克莱姆法则课后习题

解
2 1 1 −3 D= 0 2 1 4
−5 1 0 − 6 r1 − 2r2 r4 − r2 −1 2 −7 6
0 7 1 −3 0 2 0 7
− 5 13 0 −6 −1 2 − 7 12
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7 − 5 13 = − 2 −1 2 7 − 7 12
c1 + 2c2 c3 + 2c2
ai1 A j1 + ai 2 A j 2 + L + ain A jn = 0
定理2 定理
即 或
a1i A1 j + a 2i A2 j + L + a ni Anj = 0
( i≠j )
2
关于代数余子式的重要性质
D ,当i = j, ∑aki Akj = Dδij = 0 ,当i ≠ j; k =1
按第一列展开
1计算
按第一行展开
a 0 L 0 0 a L 0 O 0 0 L a n −1
0 a 0L 0 + (−1)
n +1
=a
0 0 aL 0 O 1 0 0L 0
a 0 L 0 n +1 n 0 a L 0 n n−2 n = a −a = a + (−1) ⋅ (−1) O 0 0 L a n−2
………………
结论1. 若线形方程组（4.1)系数行列式 ≠ 0， 系数行列式D 结论1 若线形方程组（ 系数行列式 ， 则它一定有唯一解. 则它一定有唯一解 线形方程组（ 等价 若线形方程组（4.1)无解或有两个不同 无解或有两个不同 解，则必有系数行列式D = 0. 则必有系数行列式
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在方程组(4.1)中, 若b1=b2=…=bn=0, 即
2 1 8 1 1 −3 9 −6 D3 = 0 2 −5 2 1 4 0 6
2 1 −5 8 1 −3 0 9 D4 = 0 2 −1 − 5 1 4 −7 0
= −27,
D1 81 ∴ x1 = = = 3, D 27
D3 − 27 x3 = = = −1, D 27
= 27,
D2 − 108 x2 = = = −4, D 27
行（列）和相等
21
P 5(3) 18
3计算
2 1 1 2 0 1 0 0 0 0
0 0 L 0 1 0 L 0 2 1 L 0 L L 0 0 L L 2 1 1 2
1
0
0
L 0
2 1 1 2 0 1
0
0
L 0
1 0 L 0 2 1 L 0 1 2 1 L 0 = L L L L 0 0 L 2 1 0 0 0 L 2 1 0 0 L 1 2 0 0 0 L 1 2 n−2
如果齐次线性方程组有非零解， 分析 如果齐次线性方程组有非零解，则 系数行列式D=0。 系数行列式D=0。 D=0
5-λ D= 2 2 2 6-λ 0 2 0 4-λ
= (5 − λ )( 2 − λ )( 8 − λ )
由D=0
λ = 2, λ = 5, 或 λ = 8,
不难验证：将2，5，8代入齐 不难验证： 次线性方程组确有非零解
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关于齐次方程组 (4.2) 还有下列结论：
结论1 若系数行列式D 结论1. 若系数行列式 ≠ 0，则它只有零解 ，则它只有零解.
结论2 若齐次方程组有非零解， 结论2. 若齐次方程组有非零解，则必有系数 行列式D 行列式 = 0.
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1.求解线性方程组 例1.
x1 − x 2 + x3 + 2 x 4 = 1
1 0 M 0 L a x−a L M 0 a 0
解二：
c1 + c 2 +Lc n
x + ( n − 1)a = x + ( n − 1)a M x + ( n − 1)a
Dn
1 a L x
ri − r1
i = 2Ln
= ( x + ( n − 1)a )
M M L x−a
= [ x + ( n − 1)a ]( x − a ) n−1
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0
a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2n x n = 0
(4.2)
…
a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn xn = 0
为齐次线性方程组，而(4.1)称为非齐次的线 性方程组. 显然 x1= x2 = … = xn = 0 是 (4.2) 的 解(零解).
1 2
− 2 9 1D = −5 D = −3 =− 3 4 0 1
D2 9 = 1 x2 − 1 = D 10
D4 3 x4 = = D 10
D3 − 5 1 x3 = = = D − 10 2
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例2.
用克莱姆法则解方程组
2x1 + x2 − 5x3 + x4 = 8, x − 3x − 6x = 9, 1 2 4 2x2 − x3 + 2x4 = −5, x1 + 4x2 − 7x3 + 6x4 = 0.
n
D ,当i = j, ∑aik Ajk = Dδij = 0 ,当i ≠ j; k =1
n
1 ,当i = j， 其中 δij = 0 ,当i ≠ j.
