的性能指标?
t r 2.20T
t s 3T (5%误差带） t p 和％不存在
由于c(t)的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为 零。
例题:假设温度计可以用传传递函数 Ts 1 描述.现用温度计 测量水温,发现需要1分钟才能指示水温的98%,求系统的时间 常数T,并计算系统的性能指标.
) t T Te
) r(t
与系统的阶跃响应有什么关系? 因为
e(t ) r (t ) c(t ) T (1 e
1 t T
c(t)
)
0
t
图 3-5 一 阶 系 统 的 斜 坡 响 应
一阶系统跟踪单位斜坡信号的 稳态误差为：
e ss lim e(t ) T
t
1 TS 1
等价关系： 1)系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信 号响应的导数； 2)系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信 号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。
3.2.3 二阶系统的瞬态响应
还能举出其它例子吗? 一、引例 凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称 为二阶系统。 随动系统(位置控制系统）如图所示。
+
r(t)
R
+
i(t) C
c(t)
用一阶微分方程描述的控 制系统称为一阶系统。 图所示的RC电路，其微分 方程为:
duc U c r (t ) dt T C (t ) C (t ) r (t ) RC
（ a） 电 路 图
R(s)
（ c） 等 效 方 块 图
C(s)
当初使条件为零时，其传递函数为
实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表 现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信 号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。
动态性能指标:
每个指标的含义是什么?
h(t)
Mp超 调 量 允许误差 1 h() 0.9 h()
0.5 h()
0.1 h() 0
td
td
tr tp ts
i
输入电位计 输出电位计
+
发送
θr
θc
R2
反馈信号
θc
Ra ia
La
SM
输入装置
R1 KAe R1
e1
误差测量装置
KA
θ
负载 放大器 电动机 齿轮传动
图 3-6 随 动 系 统 原 理 图
i
输入电位计 输出电位计
+
发送
θr
θc
R2
反馈信号
θc
系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信
号的响应特性之间，存在着一定的关系. 所以采用试验 信号来评价系统性能是合理的。
怎样建立系统性能评判依据?
一.典型试验信号
选择典型试验信号的原则 (1) 反映实际情况; (2) 数学形式简单; (3) 实验室容易得到. 典型试验信号: 1、（单位）阶跃函数: 2、（单位）斜坡(速度)函数:
斜坡函数
3.2.4 时域性能指标
针对不同问题的描述,暂态性能指标出现的形式 有所不同.在许多实际情况中，控制系统所需要的 性能指标，常以时域量值的形式给出,这种性能指 标称为时域性能指标。 控制系统的时域性能指标，通常用系统在零初 示条件下（静止状态，输出量和输入量的各阶导数 为0），系统对（单位）阶跃输入信号的瞬态响应 来衡量。
2、 一阶系统的单位斜坡响应 当
R(s) 1 S2 时
1 1 1 T T2 C ( s ) ( s ) R( s ) 2 TS 1 S 2 1 TS S S
对上式求拉氏反变换，得：
c(t ) t T (1 e
1 t T
r(t) c(t)
1 t T
0.5 h()
0.1 h() 0
td
td
h(t p ) h() h()
100%
图 3-2表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
5.延迟时间： 响应曲线第一 次达到稳态值的 一半所需的时间。
3.2.2 一阶系统的瞬态响应
一、一阶系统的数学模型
L[t ] 1 1 , C ( s ) ( S ) R ( S ) ( S ) S2 S2
结论:“系统对输入信号微分的响应，等于系统对 输入信号响应的微分” 关系
脉冲函数 阶跃响应 阶跃函数的微分 斜坡函数的微分
响应
(S ) 阶跃函数的微分
1 ( S ) s 斜坡函数的微分 1 (S ) 2 s
输入信号 时域 输入信号 频域 输出响应
1 T e T
t
传递函数
(t )
微 分
1
1 S 1 S2
(t 0)
1(t) t
1 2 t 2
1 e
t T
t0
t T
微 分
t T Te
t 0
t
1 S3
1 2 t Tt T 2 (1 e T ) t 0 2
三、动态过程和稳态过程
在系统的外输入信号作用下，任何一个控制系统的时间 响应可以分为: 1、 瞬态响应（动态过程）： 指系统从初始状态到最终状态的响应过程。是由于实际 控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。 2 、稳态响应（稳态过程）： 是指当t趋近于无穷大时，系统的输出状态。表征系统输 入量最终复现输入量的程度。
L[ (t )] 1,C ( s) ( S ) R( S ) ( S )
2、单位阶跃响应 对单位阶跃输入信号（函数）的响应。
L[1(t )] 1 1 , C ( s ) ( S ) R ( S ) ( S ) S S
3、单位斜坡函数 对单位斜坡输入信号（函数）的响应。
本章讨论系统对非周期信号的响应.对正弦试验信号相应
将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论.
