常用的一些矢量运算公式
矢量的运算法则
F
1 R2
(R2FR ) R
1
R sin
(F sin )
1
R sin
F
正交曲线坐标系中：
F
1
Fu1h 2 h 3
(Fu2 h1h3
)
(Fu3 h1h2
)
h1h2h3 u1
u2
u3
工程电磁场
旋度公式：
F
dSz dxdyaˆz 体元： dV dxdydz
工程电磁场
2. 圆柱坐标系
在圆柱坐标系中，坐标变量为(r,, z)，如图，做一微分体元。
线元：
dl drar rda dzaz
面元： dSr rddzar dS drdza dSz rddraz
体元： dV rdrddz
则： 2a b 2c 3 a 3b c 2 a 2b 3c 5
a 2 b 1 c 3
工程电磁场
例2： 已知 A 2aˆx 6aˆy 3aˆz B 4aˆx 3aˆy aˆz
求：确定垂直于 A、B所在平面的单位矢量。
解：已知 A B 所得矢量垂直于 A 、B 所在平面。
工程电磁场
3. 球坐标系 在球坐标系中，坐标变量为 (R,,) ，如图，做一微分体元。
线元：
dl dRaR Rda Rsinda
面元：
dSR R2 sin d daR dS R sin dRda
dS RdRda
体元：
dV R2 sin dRd d
工程电磁场
矢量的运算法则
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
矢量的运算法则和公式
矢量的运算法则和公式在我们的物理世界中，矢量可是个相当重要的角色！就像我们在生活中要遵循各种规则一样，矢量也有它自己的运算法则和公式。
先来说说矢量的加法。
想象一下，你在操场上跑步，先向东跑了 5 米，然后又向北跑了 3 米。
那你最终的位置怎么算呢？这时候就用到矢量加法啦！把这两个位移矢量首尾相连，从起点到终点的矢量就是合矢量。
这就好比你从家出发，先去超市买了零食，又去书店买了书，最后你走的总路程可不是简单地把距离相加，而是要考虑方向的。
再说说矢量的减法。
比如说，有一个力矢量 F1 作用在物体上，然后又有一个力矢量 F2 作用在同一物体上，要想知道 F1 减去 F2 的结果，其实就是 F1 加上（-F2）。
这就像你原本有 10 块钱零花钱，花了 5 块，其实就相当于你的钱数加上了 -5 块。
说到矢量的乘法，就不得不提到点乘和叉乘。
点乘的结果是一个标量，比如一个力矢量 F 和一个位移矢量 s 的点乘，就等于力在位移方向上做的功。
就像你推一个箱子，用的力和箱子移动的距离相乘，就能知道你做了多少功。
叉乘的结果可是个矢量哦！比如磁场中的洛伦兹力 F = qv×B，这个叉乘就决定了力的方向。
记得有一次我在实验室里观察带电粒子在磁场中的运动，那轨迹真是神奇极了！正是因为矢量的叉乘法则，我们才能准确地预测粒子的运动方向。
还有矢量的数乘，这个比较简单，就是给矢量乘以一个常数，矢量的方向不变，大小改变。
就好像你跑步的速度乘以时间，就能得到你跑的路程。
在解决实际问题的时候，这些矢量的运算法则和公式可太有用啦！有一次学校组织户外探险，我们要通过地图和指南针找到目的地。
地图上给出的方向和距离就是矢量，运用矢量的加法，我们就能准确算出从当前位置到目的地的路线。
总之，矢量的运算法则和公式就像是我们探索物理世界的秘密武器，让我们能够更清晰地理解和描述各种物理现象。
不管是小小的位移，还是强大的力场，都能在矢量的世界里被准确地计算和表达。
(完整版)常用矢量公式
由 及
得：
§7. “三度”在各种坐标系中得表示式
一、矢量微分算子（哈密顿算子）
直角坐标
柱坐标
球坐标
二、柱坐标、球坐标与直角坐标的关系
1. 柱坐标与直角坐标
2.球坐标与直角坐标
三、“三度”在三种坐标系中的表示形式
解：固有两个变量 和 我们可求 和
而
（2）求 。
解： ， ，
§3. 高斯定理与矢量场的散度
一、矢量场的通量
1．矢量族：在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它沿某一曲线的切线方向，这条曲线形成一条矢量线，又叫场线（对静电场称为电力线），无穷多条这样的曲线构成一个矢量族。