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§4 克莱姆法则
一、克莱姆法则 二、重要定理 三、小结 思考题
4
非齐次与齐次线性方程组的概念
−3 −5 3 − 0 −1 0 −7 −7 −2
−3 3 = = 27, −7 −2
1 −5 1 −3 0 −6 D1 = − 5 2 −1 2 0 4 −7 6 8 9
−5 1 0 −6 D2 = 0 − 5 −1 2 1 0 −7 6 2 1 8 9
= 81,
= −108,
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非齐次线性方程组; 非齐次线性方程组 若常数项b1 , b2 ,L, bn 全为零 , 此时称方程组为齐次线性方程组 此时称方程组为齐次线性方程组. 齐次线性方程组
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克莱姆法则) 定理1 克莱姆法则 定理 (克莱姆法则 设 n 个变量 n 个方程的线性方程组为
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1
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P 5(2) 18
.
x a L a a 2计算Dn = M x L a M M M
a L x−a L M 0
a a L x
解一：
Dn =
ri − r1
x a− x M a− x
a 0
i = 2Ln
M M L x−a L a x−a L M 0 a 0
c1 + c 2 +Lc n
=
x + ( n − 1)a 0 M 0
n −1
按第一列展开
0 0 L 0 1 0 L 0 2 1 L 0 − =2 L L 0 0 0 L 2 1 0 0 0 L 1 2 n −1 2 1 1 2 0 1
a11 x1 + a12 x2 + L+ a1n xn = b1 a x + a x + L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 设线性方程组 L L L L L L L L L L L L an1 x1 + an2 x2 + L+ ann xn = bn
b , 若常数项 1 , b2 ,L, bn不全为零 则称此方程组为
k=1 n
而其余 i (i ≠ j )的系数均为;又等式右端为 j . x 0 D
于是 当 D ≠ 0时,方程组 (2) 有唯一的一个解
D3 Dn D1 D2 x1 = , x2 = , x3 = ,L, xn = . D D D D
由代数余子式的性质可知, x D 由代数余子式的性质可知 上式中 j的系数等于 ,
D4 27 x4 = = = 1. D 27
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例3 问
λ
为何值时， 为何值时，齐次线性方程组
(5 − λ ) x + 2 y + 2 z = 0 2 x + (6 − λ ) y = 0 2 x + (4 − λ ) z = 0
有非零解? 有非零解?
Dn xn = D
则方程组(4.1)有唯一解,且解可表示为
D1 x1 = , D
D2 , x2 = D
L,
6
其中 Di ( i = 1, 2, …, n)是用常数项 b1, b2,…, bn代 替 D 中第 i列各元素而得到的 n 阶行列式, 即
a11 M a1, i −1 b1 Di = M M M M a n1 M a n, i −1 bn
x1 + x 2 − 2 x3 + x 4 = 1
x1 + x 2 + x 4 = 2
x1 + x3 − x 4 = 1
1 −1 1 21 − 1 1 1 −D = 1 18 1D 2 − D = − 10 2 1 2 1 1 D 0 −1 1 4 8 1 = 1= − 1 = 0 故 1 x1 0 1 D − 10 5
i=(1, 2, …, n )
a1, i +1 M a1n M M M a n, i +1 M a nn
7
证明
j A 用D中第 列元素的代数余子式 1 j , A2 j ,L, Anj
( , 依次乘方程组1)的n个方程 得
(a11 x1 + a12 x2 + L+ a1n xn ) A1 j = b1 A1 j (a x + a x + L+ a x ) A = b A 21 1 22 2 2n n 2j 2 2j L L L L L L L L L L L L (an1 x1 + an2 x2 + L+ ann xn ) Anj = bn Anj
a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n = b 2
(4.1)
a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = b n 如果系数行列式
………………
D=
a11 a 21 L a n1
a12 L a1n a 22 L a 2n ≠0 L L L a n 2 L a nn
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2(2)证明
c a d a c d a c b c a b
b b d d
=0
=
c−a a−c 0 a c d
0 b
a−c c−a 0 0 c a b d
=
0 a
0 c
0 d
0 b
a−c c−a 0 0 c a b d
=0
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P 5(1) 18
a 0 L 1 0 a L 0 O 1 0 L a
个方程依次相加， 在把 n个方程依次相加，得
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n n n ∑ak1 Akj x1 + L+ ∑akj Akj x j + L+ ∑akn Akj xn k=1 k=1 k=1 = ∑bk Akj ,
Dx j = Dj ( j = 1,2,L, n).
(2)
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a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1
a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n = b 2
(4.1)
a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = b n 克莱姆法则可叙述为： 克莱姆法则可叙述为：
阶行列式， 引理 一个 n阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 aij外都为零，那末这行列式等于 aij与它的 外都为零， 代数余子式的乘积， 代数余子式的乘积，即 D = aij Aij ． 展开定理) 定理(Laplace展开定理 行列式等于它的 展开定理 任一行(列 任一行 列) 的各元素与其对应的代数余 子式乘积之和. 子式乘积之和 D = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + L + ain Ain =
(i = 1, 2, L , n) D = a1 j A1 j + a 2 j A2 j + L + a nj Anj = ( j = 1, 2, L , n)
k =1
n
Σ aik Aik
n
k =1
Σ akj Akj
1
关于代数余子式, 还有下列定理 行列式的任一行(列 的所有元素与另 行列式的任一行 列 )的所有元素与另 一行(列 的对应元素的代数余子式乘 一行 列 )的对应元素的代数余子式乘 积之各等于零. 积之各等于零
M M L x−a
= [ x + ( n − 1)a ]( x − a ) n−1
20
利用行列式的性质使得行列式中零尽量的多
x a 计算Dn = M a
a L a x L a M M M a L x a L a 1 a L a x L a 1 x L a = ( x + ( n − 1)a ) M M M M M M M a L x