运筹学习题集

数学建模

1、某织带厂生产A 、B 两种纱线和C 、D 两种纱带，纱带由专门纱线加工而

解：设A 的产量为x 1，B 的产量为x 2，C 的产量为x 3，D 的产量为x 4，则有

线性规划模型如下：

max f (x )=(168-42)x 1 +(140-28)x 2 +(1050-350)x 3 +(406-140)x 4

=126 x 1 +112 x 2 +700 x 3 +266 x 4

s.t. ⎪⎩

⎪

⎨⎧=≥≤+≤+++4,3,2,1 ,012005.02 720041023434321i x x x x x x x i

2、靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万m 3，在两

个工厂之间有一条流量为200万m 3的支流。两化工厂每天排放某种有害物质的工业污水分别为2万m 3和1.4万m 3。从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可以自然净化。环保要求河流中工业污水含量不能大于0.2%。两化工厂处理工业污水的成本分别为1000元/万m 3和800元/万m 3。现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂处理工业污水的总费用最小。列出线性规划模型。

解：设x 1、2标可描述为

min z =1000x 1+800x 2 x 1 ≥1 0.8x 1 + x 2 ≥1.6 x 1 ≤2 x 2≤1.4 x 1、x 2≥0

3、红旗商场是个中型的百货商场，它对售货人员的需求经过统计分析如表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，问应该如何安排售货人员的作息，既满足了工作需

127星期日开始上班的人数。

min x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7

x 3+x 4+x 5+x 6+x 7≥28 x 4+x 5+x 6+x 7+x 1≥15 x 5+x 6+x 7+x 1+x 2≥24 x 6+x 7+x 1+x 2+x 3≥25 x 7+x 1+x 2+x 3+ x 4≥19 x 1+x 2+x 3+x 4+x 5≥31 x 2+x 3+x 4+x 5+x 6≥28

x 1、x 2、x 3、x 4、x 5、x 6、x 7≥0

4、一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等，每种物品的重量及重要性系数见表所示，能携带的

i ⎩⎨⎧=i

i i x x x 不携带物品携带物品01 （i ＝1， (7)

则0－1规划模型为：

max z ＝20x 1＋15x 2＋16x 3＋14x 4＋8x 5＋14x 6＋9x 7 s.t. 5x 1＋5x 2＋2x 3＋5x 4＋10x 5＋2x 6＋3x 7≤25

x i ＝0或1，i ＝1，0，…，7

标准化问题

1、将下列线性规划化为标准形式

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧±≤≥≤-+=+--≥-++-=不限321

3213

213213

21 ,0 ,019

|1210|15736 10 ..235)(min x x x x x x x x x x x x t s x x x x f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥''''≤+''-'+'+-≤+''+'-'-=''-'+'+≤+''-'+'+-''+-'--=-0,,,,,, 191210191210157736 10 ..2'235)](max[654332

16

33215332133214332

1332

1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x f 2、化下列线性规划为标准形 ma x z =2x 1+2x 2－4x 3 x 1 + 3x 2－3x 3 ≥30 x 1 + 2x 2－4x 3≤80 x 1、x 2≥0，x 3无限制

解：按照上述方法处理，得该线性规划问题的标准形为 ma x z =2x 1+2x 2－4x 31+4x 32

x 1 + 3x 2－3x 31 + 3x 32－x 4 = 30 x 1 + 2x 2－4x 31 + 4x 32 + x 5 = 80 x 1、x 2，x 31，x 32，x 4，x 5 ≥0

图解法

1、用图解法求解下面线性规划。 ma x z =2x 1+2x 2 x 1－x 2 ≥ 1 －x 1 + 2x 2≤ 0 x 1、x 2≥ 0

解：图1—3中阴影部分就是该

问题的可行域，显然该问题的可行域是无界的。两条虚线为目标函数等值线，它们对应的

目标值分别为2和4，可以看

出，目标函数等值线向右移动，问题的目标值会增大。但由于可行域无界，目标函数可以增大到无穷。称这种情况为无界

解或无最优解。

2、用图解法求解下述LP 问题。

12121

2max 2328416

.. 412

0,1,2j z x x x x x s t x x j =++≤⎧⎪≤⎪⎨

≤⎪⎪≥=⎩

解：

可知，目标函数在B(4, 2)处取得最大值，故原问题的最优解为*

(4,2)T

X =，目标函数最大值为*

2*43*214z =+=。 3、 用图解法求解以下线性规划问题： （1）

max z= x 1 +3x 2

s.t. x 1 +x 2 ≤10 -2x 1 +2x 2 ≤12

x 1

≤ 7

x 1, x 2

≥0

x 2

10

(2,8)

6