2． 通量： 称为 通过面元 的通量，记作 ，记作 ，有限面积 ，通量上 ，闭合曲面 ，通量上 ， 方向，由面内指向面外。
为了反映空间某一点发散与会聚的情况，可以将 面缩小到体元 ，体元仅包围一个点，此时，高斯定理可以改为 ，我们
用单位体积的通量来描述，则有 ，取极限 称为矢量 的散度。（>0,有源；=0,无源，<0,负源）。有时表示成 （divergence）。若空间各点处处 ，则称 为无源场。
例题：
1. 求 ，其中
证：⑴
⑵
§2. 场的概念和标量场的梯度
一、场的概念：
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。
描述场用一个空间中和时间坐标的函数：
当 与 无关时称为稳恒场（稳定场、静场），有关则称为变化场（时变场）。当已知场函数则可以了解场的各种性质：如 随时空的变化关系（梯、散、旋度）。同样已知梯、散、旋度场函数可以确定场函数（以后主要讨论的问题）。
矢量运算公式范文
矢量运算公式范文矢量运算是对矢量进行运算的数学方法，包括矢量的加法、减法、数与矢量的乘法（数量积）、矢量与矢量的乘法（矢量积）等。
在物理学、工程学、计算机图形学等领域中，矢量运算被广泛应用。
下面将介绍一些常见的矢量运算公式：一、矢量的加法和减法：矢量的加法：对于两个矢量A和B，它们的加法可以表示为：C=A+B加法满足交换律：A+B=B+A加法满足结合律：(A+B)+C=A+(B+C)矢量的减法：对于两个矢量A和B，它们的减法可以表示为：C=A-B减法可以看作加法的反向操作：A-B=A+(-B)其中，-B表示B的反向矢量，即将B的大小保持不变，方向取反。
二、数与矢量的乘法（数量积）：数与矢量的乘法是将一个数与一个矢量各分量相乘。
假设有一个矢量A和一个数k，则数与矢量的乘法可以表示为：B=kA乘法满足交换律：kA=Ak乘法满足结合律：(kl)A = k(lA)三、矢量与矢量的乘法（矢量积）：矢量与矢量的乘法有两种形式，一种是叉乘（也称为矢量积或外积），另一种是点乘（也称为数量积或内积）。
1.叉乘：对于两个矢量A和B，它们的叉乘可以表示为：C=A×B矢量的叉乘满足右手法则：-若A和B的夹角θ小于180度，则C的方向垂直于A和B的平面，且由右手握住旋转方向由A转向B；-若A和B的夹角θ大于180度，则C的方向垂直于A和B的平面，且由右手握住旋转方向由B转向A；-若A和B的夹角θ等于180度，则C等于0。
2.点乘：对于两个矢量A和B，它们的点乘可以表示为：C=A•B点乘的结果是一个标量。
点乘的计算方法有两种：-一种是将两个矢量的各分量分别相乘，然后相加：C=A₁*B₁+A₂*B₂+...+An*Bn- 另一种是使用矢量的模和夹角公式：C = ，A， * ，B，* cos(θ)其中，A，表示矢量A的模，B，表示矢量B的模，θ表示A和B的夹角。
以上是矢量运算的一些基本公式，它们在物理学、工程学和计算机图形学中都有广泛的应用。
矢量的乘法
矢量的乘法
矢量的乘法可以分为两种情况：数量积（又称点乘）和向量积（又称叉乘）。
1. 数量积（点乘）：
数量积是两个矢量相乘得到一个标量的运算，用符号"."表示。
对于两个矢量a和b的数量积，可以表示为a·b。
计算公式为：a·b = |a| |b| cosθ
其中，|a|和|b|分别表示矢量a和b的模长，θ表示两个矢量之
间的夹角。
2. 向量积（叉乘）：
向量积是两个矢量相乘得到一个新矢量的运算，用符号"×"表示。
对于两个矢量a和b的向量积，可以表示为a×b。
计算公
式为：
a×b = |a| |b| sinθ n
其中，|a|和|b|分别表示矢量a和b的模长，θ表示两个矢量之
间的夹角，n为垂直于a和b所在的平面上的单位法向量。
矢量的乘法在物理学和工程学中有广泛的应用，例如力的乘法可以得到力矩，电场强度的乘法可以得到电场感应强度等。
常用矢量公式
