2020届全国大联考高三2月联考文科数学试题(带答案解析)
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A．2013年——2019年空气净化器的销售量逐年在增加
B．2017年销售量的同比增长率最低
C．与2018年相比，2019年空气净化器的销售量几乎没有增长
D．有连续三年的销售增长率超过
4．“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不来自百度文库分也不必要条件
5．某公司的班车分别在8：00，8：30时刻发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过15分钟的概率是（）
【详解】
因为 ，
或 ，
所以 或 ．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查集合的交集运算，同时考查一元二次不等式的解法及绝对值不等式的解法，属于基础题．
2．B
【解析】
【分析】
将 化为 ，再利用复数的代数形式的乘除法运算化简，即可得到答案．
【详解】
因为 ，所以 ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查复数的除法运算，属于基础题．
附：
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
， ．
19．已知椭圆 的离心率为 ，左右端点为 ,其中 的横坐标为2.过点 的直线交椭圆于 两点, 在 的左侧，且 ，点 关于 轴的对称点为 ，射线 与 交于点 .
4．A
【解析】
【分析】
首先将 化简可得 ，然后根据充分条件和必要条件即可得到答案
【详解】
由 得 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，而 ，所以 ，
故充分性成立；
而当 时， 且 ，
故必要性不成立．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判定，属于基础题．
5．D
【解析】
【分析】
先求出小明等车时间不超过15分钟的时间长度，然后根据几何概型的概率计算公式即可求得答案．
17．设等比数列 的公比为 ， 是 的前 项和，已知 ， ， 成等差数列，且 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，若 成立，求 ．
18．第十三届全国人大第二次会议于2019年3月5日在北京开幕．为广泛了解民意，某人大代表利用网站进行民意调查．数据调查显示，民生问题是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占 ．现从参与调查者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，第1组 ，第2组 ，第3组 ，第4组 ，第5组 ，得到的频率分布直方图如图所示．
A．7B．6C．5D．4
12．已知函数 存在两个极值点 ， ， ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
13．已知函数 则 _____.
14．已知向量 的夹角为 ，若 ， ，则 ______．
15．设 满足约束条件 且 的最大值为7，则 _____．
16．已知 的内角 所对边分别为 ，且 ，则 的最大值为______．
A． B． C． D．
6．下列函数中，其图象与函数 的图象关于 对称的是（）
A． B．
C． D．
7．我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如图所示，则其体积为（）
A． B． C． D．
8．将函数 的图象向右平移 个单位，再向上平移1个单位，所得图象经过点 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
9．已知双曲线 的在、右焦点分别 ，过 作 的切线，交双曲线右支于点 ，若 ，则双曲线的离心率为（）
A．2B．3C． D．
10．有一个长方形木块，三个侧面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则该正四面体模型棱长的最大值为（）
A．2B． C．4D．
11．已知在平面直角坐标系 中， 为坐标原点， ， ，若平面内点 满足 ，则 的最大值为（）
2020届全国大联考高三2月联考
文科数学试题
1．设集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 （）
A．2B． C． D．
3．自改革开放以来，我国综合国力显著提升，人民生活水平有了极大提高，也在不断追求美好生活．某研究所统计了自2013年至2019年来空气净化器的销量情况，绘制了如图的统计图．观察统计图，下列说法中不正确的是（）
3．C
【解析】
【分析】
根据统计图的空气净化器的销量的条形图和同比增长率的折线图，分别判断个选项的正误，即可得到答案．
【详解】
对A，根据空气净化器的销量的条形图可以发现：2013年到2019年空气净化器的销售量逐年在增加，故A正确；
对B，根据同比增长率的折线图可以发现：2017年销售量的同比增长率最低，故B正确；
（1）求椭圆的方程；
（2）求证: 点在直线 上.
20．如图,在四棱锥 中,底面 为直角梯形, ,平面 底面 , 为 的中点, 是棱 的的中点 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求四面体 的体积.
21．已知函数 在定义域上满足 恒成立．
(1)求实数 的值；
(2)令 在 上的最小值为 ，求证： ．
22．在平面直角坐标系 ， ．以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 ，点 为 上的动点， 为 的中点．
对C，根据空气净化器的销量的条形图可以发现：与2018年相比，2019年空气净化器的销售量增长明显，
只是同比增长率较2018年略有下降，故C错误；
对D，根据同比增长率的折线图可以发现：2014年、2015年、2016年连续三年的销售增长率超过 ，故D正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查条形统计图和折线统计图，同时考查数据处理和分析能力，属于基础题．
(1)求 ；
(2)现在要从年龄较小的第1组和第2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人接受现场访谈，求这两人恰好属于不同组别的概率；
(3)把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，问是否有 的把握认为是否关注民生与年龄有关？
（1）请求出 点轨迹 的直角坐标方程；
（2）设点 的极坐标为 若直线 经过点 且与曲线 交于点 ，弦 的中点为 ，求 的取值范围．
23．已知 ， ．
(1)若关于 的不等式 对任意实数 都成立，求实数 的最小值；
(2)求证： .
