数字信号处理习题及答案

==============================绪论==============================

1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV

==================第一章 时域离散时间信号与系统==================

1.

①写出图示序列的表达式

答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15} 2. ①求下列周期

②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。

（1）A是常数

8ππn 73Acos x(n)⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-= （2）)8

1

(j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω=

73π, 所以314

π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。

（2） 因为ω=

81, 所以ω

π2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。 ③序列)Acos(nw x(n)0ϕ+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。 3.加法

乘法

序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。

移位

翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。 ②

尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。

卷积和：①h(n)*求x(n)，其他0

2

n 0n 3，h(n)其他03n 0n/2设x(n) 例、⎩⎨⎧≤≤-=⎩⎨⎧≤≤=

②已知x (n )={1,2,4,3},h (n )={2,3,5}, 求y (n )=x (n )*h (n )

x (m )={1,2,4,3},h (m )={2,3,5}，则h (-m )={5,3,2}(Step1:翻转)

解得y (n )={2,7,19,28,29,15}

③(n)x *(n)x 3)，求x(n)u(n u(n)x 2),2δ(n 1)3δ(n δ(n)2、已知x 2121=--=-+-+=

4. 如果输入信号为，求下述系统的输出信号。 解：首先写出输入信号的取样值 (a) 该系统叫做恒等系统。

5. ①设某系统用差分方程y (n )=ay (n －1)+x (n )描述，输入x (n )=δ(n )。若初始条件y(-1)=0，求输出序列y (n )。 若初始条件改为y(-1)=1，求y(n)

②设差分方程如下，求输出序列y(n)。0n 0,y(n)δ(n),x(n) ， x(n)

1)ay(n y(n)>==+-=

③设LTI 系统由下面差分方程描述：1)x(n 2

1

x(n)1)y(n 21y(n)-++-=

。 设系统是因果的， 利用递推法求系统的单位脉冲响应。 解： 令x (n )=δ(n ), 则1)δ(n 2

1

δ(n)1)h(n 21h(n)-++-=

n=0时，11)δ(21

δ(0)1)h(21h(0)=-++-=

n=1时，12121δ(0)21δ(1)h(0)21h(1)=+=++=

n=2时，2

1h(1)21h(2)==

n=3时，2

21h(2)21

h(3)⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛== 所以，δ(n)1)u(n 21h(n)1

n +-⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=-

6.离散时间系统。请用基本组件，以框图的形式表示该系统。

解：

7.① ①判断下列系统是线性还是非线性系统。 解：（a ）系统为线性系统。 （b ）系统为线性系统。

（c ）系统是非线性的。

（d ）系统没有通过线性性检验。

• 系统没有通过线性性检验的原因并不是因为系统是非线性的(实际上，系统的输入输出表达式是线性的)，而

是因为有个常数B 。因此，输出不仅取决于输入还取决于常数B 。所以，当时B ≠0，系统不是松驰的，如果B=0，则系统是松驰的，也满足线性检验。 （e ）系统是非线性的。 ②证明

是线性系统。

证：

②证明y(n)=nx(n)系统是移变系统。

证：

③①判断下述系统是因果的还是非因果的。

②下列哪一个单位抽样响应所表示的系统不是因果系统?( D ) A. δ(n) B. h(n)=u(n)

C. h(n)=u(n)-u(n -1)

D. h(n)=u(n)-u(n+1) ④

⑤以下序列是LTI 系统的单位序列响应h(n)，判断系统的因果性和稳定性。 答案 （1）非因果、稳定 （2）非因果、不稳定。

⑥判断题： 一个系统是因果系统的充要条件是，单位序列响应h(n)是因果序列。（错） 8.① 考虑下面特殊的有限时宽序列。把序列分解成冲激序列加权和的形式。

解：

②将序列x(n)用一组幅度加权和延迟的冲激序列的和来表示 。 ③若⎩⎨

⎧≤≤=其他

402)(n n x n 用单位序列及其移位加权和表示

x(n)= )4(16)3(8)2(4)1(2)(-+-+-+-+n n n n n δδδδδ。 9. ① 一个LTI 系统的单位冲激响应和输入信号分别为 求系统对输入的响

应。

②一个松弛线性时不变系统。求系统对于x(n)的响应

y(n)。

解：用式中的卷积公式来求解 ③一个线性时不变系统的冲激响应为

。请确定该系统的单位阶跃响应。

解：

④设线性时不变系统的单位脉冲响应h (n )和输入x (n )分别有以下几种情况， 分别求输出y (n )。 （1） h (n )=R 4(n ) , x (n )=R 5(n ) （2） h (n )=2R 4(n ) , x (n )=δ(n )－δ(n －2) 解： （1）{1，2，3，4，4，3，2，1} （2）{2，2，0，0，-2，-2}

⑤设系统的单位脉冲响应h (n )=u (n ),，求对于任意输入序列x(n)的输出y (n )，并检验系统的因果性和稳定性 10. ①考虑一个LTI ，该系统的冲激响应为 ，确定a 的取值范围，使得系统稳定。

解：首先，系统是因果的

因此，系统稳定的条件是|a|<1。否则，系统是不稳定。

实际上，h(n)必须随n 趋于无穷呈指数衰减到0，系统才是稳定的。

②考虑冲激响应为

的线性时不变系统，若该系统稳定，则a 和b 的取值范围为多少?

解：显然系统是非因果的，

所以，系统稳定的条件是 |a|<1 且 |b|>1 。

11. 将图示周期矩形脉冲信号展成指数形式傅立叶级数

解：直接代入公式有