常用矢量公式矢量是具有大小和方向的物理量，它在许多领域中都有广泛的应用，包括物理、数学、工程学和计算机科学等等。
在处理矢量运算时，使用一些常用的矢量公式可以使计算更加简便高效。
本文将介绍一些常用的矢量公式，包括向量运算、向量分解和向量积分等等。
1.向量运算(1)向量加法：对于两个矢量A和B，其加法定义为：A+B=(A_x+B_x,A_y+B_y,A_z+B_z)，其中A_x,A_y和A_z分别表示A的x、y和z分量。
(2)向量减法：对于两个矢量A和B，其减法定义为：A-B=(A_x-B_x,A_y-B_y,A_z-B_z)，其中A_x,A_y和A_z分别表示A的x、y和z分量。
(3)向量数乘：对于一个矢量A和一个标量k，其数乘定义为：kA=(kA_x,kA_y,kA_z)，其中A_x,A_y和A_z分别表示A的x、y和z分量。
2.向量分解(1) 向量的投影：对于一个矢量A和一个单位向量u，其投影的大小定义为：A_u = ，A，cosθ，其中，A，表示A的模长，θ表示A与u的夹角。
(2) 向量的分解：对于一个矢量A和一个单位向量u，其分解定义为：A = A_uu + A_⊥，其中A_uu表示A在u方向上的分量，A_⊥表示A在u方向垂直的分量。
3.向量积分(1) 线积分：对于一个曲线C和一个矢量场F，其线积分定义为：∮C F·ds = ∮C (F_xdx + F_ydy + F_zdz)，其中F_x, F_y和F_z分别表示F的x、y和z分量，ds表示曲线C上的元素位移矢量。
(2) 曲面积分：对于一个曲面S和一个矢量场F，其曲面积分定义为：∬S F·dS = ∬S (F_xdS_x + F_ydS_y + F_zdS_z)，其中F_x, F_y和F_z分别表示F的x、y和z分量，dS表示曲面S上的元素面积矢量。
(3) 体积积分：对于一个区域V和一个矢量场F，其体积积分定义为：∭V F·dV = ∭V (F_xdV_x + F_ydV_y + F_zdV_z)，其中F_x, F_y和F_z分别表示F的x、y和z分量，dV表示区域V内的元素体积矢量。
(完整版)常用矢量公式
第一公式
第二公式
一般规则
其他规则
一般变换规则证明：
1.
证： 任取常矢量 点乘上式两端
左 用
用混合积公式
2.
证： 左
三． 算符常用公式
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
证：
6． 微分运算
去掉角标。
7．
利用
微分运算
用 代替 ， 代替 ， 代替
矢量运算
同样
§6. 有关矢量场的一些定理
一、关于散度旋度的四个定理
证：⑴
⑵
§2. 场的概念和标量场的梯度
一、场的概念：
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。
描述场用一个空间中和时间坐标的函数：
当 与 无关时称为稳恒场（稳定场、静场），有关则称为变化场（时变场）。当已知场函数则可以了解场的各种性质：如 随时空的变化关系（梯、散、旋度）。同样已知梯、散、旋度场函数可以确定场函数（以后主要讨论的问题）。
为了反映空间某一点发散与会聚的情况，可以将 面缩小到体元 ，体元仅包围一个点，此时，高斯定理可以改为 ，我们
用单位体积的通量来描述，则有 ，取极限 称为矢量 的散度。（>0,有源；=0,无源，<0,负源）。有时表示成 （divergence）。若空间各点处处 ，则称 为无源场。
例题：
1. 求 ，其中
1.标量场的梯度必为无旋场， 即
2.矢量场的旋度必为无散场， 即
3.无旋场必可以表示为某一标量场的梯度。
常用的一些矢量运算公式
常用的一些矢量运算公式1.三重标量积如a r ，b r 和c r是三个矢量，组合()a b c⨯•r r r 叫做他们的三重标量积。
三重标量积等于这三个矢量为棱边所作的平行六面体体积。
