第七章 离控制系统

第七章 离散控制系统

一、离散控制系统的基本概念

1. 控制系统中有一处或几处的信号是脉冲信号序列或数字信号的系统，称之为离散控

制系统。

2. 在离散控制系统中，通常控制器的输入和输出信号是数字信号，受控对象的输入和

输出信号是连续信号（又称之为模拟量信号），因此需要有A/D 转换器和D/A 转换器。

3. A/D 转换器，它相当于一个采样开关，将连续信号转换或数字信号（又称离散信号）。

4. D/A 转换器，它将数字信号（离散信号）转换成模拟信号（连续信号），工程上常

用的是通过零阶保持器（ZOH ）来完成的。零阶保持器的传递函数为

s

e s G Ts

h --=1)(

二、香农采样定理

为了使离散信号能够完全复现原连续信号，采样时应符合香农采样定理，即

m s ωω2≥

（7-1）

式中：T

s π

ω2=

——为采样频率，T 为采样周期 m ω——为连续信号所含最高频率分量的频率。

香农定理给出了s ω的最低限，实际应用中s ω要取得比m ω大得多。

三、Z 变换的定义和定理

1. Z 变换的定义

=)(z X []

[]∑∞

=-==0

*

)()()(k k z kT x kT x t x Z Z

2. Z 变换的定理：

Z 变换有线性、位移、初值、终值和卷积等定理。 3. Z 反变换

Z 反变换是将Z 域函数)(z X 变换成时域函数)(*

t x ，记作

[])()*z X (t x -1Z =

Z 反变换常用的方法有长除法，部分分式法和留数法。

4. Z 反变换的局限性

1) Z 反变换只反映采样点上的信息，不能描述系统在采样间隔中的状态。

2) 在采样周期T 一定时，连续信号)(t x 的离散信号)(*

t x 是一定的。但某一离散信号

)(*t x 并不对应唯一的连续函数)(t x 。

四、线性定常离散系统的数学模型

1. 差分方程

)( )()(0

k l i n x b i n y a l

i i

k i i

≤-=-∑∑==

（7-2）

2. 离散状态方程

??

?=+=+)()()

()()()()1(k Cx k y k u T H k x T G k x （7-3）

3. 复数模型

)

()()(z X z Y z G =

（7-4）

4. 离散化模型

?==T

AT AT Bdt e T H e T G 0)( )(

（7-5）

五、离散控制系统的稳定性分析

1. 用朱利判据：设离散系统的闭环特征多项式为

011110)(1)(a z a z a z a z G z P n n n n ++++=+=--Λ

（7-6）

首先将各系数排成朱利阵列（略）

朱利判据：线性定常离散系统稳定的充分必要条件是： 1) 0)1(>P ；

（7-7） 2) 个约束条件；且满足下列（1)-n ,0)1()1(>--P n

（7-8）

203020100 , , , ,m m l l c c b b a a n n n <<<<<--Λ

2．利用双线性变换：即令闭环特征方程0)(=z P 中的z 进行w 变换，即令

1

1

-+=

w w z 得到特征方程0)(=w P ，再用劳斯判据判别稳定性。 六、离散控制系统的稳态误差计算

1. 单位反馈离散系统的误差脉冲传递函数为

)

(11

)()(0z G z R z E +=

（7-9）

式中：)(0z G ——为系统开环脉冲传递函数，见图7-1

由式（7-9）得)()

(11

)(0z R z G z E +=

（7-10

利用Z 变换终值定理可计算离散系统的稳态误差为

)()

(11

)

1(lim )()1(lim )()(lim 01

1

**z R z G z z E z e t e z z t +-=-=∞=→→∞

→

（7-11）

由式（7-11）可知，离散系统的稳态误差与连续系统的类似，也与输入信号有关。

2. 离散系统的稳态误差系数和稳态误差的计算

1) 单位阶跃输入时，1

)(-=z z

z R ，由式（7-11）可得

p

z z K z G z z z G z e +=+=-?+?

-=∞→→11

)(lim 111)(11)1(lim )(01

01

* （7-12）

上式中：)(lim 01

z G Kp z →=，称为位置误差系数。

2) 单位斜坡输入时，2

)

1()(-=

z Tz

z R ，由式（7-11）可得 v

z z K z G z T z Tz z G z e 1

)()1(lim )1()(11)1(lim )(01201

*=-=-?+?

-=∞→→ （7-13）

上式中：)()1(lim 1

01

z G z T K z v -=

→，称为速度误差系数。 3) 单位抛物线输入时，3

2)

1(2)

1()(-?+=z z z T z R ，由式（7-11）可得 图1.7-1

a

z z K z G z T z z z T z G z e 1

)()1(lim )1(2)1()(11)1(lim )(02213201*

=

-=-?+?+?-=∞→→

（7-14）

上式中：)()1(lim 10212z G z T

K z a -=

→，称为加速度误差系数。