第七章 离控制系统
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第七章 离散控制系统
一、离散控制系统的基本概念
1. 控制系统中有一处或几处的信号是脉冲信号序列或数字信号的系统,称之为离散控
制系统。
2. 在离散控制系统中,通常控制器的输入和输出信号是数字信号,受控对象的输入和
输出信号是连续信号(又称之为模拟量信号),因此需要有A/D 转换器和D/A 转换器。
3. A/D 转换器,它相当于一个采样开关,将连续信号转换或数字信号(又称离散信号)。
4. D/A 转换器,它将数字信号(离散信号)转换成模拟信号(连续信号),工程上常
用的是通过零阶保持器(ZOH )来完成的。零阶保持器的传递函数为
s
e s G Ts
h --=1)(
二、香农采样定理
为了使离散信号能够完全复现原连续信号,采样时应符合香农采样定理,即
m s ωω2≥
(7-1)
式中:T
s π
ω2=
——为采样频率,T 为采样周期 m ω——为连续信号所含最高频率分量的频率。
香农定理给出了s ω的最低限,实际应用中s ω要取得比m ω大得多。
三、Z 变换的定义和定理
1. Z 变换的定义
=)(z X []
[]∑∞
=-==0
*
)()()(k k z kT x kT x t x Z Z
2. Z 变换的定理:
Z 变换有线性、位移、初值、终值和卷积等定理。 3. Z 反变换
Z 反变换是将Z 域函数)(z X 变换成时域函数)(*
t x ,记作
[])()*z X (t x -1Z =
Z 反变换常用的方法有长除法,部分分式法和留数法。
4. Z 反变换的局限性
1) Z 反变换只反映采样点上的信息,不能描述系统在采样间隔中的状态。
2) 在采样周期T 一定时,连续信号)(t x 的离散信号)(*
t x 是一定的。但某一离散信号
)(*t x 并不对应唯一的连续函数)(t x 。
四、线性定常离散系统的数学模型
1. 差分方程
)( )()(0
k l i n x b i n y a l
i i
k i i
≤-=-∑∑==
(7-2)
2. 离散状态方程
⎩⎨
⎧=+=+)()()
()()()()1(k Cx k y k u T H k x T G k x (7-3)
3. 复数模型
)
()()(z X z Y z G =
(7-4)
4. 离散化模型
⎰==T
AT AT Bdt e T H e T G 0)( )(
(7-5)
五、离散控制系统的稳定性分析
1. 用朱利判据:设离散系统的闭环特征多项式为
011110)(1)(a z a z a z a z G z P n n n n ++++=+=--Λ
(7-6)
首先将各系数排成朱利阵列(略)
朱利判据:线性定常离散系统稳定的充分必要条件是: 1) 0)1(>P ;
(7-7) 2) 个约束条件;且满足下列(1)-n ,0)1()1(>--P n
(7-8)
203020100 , , , ,m m l l c c b b a a n n n <<<<<--Λ
2.利用双线性变换:即令闭环特征方程0)(=z P 中的z 进行w 变换,即令
1
1
-+=
w w z 得到特征方程0)(=w P ,再用劳斯判据判别稳定性。 六、离散控制系统的稳态误差计算
1. 单位反馈离散系统的误差脉冲传递函数为
)
(11
)()(0z G z R z E +=
(7-9)
式中:)(0z G ——为系统开环脉冲传递函数,见图7-1
由式(7-9)得)()
(11
)(0z R z G z E +=
(7-10
利用Z 变换终值定理可计算离散系统的稳态误差为
)()
(11
)
1(lim )()1(lim )()(lim 01
1
**z R z G z z E z e t e z z t +-=-=∞=→→∞
→
(7-11)
由式(7-11)可知,离散系统的稳态误差与连续系统的类似,也与输入信号有关。
2. 离散系统的稳态误差系数和稳态误差的计算
1) 单位阶跃输入时,1
)(-=z z
z R ,由式(7-11)可得
p
z z K z G z z z G z e +=+=-⋅+⋅
-=∞→→11
)(lim 111)(11)1(lim )(01
01
* (7-12)
上式中:)(lim 01
z G Kp z →=,称为位置误差系数。
2) 单位斜坡输入时,2
)
1()(-=
z Tz
z R ,由式(7-11)可得 v
z z K z G z T z Tz z G z e 1
)()1(lim )1()(11)1(lim )(01201
*=-=-⋅+⋅
-=∞→→ (7-13)
上式中:)()1(lim 1
01
z G z T K z v -=
→,称为速度误差系数。 3) 单位抛物线输入时,3
2)
1(2)
1()(-⋅+=z z z T z R ,由式(7-11)可得 图1.7-1