在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为(),,i j kr r r ，令三个矢量的分量记为()()123123,,,,,a a a a b b b b r r及()123,,c c c c r则有()()123123123123123123c c c i jka b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ⨯•=•++=rr rr r r r r r因此，三重标量积必有如下关系式：()()()a b c b c a c a b⨯•=⨯•=⨯•r r r r r r r r r即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。
2.三重矢量积如a r ，b r 和c r是三个矢量，组合()a b c⨯⨯r r r 叫做他们的三重标量积，因有()()()a b c a c b c b a ⨯⨯=-⨯⨯=⨯⨯r r r r r r r r r故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。
三重标量积有一个重要的性质（证略）:()()()a b c a b c a c b⨯⨯=-•+•r r r r r r r r r （1-209）将矢量作重新排列又有：()()()a b c b a c b a c•=⨯⨯+•r r r r r r r r r （1-210）3.算子（a ∇r ）∇是哈密顿算子，它是一个矢量算子。
（a ∇r）则是一个标量算子，将它作用于标量φ，即()a φ∇r是φ在ar 方向的变化速率的a倍。
如以无穷小的位置矢量d rr 代替以上矢量ar ，则()dr φ∇r 是φ在位移方向d rr 的变化率的d rr 倍，即d φ。
常用矢量公式
常用矢量公式矢量是物理学中常常用到的工具，它能够表示一个物理量的大小和方向。
在研究物体运动、力学和电磁学等方面，常常需要使用矢量公式。
以下是一些常用的矢量公式。
1.矢量的加法：如果有两个矢量A和B，它们的和矢量C可以通过将两个矢量的对应分量相加得到：C=A+B。
2.矢量的减法：如果有两个矢量A和B，它们的差矢量C可以通过将第二个矢量的对应分量取相反数，再与第一个矢量相加得到：C=A-B。
3.矢量的数量积：两个矢量A和B的数量积可以通过将两个矢量的对应分量乘积相加得到：A·B=AxBx+AyBy+AzBz。
4.矢量的向量积：两个矢量A和B的向量积可以通过以下公式计算：C=A×B,其中C是结果矢量，Ax、Ay和Az是矢量A的分量，Bx、By和Bz是矢量B的分量。
向量积的结果是一个垂直于两个矢量的平面，并且它的大小等于两个矢量张成的平行四边形的面积。
5.矢量的标量三重积：三个矢量A、B和C的标量三重积可以通过以下公式计算：(A×B)·C,其中×表示向量积，·表示数量积。
标量三重积的结果是一个标量，它可以用来计算三个矢量张成的平行六面体的体积。
6.矢量的分解：一个矢量A可以被分解为垂直于另一个矢量B的分量和平行于矢量B的分量。
平行分量可以通过数量积来计算：A\，B=(A·B)B/，B，^2，其中\，表示平行于。
垂直分量可以通过减去平行分量得到：A⊥B=A-A\，B。
7.矢量的模长：一个矢量A的模长可以通过以下公式计算：，A，=√(Ax^2+Ay^2+Az^2)，其中Ax、Ay和Az是矢量A的分量。
8.矢量的单位矢量：一个矢量A的单位矢量可以通过以下公式计算：Ā=A/，A，其中Ā是单位矢量。
9. 矢量的投影：一个矢量A在另一个矢量B上的投影可以通过以下公式计算：Proj_A(B) = (A · Ā)Ā，其中Ā是单位矢量。
10. 矢量的夹角：两个矢量A和B之间的夹角可以通过以下公式计算：cosθ = (A · B)/(，A，B，)，其中θ是夹角。
矢量的运算法则
dSR R2 sin d daR dS R sin dRda
dS RdRd a
体元：
dV R2 sin dRd d
工程电磁场
在不同旳坐标系中，梯度旳计算公式：
在直角坐标系中：
x
aˆx
y
aˆ y
z
aˆz
在柱坐标系中：
r
aˆr
r
工程电磁场
主要旳场论公式
1. 两个零恒等式
