材料力学第七章_3_ 应变能密度和强度理论概要

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第 7章 应力和应变分析·强度理论
二、各向同性材料的体积应变
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为
a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3
变形后单元体的体积为
V'=a1(1+·a2(1+2 ·a3(1+3
max min
x
y
2
x
2
y
2
2 x
y y
x x
20
tan1( 2 x x
y
)
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y
y
第 7章 应力和应变分析·强度理论
应力圆的作法：
x
x
x
x
D
o
B
C百度文库
A
最大和最小切应力的表达式：
y
D′
mmainx
1
2
2
x
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2
1
3 2
第 7章 应力和应变分析·强度理论 2
一、强度理论的概念
1. 什么是强度理论 强度理论是关于材料破坏原因的学说。
2.材料的两种破坏类型
① 脆性断裂 ② 塑性屈服
正应力强度条件
切应力强度条件
σmax [σ]
max [ ]
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
3. 强度理论的提出 杆件基本变形时，危险点处于单向应力状态或纯剪切应力
σ2σ3
σ3σ1
应变能密度 vε等于两部分之和
vε vV vd
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
式中，体积改变能密度为：
vV
1 2
6E
( 1
2
3 )2
形状改变能密度为：
vd
1
6E
[(σ1
σ2 )2
(σ2
σ3 )2
(σ3
σ1 )2 ]
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状态，其强度条件分别为
max
max
许用应力可由实验测出。 在复杂应力状态下，不可能测出每一种应力状态下的极
限应力，因此提出了材料在不同应力状态下产生某种形式破 坏的共同原因的各种假设，这些假设称为强度理论。强度理 论的核心是认为复杂应力状态下的某一因素达到简单拉伸的
试验破坏时的同一因素，材料也将失效。
材料力学期末考试 考试时间：6月7日（15周周六）上午8:30-10:30。 考试地点：3205、3206、3207 考试方式：闭卷、统考。
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材料力学 斜截面上的应力：
第 7章 应力和应变分析·强度理论
x
y
2
x
y
2
cos 2
x sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos 2
主应力的解析表达式：
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
[例9－8]证明弹性模量E 、泊松比µ 、切变弹性模量G 之间 的关系为 G E 。
2(1 )
证明： 纯剪应力状态应变能密度为
3
v1
1
2
1 2
2G
1 , 2 0, 3
1
用主应力计算比能
v2
1 2E
[
2 1
2 2
2 3
2 (1 2
2 3
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
2、三个主应力同时存在时, 单元体的应变能密度为
1 vε 2 (σ1ε1 σ2ε2 σ3ε3 )
ε1
1 E
σ1
μσ2
σ3
将广义胡克定律代
ε2
1 E
σ2
μσ3
σ1
入上式, 经整理得
ε3
1 E
σ3
μσ1
σ2
vε
1 2E
2 1
2 2
2 3
2 σ1σ 2
2
a2
1
3
a1
a3
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
体积应变为：
VV
V
a1(1 ε1 ) a2(1 ε2 ) a3(1 ε3 ) a1a2a3 a1a2a3
a1a2a3 (1 ε1 ε2 ε3 ) a1a2a3 a1a2a3
ε1 ε2 ε3
1
3
k
1
3
2
OC
B
3
1
2
1 3
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A
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
各向同性材料的广义胡克定律：
εx
1 E
σx
μ
σy
σz
εy
1 E
σy
μσz
σx
εz
1 E
σz
μ
σx σy
xy
xy
G
,
yz
yz
G
,
zx
zx
G
上述一组方程为用应力表示应变，若用应变表示应力，
31 )]
1 [ 2 0 ( )2 2(0 0 2 )] 1 2
2E
E
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
v1 v2
1 2 1 2
2G
E
G E
2(1 )
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
§11-5 强度理论
§7-6 强度理论及其相当应力
§7-7 强度理论的应用
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
§7-9 空间应力状态的应变能密度
一、应变能密度的定义 物体在单位体积内所积蓄的应变能。
二、应变能密度的计算公式
1、单向应力状态下，物体内积蓄的应变能密度为
1 vε 2 σε
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
材 料力学
第7章 应力状态和强度理论
2021年4月15日
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
材料力学实验（拉、压、扭）：5月11日（本周日） 地点：1号实验楼一楼
➢ 安全12-1、12-3：上午9:00-12:00 ➢ 安全12-2、12-4：下午3:00-6:00 ➢ 安全12-5：晚上7:00-9:30
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
二、常用四个强度理论
● 第一强度理论（最大拉应力理论） 该理论不论材料处于什么应力状态，引起材料脆性断裂
破坏的主要原因是最大拉应力，并认为当复杂应力状态的最 大拉应力达到单向应力状态破坏时的最大拉应力时，材料便 发生断裂破坏。由此，材料的断裂判据为
σ1 σ3 τ xy σ2 0
0
即在小变形下，切应力不引起各向同性材料的体积改变.
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
目录
§7-1 应力状态概述 §7-2 平面应力状态分析·主应力
§7-3 空间应力状态的概念 §7-4 应力与应变间的关系
§7-5 空间应力状态下的应变能密度
1
2
E
(σ1
σ2
σ3
)
ε1
1 E
σ1
μσ2
σ3
ε2
1 E
σ2
μσ3
σ1
ε3
1 E
σ3
μσ1
σ2
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第 7章 应力和应变分析·强度理论
令
m
1 3
(
1
2
3)
K E
3(1 2)
m
K
m称为平均正应力，K 称为体积弹性模量。上式称为体
积胡克定律。
纯剪切应力状态下的体积应变