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
将集合 , 化简，利用交集的定义域，即可得到答案．
B．2017年销售量的同比增长率最低
C．与2018年相比，2019年空气净化器的销售量几乎没有增长
D．有连续三年的销售增长率超过
4．“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不来自百度文库分也不必要条件
5．某公司的班车分别在8：00，8：30时刻发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过15分钟的概率是（）
【详解】
因为 ，
或 ，
所以 或 ．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查集合的交集运算，同时考查一元二次不等式的解法及绝对值不等式的解法，属于基础题．
2．B
【解析】
【分析】
将 化为 ，再利用复数的代数形式的乘除法运算化简，即可得到答案．
【详解】
因为 ，所以 ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查复数的除法运算，属于基础题．
附：
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
， ．
19．已知椭圆 的离心率为 ，左右端点为 ,其中 的横坐标为2.过点 的直线交椭圆于 两点, 在 的左侧，且 ，点 关于 轴的对称点为 ，射线 与 交于点 .
4．A
【解析】
【分析】
首先将 化简可得 ，然后根据充分条件和必要条件即可得到答案
【详解】
由 得 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，而 ，所以 ，
故充分性成立；
而当 时， 且 ，
故必要性不成立．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判定，属于基础题．
5．D
【解析】
【分析】
先求出小明等车时间不超过15分钟的时间长度，然后根据几何概型的概率计算公式即可求得答案．
17．设等比数列 的公比为 ， 是 的前 项和，已知 ， ， 成等差数列，且 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，若 成立，求 ．
18．第十三届全国人大第二次会议于2019年3月5日在北京开幕．为广泛了解民意，某人大代表利用网站进行民意调查．数据调查显示，民生问题是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占 ．现从参与调查者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，第1组 ，第2组 ，第3组 ，第4组 ，第5组 ，得到的频率分布直方图如图所示．
A．7B．6C．5D．4
12．已知函数 存在两个极值点 ， ， ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
13．已知函数 则 _____.
14．已知向量 的夹角为 ，若 ， ，则 ______．
15．设 满足约束条件 且 的最大值为7，则 _____．
16．已知 的内角 所对边分别为 ，且 ，则 的最大值为______．
A． B． C． D．
6．下列函数中，其图象与函数 的图象关于 对称的是（）
A． B．
C． D．
7．我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如图所示，则其体积为（）
A． B． C． D．
8．将函数 的图象向右平移 个单位，再向上平移1个单位，所得图象经过点 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
9．已知双曲线 的在、右焦点分别 ，过 作 的切线，交双曲线右支于点 ，若 ，则双曲线的离心率为（）
A．2B．3C． D．
10．有一个长方形木块，三个侧面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则该正四面体模型棱长的最大值为（）
A．2B． C．4D．
11．已知在平面直角坐标系 中， 为坐标原点， ， ，若平面内点 满足 ，则 的最大值为（）
2020届全国大联考高三2月联考
文科数学试题
1．设集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 （）
A．2B． C． D．
3．自改革开放以来，我国综合国力显著提升，人民生活水平有了极大提高，也在不断追求美好生活．某研究所统计了自2013年至2019年来空气净化器的销量情况，绘制了如图的统计图．观察统计图，下列说法中不正确的是（）
3．C
【解析】
【分析】
根据统计图的空气净化器的销量的条形图和同比增长率的折线图，分别判断个选项的正误，即可得到答案．
【详解】
对A，根据空气净化器的销量的条形图可以发现：2013年到2019年空气净化器的销售量逐年在增加，故A正确；
对B，根据同比增长率的折线图可以发现：2017年销售量的同比增长率最低，故B正确；
（1）求椭圆的方程；
（2）求证: 点在直线 上.
20．如图,在四棱锥 中,底面 为直角梯形, ,平面 底面 , 为 的中点, 是棱 的的中点 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求四面体 的体积.
21．已知函数 在定义域上满足 恒成立．
(1)求实数 的值；
(2)令 在 上的最小值为 ，求证： ．
22．在平面直角坐标系 ， ．以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 ，点 为 上的动点， 为 的中点．
对C，根据空气净化器的销量的条形图可以发现：与2018年相比，2019年空气净化器的销售量增长明显，
只是同比增长率较2018年略有下降，故C错误；
对D，根据同比增长率的折线图可以发现：2014年、2015年、2016年连续三年的销售增长率超过 ，故D正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查条形统计图和折线统计图，同时考查数据处理和分析能力，属于基础题．
(1)求 ；
(2)现在要从年龄较小的第1组和第2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人接受现场访谈，求这两人恰好属于不同组别的概率；
(3)把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，问是否有 的把握认为是否关注民生与年龄有关？
（1）请求出 点轨迹 的直角坐标方程；
（2）设点 的极坐标为 若直线 经过点 且与曲线 交于点 ，弦 的中点为 ，求 的取值范围．
23．已知 ， ．
(1)若关于 的不等式 对任意实数 都成立，求实数 的最小值；
(2)求证： .
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
将集合 , 化简，利用交集的定义域，即可得到答案．