(1) () 0 任何标量场梯度旳旋度恒为零。
(2) ( F ) 0
任何矢量场旳旋度旳散度恒为零。
工程电磁场
2. 拉普拉斯算子 2 ()
在直角坐标系中：
2
2
x 2
2
y 2
2
z 2
在圆柱坐标系中：
2
1 r
(r )
r r
( )
( A) A A
(A) A A
(A B) (A)B (B )A A( B) B( A)
(A B) B A A B (A B) A B B A (B )A (A)B
球坐标系中：
F
1 R2
(R2FR ) R
1
R sin
(F sin )
1
R sin
F
正交曲线坐标系中：
F
1
Fu1h 2 h 3
( Fu2
h1h3
)
(Fu3 h1h2
)
h1h2h3 u1
u2
u3
工程电磁场
旋度公式：
F
Fz y
Fy z
aˆx
Fx z
Fz x
aˆ y
常用矢量公式
常用矢量公式矢量公式是一种强大的数学工具，可以帮助我们理解和应用多维空间方程。
它不仅可以描述几何形状，而且还可以用来解决许多数学问题。
它有很多用法，以下是几个常用的矢量公式：1. 极坐标变换（Polar Change of Coordinates）：它表示将一组参数坐标系统从极坐标（Polar coordinates）变换到直角坐标系统（Rectangular coordinates），格式为：x = r cos pt, y = r sin pt。
2. 空间向量（Space Vector）：表示由三个不同方向的向量构成的空间向量，格式为：V~ = {vx, vy, vz}。
3. 矢量加法（Vector Addition）：表示对两个向量进行矢量加法运算，格式为：Va + Vb = {va + Vb, Va + Vb, Va + Vb}。
4. 外积（Cross Product）：表示对两个向量进行外积运算，格式为：Va x Vb = {VaxVb, VayVb, VazVb}。
5. 内积（Dot Product）：表示对两个向量进行内积运算，格式为：Va • Vb = VaxVb + VayVb + VazVb。
6. 梯度（Gradient）：表示函数的梯度的矢量方向，格式为：∇f(x) = {df/dx,df/dy,...}。
7. 拉普拉斯算子（Laplacian Operator）：表示二维平面上函数拉普拉斯算子的值，格式为：∇2f = (∂2/∂x2 +∂2/∂y2).8. 散度（Divergence）：表示某些物理多维空间中矢量场的散度，格式为：∇•V = ∂vx/∂x + ∂vy/∂y + ∂vz/∂z。
以上就是矢量公式的一些常用用法，它们可以让我们更容易、更有效地呈现和分析几何形状，并解决多维空间最佳路径等问题。
如果需要更多的矢量公式，可以查阅数学相关书籍，或者找到专门的中文资料。
矢量乘法运算
矢量乘法运算
矢量乘法运算指的是对两个矢量进行相乘的操作。
在矢量乘法中，有两种常用的运算符：点积和叉积。
1. 点积（内积、标量积）：
点积是指两个矢量的对应分量相乘后再相加的结果。
如果有两个
矢量A和B，它们的点积表示为A·B或者A•B。
点积的计算公式为：A·B = A₁B₁ + A₂B₂ + A₃B₃ + ...
点积的结果是一个标量（数量），表示两个向量之间的关系。
例如，点积可以用来计算两个向量之间的夹角、判断两个向量是否垂直等。
2. 叉积（外积、向量积）：
叉积是指两个矢量的对应分量相乘后再取正交于这两个矢量所在
平面的向量。
如果有两个矢量A和B，它们的叉积表示为A×B。
叉积的计算公式为：
A×B = (A₂B₃ - A₃B₂)i + (A₃B₁ - A₁B₃)j + (A₁B₂
- A₂B₁)k
其中，i、j、k分别为坐标轴的单位矢量。
叉积的结果是一个新的矢量，其方向垂直于原来的两个矢量，并
遵循右手法则。
叉积的大小表示了两个向量的夹角和向量之间的关系。
常用矢量公式范文
常用矢量公式范文矢量公式是向量分析中常用的数学工具，主要用于描述和求解向量场的性质和运算。