二、 典型初始条件
为研究系统方便，假设在外作用加于系统瞬时之前，系 统是相对静止的，即系统的被控量及其各阶导数相对于平
衡位置的增量为0(零初始条件)。
(0 ) c (0 )... cn1 (0 ) 0 t 0 时，c(0 ) c
C(s)
R(s)
I(s)
(s)
（ b） 方 块 图
C (s) 1 R( s) TS 1
还能举出其它例子吗?
这种系统实际上是一个非周期性 的惯性环节。
二、一阶系统的动态响应 1、 单位阶跃响应 因为 ( s) R( s) TS 1
C (s) 1
一阶系统的特性由什么决定?
当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)＝1，输出量的
拉氏变换与系统的传递函数相同，即
1 C (s) G (s) TS 1
这时相应的输出称为脉冲响应记作g(t)，因为
g (t ) c(t ) L1[G(s)]
其表达式为
t 1 T c(t ) e T
t0
与系统的阶跃响应有什么关系?
1(t ) , t 0
现实机中哪些信号是 典型信号?
t , t0
3、（单位）抛物线(加速度)函数: 1 t 2 , t 0 2 4、（单位）脉冲函数: (t ) , t 0 5、 正弦函数: sin t , t 0
1 s 1 s2 1 s3
1
s 2 2
通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一 个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。
1
解:设实际水温为 k ,
由 得
c(t ) k (1 e
k 98% k (1 e
T
t T
)
60 T
)
60 15.34 ln 0.02
性能指标:
tr 2.20T 33.75s
ts 4T 61.35s(2%误差带）
四、一阶系统的其他响应
1、 一阶系统的单位脉冲响应
第三章 时域分析法
在建立起控制系统数学模型之后,紧接着的问题是对系 统性能进行分析. 控制系统分析有多种方法，主要有时域分析法，频域 分析法，根轨迹法等.本章学习时域分析法.
教学内容: 3.1 概述 3.2 瞬态响应 3.3 稳态性 3.4 稳态误差分析
教学重点： 1、一、二阶系统的分析 2、线性系统的稳定性分析 3、系统稳态误差的计算 教学要求: 1.掌握一、二阶系统定量计算公式 2.掌握劳斯稳定判剧. 3.掌握稳态误差 的计算公式.
ts 3.调节时间 ： 响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所 需的最短时间。用稳态值的百分数（通常取5%或2%）表示.
h(t)
Mp超 调 量 允许误差 1 h() 0.9 h()
4.超调量 %
指响应的最大 偏离量h(tp)与终 值之差的百分比. 0.02或 0.05
%
tr tp ts t
3.2 瞬态响应
分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，
第二来自百度文库 分析控制性能。
要进行系统分析,首先要建立衡量系统性能优劣的性能指标. 应首先考虑以下问题: 1.用什么作输入信号? 2.系统初始条件如何? 3.如何定义性能指标? 4.需要定义哪些性能指标?
分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法， 根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范 围和对象。本章先讨论时域法。 实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是 随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情 况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。