下面是一些常用的矢量公式及其应用：1. 格林公式（Green's Theorem）：格林公式是一个基本的矢量公式，描述了平面区域上的环量和面积积分之间的关系。
设F=Pi+Qj是一个连续可微的二维向量场，S是一个闭合的简单曲线围成的平面区域，n是曲线S的单位法向量，则根据格林公式有：∮(Pdx + Qdy) = ∬(∂Q/∂x - ∂P/∂y)dA这个公式在电磁学、流体力学等领域中有广泛的应用。
2. 斯托克斯定理（Stokes' Theorem）：斯托克斯定理是格林公式的推广，描述了曲面上的环量和曲面积分之间的关系。
设F=Pi+Qj+Rk是一个连续可微的三维向量场，S是一个有向曲面，n 是曲面S的单位法向量，则根据斯托克斯定理有：∮(F·dr) = ∬(∇×F)·dS这个公式在电磁学、流体力学、几何学等领域中有广泛的应用。
3. 散度定理（Divergence Theorem）：散度定理描述了对空间中一个闭合曲面的矢量场的散度和该矢量场的体积积分之间的关系。
设F=Pi+Qj+Rk是一个连续可微的三维向量场，V是一个有界闭区域，S是该闭区域的边界曲面，n是曲面S的单位法向量，则根据散度定理有：∬(F·dS)=∭(∇·F)dV这个公式在电磁学、流体力学、热力学等领域中有广泛的应用。
4. 梯度公式（Gradient Formula）：梯度公式描述了标量函数在空间中的梯度与函数值的关系。
设u是一个具有连续的一阶偏导数的标量函数，grad u是该标量函数的梯度，则根据梯度公式有：f(x,y,z)=u(x,y,z)∇f=(∂u/∂x)i+(∂u/∂y)j+(∂u/∂z)k这个公式在几何学、热力学、量子力学等领域中有广泛的应用。
5. 矢量恒等式（Vector Identity）：矢量恒等式是一组用于简化矢量场运算的公式集合，它包括了一些常用的矢量运算规则。
常用的一些矢量运算公式
常用的一些矢量运算公式矢量运算是研究矢量的数学运算方法和规律的一个分支。
在物理学、工程学和计算机图形学等领域，矢量运算经常被用于描述和计算各种物理量。
以下是一些常用的矢量运算公式。
1.矢量加法矢量加法是指两个矢量相加得到一个新的矢量。
设两个矢量A和B，它们的坐标分别为(A1,A2,A3)和(B1,B2,B3)，则它们的矢量和C的坐标为(C1,C2,C3)。
矢量加法公式为：C=A+B=(A1+B1,A2+B2,A3+B3)2.矢量减法矢量减法是指一个矢量减去另一个矢量得到一个新的矢量。
设两个矢量A和B，它们的坐标分别为(A1,A2,A3)和(B1,B2,B3)，则它们的矢量差C的坐标为(C1,C2,C3)。
矢量减法公式为：C=A-B=(A1-B1,A2-B2,A3-B3)3.点乘点乘是指两个矢量之间的乘积得到一个标量。
设两个矢量A和B，它们的坐标分别为(A1,A2,A3)和(B1,B2,B3)，则它们的点乘结果为：A·B=A1B1+A2B2+A3B34.叉乘叉乘是指两个矢量之间的乘积得到一个新的矢量。
设两个矢量A和B，它们的坐标分别为(A1,A2,A3)和(B1,B2,B3)，则它们的叉乘结果为：A×B=(A2B3-A3B2,A3B1-A1B3,A1B2-A2B1)5.矢量模长矢量的模长表示向量的长度或大小。
设一个矢量A，它的坐标为(A1,A2,A3)，则它的模长结果为：A，=√(A1^2+A2^2+A3^2)6.单位矢量单位矢量是模长为1的矢量，通常用于表示方向。
设一个非零矢量A，它的坐标为(A1,A2,A3)，则它的单位矢量U的坐标为：U=A/，A，=(A1/，A，,A2/，A，,A3/，A，)7.矢量投影矢量投影是指一个矢量在另一个矢量上的投影，得到一个与原矢量垂直的新矢量。
设一个矢量A投影到B上的矢量为C，则矢量C的坐标为：C=(A·B/，B，^2)B8.向量夹角向量夹角是指两个矢量之间的夹角。
矢量微分运算公式汇总
=
Ar
∂Br ∂r
+
Aφ r
∂Br ∂φ
+
Az
∂Br ∂z
−
Aφ Bφ r
(A · ∇B)φ
=
Ar
∂Bφ ∂r
+
Aφ r
∂Bφ ∂φ
+
Az
∂Bφ ∂z
+
Aφ Br r
(A · ∇B)z
=
Ar
∂Bz ∂r
+
Aφ r
∂Bz ∂φ
+
Az
∂Bz ∂z
Divergence of a tensor
(∇ · T )r
(18) (∇·T )i = j (∂Tji/∂xj )
[This definition is required for consistency with Eq. (29)]. In general (19) ∇ · (AB) = (∇ · A)B + (A · ∇)B
(20) ∇ · (f T ) = ∇f ·T +f ∇·T
2 cos θ r2 sin2 θ
∂Aφ ∂φ
(∇2 A)φ
= ∇2Aφ −
Aφ r2 sin2 θ
+
2 r2 sin θ
∂Ar ∂φ
+
2 cos θ r2 sin2 θ
∂Aθ ∂φ
8
Components of (A · ∇)B
(A · ∇B)r
=
Ar
∂Br ∂r
+
Aθ r
∂Br ∂θ
+
Aφ r sin θ
If e1, e2, e3 are orthonormal unit vectors, a second-order tensor T can be
矢量运算公式大全
矢量运算公式大全一、矢量加法。
1. 平行四边形法则。
- 对于两个矢量→A和→B，以这两个矢量为邻边作平行四边形，那么它们的合矢量→C=→A+→B就是平行四边形的对角线（以→A和→B的起点为共同起点的那条对角线）。
- 设→A=(A_x,A_y)，→B=(B_x,B_y)，则→C=→A+→B=(A_x + B_x,A_y +B_y)（在直角坐标系下）。
2. 三角形法则。
- 把两个矢量首尾相接，从第一个矢量的起点指向第二个矢量的终点的矢量就是这两个矢量的和矢量。
即→C=→A+→B，先画→A，再从→A的终点开始画→B，→C就是从→A的起点指向→B的终点的矢量。
- 在空间直角坐标系中，如果→A=(A_x,A_y,A_z)，→B=(B_x,B_y,B_z)，那么→C=→A+→B=(A_x + B_x,A_y + B_y,A_z + B_z)。
二、矢量减法。
1. 定义。
- 矢量减法是矢量加法的逆运算，→A-→B=→A+(-→B)，其中-→B是→B的反矢量，其大小与→B相同，方向相反。
2. 三角形法则。
- 同样可以用三角形法则来计算矢量减法。
把→A和-→B首尾相接，从-→B 的起点指向→A的终点的矢量就是→A-→B。
- 在直角坐标系下，如果→A=(A_x,A_y,A_z)，→B=(B_x,B_y,B_z)，则→A-→B=(A_x - B_x,A_y - B_y,A_z - B_z)。
三、矢量的数乘。
1. 定义。
- 设→A是一个矢量，k是一个实数（标量），则k→A是一个矢量，其大小| k→A|=| k||→A|。
- 当k>0时，k→A与→A方向相同；当k < 0时，k→A与→A方向相反；当k = 0时，k→A=→0。
2. 在直角坐标系中的表示。
- 如果→A=(A_x,A_y,A_z)，那么k→A=(kA_x,kA_y,kA_z)。
四、矢量的点积（数量积）1. 定义。
- 对于两个矢量→A和→B，它们的点积→A·→B=|→A||→B|cosθ，其中θ是→A和→B之间的夹角(0≤slantθ≤slantπ)。
矢量及其运算
矢量及其运算是物理学和数学中的重要概念，矢量是指有方向的线段，也称为向量。
其运算主要包括以下几个方面：
1.矢量加法：对于两个矢量，将它们的对应分量相加，得到新矢
量的对应分量。
2.矢量减法：将矢量的各个分量取反后再与另一个矢量相加，得
到新矢量的对应分量。
3.点积：也叫数量积或内积，表示两个矢量的乘积在夹角上的投
影。
点积满足交换律、分配律，且点积等于两矢量模的乘积与
它们夹角的余弦的乘积。
4.叉积：也叫向量积或外积，表示两个矢量的乘积垂直于它们构
成的平面。
叉积的大小等于以两矢量为邻边所构成的平行四边
形面积，方向满足右手法则。
5.三重积：也叫混合积，用于计算三个矢量构成的体积。
具体计
算方法为先求出两个矢量的叉积，再将其与第三个矢量做点积。